2005年高考文科數學上海卷試題及答案

一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分

1.函數的反函數=__________

2.方程的解是__________

3.若滿足條件，則的最大值是__________

4.直角坐標平面中，若定點與動點滿足，則點P的軌跡方程是__________

5.函數的最小正周期T=__________

6.若，則=__________

7.若橢圓長軸長與短軸長之比為2，它的一個焦點是，則橢圓的標準方程是__________

8.某班有50名學生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程從班級中任選兩名學生，他們是選修不同課程的學生的概率是__________（結果用分數表示）

9.直線關于直線對稱的直線方程是__________

10.在中，若，AB=5，BC=7，則AC=__________

11.函數的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則的取值范圍是__________

12.有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是__________

二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A.B.C.D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選.選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內），一律得零分

13.若函數，則該函數在上是（）

A．單調遞減無最小值

B．單調遞減有最小值

C．單調遞增無最大值

D．單調遞增有最大值

14.已知集合，則等于（）

A．

B．

C．

D．

15.條件甲：“”是條件乙：“”的（）

A．既不充分也不必要條件B．充要條件

C．充分不必要條件

D．必要不充分條件

16.用個不同的實數可得到個不同的排列，每個排列為一行寫成一個行的數陣對第行，記，例如：用1，2，3可得數陣如圖，由于此數陣中每一列各數之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的數陣中，等于（）

A．—3600

B．1800

C．—1080

D．—720

三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟

17.（本題滿分12分）已知長方體中，M.N分別是和BC的中點，AB=4，AD=2，與平面ABCD所成角的大小為，求異面直線與MN所成角的大?。ńY果用反三角函數值表示）

18.（本題滿分12分）在復數范圍內解方程（為虛數單位）

19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

已知函數的圖象與軸分別相交于點A.B，（分別是與軸正半軸同方向的單位向量），函數

（1）求的值；

（2）當滿足時，求函數的最小值

20.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分

假設某市2004年新建住房面積400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低價層的累計面積（以2004年為累計的第一年）將首次不少于4750萬平方米？

（2）當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？

21.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分

已知拋物線的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4.且位于軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5過A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點為M

（1）求拋物線方程；

（2）過M作，垂足為N，求點N的坐標；

（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當是軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系

22.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分

對定義域是.的函數.，規定：函數

（1）若函數，寫出函數的解析式；

（2）求問題（1）中函數的值域；

（3）若，其中是常數，且，請設計一個定義域為R的函數，及一個的值，使得，并予以證明

2005年高考文科數學上海卷試題及答案

參考答案

1.4-1

2.x=0

3.11

4.x+2y-4=0

5.π

6.-

7.8.9.x+2y-2=0

10.3

11.1

12.0

解析：①拼成一個三棱柱時，只有一種一種情況，就是將上下底面對接，其全面積為

②拼成一個四棱柱，有三種情況，就是分別讓邊長為所在的側面重合，其上下底面積之和都是，但側面積分別為：，顯然，三個是四棱柱中全面積最小的值為：

由題意，得

解得

二.13.A

14.B

15.B

16.C

三.17.[解]聯結B1C,由M.N分別是BB1和BC的中點,得B1C∥MN,∴∠DB1C就是異面直線B1D與MN所成的角.聯結BD,在Rt△ABD中,可得BD=2,又BB1⊥平面ABCD,∠B1DB是B1D與平面ABCD所成的角,∴∠B1DB=60°.在Rt△B1BD中,B1B=BDtan60°=2,又DC⊥平面BB1C1C,∴DC⊥B1C,在Rt△DB1C中,tan∠DB1C=,∴∠DB1C=arctan.即異面直線B1D與MN所成角的大小為arctan.18.[解]原方程化簡為,設z=x+yi(x.y∈R),代入上述方程得

x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,∴原方程的解是z=-±i.19.[解](1)由已知得A(,0),B(0,b),則={,b},于是=2,b=2.∴k=1,b=2.(2)由f(x)>

g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0,得-2

由于x+2>0,則≥-3,其中等號當且僅當x+2=1,即x=-1時成立

∴的最小值是-3.20.[解](1)設中低價房面積形成數列{an},由題意可知{an}是等差數列,其中a1=250,d=50,則Sn=250n+=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數,∴n≥10.∴到2013年底,該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.(2)設新建住房面積形成數列{bn},由題意可知{bn}是等比數列,其中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1.由題意可知an>0.85

bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數n=6.到2009年底,當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.21.[解](1)

拋物線y2=2px的準線為x=-,于是4+=5,∴p=2.∴拋物線方程為y2=4x.(2)∵點A是坐標是(4,4),由題意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴kFA=;MN⊥FA,∴kMN=-,則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2=-x,解方程組得x=,y=,∴N的坐標(,).(1)

由題意得，圓M.的圓心是點(0,2),半徑為2,當m=4時,直線AK的方程為x=4,此時,直線AK與圓M相離.當m≠4時,直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0,圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d>2,解得m>1

∴當m>1時,AK與圓M相離;

當m=1時,AK與圓M相切;

當m<1時,AK與圓M相交.22.[解](1)

(2)

當x≥1時,h(x)=

(-2x+3)(x-2)=-2x2+7x-6=-2(x-)2+

∴h(x)≤;

當x<1時,h(x)<-1,∴當x=時,h(x)取得最大值是

(3)令

f(x)=sinx+cosx,α=

則g(x)=f(x+α)=

sin(x+)+cos(x+)=cosx-sinx,于是h(x)=

f(x)·f(x+α)=

(sinx+cosx)（cosx-sinx)=cos2x.另解令f(x)=1+sinx,α=π,g(x)=f(x+α)=

1+sin(x+π)=1-sinx,于是h(x)=

f(x)·f(x+α)=

(1+sinx)（1-sinx)=cos2x.