2007年湖南卷

數學（文史類）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．不等式的解集是（）

A．

B．

C．

D．

2．若是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是（）

A．

B．

C．

D．

3．設（），關于的方程（）有實數，則是的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件

4．在等比數列（）中，若，則該數列的前10項和為（）

A．

B．

C．

D．

5．在（）的二次展開式中，若只有的系數最大，則（）

A

B

C

F

A．8

B．9

C．10

D．11

6．如圖1，在正四棱柱中，分別是，的中點，則以下結論中不成立的是（）

A．與垂直

B．與垂直

C．與異面

D．與異面

7．根據某水文觀測點的歷史統計數據，得到某條河流水位的頻率分布直方圖（如圖2）．從圖中可以看出，該水文觀測點平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）

A．48米

B．49米

C．50米

D．51米

0.5%

1%

2%

水位（米）

圖2

8．函數的圖象和函數的圖象的交點個數是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

9．設分別是橢圓（）的左、右焦點，是其右準線上縱坐標為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是（）

A．

B．

C．

D．

10．設集合，都是的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的，（，），都有（表示兩個數中的較小者），則的最大值是（）

A．10

B．11

C．12

D．13

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在橫線上．

11．圓心為且與直線相切的圓的方程是

．

12．在中，角所對的邊分別為，若，，則

．

13．若，則

．

14．設集合，，（1）的取值范圍是；

（2）若，且的最大值為9，則的值是

．

15．棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，則球的表面積是

；設分別是該正方體的棱，的中點，則直線被球截得的線段長為

．

三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

已知函數．求：

（I）函數的最小正周期；

（II）函數的單調增區間．

17．（本小題滿分12分）

某地區為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．

（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；

（II）任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過培養的概率．

18．（本小題滿分12分）

如圖3，已知直二面角，，，直線和平面所成的角為．

（I）證明；

（II）求二面角的大小．

A

B

C

Q

P

19．（本小題滿分13分）

已知雙曲線的右焦點為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點，點的坐標是．

（I）證明，為常數；

（II）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程．

20．（本小題滿分13分）

設是數列（）的前項和，且，．

（I）證明：數列（）是常數數列；

（II）試找出一個奇數，使以18為首項，7為公比的等比數列（）中的所有項都是數列中的項，并指出是數列中的第幾項．

21．（本小題滿分13分）

已知函數在區間，內各有一個極值點．

（I）求的最大值；

（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式．

2007年普通高等學校招生全國統一考試（湖南卷）

數學（文史類）參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．D

2．B

3．A

4．B

5．C

6．D

7．C

8．C

9．D

10．B

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在橫線上．

11．12．

13．3

14．（1）（2）

15．，三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16．解：

．

（I）函數的最小正周期是；

（II）當，即（）時，函數是增函數，故函數的單調遞增區間是（）．

17．解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓”為事件，“該人參加過計算機培訓”為事件，由題設知，事件與相互獨立，且，．

（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓的概率是

所以該人參加過培訓的概率是．

解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項培訓的概率是

該人參加過兩項培訓的概率是．

所以該人參加過培訓的概率是．

（II）解法一：任選3名下崗人員，3人中只有2人參加過培訓的概率是

．

3人都參加過培訓的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓的概率是．

解法二：任選3名下崗人員，3人中只有1人參加過培訓的概率是

．

3人都沒有參加過培訓的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓的概率是．

A

B

C

Q

P

O

H

18．解：（I）在平面內過點作于點，連結．

因為，所以，又因為，所以．

而，所以，從而，又，所以平面．因為平面，故．

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

過點作于點，連結，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設，則，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小為．

解法二：由（I）知，，故可以為原點，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）．

因為，所以是和平面所成的角，則．

不妨設，則，．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

在中，所以．

則相關各點的坐標分別是，，．

所以，．

設是平面的一個法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個法向量．

設二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．

19．解：由條件知，設，．

（I）當與軸垂直時，可設點的坐標分別為，此時．

當不與軸垂直時，設直線的方程是．

代入，有．

則是上述方程的兩個實根，所以，于是

．

綜上所述，為常數．

（II）解法一：設，則，，由得：

即

于是的中點坐標為．

當不與軸垂直時，即．

又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即．

將代入上式，化簡得．

當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程．

所以點的軌跡方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

當不與軸垂直時，由（I）

有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當時，由④⑤得，將其代入⑤有

．整理得．

當時，點的坐標為，滿足上述方程．

當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程．

故點的軌跡方程是．

20．解：（I）當時，由已知得．

因為，所以．

…………………………①

于是．

…………………………………………………②

由②－①得：．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：．…………………………………………………⑤

即數列（）是常數數列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，而⑤表明：數列和分別是以，為首項，6為公差的等差數列．

所以，．

由題設知，．當為奇數時，為奇數，而為偶數，所以不是數列中的項，只可能是數列中的項．

若是數列中的第項，由得，取，得，此時，由，得，從而是數列中的第項．

（注：考生取滿足，的任一奇數，說明是數列中的第項即可）

21．解：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，設兩實根為（），則，且．于是，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，則

不是的極值點．

而，且

．

若，則和都是的極值點．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）．

當時，當時，；

或當時，當時，．

設，則

當時，當時，；

或當時，當時，．

由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故．