小學數學

“鴿巢原理”（二）

知識梳理

把8本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。為什么？

方法一：用數的分解法證明。

方法二：用假設法證明。

把8本書平均分成3份，（本），假設每個抽屜放進2本，還剩2本，把剩下的這兩本書放進任何一個抽屜，這個抽屜中就有3本數了。

由此證明，把8本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。

把多于個物體任意分放進個鴿巢中（是正整數，是非0自然數），那么一定有一個鴿巢中至少放進了（）只物體。

例題1

填空

（1）某旅游團一行50人，每人游覽甲、乙、丙三地中的一地，至少有（）人游覽的地方完全相同。

（2）在任意的37個人中，至少有（）人的屬相相同。

解答過程：（1）由“鴿巢原理”（二）可得：因為

50÷3=16（人）…2（人）至少有16+1=17（人）游覽的地方完全相同。故填17。

（2）把12個屬相看作12個“鴿巢”，37人看作37個物體，根據“鴿巢原理”（二），（人）（人），（人）。故填4。

答案：（1）17

（2）4

技巧點撥：本題主要考查了利用“鴿巢原理”（二）靈活解決問題。

例題2

五年級一班有學生57人，每位同學中有《新華字典》、《成語詞典》、《作文詞典》三種工具書中的一種、兩種或三種。全班學生中有書情況相同的至少有幾人？

解答過程：

有書的情況共有3+3+1=7（種）情況，把這7種情況視為7個“鴿巢”，57名學生看作57個物體，把57個物體放入“鴿巢”中，57÷7=8（人）…1（人），8+1=9（人），根據“鴿巢原理”（二）可知，全班同學有書情況相同的至少有9人。

答：全班學生中有書情況相同的至少有9人。

技巧點撥：每位同學有書的情況要算清楚，不遺漏、不重復。

例題3　有49名學生共同參加體操表演，其中最小的8歲，最大的11歲。參加體操表演的學生中是否一定有2名或2名以上是在同年同月出生的？

解答過程：從8歲到11歲共有4年，合48個月。（人）（人），1+1=2（人），根據“鴿巢原理”（二）可知，參加體操表演的學生一定有2名或2名以上是在同年同月出生的。

答：參加體操表演的學生一定有2名或2名以上是在同年同月出生的。

技巧點撥：本題主要考查了利用鴿巢原理靈活解決問題。

同步練習

（答題時間：15分鐘）

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解決問題

1.某班有小圖書庫，有詩歌、童話、小人書3類課外讀物，規定每位同學最多可以借閱兩種不同類型的書。問：至少有幾位同學來借閱圖書，才一定有兩位同學借閱的書的類型相同？

2.大風車幼兒園大班有25個小朋友，班里有60件玩具。若把這些玩具全部分給班里的小朋友，會有人得到3件或3件以上的玩具嗎？

3.有100個蘋果分給某班的小朋友，這個班有35個小朋友，會有小朋友分到至少3個蘋果。為什么？

4.某實驗小學五年級共277人，至少有多少名同學在同一個月過生日？

5.六（1）班的語文考試成績都是整數，其中最高分為95分，最低分為82分。已知六（1）班有45名學生，試說明至少有4名同學的成績相同。

答案

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解決問題

1.該班同學可以借閱一種書，也可以借閱兩種書，共有6種情況，把這6種情況視為6個“鴿巢”，要保證有2名學生所借閱的2本圖書是完全一樣的，至少有6+1=7（人）來借閱圖書。

2.把25個小朋友看作25個“鴿巢”，把60個玩具放入25個“鴿巢”中，根據“鴿巢原理”（二）可知，總有一個“鴿巢”中至少放了3件玩具。因此會有人得到3件或3件以上的玩具。

3.把小朋友的人數看作“鴿巢”個數，100個蘋果看作100個物體。100÷35=2（個）…30（個），2+1=3（個），根據“鴿巢原理”（二）可知，會有小朋友分到至少3個蘋果。

4.把12個月份看作12個“鴿巢”，把277人放入到12個“鴿巢”中，277÷12=23（人）…1（人），23+1=24（人）

答：至少有24名同學在同一個月過生日。

5.從82分到95分之間有14個不同的數，把這14個數看成“鴿巢”，全班同學人數看作物體個數，45÷14=3（名）…3（名）

3+1=4（名），根據“鴿巢原理”（二），至少有4名同學的成績相同。