小學數學

“鴿巢原理”（一）

知識梳理

把4本書放進3個抽屜中，為什么不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進2本書？

方法一：枚舉法

把4本書放進3個抽屜中，一共有上面4種情況，每種情況總有一個抽屜里至少放進2本書。

方法二：數的分解法

把4分解成3個數，如下圖所示：

把4分解成3個數，共4種情況，每種情況分得的3個數中，至少有一個數是大于或等于2的。

方法三：假設法

把4本書放進3個抽屜中，假設先在每個抽屜中放1本書，那么3個抽屜就放了3本書，把剩下的1本書放入任何一個抽屜中，這個抽屜就有2本書了。

由此說明，把4本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進2本書。

1.關鍵詞解析

“總有”是一定要有的意思；“至少”是指最小的限度，可能比已知情況多，也可能與已知情況相等。

2.“鴿巢原理”（一）

（1）把4本書放進3個抽屜中，總有一個抽屜中至少有2本書。同理，把5本書放進4個抽屜中，總有一個抽屜中至少有2本書。……

得出：只要放的書本數比抽屜的數量多1，就總有一個抽屜中至少放進2本書。

（2）如果放的書本數比抽屜的數量多2，也是總有一個抽屜中至少放進2本書。如果放的書本數比抽屜的數量多3，也是總有一個抽屜中至少放進2本書。……

得出：把書放進抽屜中，只要放的書本數比抽屜的數量多，就總有一個抽屜中至少放進2本書。

總結：把個物體任意分放進n個“鴿巢”中（>，和是非0自然數），那么一定有一個“鴿巢”中至少放進了2個物體。

例題1

某小學有367名2008年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

解答過程：2008年是閏年，這年應有366天。把366天看作366個“鴿巢”，將367名小朋友看作367個物體。這樣，把367個物體任意分放進366個“鴿巢”里，總有一個“鴿巢”里至少放進2個物體。因此至少有2名小朋友的生日相同。

答：至少有2名小朋友的生日相同。

技巧點撥：制造“鴿巢”是正確運用原理解題的關鍵。

例題2

11名學生到老師家借書，老師的書房中有A、B、C、D四類書，每名學生最多可借兩本不同類型的書，最少借一本。至少有幾名學生所借的書的類型完全相同？

解答過程：列表找出借一本書和借兩本不同類型的書的所有可能情況。

借一本書

A、B、C、D

4種

借兩本不同類型的書

AB、AC、AD、BC、BD、CD

6種

合計

10種

把這10種類型看作10個“鴿巢”，把11名學生看作11個物體，所以至少有兩名學生所借的書的類型完全相同。

答：至少有兩名學生所借的書的類型完全相同。

技巧點撥：解答此題的關鍵是通過列表找到給定要求可能出現的情況總數。

例題3

在任意的四個自然數中，是否其中必有兩個數，它們的差能被3整除？

解答過程：因為任何整數除以3，其余數只可能是0，1，2三種情形。我們將余數的這三種情形看成是3個“鴿巢”。一個整數除以3的余數屬于哪種情形，就將此整數放在那個“鴿巢”里。將四個自然數放入3個“鴿巢”，至少有一個“鴿巢”里放了不止一個數，也就是說至少有兩個數除以3的余數相同。這兩個數的差必能被3整除。

技巧點撥：解答此題的關鍵是明確任意自然數除以3的余數只有3種不同的情況，即余數是0,1或2，且余數相同的兩個不同自然數的差必定是3的倍數。

同步練習

（答題時間：15分鐘）

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解決問題

1.少年宮開辦了語文、數學、英語、繪畫這四個學習班,小林、小云、明明、軍軍、小芳5

個人去參加學習，試說明至少有2

個人在同一個學習班學習。

2.任意調查13個人，其中至少有2人的屬相是相同的。為什么？

3.今天上午上了4節課，分別是：語文、數學、英語、美術，并且每科都留了作業。現在教室里有5名同學在做作業，試說明：至少有2名同學在做同一科作業。

4.在任意的五個自然數中，是否其中必有三個數的和是3的倍數？

5.用紅、藍兩種顏色將一個2×5方格圖中的小方格隨意涂色（見下圖），每個小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？

答案

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解決問題

1.將四個學習班看作4個“鴿巢”，將5個人看作5個“物體”，根據“鴿巢原理”（一）可知，必有一個“鴿巢”放入2個“物體”。

所以至少有2

個人在同一個學習班學習。

2.把12個生肖看作12個“鴿巢”，任意調查的13個人，看作13個物體，根據“鴿巢原理”（一）可知，至少有2個人的屬相相同。所以至少有2人的屬相是相同的。

3.把語文、數學、英語、美術這四種作業看作4個“鴿巢”，5名同學看作5個物體，根據“鴿巢原理”（一）可知，至少有2名同學在做同一科作業。

4.任何整數除以3的余數只能是0，1，2。現在，對于任意的五個自然數，根據“鴿巢原理”（一），至少有一個“鴿巢”里有兩個或兩個以上的數，于是可分下面兩種情形來加以討論。

第一種情形：有三個數在同一個“鴿巢”里，即這三個數除以3后具有相同的余數。因為這三個數的余數之和是其中一個余數的3倍，故能被3整除，所以這三個數之和能被3整除。

第二種情形：至多有兩個數在同一個“鴿巢”里，那么每個“鴿巢”里都有數，在每個“鴿巢”里各取一個數，這三個數被3除的余數分別為0，1，2。因此這三個數之和能被3整除。

綜上所述，在任意的五個自然數中，其中必有三個數的和是3的倍數。

5.用紅、藍兩種顏色給每列中兩個小方格隨意涂色，只有下面四種情形：

將上面的四種情形看成四個“鴿巢”。根據“鴿巢原理”（一），將五列放入四個“鴿巢”，至少有一個“鴿巢”中有不少于兩列，這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。