3-1-4多次相遇和追及問題

教學目標

1.學會畫圖解行程題

2.能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題

3.能夠利用比例解多人相遇和追及問題

知識精講

板塊一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題

所有行程問題都是圍繞“”這一條基本關系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數量，問題即可迎刃而解．

【例

1】

甲、乙兩名同學在周長為米圓形跑道上從同一地點同時背向練習跑步，甲每秒鐘跑米，乙每秒鐘跑米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發點？

【考點】行程問題

【難度】1星

【題型】解答

【解析】

從開始到兩人第十次相遇的這段時間內，甲、乙兩人共跑的路程是操場周長的10倍，為米，因為甲的速度為每秒鐘跑米，乙的速度為每秒鐘跑4米，所以這段時間內甲共行了米，也就是甲最后一次離開出發點繼續行了200米，可知甲還需行米才能回到出發點．

【答案】米

【鞏固】

甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他們同時分別從直路兩端出發，10分鐘內共相遇幾次？

【考點】行程問題

【難度】1星

【題型】解答

【解析】

【答案】17

【鞏固】

甲、乙兩人從400米的環形跑道上一點A背向同時出發，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米?

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

176

【答案】176

【例

2】

甲、乙二人從相距

60千米的兩地同時相向而行，6時后相遇。如果二人的速度各增加1千米／時，那么相遇地點距前一次相遇地點1千米。問：甲、乙二人的速度各是多少？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

甲、乙兩人的速度和第一次為60÷6=10（千米／時），第二次為12（千米/時），故第二次出發后5時相遇。設甲第一次的速度為x千米／時，由兩次相遇的地點相距1千米，有6x－5（x＋1）＝±1，解得x＝6或x＝4，即甲、乙二人的速度分別為6千米／時和4千米／時。

【答案】甲、乙二人的速度分別為6千米／時和4千米／時

板塊二、運用倍比關系解多次相遇問題

【例

3】

上午8點8分，小明騎自行車從家里出發，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

畫一張簡單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸騎的距離是

4＋

8＝

12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12÷4＝3（倍）.按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24（千米）.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4＋12＝16（千米）.少騎行24-16＝8（千米）.摩托車的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.8＋8＋16＝32.所以這時是8點32分。

【答案】8點32分

【例

4】

甲、乙兩車同時從A地出發，不停的往返行駛于A，B兩地之間。已知甲車的速度比乙車快，并且兩車出發后第一次和第二次相遇都在途中C地。問：甲車的速度是乙車的多少倍？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

2倍。解：如下圖所示，因為每次相遇都共行一個來回，所用時間相等，所以乙車兩次相遇走的路程相等，即,推知.第一次相遇時，甲走了,乙走了,所以甲車速度是乙車的倍。

【答案】倍

【例

5】

如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動，當乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場地的周長．

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

注意觀察圖形，當甲、乙第一次相遇時，甲乙共走完圈的路程，當甲、乙第二次相遇時，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以從開始到第一、二次相遇所需的時間比為1：3，因而第二次相遇時乙行走的總路程為第一次相遇時行走的總路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇時，共行走(1圈－60)+300，為圈，所以此圓形場地的周長為480米．

【答案】480米

【鞏固】

A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇．已知C離A有75米，D離B有55米，求這個圓的周長是多少米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

340

【答案】340

【鞏固】

如右圖，A，B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇。已知C離A有80米，D離B有60米，求這個圓的周長。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第一次相遇，兩人共走了0.5圈；第二次相遇，兩人共走了1.5圈。因為1.5÷0.5＝3，所以第二次相遇時甲走的路程是第一次相遇時甲走的路程的倍，即(米)，推知(米)，圓周長為（米）。

【答案】360米

【鞏固】

在一圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到達B點，又過8分兩人再次相遇。甲、乙環行一周各需要多少分？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

由題意知，甲行4分相當于乙行6分。從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行12分，而乙行12分相當于甲行8分，所以甲環行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）。

【答案】20分，30分

板塊三、多次相遇與全程的關系

1.兩地相向出發：第1次相遇，共走1個全程；

第2次相遇，共走3個全程；

第3次相遇，共走5個全程；

…………，………………；

第N次相遇，共走2N-1個全程；

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

2.同地同向出發：第1次相遇，共走2個全程；

第2次相遇，共走4個全程；

第3次相遇，共走6個全程；

…………，………………；

第N次相遇，共走2N個全程；

3、多人多次相遇追及的解題關鍵

多次相遇追及的解題關鍵

幾個全程

多人相遇追及的解題關鍵

路程差

【例

6】

甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相遇．相遇后繼續前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇．求A、B兩地間的距離是多少千米？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

畫線段示意圖(實線表示甲車行進的路線，虛線表示乙車行進的路線)：

可以發現第一次相遇意味著兩車行了一個A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個A、B兩地間的距離．當甲、乙兩車共行了一個A、B兩地間的距離時，甲車行了95千米，當它們共行三個A、B兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即95×3=285（千米），而這285千米比一個A、B兩地間的距離多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．

【答案】260千米

【鞏固】

甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續前進，走到對方出發點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

4×3=12千米，通過畫圖，我們發現甲走了一個全程多了回來那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以兩次相遇點相距9-（3+4）=2千米。

【答案】2千米

【鞏固】

甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地7千米，相遇后二人繼續前進，走到對方出發點后立即返回，在距B地5千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

4千米

【答案】4千米

【鞏固】

甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地6千米，相遇后二人繼續前進，走到對方出發點后立即返回，在距B地4千米處第二次相遇，求兩人第5次相遇地點距B

多遠.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

12千米

【答案】12千米

【鞏固】

甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地7千米，相遇后二人繼續前進，走到對方出發點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求第三次相遇時共走了多少千米.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

90千米

【答案】90千米

【鞏固】

甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地3千米，相遇后二人繼續前進，走到對方出發點后立即返回，在距B地2千米處第二次相遇，求第2000次相遇地點與第2001次相遇地點之間的距離.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

4千米

【答案】4千米

【鞏固】

甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地18千米，相遇后二人繼續前進，走到對方出發點后立即返回，在距B地13千米處第二次相遇，求AB兩地之間的距離.【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

41千米

【答案】41千米

【鞏固】

甲、乙兩車同時從A，B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇。他們各自到達對方車站后立即返回原地，途中又在距A地42千米處相遇。求兩次相遇地點的距離。

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

24千米。提示：第一次相遇兩車共行了A，B間的一個單程，其中乙行了54千米；第二次相遇兩車共行了A，B間的3個單程，乙行了54×3＝162（千米），乙行的路程又等于一個單程加42千米。故A，B間的距離為162－42＝120（千米）。

【答案】120千米

【鞏固】

湖中有A，B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個來回。兩人分別從A，B兩島同時出發，他們第一次相遇時距A島700米，第二次相遇時距B島400米。問：兩島相距多遠？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

1700米。

【答案】1700米

【例

7】

A、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時出發，在A、B間往返長跑。甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運動。甲、乙兩人在第幾次相遇時A地最近？最近距離是多少米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關鍵詞】希望杯，五年級，二試

【解析】

30×(300+240)÷2400=6.75個全程，相遇3次，把全程分成9份，第一次相遇，甲跑5份，第二次相遇甲跑15份，距離A3份，第三次相遇甲跑25份距離A7份，所以第二次相遇距離A最近，最近為2400÷9×3=800米。

【答案】800米

【鞏固】

A、B兩地相距950米。甲、乙兩人同時由A

地出發往返鍛煉半小時。甲步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米。則甲、乙二人第___

__次迎面相遇時距B地最近。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級，二試

【解析】

半小時，兩人一共行走米，相當于6個全程，兩人行程每2個全程就會有一次相遇，而兩人的速度比15：4，所以相同時間內兩人的行程比為15：4，那么第一次相遇甲走了全程的，距離個全程，第二次相遇甲總行程距離個全程，第三次距離個全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時距離地最近。

【答案】第二次

【例

8】

如圖8，甲、乙兩艘快船不斷往返于A、B兩港之間。若甲、乙同時從A港出發，它們能否同時到達下列地點？若能，請推出它們何時到達該地點；若不能，請說明理由：

（1）

A港口；

（2）

B港口；

（3）

在兩港口之間且距離B港30千米的大橋。

【考點】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【關鍵詞】希望杯。五年級。二試

【解析】

（1）甲往返一次的時間是，乙往返一次的時間是，13.5和7.5的最小公倍數是67.5，所以，在甲、乙出發后的小時，它們又同時回到港。

（5分）

（2）設甲、乙能同時到達港，此時，甲、乙各完成了次往返（是自然數），則有

即。

當的個位數是6或1時，有滿足上式的自然數。，最小的=1,最少需要4.5+13.5=18小時。則在甲、乙出發后18+67.5小時，它們同時到達港口。（10分）

（3）設甲、乙能同時到達大橋，且分別完成了次往返（是自然數）。

①若此時甲、乙向下游行駛，則，即，沒有滿足上式的自然數。

②若此時甲、乙向上游行駛，則，即，沒有滿足上式的自然數。

③若此時甲向上游行駛，乙向下游行駛，則

即

沒有滿足上式的自然數。

④若此時甲向下游行駛，乙向上游行駛，則

即

當的個位數是0或5時，有滿足上式的自然數，所以在甲、乙出發后的小時，它們同時到達大橋。

【答案】（1）小時

（2）18+67.5小時

（3）小時

【例

9】

甲、乙二人進行游泳追逐賽，規定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時開始游，直到一方追上另一方為止，追上者為勝。已知甲、乙的速度分別為1.0米／秒和0.8米／秒。問：（1）比賽開始后多長時間甲追上乙？（2）甲追上乙時兩人共迎面相遇了幾次？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

（1）250秒；（2）4次。提示：（2）甲、乙分別游了5個和14個單程，故迎面相遇4次。

【答案】（1）250秒；（2）4次

【例

10】

甲、乙兩車分別從A，B兩地出發，并在A，B兩地間不斷往返行駛。已知甲車的速度是

15千米／時，乙車的速度是25千米／時，甲、乙兩車第三次相遇地點與第四次相遇地點相差100千米。求A，B兩地的距離。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

200千米。第一次相遇時，兩車共走個單程，其中乙車占。第三次相遇時，兩車共走個單程，乙車走了（個）單程；第四次相遇時，兩車共走個單程，乙車走了（個）單程；因為第三次、四次相遇地點相差（個）單程，所以，兩地相距（千米）。

【答案】200千米

【例

11】

歡歡和樂樂在操場上的A、B兩點之間練習往返跑，歡歡的速度是每秒8米，樂樂的速度是每秒5米。兩人同時從A點出發，到達B點后返回，已知他們第二次迎面相遇的地點距離的中點5米，之間的距離是________。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，4年級

【解析】

130米。

第二次應面相遇，兩人合計跑了個全程，速度比試，所以歡歡跑了

全程為米

【答案】米

【例

12】

甲、乙兩車同時從A、B兩地相對亦開出，兩車第一次距A地32千米處相遇，相遇后兩車繼續行駛，各自達到B、A兩地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米處相遇，則A、B兩地間的距離是__________千米。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，6年級，二試

【解析】

第一次相遇，兩車行駛的距離總和等于AB兩地距離；

第二次相遇，兩車行駛的距離總和等于AB兩地距離的三倍。

所以，第二次相遇時，兩車各自行駛的距離也分別等于第一次相遇時行駛的距離的三倍。

第一次相遇時，甲車行駛32千米；

第二次相遇時，甲車行駛全程的二倍減64千米。

所以，全程的二倍減64千米等于96千米，全程為80千米。

【答案】

【例

13】

小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒．他們同時從跑道兩端出發，連續跑了12分鐘．在這段時間內，他們迎面相遇了多少次？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第一次相遇時，兩人共跑完了一個全程，所用時間為：(秒)．此后，兩人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道長，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了(秒)．求出710秒內兩人相遇的次數再加上第一次相遇，就是相遇的總次數．列式計算為：(秒)，共相遇(次)。注：解決問題的關鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路程長．

【答案】36次

【例

14】、兩地間有條公路，甲從地出發，步行到地，乙騎摩托車從地出發，不停地往返于、兩地之間，他們同時出發，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：當甲到達地時，乙追上甲幾次？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在(分鐘)內所走的路程恰等于線段的長度再加上線段的長度，即等于甲在()分鐘內所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍()，則的長為的9倍，所以，甲從到，共需走(分鐘)乙第一次追上甲時，所用的時間為100分鐘，且與甲的路程差為一個全程．從第一次追上甲時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個全程，因此，追及時間也變為200分鐘()，所以，在甲從到的800分鐘內，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘．

【答案】第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘

【例

15】

甲、乙兩人分別從、兩地同時出發相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后繼續行進，甲到地、乙到地后立即返回．已知兩人第二次相遇的地點距第三次相遇的地點是100千米，那么，、兩地相距

千米．

【考點】行程問題

【難度】4星

【題型】填空

【解析】

由于甲、乙的速度比是，所以在相同的時間內，兩人所走的路程之比也是．第一次相遇時，兩人共走了一個的長，所以可以把的長看作5份，甲、乙分別走了2份和3份；第二次相遇時，甲、乙共走了三個，乙走了份；第三次相遇時，甲、乙共走了五個，乙走了份．

乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距離為：100÷4=25（千米），那么、兩地距離為：5×25＝125（千米）

【答案】125千米

【鞏固】

小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發，相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇(追上也算作相遇)，則甲、乙兩地的距離為

千米．

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】填空

【解析】

由于兩人同時出發相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本題中追上也算相遇，所以兩人第二次相遇可能為迎面相遇，也可能為同向追及．

①如果第二次相遇為迎面相遇，如下圖所示，兩人第一次在處相遇，第二次在處相遇．由于第一次相遇時兩人合走1個全程，小王走了3千米；從第一次相遇到第二次相遇，兩人合走2個全程，所以這期間小王走了千米，由于、之間的距離也是3千米，所以與乙地的距離為千米，甲、乙兩地的距離為千米；

②如果第二次相遇為同向追及，如上圖，兩人第一次在處相遇，相遇后小王繼續向前走，小李走到甲地后返回，在處追上小王．在這個過程中，小王走了千米，小李走了千米，兩人的速度比為．所以第一次相遇時小李也走了9千米，甲、乙兩地的距離為千米．

所以甲、乙兩地的距離為千米或12千米．

【答案】千米或12千米

【鞏固】

A，B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A，B兩地之間，都是到達一地之后立即返回，乙車較甲車快。設兩輛車同時從A地出發后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千米？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第一次相遇，甲乙總共走了2個全程，第二次相遇，甲乙總共走了4個全程，乙比甲快，相遇又在P點，所以可以根據總結和畫圖推出：從第一次相遇到第二次相遇，乙從第一個P點到第二個P點，路程正好是第一次的路程。所以假設一個全程為3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。這樣根據總結：2個全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙總共走了720×3=2160千米。

【答案】乙總共走了2160千米

【例

16】

小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠（相遇指迎面相遇）？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了

3.5×3＝10.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是

10.5-2＝8.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（3＋2＋2）倍的行程.其中張走了

3.5×7＝24.5（千米），24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村

8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點離乙村1千米.【答案】第四次相遇地點離乙村1千米

【例

17】

A，B兩地間有條公路，甲從A地出發步行到B地，乙騎摩托車從B地出發不停頓地往返于A，B兩地之間。他們同時出發，80分后兩人第一次相遇，100分后乙第一次超過甲。問：當甲到達B地時，乙追上甲幾次？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

4次。提示：如下圖所示，C，D點分別為乙第一次遇到和超過甲的地點。甲從A到C用了80分，到D用了100分，乙從C到A又到D用了20分，可見乙20分走了甲需180分走的路，即己的速度是甲的9倍。

【答案】4次

【例

18】

電子玩具車與在一條軌道的兩端同時出發相向而行，在軌道上往返行駛。已知比的速度快，根據推算，第次相遇點與第次相遇點相距厘米，軌道長

厘米。

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關鍵詞】學而思杯，6年級，1試

【解析】，兩車速度比為。第次相遇點的位置在：

；第次相遇點的位置在：

。所以這條軌道長（厘米）。

【答案】

板塊四、解多次相遇問題的工具——柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數交點個數即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現運動過程中“相遇的次數”，“相遇的地點”，以及“由相遇的地點求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。

【例

19】

每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛．輪船在途中均要航行七天七夜．試問：某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

這就是著名的柳卡問題．下面介紹的法國數學家柳卡·斯圖姆給出的一個非常直觀巧妙的解法．

他先畫了如下一幅圖：

這是一張運行圖．在平面上畫兩條平行線，以一條直線表示哈佛，另一條直線表示紐約．那么，從哈佛或紐約開出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來表示．圖中的每條線段分別表示每條船的運行情況．粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點即為與對方開來輪船相遇的情況．

從圖中可以看出，某天中午從哈佛開出的一條輪船（圖中用實線表示）會與從紐約開出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）．而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發時遇到（從紐約剛到達哈佛），1艘是到達紐約時遇到（剛好從紐約開出），剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時間是每天中午和子夜．

如果不仔細思考，可能認為僅遇到7艘輪船．這個錯誤，主要是只考慮以后開出的輪船而忽略了已在海上的輪船．

【答案】15艘

【鞏固】

一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發出開往乙站，全程要走15分鐘．有一個人從乙站出發沿電車線路騎車前往甲站．他出發的時候，恰好有一輛電車到達乙站．在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車．到達甲站時，恰好又有一輛電車從甲站開出．問他從乙站到甲站用了多少分鐘？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

先讓學生用分析間隔的方式來解答：

騎車人一共看到12輛車，他出發時看到的是15分鐘前發的車，此時第4輛車正從甲發出．騎車中，甲站發出第4到第12輛車，共9輛，有8個5分鐘的間隔，時間是（分鐘）．

再引導學生用柳卡的運行圖的方式來分析：

第一步：在平面上畫兩條平行線分別表示甲站與乙站．由于每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發，所以把表示甲站與乙站的直線等距離劃分，每一小段表示5分鐘．

第二步：因為電車走完全程要15分鐘，所以連接圖中的1號點與P點（注意：這兩點在水平方向上正好有3個間隔，這表示從甲站到乙站的電車走完全程要15分鐘），然后再分別過等分點作一簇與它平行的平行線表示從甲站開往乙站的電車．

第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發的騎車人在途中遇到十輛迎面開來的電車，那么從P點引出的粗線必須和10條平行線相交，這正好是圖中從2號點至12號點引出的平行線．

從圖中可以看出，騎車人正好經歷了從P點到Q點這段時間，因此自行車從乙站到甲站用了（分鐘）．

對比前一種解法可以看出，采用運行圖來分析要直觀得多！

【答案】分鐘

【例

20】

甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒米．如果他們同時分別從直路的兩端出發，當他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

采用運行圖來解決本題相當精彩！

首先，甲跑一個全程需（秒），乙跑一個全程需（秒）．與上題類似，畫運行圖如下（實線表甲，虛線表示乙，那么實虛兩線交點就是甲乙相遇的地點）：

一個周期內共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇．

從圖中可以看出，當甲跑5個全程時，乙剛好跑3個全程，各自到了不同兩端又重新開始，這正好是一周期150秒．在這一周期內兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個周期，也就相遇了（次）

【答案】20次

【例

21】

A、B兩地位于同一條河上，B地在A地下游100千米處．甲船從A地、乙船從B地同時出發，相向而行，甲船到達B地、乙船到達A地后，都立即按原來路線返航．水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同．如果兩船兩次相遇的地點相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是

米/秒．

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【關鍵詞】迎春杯，復賽，高年級組

【解析】

本題采用折線圖來分析較為簡便．

如圖，箭頭表示水流方向，表示甲船的路線，表示乙船的路線，兩個交點、就是兩次相遇的地點．

由于兩船在靜水中的速度相同，所以兩船的順水速度和逆水速度都分別相同，那么兩船順水行船和逆水行船所用的時間都分別相同，表現在圖中，就是和的長度相同，和的長度相同．

那么根據對稱性可以知道，點距的距離與點距的距離相等，也就是說兩次相遇地點與、兩地的距離是相等的．而這兩次相遇的地點相距20千米，所以第一次相遇時，兩船分別走了千米和千米，可得兩船的順水速度和逆水速度之比為．

而順水速度與逆水速度的差為水速的2倍，即為4米/秒，可得順水速度為米/秒，那么兩船在靜水中的速度為米/秒．

【答案】10米/秒

【例

22】

A、B

兩地相距1000

米，甲從

A地、乙從

B

地同時出發，在A、B

兩地間往返鍛煉．乙跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行

60米．在30分鐘內，甲、乙兩人第幾次相遇時距

B

地最近(從后面追上也算作相遇)？最近距離是多少？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

甲、乙的運行圖如上，圖中實現表示甲，虛線表示乙，兩條線的交點表示兩人相遇．在30

分鐘內，兩人共行了

(150

60)

6300=

′

+

米，相當于

個全程又

300

米，由圖可知，第3次相遇時距離

A地最近，此時兩人共走了

個全程，即1000

×3

=3000千米，用時3000÷（150+60）=100/7分鐘，甲行了60×100/7=6000/7米，相遇地點距離

B

地1000-6000/7?

143米．

【答案】143米

【鞏固】

A、B

兩地相距

950

米．甲、乙兩人同時由

A地出發往返鍛煉半小時．甲步行，每分鐘走

米；乙跑步，每分鐘行

150

米．則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距

B

地最近？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

半小時內，兩人一共行走

（40＋

150）×

=5700

米，相當于

個全程，兩人每合走

個全程就會有一次相遇，所以兩人共有

次相遇，而兩人的速度比為

:150=

:15，所以相同時間內兩人的行程比為

:15，那么第一次相遇甲走了全程的，距離

B

地11/19個全程；第二次相遇甲走了16/19個全程，距離

B

地3/19個全程；第三次相遇甲走了24/19個全程，距離

B

地5/19個全程，所以甲、乙兩人第二次迎面相遇時距離

B

地最近．

【答案】第二次

【鞏固】、兩地相距，甲、乙兩人同時從地出發，往返、兩地跑步分鐘．甲跑步的速度是每分鐘；乙跑步的速度是每分鐘．在這段時間內他們面對面相遇了數次，請問在第幾次相遇時他們離點的距離最近？

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

（分鐘）．甲、乙兩人合走一個全程需要分鐘，每合走

個全程相遇一次，所以總共相遇次．而甲每分鐘走（）并且與乙相遇一次，因為（）也就是當甲、乙兩人第次相遇時甲離地為最小，在第次相遇時他們離點距離最近．

【答案】第7次

【鞏固】

A、B

兩地相距

2400

米，甲從

A地、乙從

B

地同時出發，在A、B

兩地間往返鍛煉．甲每分鐘跑

300

米，乙每分鐘跑

240

米，在30

分鐘后停止運動．甲、乙兩人第幾次相遇時距

A地最近？最近距離是多少？

【考點】行程問題

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

第二次，800米

【答案】第二次，800米

板塊五、多次相遇問題——變道問題

【例

23】

甲、乙兩車同時從同一點出發，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛．甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛55千米．一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調頭，那么兩車出發后第11次相遇的地點距離點有多少米？(每一次甲車追上乙車也看作一次相遇)

【考點】行程問題

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

第一次是一個相遇過程，相遇時間為：小時，相遇地點距離點：千米．然后乙車調頭，成為追及過程，追及時間為：小時，乙車在此過程中走的路程為：千米，即5圈又3千米，那么這時距離點千米．

此時甲車調頭，又成為相遇過程，同樣方法可計算出相遇地點距離點千米，然后乙車掉頭，成為追及過程，根據上面的計算，乙車又要走5圈又3千米，所以此時兩車又重新回到了點，并且行駛的方向與最開始相同．

所以，每4次相遇為一個周期，而，所以第11次相遇的地點與第3次相遇的地點是相同的，與點的距離是3000米．

【答案】3000米

【例

24】

下圖是一個邊長90米的正方形，甲、乙兩人同時從A點出發，甲逆時針每分行75米，乙順時針每分行45米．兩人第一次在CD邊（不包括C，D兩點）上相遇，是出發以后的第幾次相遇？

【考點】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

兩人第一次相遇需分，其間乙走了（米）．由此知，乙每走135米兩人相遇一次，依次可推出第7次在CD邊相遇（如圖，圖中數字表示該點相遇的次數）

【答案】第7次

【例

25】

如圖所示，甲、乙兩人從長為米的圓形跑道的點背向出發跑步。跑道右半部分(粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒米。兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距點還有

米。

【考點】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發現，如果甲、乙各自繞著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時間分別相同，那么兩人所用的總時間也就相同，所以，兩人同時出發，跑一圈后同時回到點，即兩人在點迎面相遇，然后再從點出發背向而行，可以發現，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期．

在第一個周期內，兩人同時出發背行而行，所以在回到出發點前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發點是第二次迎面相遇；然后再出發，又在同一個相遇點第三次相遇，再回到出發點是第四次相遇……可見奇數次相遇點都是途中相遇的地點，偶數次相遇點都是點．本題要求的是第99次迎面相遇的地點與點的距離，實際上要求的是第一次相遇點與點的距離．

對于第一次相遇點的位置，需要分段進行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發到跑完正常道路時，乙才跑了米，此時兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此時兩人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇時乙跑了米，這就是第一次相遇點與點的距離，也是第99次迎面相遇的地點與點的距離．

【答案】米

【例

26】

如圖,學校操場的400米跑道中套著300米小跑道,大跑道與小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時針方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道順時針方向跑,兩人同時從兩跑道的交點處出發,當他們第二次在跑道上相遇時,甲共跑了多少米?

【考點】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

根據題意可知，甲、乙只可能在右側的半跑道上相遇．

易知小跑道上左側的路程為100米,右側的路程為200米,大跑道上的左、右兩側的路程均是200米．

我們將甲、乙的行程狀況分析清楚．

當甲第一次到達點時,乙還沒有到達點,所以第一次相遇一定在逆時針的某處．

而當乙第一次到達點時，所需時間為秒,此時甲跑了米,在離點米處．

乙跑出小跑道到達點需要秒,則甲又跑了米,在點左邊米處．

所以當甲再次到達處時,乙還未到處,那么甲必定能在點右邊某處與乙第二次相遇．

從乙再次到達處開始計算,還需秒,甲、乙第二次相遇,此時甲共跑了秒．

所以，從開始到甲、乙第二次相遇甲共跑了米．

【答案】米

【例

27】

下圖中有兩個圓只有一個公共點A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時從A點出發，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿兩個圓爬行。問：當小圓上甲蟲爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠？

【考點】行程問題

【難度】5星

【題型】解答

【解析】

我們知道，大小圓只有一個公共點(內切)，而在圓上最遠的兩點為直徑兩端，所以當一只甲蟲在A點，另一只在過A的直徑另一直徑端點B，所以在小圓甲蟲跑了n圈，在大圓甲蟲跑了m＋圈；

于是小圓甲蟲跑了30n，大圓甲蟲跑了48(m＋)＝48m＋24

因為速度相同，所以相同時內路程相同，起點相同，所以30n＝48m＋24；

即5n＝8m＋4，有不定方程知識，解出有n＝4，m＝2，所以小甲蟲跑了2圈后，大小甲蟲相距最遠。

【答案】小甲蟲跑了2圈后，大小甲蟲相距最遠

【例

28】

如圖所示，甲沿長為米大圓的跑道順時針跑步，乙則沿兩個小圓八字形跑步(圖中給出跑動路線的次序：）。如果甲、乙兩人同時從點出發，且甲、乙二人的速度分別是每秒3米和5米，問兩人第三次相遇的時間是出發后

秒。

【考點】行程問題

【難度】5星

【題型】解答

【解析】

從圖中可以看出，甲、乙兩人只有可能在、兩點處相遇（本題中，雖然在處時兩人都是順時針，但是由于兩人的跑道不同，因此在此處的相遇不能看作是追及）．

從到，在大圓周上是半個圓周，即200米；在小圓周上是整個小圓圓周，也是200米．兩人的速度之比為，那么兩人跑200米所用的時間之比為．設甲跑200米所用的時間為5個時間單位，則乙跑200米所用的時間為3個時間單位．根據題意可知，1個時間單位為秒．

可以看出，只有甲跑的時間是5個時間單位的整數倍時，甲才可能在點或點，而且是奇數倍時在點，是偶數倍時在點；乙跑的時間是3個時間單位的整數倍時，乙才可能在點或點，同樣地，是奇數倍時在點，是偶數倍時在點．

要使甲、乙在、兩點處相遇，兩人所跑的時間應當是15個時間單位的整數倍（由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15個時間單位的整數倍甲、乙兩人就能相遇），可以是15個時間單位、30個時間單位、45個時間單位……所以兩人第三次相遇是在過了45個時間單位后，也就是說，出發后秒兩人第三次相遇．

也可以畫表如下：

甲

0

乙

0

從中可以看出，經過15個時間單位后兩人同在點，經過30個時間單位后兩人同在點，經過45個時間單位后兩人同在點，這是兩人第三次相遇．

【答案】秒

【例

29】

三個環行跑道如圖排列，每個環行跑道周長為210厘米；甲、乙兩只爬蟲分別從、兩地按箭頭所示方向出發，甲爬蟲繞1、2號環行跑道作“8”字形循環運動，乙爬蟲繞3、2號環行跑道作“8”字形循環運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別為每分鐘20厘米和每分鐘l5厘米，甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了多少厘米?

【考點】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

根據題意，甲爬蟲爬完半圈需要分鐘，乙爬蟲爬完半圈需要分鐘．由于甲第一次爬到1、2之間要分鐘，第一次爬到2、3之間要分鐘，乙第一次爬到2、3之間要7分鐘，所以第一次相遇的地點在2號環形跑道的上半圈處．

由于甲第一次爬到2、3之間要分鐘，第二次爬到1、2之間要分鐘，乙第一次爬到1、2之間要14分鐘，所以第二次相遇的地點在2號環形跑道的下半圈處．

當兩只爬蟲都爬了14分鐘時，甲爬蟲共爬了米，(米)，所以甲在距1、2交點35米處，乙在1、2交點上，還需要(分鐘)相遇，所以第二次相遇時，兩只爬蟲爬了分鐘．

所以甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了厘米．

【答案】厘米

【例

30】

從花城到太陽城的公路長12公里．在該路的2千米處有個鐵道路口，是每關閉

3分鐘又開放

3分鐘的．還有在第4千米及第6

千米有交通燈，每亮

2分鐘紅燈后就亮

3分鐘綠燈．小糊涂駕駛電動車從花城到太陽城，出發時道口剛剛關閉，而那兩處交通燈也都剛剛切換成紅燈．已知電動車速度是常數，小糊涂既不剎車也不加速，那么在不違反交通規則的情況下，他到達太陽城最快需要多少分鐘？

【考點】行程問題

【難度】5星

【題型】解答

【解析】

畫出反映交通燈紅綠情況的s

t-

圖，可得出小糊涂的行車圖像不與實線相交情況下速度最大可以是

0.5

千米／分鐘，此時恰好經過第6千米的紅綠燈由紅轉綠的點，所以他到達太陽城最快需要

24分鐘．

【答案】24分鐘

【例

31】

男、女兩名田徑運動員在長110米的斜坡上練習跑步(坡頂為A，坡底為B．兩人同時從A點出發，在A，B之間不停地往返奔跑．已知男運動員上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女運動員上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那么兩人第二次迎面相遇的地點離A點多少米?

【考點】行程問題

【難度】4星

【題型】解答

【解析】

開始下山時，男運動員的速度大于女運動員的速度，有男運動員到達坡底B所需時間為110÷5=22秒，此時女運動員才跑了22×3=66米

現在女運動員的速度不變，還是每秒3米，而男運動員將從B上坡到A，速度變為每秒3米．男、女運動員的距離為110-66=44米，所以當男運動員再跑44÷(3+3)×3=22米后男女運動員第一次迎面相遇，相遇點距B地22米，如下圖所示．(本題4圖所標注數字均是距坡底B的距離數)

所以當女運動員到達坡底B時，男運動員又跑了22米，即到達距B地44米的地方，如下圖所示．

此后，女運動員從坡底B上坡到A，速度變為每秒2米，男運動員的速度還是每秒3米，所以當男運動員再跑110-44=66米到達坡頂A時，女運動員才跑了66÷3×2=44米，即距離坡底B地44米的地方，如下圖所示．

這時，女運動員的速度不變還是每秒2米，而男運動員的速度變為每秒5米，男、女運動員相距110-44=66米，所以當男、女運動員第二次相遇時，男運動員又跑了米，如下圖所示．

即第二次相遇的地點距以點米．

【答案】米