2.1　圓的標準方程

1.圓(x+1)2+(y-2)2=4的圓心與半徑分別為()

A.(-1,2),2

B.(1,-2),2

C.(-1,2),4

D.(1,-2),4

2.圓心為(3,1),半徑為5的圓的標準方程是()

A.(x+3)2+(y+1)2=5

B.(x+3)2+(y+1)2=25

C.(x-3)2+(y-1)2=5

D.(x-3)2+(y-1)2=25

3.若圓C的圓心坐標為(0,0),且圓C經過點M(3,4),則圓C的半徑為()

A.5

B.6

C.7

D.8

4.已知一圓的圓心為點A(2,-3),一條直徑的端點分別在x軸和y軸上,則圓的標準方程為()

A.(x+2)2+(y-3)2=13

B.(x-2)2+(y+3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52

D.(x+2)2+(y-3)2=52

5.若點(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內部,則實數a的取值范圍是()

A.|a|<1

B.a<13

C.|a|<15

D.|a|<113

6.已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程為()

A.x+y-2=0

B.x-y+2=0

C.x+y-3=0

D.x-y+3=0

7.若點P(-1,3)在圓x2+y2=m2上,則實數m=.8.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的方程為.9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)為頂點的三角形的外接圓的標準方程.能力達標

10.已知A(3,-2),B(-5,4),則以AB為直徑的圓的方程是()

A.(x-1)2+(y+1)2=25

B.(x+1)2+(y-1)2=25

C.(x-1)2+(y+1)2=100

D.(x+1)2+(y-1)2=100

11.當a為任意實數時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心,5為半徑的圓的方程為()

A.(x-1)2+(y+2)2=5

B.(x+1)2+(y+2)2=5

C.(x+1)2+(y-2)2=5

D.(x-1)2+(y-2)2=5

12.(2020北京,5)已知半徑為1的圓經過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為()

A.4

B.5

C.6

D.7

13.(多選題)下列各點中,不在圓(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是()

A.(0,2)

B.(3,3)

C.(-2,2)

D.(4,1)

14.(多選題)已知圓C:(x-a)2+y2=4(a為常數,a∈R)不經過第二象限,則實數a的可取值為()

A.-2

B.0

C.2

D.4

15.圓(x-3)2+(y+1)2=1關于直線x+y-3=0對稱的圓的標準方程是.16.已知圓C:x2+y2=1,則圓上的點到點(3,4)距離的最大值為.17.已知點A(-1,2)和B(3,4).求:

(1)線段AB的垂直平分線l的方程;

(2)以線段AB為直徑的圓的標準方程.18.如圖,已知點A(-1,0)與點B(1,0),C是圓x2+y2=1上異于A,B兩點的動點,連接BC并延長至D,使得|CD|=|BC|,求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.1.圓(x+1)2+(y-2)2=4的圓心與半徑分別為()

A.(-1,2),2

B.(1,-2),2

C.(-1,2),4

D.(1,-2),4

答案A

2.圓心為(3,1),半徑為5的圓的標準方程是()

A.(x+3)2+(y+1)2=5

B.(x+3)2+(y+1)2=25

C.(x-3)2+(y-1)2=5

D.(x-3)2+(y-1)2=25

答案D

3.若圓C的圓心坐標為(0,0),且圓C經過點M(3,4),則圓C的半徑為()

A.5

B.6

C.7

D.8

答案A

解析圓C的半徑為32+42=5.4.已知一圓的圓心為點A(2,-3),一條直徑的端點分別在x軸和y軸上,則圓的標準方程為()

A.(x+2)2+(y-3)2=13

B.(x-2)2+(y+3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52

D.(x+2)2+(y-3)2=52

答案B

解析如圖,結合圓的性質可知,原點在圓上,圓的半徑為r=(2-0)2+(-3-0)2=13.故所求圓的標準方程為(x-2)2+(y+3)2=13.5.若點(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內部,則實數a的取值范圍是()

A.|a|<1

B.a<13

C.|a|<15

D.|a|<113

答案D

解析依題意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,所以a2<1169,即|a|<113,故選D.6.已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程為()

A.x+y-2=0

B.x-y+2=0

C.x+y-3=0

D.x-y+3=0

答案D

解析圓x2+(y-3)2=4的圓心坐標為(0,3).因為直線l與直線x+y+1=0垂直,所以直線l的斜率k=1.由點斜式得直線l的方程是y-3=x-0,化簡得x-y+3=0.7.若點P(-1,3)在圓x2+y2=m2上,則實數m=.答案±2

解析∵點P在圓x2+y2=m2上,∴(-1)2+(3)2=4=m2,∴m=±2.8.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的方程為.答案(x-2)2+y2=9

9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)為頂點的三角形的外接圓的標準方程.解設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則有(2-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(3-b)2=r2,(3-a)2+(-1-b)2=r2,解得a=4,b=1,r2=5,即△ABC的外接圓的標準方程為(x-4)2+(y-1)2=5.能力達標

10.已知A(3,-2),B(-5,4),則以AB為直徑的圓的方程是()

A.(x-1)2+(y+1)2=25

B.(x+1)2+(y-1)2=25

C.(x-1)2+(y+1)2=100

D.(x+1)2+(y-1)2=100

答案B

解析由題意可得圓心為(-1,1),半徑為r=5,所以圓的方程為(x+1)2+(y-1)2=25,故選B.11.當a為任意實數時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心,5為半徑的圓的方程為()

A.(x-1)2+(y+2)2=5

B.(x+1)2+(y+2)2=5

C.(x+1)2+(y-2)2=5

D.(x-1)2+(y-2)2=5

答案C

解析直線方程變為(x+1)a-x-y+1=0.由x+1=0,-x-y+1=0,得x=-1,y=2,∴C(-1,2),∴所求圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5.12.(2020北京,5)已知半徑為1的圓經過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為()

A.4

B.5

C.6

D.7

答案A

解析設圓心C(x,y),則(x-3)2+(y-4)2=1,化簡得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|≥|OM|-1=32+42-1=4,當且僅當C在線段OM上時取等號,故選A.13.(多選題)下列各點中,不在圓(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是()

A.(0,2)

B.(3,3)

C.(-2,2)

D.(4,1)

答案ACD

解析由(0-1)2+(2+2)2<25,知(0,2)在圓內;由(3-1)2+(3+2)2>25知(3,3)在圓外;由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圓上,由(4-1)2+(1+2)2<25知(4,1)在圓內,故選ACD.14.(多選題)已知圓C:(x-a)2+y2=4(a為常數,a∈R)不經過第二象限,則實數a的可取值為()

A.-2

B.0

C.2

D.4

答案CD

解析圓C:(x-a)2+y2=4表示以C(a,0)為圓心,以2為半徑的圓,此圓不經過第二象限,需a>0,且OC≥2,故a≥2,故選CD.15.圓(x-3)2+(y+1)2=1關于直線x+y-3=0對稱的圓的標準方程是.答案(x-4)2+y2=1

解析設圓心A(3,-1)關于直線x+y-3=0對稱的點B的坐標為(a,b),則b+1a-3·(-1)=-1,a+32+b-12-3=0,解得a=4,b=0,故所求圓的標準方程為(x-4)2+y2=1.16.已知圓C:x2+y2=1,則圓上的點到點(3,4)距離的最大值為.答案6

解析因為圓C的方程為x2+y2=1,所以圓心坐標為(0,0),半徑r=1.又圓心(0,0)到點(3,4)的距離為32+42=5,所以圓上的點到點(3,4)的距離的最大值為5+1=6.17.已知點A(-1,2)和B(3,4).求:

(1)線段AB的垂直平分線l的方程;

(2)以線段AB為直徑的圓的標準方程.解(1)由題意得線段AB的中點C的坐標為(1,3).∵A(-1,2),B(3,4),∴直線AB的斜率kAB=4-23-(-1)=12.∵直線l垂直于直線AB,∴直線l的斜率k=-1kAB=-2,∴直線l的方程為y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A(-1,2),B(3,4),∴|AB|=(3+1)2+(4-2)2=20=25,∴以線段AB為直徑的圓的半徑r=12|AB|=5.又圓心為C(1,3),∴所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=5.18.如圖,已知點A(-1,0)與點B(1,0),C是圓x2+y2=1上異于A,B兩點的動點,連接BC并延長至D,使得|CD|=|BC|,求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.解設動點P(x,y),由題意可知P是△ABD的重心.由A(-1,0),B(1,0),令動點C(x0,y0),則D(2x0-1,2y0),由重心坐標公式得x=-1+1+2x0-13,y=2y03,則x0=3x+12,y0=3y2(y0≠0),代入x2+y2=1,整理得x+132+y2=49(y≠0),故所求軌跡方程為x+132+y2=49(y≠0).