2.3 直線與圓的位置關系
1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關系為()
A.相切
B.相交但直線不過圓心
C.直線過圓心
D.相離
2.直線3x-y+m=0與圓x2+y2-2x-2=0相切,則實數m等于()
A.3或-3
B.-3或33
C.-33或3
D.-33或33
3.直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長是()
A.6
B.3
C.26
D.8
4.(2020全國Ⅰ,文6)已知圓x2+y2-6x=0,過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為()
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設該圓過點P(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為()
A.106
B.206
C.306
D.406
6.過原點的直線與圓x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的長為2,則該直線的方程為.7.已知直線l:2mx-y-8m-3=0,則直線過定點 ,該直線被圓C:x2+y2-6x+12y+20=0截得最短弦長為.8.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P,Q兩點,且∠POQ=120°(其中O為原點),則k的值為.答案-3或?3
9.已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.(1)當a為何值時,直線l與圓C相切?
(2)當直線l與圓C相交于A,B兩點,且AB=22時,求直線l的方程.能力達標
10.若直線ax+by=2與圓x2+y2=1有兩個不同的公共點,那么點(b,a)與圓x2+y2=4的位置關系是()
A.點在圓外
B.點在圓內
C.點在圓上
D.不能確定
11.已知過點P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=()
A.-12
B.1
C.2
D.12
12.若直線ax+by-3=0和圓x2+y2+4x-1=0相切于點P(-1,2),則ab的值為()
A.-3
B.-2
C.2
D.3
13.(2021山西呂梁一模)已知直線l:x+by+1=0與圓C:(x+b)2+(y+2)2=8相交于A,B兩點,且△ABC是頂角為2π3的等腰三角形,則b等于()
A.1
B.-17
C.-1
D.1或-17
14.(多選題)(2020山東泰安一中高二期中)若過點A(3,0)的直線l與圓(x-1)2+y2=1有公共點,則直線l的斜率可能是()
A.-1
B.-33
C.13
D.2
15.已知直線l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)與圓O:x2+y2=8交于A,B兩點,C,D分別為OA,AB的中點,則|AB||CD|的最小值為.16.(2020浙江,15)已知直線y=kx+b(k>0)與圓x2+y2=1和圓(x-4)2+y2=1均相切,則k=;b=.17.已知圓x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0 (2)若直線l是圓心下方的切線,當a在(0,4]變化時,求m的取值范圍.18.如圖,某市有相交于點O的一條東西走向的公路l,與南北走向的公路m,這兩條公路都與一塊半徑為1(單位:千米)的圓形商城A相切.根據市民建議,欲再新建一條公路PQ,點P,Q分別在公路l,m上,且要求PQ與圓形商城A也相切.(1)當P距O處4千米時,求OQ的長; (2)當公路PQ長最短時,求OQ的長.1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關系為() A.相切 B.相交但直線不過圓心 C.直線過圓心 D.相離 答案B 解析由圓的方程得到圓心坐標(0,0),半徑r=1,則圓心(0,0)到直線y=x+1的距離d=|1|12+(-1)2=22<1,即d A.3或-3 B.-3或33 C.-33或3 D.-33或33 答案C 解析圓的標準方程為(x-1)2+y2=3,由題意知圓心(1,0)到直線3x-y+m=0的距離等于半徑,即|3+m|3+1=3,|3+m|=23,解得m=3或m=-33,故選C.3.直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長是() A.6 B.3 C.26 D.8 答案A 解析∵圓的標準方程為x2+(y-3)2=9,∴圓心為(0,3),半徑為3,而直線y=kx+3過定點(0,3),即該直線過圓心,故直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長即為圓的直徑6.4.(2020全國Ⅰ,文6)已知圓x2+y2-6x=0,過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為() A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析圓的方程可化為(x-3)2+y2=9.因為(1-3)2+(2-0)2=22<3,所以點(1,2)在圓內.如圖所示,設圓心O1(3,0),A(1,2),當弦BC與O1A垂直時弦最短,因為|O1A|=(3-1)2+(0-2)2=22,|O1B|=3,所以|AB|=|O1B|2-|O1A|2=9-8=1,所以|BC|=2|AB|=2.5.已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設該圓過點P(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為() A.106 B.206 C.306 D.406 答案B 解析設圓的圓心為M,則M(3,4),半徑r=5.當過點P的直線過圓心M時,對應的弦AC是最長的,此時,|AC|=2r=10;當過點P的直線與MP垂直時,對應的弦BD最小,此時在Rt△MPD中,|MD|=r=5,|MP|=1,故|BD|=2|MD|2-|MP|2=46.此時四邊形ABCD的面積為 S=12|AC|·|BD|=206,故選B.6.過原點的直線與圓x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的長為2,則該直線的方程為.答案2x-y=0 解析若所求直線斜率存在,設其方程為y=kx,即kx-y=0.由于直線kx-y=0被圓截得的弦長等于2,圓的半徑是1,因此圓心到直線的距離等于12-(22)2=0,即圓心(1,2)在直線kx-y=0上.于是有k-2=0,即k=2,因此所求直線方程是2x-y=0.易知直線斜率不存在時不符合題意.7.已知直線l:2mx-y-8m-3=0,則直線過定點 ,該直線被圓C:x2+y2-6x+12y+20=0截得最短弦長為.答案(4,-3)215 解析將直線l變形得2m(x-4)=y+3,即直線l恒過定點P(4,-3),圓的方程可化為(x-3)2+(y+6)2=25.顯然點P在圓內.當圓心C(3,-6)到直線l的距離最大時,直線l被圓所截得的弦AB的長度最短.此時PC⊥l,又kPC=-3-(-6)4-3=3,所以直線l的斜率為-13,則2m=-13,所以m=-16.因為|PC|=10,|AC|=5,所以|AB|=2|AC|2-|PC|2=215.故當m=-16時,直線l被圓C截得的弦長最短,最短弦長為215.8.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P,Q兩點,且∠POQ=120°(其中O為原點),則k的值為.答案-3或?3 解析由題意知直線y=kx+1恒過定點(0,1),圓x2+y2=1的圓心是(0,0),半徑是1,取PQ的中點為E,連接OE,則OE⊥PQ.因為∠POQ=120°,故∠POE=60°,所以|OE|=12.又直線l的方程為kx-y+1=0,所以|1|k2+1=12,故k=±3.9.已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.(1)當a為何值時,直線l與圓C相切? (2)當直線l與圓C相交于A,B兩點,且AB=22時,求直線l的方程.解圓C方程可化為x2+(y-4)2=4,此圓的圓心為(0,4),半徑為2.(1)若直線l與圓C相切,則有|4+2a|a2+1=2,解得a=-34,即當a=-34時,直線l與圓C相切.(2)過圓心C作CD⊥AB,則根據題意和圓的性質,得|CD|=|4+2a|a2+1,|CD|2+|DA|2=|AC|2=22,|DA|=12|AB|=2,解得a=-7或a=-1,故所求方程為7x-y+14=0或x-y+2=0.能力達標 10.若直線ax+by=2與圓x2+y2=1有兩個不同的公共點,那么點(b,a)與圓x2+y2=4的位置關系是() A.點在圓外 B.點在圓內 C.點在圓上 D.不能確定 答案A 解析因為直線ax+by=2與圓x2+y2=1有兩個公共點,所以有|2|a2+b2<1,即a2+b2>2,因為點(b,a)與x2+y2=4的圓心的距離為a2+b2,圓x2+y2=4的半徑為2,所以點(b,a)在圓外.故選A.11.已知過點P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=() A.-12 B.1 C.2 D.12 答案C 解析點P在圓上,在點P的圓的切線有斜率,設在點P(2,2)的圓的切線的斜率為k,則直線方程為y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,由于和圓相切,故|k+2-2k|k2+1=5,得k=-12,由于直線kx-y+2-2k=0與直線ax-y+1=0垂直,因此-12×a=-1,解得a=2,故選C.12.若直線ax+by-3=0和圓x2+y2+4x-1=0相切于點P(-1,2),則ab的值為() A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案C 解析圓的標準方程為(x+2)2+y2=5,直線與圓相切,則圓心到直線的距離為5,所以|-2a-3|a2+b2=5,整理,得a2-12a+5b2-9=0,又直線過P(-1,2),代入,得-a+2b-3=0,由a2-12a+5b2-9=0,-a+2b-3=0,解得a=1,b=2,所以ab=2.13.(2021山西呂梁一模)已知直線l:x+by+1=0與圓C:(x+b)2+(y+2)2=8相交于A,B兩點,且△ABC是頂角為2π3的等腰三角形,則b等于() A.1 B.-17 C.-1 D.1或-17 答案D 解析圓C:(x+b)2+(y+2)2=8的圓心為(-b,-2),半徑為22,由題意△ABC是頂角為2π3的等腰三角形可知圓心到直線l的距離為2,|-b-2b+1|1+b2=2,解得b=1或b=-17.故選D.14.(多選題)(2020山東泰安一中高二期中)若過點A(3,0)的直線l與圓(x-1)2+y2=1有公共點,則直線l的斜率可能是() A.-1 B.-33 C.13 D.2 答案BC 解析由題意知直線l的斜率必存在,設為k,則l的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圓心C(1,0),半徑r=1.直線與圓有公共點,需|k-3k|k2+1≤1,所以|2k|≤k2+1,得k2≤13,所以-33≤k≤33,對照選項知B,C適合.15.已知直線l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)與圓O:x2+y2=8交于A,B兩點,C,D分別為OA,AB的中點,則|AB||CD|的最小值為.答案43 解析直線l的方程可化為m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得x=y=1,即直線l恒過定點P(1,1).∵C,D分別為OA,AB的中點,∴|CD|=12|OA|=2,當OP⊥AB時,|AB|最小,此時|AB|=2(22)2-(2)2=26,∴|AB||CD|=2|AB|≥2×26=43.16.(2020浙江,15)已知直線y=kx+b(k>0)與圓x2+y2=1和圓(x-4)2+y2=1均相切,則k=;b=.答案33-233 解析由k>0,根據題意畫出直線l:y=kx+b及兩圓,如圖所示.由對稱性可知直線l必過點(2,0),即2k+b=0,① 并且|b|1+k2=|4k+b|1+k2=1,② 由①②解得k=33,b=-233.17.已知圓x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0 (2)若直線l是圓心下方的切線,當a在(0,4]變化時,求m的取值范圍.解(1)已知圓的標準方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0 L=2(2a)2-(2|2-a|)2 =2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.∵0 (2)當公路PQ長最短時,求OQ的長.解(1)以O為原點,直線l,m分別為x,y軸建立平面直角坐標系.設PQ與圓A相切于點B,連接AB,以1千米為單位長度,則圓A的方程為(x-1)2+(y-1)2=1,由題意可設直線PQ的方程為x4+yb=1,即bx+4y-4b=0(b>2),∵PQ與圓A相切,∴|4-3b|b2+42=1,解得b=3,故當P距O處4千米時,OQ的長為3千米.(2)設P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2),則直線PQ方程為xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.因為PQ與圓A相切,所以|b+a-ab|b2+a2=1,化簡得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2; 因此PQ=a2+b2=(a+b)2-2ab =(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b-2)2.因為a>2,b>2,所以a+b>4,于是PQ=(a+b)-2.又ab=2(a+b)-2≤a+b22,解得0
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