1.6　平面直角坐標(biāo)系中的距離公式

1.原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離為()

A.1

B.3

C.2

D.5

2.過(guò)點(diǎn)(1,3)且與原點(diǎn)相距為1的直線共有()

A.0條

B.1條

C.2條

D.3條

3.(2020江蘇宿遷高二期末)兩條直線y=32x,6x-4y+13=0之間的距離為()

A.13

B.132

C.134

D.13

4.以點(diǎn)A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)為頂點(diǎn)的三角形是()

A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.直角三角形

D.以上都不是

5.已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是()

A.4

B.21313

C.51326

D.71326

6.若點(diǎn)(2,-k)到直線5x+12y+6=0的距離是4,則k的值是.7.光線從點(diǎn)A(-3,5)射到x軸上,經(jīng)x軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,10),則光線從A到B的路程為()

A.52

B.25

C.510

D.105

8.(2020浙江溫州高二期末)已知直線l1的方程為3x+4y-2=0,直線l2的方程為6x+8y+1=0,則直線l1的斜率為　　　　,直線l1與l2的距離為.9.已知直線l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.(1)若點(diǎn)P在直線l1上,且到直線l2的距離為35,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)若l2∥l3,求l2與l3的距離.能力達(dá)標(biāo)

10.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,6),B(-4,3),C(2,-3),則點(diǎn)A到BC邊的距離為()

A.92

B.922

C.255

D.43

11.(2020全國(guó)Ⅲ,文8)點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()

A.1

B.2

C.3

D.2

12.(2020江蘇如皋中學(xué)高二期中)若兩條平行直線l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny-6=0之間的距離是25,則m+n=()

A.3

B.-17

C.2

D.3或-17

13.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M是邊BC上的一點(diǎn),且△ABM的面積等于△ABC面積的14,那么線段AM的長(zhǎng)等于()

A.5

B.52

C.85

D.852

14.(多選題)兩條平行直線l1,l2分別過(guò)點(diǎn)P(-1,3),Q(2,-1),它們分別繞P,Q旋轉(zhuǎn),但始終保持平行,則l1,l2之間的距離可能取值為()

A.1

B.3

C.5

D.7

15.在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)(2,b)到原點(diǎn)的距離不小于5,則b的取值范圍是.16.(2020廣東東莞四中高二月考)已知點(diǎn)O(0,0),A(4,0),B(0,4).若從點(diǎn)P(1,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后過(guò)點(diǎn)Q(-2,0),則反射光線所在直線的方程為;若從點(diǎn)M(m,0),m∈(0,4)射出的光線經(jīng)直線AB反射,再經(jīng)直線OB反射后回到點(diǎn)M,則光線所經(jīng)過(guò)的路程是(結(jié)果用m表示).17.已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點(diǎn).(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3,求l的方程;

(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值.18.設(shè)直線l1:x-2y-1=0與l2:(3-m)x+my+m2-3m=0.(1)若l1∥l2,求l1,l2之間的距離;

(2)若直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大,求直線l2的方程.1.原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離為()

A.1

B.3

C.2

D.5

答案D

解析由點(diǎn)到直線的距離公式可知所求距離d=|0+2×0-5|12+22=5.故選D.2.過(guò)點(diǎn)(1,3)且與原點(diǎn)相距為1的直線共有()

A.0條

B.1條

C.2條

D.3條

答案C

解析當(dāng)斜率不存在時(shí),過(guò)點(diǎn)(1,3)的直線為x=1,原點(diǎn)到直線的距離為1,滿足題意;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線的斜率為k,則直線方程為y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,則原點(diǎn)到直線的距離d=|0-0+3-k|k2+(-1)2=1,解得k=43,即直線方程為4x-3y+5=0,即滿足題意的直線有2條.故選C.3.(2020江蘇宿遷高二期末)兩條直線y=32x,6x-4y+13=0之間的距離為()

A.13

B.132

C.134

D.13

答案B

解析兩條直線的方程分別為3x-2y=0,3x-2y+132=0,所以兩條直線之間的距離d=13232+22=132,故選B.4.以點(diǎn)A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)為頂點(diǎn)的三角形是()

A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.直角三角形

D.以上都不是

答案C

解析|AB|=(-3-3)2+22=36+4=40=210,|BC|=(-1-3)2+(2+2)2=16+16=32=42,|AC|=(-1+3)2+22=8=22,∵|AC|2+|BC|2=|AB|2,∴△ABC為直角三角形,故選C.5.已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是()

A.4

B.21313

C.51326

D.71326

答案D

解析因?yàn)?x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,所以3∶2=6∶m,所以m=4.直線6x+4y+1=0可以化為3x+2y+12=0,由兩條平行直線間的距離公式可得d=|12-(-3)|32+22=7213=71326.6.若點(diǎn)(2,-k)到直線5x+12y+6=0的距離是4,則k的值是.答案-3或173

解析d=|5×2+12×(-k)+6|52+122=|16-12k|13,由題意知|16-12k|13=4,即|4-3k|13=1,∴k=-3或k=173.7.光線從點(diǎn)A(-3,5)射到x軸上,經(jīng)x軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,10),則光線從A到B的路程為()

A.52

B.25

C.510

D.105

答案C

解析點(diǎn)B(2,10)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B＇(2,-10),由對(duì)稱性可得光線從A到B的路程為

|AB＇|=(-3-2)2+[5-(-10)]2=510.選C.8.(2020浙江溫州高二期末)已知直線l1的方程為3x+4y-2=0,直線l2的方程為6x+8y+1=0,則直線l1的斜率為　　　　,直線l1與l2的距離為.答案-34　12

解析直線l1的方程為3x+4y-2=0,所以直線l1可化為y=-34x+12,它的斜率為-34;

又直線l1可化為6x+8y-4=0,直線l2的方程為6x+8y+1=0,所以直線l1與l2的距離為d=|-4-1|62+82=12.9.已知直線l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.(1)若點(diǎn)P在直線l1上,且到直線l2的距離為35,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)若l2∥l3,求l2與l3的距離.解(1)依題意可設(shè)P(t,t),由|2t+t-3|5=35,得|t-1|=5,解得t=-4或t=6,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,-4)或(6,6).(2)由l2∥l3得a=-4,∴l(xiāng)2:2x+y-3=0,l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0.∴l(xiāng)2與l3的距離d=|-3-(-2)|5=55.能力達(dá)標(biāo)

10.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,6),B(-4,3),C(2,-3),則點(diǎn)A到BC邊的距離為()

A.92

B.922

C.255

D.43

答案B

解析BC邊所在直線的方程為y-3-3-3=x+42+4,即x+y+1=0,則點(diǎn)A到BC邊的距離d=|2×1+6×1+1|2=922.11.(2020全國(guó)Ⅲ,文8)點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()

A.1

B.2

C.3

D.2

答案B

解析直線y=k(x+1)過(guò)定點(diǎn)(-1,0),當(dāng)過(guò)點(diǎn)(0,-1)與點(diǎn)(-1,0)的直線與直線y=k(x+1)垂直時(shí),點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離最大,故最大距離等于(0,-1)和(-1,0)兩點(diǎn)之間的距離,為2.故選B.12.(2020江蘇如皋中學(xué)高二期中)若兩條平行直線l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny-6=0之間的距離是25,則m+n=()

A.3

B.-17

C.2

D.3或-17

答案A

解析由題意直線l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny-6=0平行,則兩條直線的斜率相等,即n=-4,又直線間的距離為25,即|2m+6|4+16=25,解得m=7,或m=-13(舍).所以m+n=3.故選A.13.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M是邊BC上的一點(diǎn),且△ABM的面積等于△ABC面積的14,那么線段AM的長(zhǎng)等于()

A.5

B.52

C.85

D.852

答案A

解析由于△ABM的面積等于△ABC面積的14,故BM=14BC,設(shè)M(x,y),由BM=14BC,得(x+2,y-4)=14×(-4,-8)=(-1,-2),解得x=-3,y=2,即M(-3,2),所以|AM|=(-3-1)2+(2-5)2=5.故選A.14.(多選題)兩條平行直線l1,l2分別過(guò)點(diǎn)P(-1,3),Q(2,-1),它們分別繞P,Q旋轉(zhuǎn),但始終保持平行,則l1,l2之間的距離可能取值為()

A.1

B.3

C.5

D.7

答案ABC

解析當(dāng)兩直線l1,l2與直線PQ垂直時(shí),兩平行直線l1,l2間的距離最大,最大距離為|PQ|=(-1-2)2+[3-(-1)]2=5,所以l1,l2之間的距離的取值范圍是(0,5],故選ABC.15.在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)(2,b)到原點(diǎn)的距離不小于5,則b的取值范圍是.答案(-∞,-21]∪[21,+∞)

解析根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得點(diǎn)(2,b)到原點(diǎn)的距離d=(2-0)2+(b-0)2≥5,即4+b2≥25,所以b2≥21,解得b≤-21或b≥21,故b∈(-∞,-21]∪[21,+∞).16.(2020廣東東莞四中高二月考)已知點(diǎn)O(0,0),A(4,0),B(0,4).若從點(diǎn)P(1,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后過(guò)點(diǎn)Q(-2,0),則反射光線所在直線的方程為;若從點(diǎn)M(m,0),m∈(0,4)射出的光線經(jīng)直線AB反射,再經(jīng)直線OB反射后回到點(diǎn)M,則光線所經(jīng)過(guò)的路程是(結(jié)果用m表示).答案x-2y+2=0　2m2+32

解析設(shè)點(diǎn)P(1,0)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為P＇(x0,y0),直線AB:x+y-4=0,所以y0-0x0-1·(-1)=-1,x0+12+y0+02-4=0,解得x0=4,y0=3,故P＇(4,3),由Q(-2,0),∴P＇Q:y-0=3-04-(-2)(x+2),即x-2y+2=0.點(diǎn)M(m,0),關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)P1(-m,0),設(shè)點(diǎn)M(m,0)關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)P2(x1,y1),由y1-0x1-m·(-1)=-1,x1+m2+y1+02-4=0,解得x1=4,y1=4-m,故P2(4,4-m).故|P1P2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32,即為光線所經(jīng)過(guò)的路程.17.已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點(diǎn).(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3,求l的方程;

(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值.解(1)經(jīng)過(guò)兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.∵點(diǎn)A(5,0)到直線l的距離為3,∴|10+5λ-5|(2+λ)2+(1-2λ)2=3,即2λ2-5λ+2=0,解得λ=2或λ=12.∴l(xiāng)的方程為x-2=0或4x-3y-5=0.(2)由2x+y-5=0,x-2y=0,解得交點(diǎn)P(2,1),過(guò)P作任一直線l,設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離,則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立).∴dmax=|PA|=10.18.設(shè)直線l1:x-2y-1=0與l2:(3-m)x+my+m2-3m=0.(1)若l1∥l2,求l1,l2之間的距離;

(2)若直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大,求直線l2的方程.解(1)若l1∥l2,則m≠0,∴1×m=(3-m)(-2),且(-2)(m2-3m)≠m×(-1),∴m=6,∴l(xiāng)1:x-2y-1=0,l2:x-2y-6=0,∴l(xiāng)1,l2之間的距離d=51+4=5.(2)由題意,m>0,3-m>0,∴0

S=12m(3-m)=-12(m-32)2+98,∴當(dāng)m=32時(shí),S的最大值為98,此時(shí)直線l2的方程為2x+2y-3=0.