4.1　直線的方向向量與平面的法向量

1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為()

A.(1,2,3)

B.(1,3,2)

C.(2,1,3)

D.(3,2,1)

2.若u=(2,-3,1)是平面α的一個法向量,則下列向量能作為平面α的法向量的是()

A.(0,-3,1)

B.(2,0,1)

C.(-2,-3,1)

D.(-2,3,-1)

3.若平面α∥β,則下面選項中可以是這兩個平面法向量的是()

A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)

B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)

C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)

D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)

4.下列各組向量中不平行的是()

A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)

B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)

C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)

D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)

5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則()

A.x=6,y=15

B.x=3,y=152

C.x=3,y=15

D.x=6,y=152

6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作為平面ABC法向量的是.(填序號)

①AB　②AA1　③B1B　④A1C1

7.在棱長為1的正方體ABCD

-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一個法向量n.8.在三棱錐O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC兩兩垂直,試找出一點D,使BD∥AC,DC∥AB.能力達標

9.已知平面α內兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為()

A.-1,2

B.1,-2

C.1,2

D.-1,-2

10.在三棱錐P-ABC中,CP,CA,CB兩兩垂直,AC=CB=1,PC=2,在如圖所示的坐標系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()

A.1,1,12

B.(1,2,1)

C.(1,1,1)

D.(2,-2,1)

11.(多選題)已知直線l過點P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α過直線l與點M(1,2,3),則平面α的法向量可能是()

A.(1,-4,2)

B.14,-1,12

C.-14,1,-12

D.(0,-1,1)

12.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n與x軸垂直,且a·n=12,n·b=14,則n=()

A.(0,-1,3)

B.(0,1,3)

C.(0,-1,-3)

D.(0,1,-3)

13.(多選題)在如圖所示的空間直角坐標系中,ABCD-A1B1C1D1為棱長是1的正方體,下列結論正確的是()

A.直線DD1的一個方向向量為(0,0,1)

B.直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)

C.平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)

D.平面B1CD的一個法向量為(1,1,1)

14.在空間直角坐標系O-xyz中,已知平面α的一個法向量是n=(1,-1,2),且平面α過點A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一點,則點P的坐標滿足的方程是.15.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直線l的方向向量,則x+y=.16.四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.17.已知M為長方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中點,點P在長方體ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D內,且PM∥平面BB1D1D,試探討點P的確切位置.1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為()

A.(1,2,3)

B.(1,3,2)

C.(2,1,3)

D.(3,2,1)

答案A

2.若u=(2,-3,1)是平面α的一個法向量,則下列向量能作為平面α的法向量的是()

A.(0,-3,1)

B.(2,0,1)

C.(-2,-3,1)

D.(-2,3,-1)

答案D

3.若平面α∥β,則下面選項中可以是這兩個平面法向量的是()

A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)

B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)

C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)

D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)

答案D

解析因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應該平行,只有D項符合.4.下列各組向量中不平行的是()

A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)

B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)

C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)

D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)

答案D

5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則()

A.x=6,y=15

B.x=3,y=152

C.x=3,y=15

D.x=6,y=152

答案D

解析由題意,有a∥b,則32=x4=y5,得x=6,y=152.6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作為平面ABC法向量的是.(填序號)

①AB　②AA1　③B1B　④A1C1

答案②③

7.在棱長為1的正方體ABCD

-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一個法向量n.解如圖,建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).設平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),又n為平面ACD1的一個法向量,∴n·AC=0,n·AD1=0,∴(x,y,z)·(-1,1,0)=0,(x,y,z)·(-1,0,1)=0,化簡,即x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一個法向量n=(1,1,1).8.在三棱錐O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC兩兩垂直,試找出一點D,使BD∥AC,DC∥AB.解建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),設所求點D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB,可得BD∥AC,DC∥AB,因此

(x,y-1,z)=k1(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=k2(-1,1,0),解得x=-1,y=1,z=2.即點D的坐標為(-1,1,2).能力達標

9.已知平面α內兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為()

A.-1,2

B.1,-2

C.1,2

D.-1,-2

答案A

解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c為平面α的法向量,得c·a=0,c·b=0,即3m+n+1=0,m+5n-9=0,解得m=-1,n=2.10.在三棱錐P-ABC中,CP,CA,CB兩兩垂直,AC=CB=1,PC=2,在如圖所示的坐標系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()

A.1,1,12

B.(1,2,1)

C.(1,1,1)

D.(2,-2,1)

答案A

解析

PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0).設平面PAB的一個法向量為n=(x,y,1),則x-2=0,-x+y=0,解得x=2,y=2,∴n=(2,2,1).又1,1,12=12n,∴A正確.11.(多選題)已知直線l過點P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α過直線l與點M(1,2,3),則平面α的法向量可能是()

A.(1,-4,2)

B.14,-1,12

C.-14,1,-12

D.(0,-1,1)

答案ABC

解析因為PM=(0,2,4),直線l平行于向量a,若n是平面α的一個法向量,則必須滿足n·a=0,n·PM=0,把選項代入驗證,只有選項D不滿足,故選ABC.12.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n與x軸垂直,且a·n=12,n·b=14,則n=()

A.(0,-1,3)

B.(0,1,3)

C.(0,-1,-3)

D.(0,1,-3)

答案A

解析設n=(0,y,z),由題意得3y+5z=12,4y+6z=14,解得y=-1,z=3.故n=(0,-1,3).13.(多選題)在如圖所示的空間直角坐標系中,ABCD-A1B1C1D1為棱長是1的正方體,下列結論正確的是()

A.直線DD1的一個方向向量為(0,0,1)

B.直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)

C.平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)

D.平面B1CD的一個法向量為(1,1,1)

答案ABC

解析DD1∥AA1,AA1=(0,0,1);BC1∥AD1,AD1=(0,1,1);直線AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0);C1點坐標為(1,1,1),∵AC1與平面B1CD不垂直,∴D錯誤,ABC正確.14.在空間直角坐標系O-xyz中,已知平面α的一個法向量是n=(1,-1,2),且平面α過點A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一點,則點P的坐標滿足的方程是.答案x-y+2z+1=0

解析由題意知AP·n=0,即x-y+2z+1=0.15.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直線l的方向向量,則x+y=.答案193

解析根據題意可知a∥b,故存在實數λ,使a=λb,即(x,2,1)=λ(1,y,3),即x=λ,2=λy,1=3λ,解得λ=13,y=6,x=13,x+y=13+6=193.16.四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.解∵AD,AB,AS是三條兩兩垂直的線段,∴以A為原點,以AD,AB,AS的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示,則A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),∴AD=(1,0,0)是平面SAB的法向量.設平面SCD的一個法向量為n=(1,y,z),則n·DC=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,∴y=-12.又n·DS=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0,∴z=12.∴n=1,-12,12即為平面SCD的法向量.17.已知M為長方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中點,點P在長方體ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D內,且PM∥平面BB1D1D,試探討點P的確切位置.解以D為坐標原點,以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.根據題意可設PA=a,DC=b,DD1=c,則A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),則M12a,b,0.又PM∥平面BB1D1D,根據空間向量基本定理知,必存在實數對(m,n),使得PM=mDB+nDD1,即12a,b-y,-z=(ma,mb,nc),即12a=ma,b-y=mb,-z=nc,解得m=12,y=12b,z=-nc,n∈R,則點P的坐標為0,b2,-nc.所以點P在平面DCC1D1的邊DC的垂直平分線EF上.