1.2 橢圓的簡單幾何性質
1.已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為()
A.13
B.12
C.22
D.223
2.過橢圓x24+y23=1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為()
A.8,6
B.4,3
C.2,3
D.4,23
3.已知橢圓x2a2+y2b2=1與橢圓x225+y216=1有相同的長軸,橢圓x2a2+y2b2=1的短軸長與橢圓y221+x29=1的短軸長相等,則()
A.a2=25,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
4.橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上,長軸長是短軸長的2倍,則m的值為()
A.12
B.14
C.2
D.4
5.焦點在x軸上,長、短半軸長之和為10,焦距為45,則橢圓的標準方程為()
A.x236+y216=1
B.x216+y236=1
C.x26+y24=1
D.y26+x24=1
6.已知長方形ABCD,AB=4,BC=3,則以A,B為焦點,且過點C,D的橢圓的離心率為.7.已知橢圓的短半軸長為1,離心率0
9.如圖,已知F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,現以F2為圓心作一個圓恰好經過橢圓中心并且交橢圓于點M,N,若過F1的直線MF1是圓F2的切線,則橢圓的離心率為()
A.3-1
B.2-3
C.22
D.32
10.橢圓(m+1)x2+my2=1的長軸長是()
A.2m-1m-1
B.-2-mm
C.2mm
D.-21-mm-1
11.若將一個橢圓繞中心旋轉90°,所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點,這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓的方程中,是“對偶橢圓”的方程是()
A.x28+y24=1
B.x23+y25=1
C.x26+y22=1
D.x26+y29=1
12.已知點P(2,1)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,點M(a,b)為平面上一點,O為坐標原點,則當|OM|取最小值時,橢圓的離心率為()
A.33
B.12
C.22
D.32
13.(多選題)如圖,已知F1,F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,點P是該橢圓在第一象限內的點,∠F1PF2的平分線交x軸于Q點,且滿足OF2=4OQ,則橢圓的離心率e可能是()
A.18
B.14
C.12
D.34
14.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2在x軸上,離心率為22.過F1的直線l交C于A,B兩點,且△ABF2的周長為16,那么橢圓C的方程為.15.如圖,把橢圓x24+y22=4的長軸AB分成8等份,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七個點,F是橢圓的一個焦點,則|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.16.(1)求與橢圓x29+y24=1有相同的焦點,且離心率為55的橢圓的標準方程;
(2)已知橢圓的兩個焦點間的距離為8,兩個頂點坐標分別是(-6,0),(6,0),求焦點在x軸上的橢圓的標準方程.17.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一點P,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,橢圓內一點Q在線段PF2的延長線上,且QF1⊥QP,sin
∠F1PQ=513,則該橢圓離心率的取值范圍是()
A.2626,1
B.15,53
C.15,22
D.2626,22
1.已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為()
A.13
B.12
C.22
D.223
答案C
解析因為橢圓C的一個焦點為(2,0),所以其焦點在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22.2.過橢圓x24+y23=1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為()
A.8,6
B.4,3
C.2,3
D.4,23
答案B
解析由題意知a=2,b=3,c=1,最長弦過兩個焦點,長為2a=4,最短弦垂直于x軸,長度為當x=c=1時,縱坐標的絕對值的2倍,長度為3.3.已知橢圓x2a2+y2b2=1與橢圓x225+y216=1有相同的長軸,橢圓x2a2+y2b2=1的短軸長與橢圓y221+x29=1的短軸長相等,則()
A.a2=25,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
答案D
解析橢圓x225+y216=1的長軸長為10,橢圓y221+x29=1的短軸長為6,由題意可知橢圓x2a2+y2b2=1的焦點在x軸上,即有a=5,b=3.所以a2=25,b2=9.4.橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上,長軸長是短軸長的2倍,則m的值為()
A.12
B.14
C.2
D.4
答案B
解析因為橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上,短半軸長為1,長軸長是短軸長的2倍,故1m=2,解得m=14.5.焦點在x軸上,長、短半軸長之和為10,焦距為45,則橢圓的標準方程為()
A.x236+y216=1
B.x216+y236=1
C.x26+y24=1
D.y26+x24=1
答案A
解析依題意得c=25,a+b=10,又a2=b2+c2,所以解得a=6,b=4,橢圓的標準方程為x236+y216=1.6.已知長方形ABCD,AB=4,BC=3,則以A,B為焦點,且過點C,D的橢圓的離心率為.答案12
解析如圖,AB=2c=4,∵點C在橢圓上,∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e=2c2a=48=12.7.已知橢圓的短半軸長為1,離心率0 解析∵e=1-(ba)2,b=1,0 9.如圖,已知F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,現以F2為圓心作一個圓恰好經過橢圓中心并且交橢圓于點M,N,若過F1的直線MF1是圓F2的切線,則橢圓的離心率為() A.3-1 B.2-3 C.22 D.32 答案A 解析∵過F1的直線MF1是圓F2的切線,∴∠F1MF2=90°,|MF2|=c,∵|F1F2|=2c,∴|MF1|=3c,由橢圓定義可得|MF1|+|MF2|=c+3c=2a,∴橢圓離心率e=21+3=3-1.10.橢圓(m+1)x2+my2=1的長軸長是() A.2m-1m-1 B.-2-mm C.2mm D.-21-mm-1 答案C 解析橢圓方程可化簡為x211+m+y21m=1,由題意,知m>0,∴11+m<1m,∴a=mm,∴橢圓的長軸長2a=2mm.11.若將一個橢圓繞中心旋轉90°,所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點,這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓的方程中,是“對偶橢圓”的方程是() A.x28+y24=1 B.x23+y25=1 C.x26+y22=1 D.x26+y29=1 答案A 解析由題意,知當b=c時,將一個橢圓繞中心旋轉90°,所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點,只有選項A符合題意,故選A.12.已知點P(2,1)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,點M(a,b)為平面上一點,O為坐標原點,則當|OM|取最小值時,橢圓的離心率為() A.33 B.12 C.22 D.32 答案C 解析點P(2,1)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,可得4a2+1b2=1,M(a,b)為平面上一點,O為坐標原點,則|OM|=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2b2≥5+24b2a2·a2b2=3,當且僅當a2=2b2時,等號成立,此時由4a2+1b2=1,a2=2b2,解得a2=6,b2=3.所以e=a2-b2a2=12=22.故選C.13.(多選題)如圖,已知F1,F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,點P是該橢圓在第一象限內的點,∠F1PF2的平分線交x軸于Q點,且滿足OF2=4OQ,則橢圓的離心率e可能是() A.18 B.14 C.12 D.34 答案CD 解析∵OF2=4OQ,∴|QF2|=34c,|OQ|=14c,則∣QF1∣=54c.∵PQ是∠F1PF2的平分線,∴|PF1||PF2|=|QF1||QF2|=53,又|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|=5a4,|PF2|=3a4.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=2516a2+916a2-4c22×5a4×3a4=1715-3215e2,∵-1 解析設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由e=22,知ca=22,故b2a2=12.由于△ABF2的周長為|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16,故a=4,∴b2=8,∴橢圓C的方程為x216+y28=1.15.如圖,把橢圓x24+y22=4的長軸AB分成8等份,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七個點,F是橢圓的一個焦點,則|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.答案28 解析根據題意,把橢圓x24+y22=4的長軸AB分成8等份,設另一焦點為F2,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七個點,F是橢圓的一個焦點,則根據橢圓的對稱性知,|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a,同理,其余兩對的和也是2a.又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.16.(1)求與橢圓x29+y24=1有相同的焦點,且離心率為55的橢圓的標準方程; (2)已知橢圓的兩個焦點間的距離為8,兩個頂點坐標分別是(-6,0),(6,0),求焦點在x軸上的橢圓的標準方程.解(1)∵c=9-4=5,∴所求橢圓的焦點為(-5,0),(5,0).設所求橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵e=ca=55,c=5,∴a=5,b2=a2-c2=20,∴所求橢圓的方程為x225+y220=1.(2)∵橢圓的焦點在x軸上,∴設它的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴橢圓的方程為x236+y220=1.17.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一點P,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,橢圓內一點Q在線段PF2的延長線上,且QF1⊥QP,sin ∠F1PQ=513,則該橢圓離心率的取值范圍是() A.2626,1 B.15,53 C.15,22 D.2626,22 答案D 解析∵QF1⊥QP,∴點Q在以F1F2為直徑,原點為圓心的圓上,∵點Q在橢圓的內部,∴以F1F2為直徑的圓在橢圓內,∴c ∠F1PQ=513,∴cos ∠F1PQ=1213.設|PF1|=m,|PF2|=n,則|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·1213.∴4c2=(m+n)2-2mn-2mn·1213,即4c2=4a2-5013mn,∴mn=2625(a2-c2).由基本不等式得mn≤m+n22=a2,當且僅當m=n時取等號,由題意知QF1⊥QP,∴m≠n,∴mn
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