第一篇：行測概率問題詳細總結

概率論及應用數理統計基礎

概率論作為一門數學分支，它所研究的內容一般包括隨機事件的概率、統計獨立性和更深層次上的規律性。概率是隨機事件發生的可能性的數量指標。在獨立隨機事件中，如果某一事件在全部事件中出現的頻率，在更大的范圍內比較明顯的穩定在某一固定常數附近。就可以認為這個事件發生的概率為這個常數。任何事件的概率值一定介于0和1之間。有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結果；第二，各個結果發生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機現象叫做“古典概型”。

在客觀世界中，存在大量的隨機現象，其產生的結果構成了隨機事件。如果用變量來描述隨機現象的各個結果，就叫做隨機變量。隨機變量分為有限和無限，一般又根據變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果可能的取值充滿了一個區間，無法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量。

在離散型隨機變量的概率分布中，比較簡單而應用廣泛的是二項式分布。如果隨機變量是連續的，那么它有一個分布曲線，實踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，其分布曲線是有規律的，這就是正態分布。正態分布曲線取決于這個隨機變量的一些表征數，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數學期望，差異度也叫標準方差。10.2.1 古典概率

所謂事件A的概率是指事件A發生可能性程度的數值度量，記為P(A)。規定P(A)≥0，P(Ω)=，而事件A所含的樣本數，即有利于事件A發生的基本事件數為NA，則事件A的概率便定義為：?1。滿足下列兩條件的試驗模型稱為古典概型：（1）所有基本事件是有限個；（2）各基本事件發生的可能性相同。在古典概型中，設其樣本空間Ω所含的樣本點總數，即試驗的基本事件總數為N。10.5（取球問題）袋中有5個白球，3個黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。（1）有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球。（2）無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一個球。（3）一次取球：從袋中任取3個球。

在以上取法中均求A={恰好取得2個白球}的概率。

?解：（1）有放回取球N = 8×8×8 = 83 = 512（袋中八個球，不論什么顏色，取到每個球的概率相等）（先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有5種情況，第二次取白球還有五種情況<注意是有放回>，第三次取黑球只有三種情況）。

= = 336，故。? 7 ? = 8 ?（2）無放回取球N（3）一次取球，故

古典概率具有下面的性質。

B，則P(B-A)=P(B? 若A?)-P(A)。即差的概率等于概率之差。B，則P(A)≤P(B)。即概率的單調性。? 若A?

P(A)≤1，對任意事件A，P(?)=1-P(A)。

對任意事件A，B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。?

10.6 設A，B，C為三個事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25，P(AB)=0，P(AC)=0，P(BC)=0.125，求A，B，C至少有一個發生的概率。

AB，故0≤P(ABC)≤P(AB)?解：由于ABC = 0，從而P(ABC)= 0。所求概率為

P(BC)? P(AC)? P(AB)?C)= P(A)+ P(B)+ P(C)?B?P(A + P(ABC)

10.2.2 條件概率

在實際問題中，常常需要計算在某個事件B已發生的條件下，另一個事件A發生的概率。在概率論中，稱此概率為事件B已發生的條件下事件A發生的條件概率，簡稱為A對B的條件概率，記為P(A P(A)。設

A、B為兩個事件，且P(B)?| B)。一般地，因為增加了“事件B已發生”的條件，所以P(A | B)> 0，則稱 為事件B發生條件下事件A發生的條件概率，記為。再看一下乘法公式：設有事件A和B，若P(A)> 0或P(B)> 0，由概率得P(AB)= 1)?P(A)P(B | A)，或P(AB)= P(B)P(A | B)。再看n個事件的情況，設有n個事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An > 1)。事實上，由事件的包含關系?0，則有P(A1A2…An)= P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)P(An | A1A2…An 有

P(A1)≥P(A1A2)≥P(A1A2A3)≥…..≥P(A1A2…An–1)＞0，故公式右邊的每個條件概率都是有意義的，于是由條件概率定義可得。

10.7 甲、乙和丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設被抽的10個試題簽中有4個難題簽，按甲先、乙次及丙最后的次序抽簽。求甲抽到難題簽、甲和乙都抽到難題簽、甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽及甲、乙和丙都抽到難題簽的概率。

解：設A，B和C分別表示甲、乙和丙各抽到難題簽的事件，則有，。

在概率中，還經常利用已知的簡單事件的概率，推算出未知的復雜事件的概率。為此，常需把一個復雜事件分解為若干個互不相容的簡單事件的和，再由簡單事件的概率求得最后結果，這就需要用到全概率公式。在很多實際問題中若事件A發生的概率的計算比較困難，則可利用全概率公式轉為尋求劃分B1，B2，…Bn及計算P(Bi)和P(A | Bi)的問題。

10.8 盒中有12只新乒乓球，每次比賽時取出3只，用后放回，求第3次比賽時取到的3只球都是新球的概率。

解：設A表示第3次比賽取到3只新球的事件，Bi(i = 0,1,2,3)表示第2次取到i只新球的事件，由，得。

10.9 某工廠生產的產品以100件為一批，假定每一批產品中的次品最多不超過4件，且具有如下的概率： 一批產品中的次品數 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 概率 0 1 2 3 4

現進行抽樣檢驗，從每批中隨機抽取出10件來檢驗，若發現其中有次品，則認為該批產品不合格，求一批產品通過檢驗的概率。

解：設A表示一批產品通過檢驗的事件，Bi(i = 0,1,2,3,4)表示一批產品中含有i件次品，則由，，，，，得。

10.2.3 貝葉斯公式 的一個劃分，且，則?的事件，B1，B2，…Bn為?設A為樣本空間。這一公式稱為貝葉斯公式。若把A視為觀察的“結果”，把B1，B2，…Bn理解為“原因”，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規律，并做出了“由果溯因”的推斷。

10.10 設某工廠甲、乙和丙3個車間生產同一種產品，產量依次占全廠的45%，35%和20%。且各車間的次品律依次為4%，2%和5%。現在從待出廠產品中檢查出1個次品，問該產品是由哪個車間生產的可能性大？

解：設A表示產品為次品的事件，B1，B2，B3分別表示產品有甲、乙和丙車間生產的事件，則由，，，得

于是有 ；

；

。可知該產品是由甲車間生產的可能性最大。10.2.4 事件的獨立性及貝奴里實驗

設事件A，B滿足，則稱事件A，B是相互獨立的。若事件A，B相互獨立，且，則有，在實際問題中，常常不是根據定義來判斷事件的獨立性，而是由獨立性的實際含義，即一個事件發生并不影響另一個事件發生的概率來判斷兩事件的相互獨立性。

假設在相同條件下進行n次重復試驗，并且每次試驗只有兩種可能結果，A發生或A不發生；同時在每次試驗中，A發生的概率均一樣，即 ；而各次試驗是相互獨立的，則稱這種試驗為貝努里概率模型，或稱為n重貝努里試驗。

在n重貝努里試驗中，人們感興趣的是事件A發生的次數。若 表示n重貝努里試驗中A出現k(0≤k≤n)次的概率，，則n重貝努里試驗A中出現k次的概率計算公式為。

10.11 一大樓有5個同類型的獨立供水設備，調查表明，在任意時刻t，每個設備被使用的概率為0.1，問在同一時刻，（1）恰有兩個設備被使用的概率是多少？（2）至少有三個設備被使用的概率是多少？（3）至多有三個設備被使用的概率是多少？（4）至少有一個設備被使用的概率是多少？

解：在同一時刻觀察5個設備，它們工作與否是相互獨立的，故可視為5重貝努里試驗，p = 0.1，q = 1?0.1 = 0.9，于是可得（1）。（2）。（3）。（4）。

10.2.5 離散型隨機變量及其分布

為了使各種不同性質的試驗能以統一形式表示實驗中的事件，并能將微積分等工具引進概率論，需引入隨機變量的概念。設試驗的樣本空間為Ω，在Ω上定義一個單值實函數X = X(e)，e∈Ω，對試驗的每個結果e，X = X(e)有確定的值與之對應。由于實驗結果是隨機的，所以X = X(e)的取值也是隨機的，稱此定義在樣本空間 Ω上的單值實函數X = X(e)為一個隨機變量。引進隨機變量后，試驗中的每個事件便可以通過此隨機變量取某個值或在某范圍內取值來表示。通俗地講，隨機變量就是依照試驗結果而取值的變量。如果隨機變量X的所有可能取值為有限個或可列個，則稱隨機變量X為離散型隨機變量。下面看一下離散型隨機變量的幾個重要分布。1．兩點分布

如果隨機變量X為0時概率為q，為1時概率為p，并且q = 1-p，0 < p < B(1,P)。?1，則稱X服從參數為p的(0-1)兩點分布，簡稱為兩點分布，記為X 2．二項分布

如果隨機變量X的分布律為，k = 0, 1, 2…n，其中0 < p < 1，q = 1 ? p，則稱X服從參數為(n，p)的二項分布，記為X～B(n，p)。

10.12 一批產品的廢品率為0.03，進行20次獨立重復抽樣，求出現廢品的頻率為0.1的概率。

解：令X表示20次獨立重復抽樣中出現的廢品數。X～B(20，0.03)（注意：不能用X表示頻率，若X表示頻率，則它就不服從二項分布），所求的概率為。

3．泊松分布

如果隨機變量X的分布律為P{X ?= k} =，k = 0，1，2，…其中 >)?(?0，則稱X服從參數為λ的泊松分布，記為X~)。?P(?或者X)且已知P{X = 1} = P{X = 2}，求P{X =?(?10.13 設X~ 4}。)，即X的分布律為P{X = k} =，k = 0，1，2，…于是有，由P{X = 1} = P{X = 2}可得方程?(?解：由于X~(2)于是? = 2，0（棄去）。所以X~?2。解得? = ?，即2 查表0.0902。10.2.6 連續型隨機變量及其分布

所謂連續型隨機變量是指此隨機變量的可能取值至少應充滿某個區間且其分布函數應當是連續的，設F(x)為隨機變量X的分布函數，如果存在非負函數f(x)使得對任意實數X，有，則稱X為連續型隨機變量，f(x)為X的概率密度。對于概率密度，有一個重要的結果：。

10.14 一種電子管的使用壽命為X小時，其概率密度為 某儀器內裝有三個這樣電子管，試求使用150小時內只有一個電子管需要換的概率。

解：首先計算一個電子管使用壽命不超過150小時的概率，此概率為，令Y表示工作150小時內損壞的電子管數，則，服從二項分布。于是，此儀器工作150小時內僅需要更換一個電子管的概率。1．均勻分布

如果隨機變量X的概率密度為，則稱X在區間[a，b]上服從均勻分布，記為X~U[a，b]；其分布函數為。10.15 某公共汽車從上午7：00起每隔15分鐘有一趟班車經過某車站，即7：00，7：15，7：30，…時刻有班車到達此車站，如果某乘客是在7：00至7：30間等可能地到達此車站候車，問他等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率。

解：設乘客于7點過X分鐘到達車站，則X～U[0，30]，即其概率密度為f(x)=，于是該乘客等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率為

p{10≤X≤15或25≤X≤30} = p{10≤X≤15} + p{25≤X≤30} =。2．指數分布

?如果隨機變量X的概率密度為，其中 >)，其分布函數為。?的指數分布，記為X~E(?0，則稱X服從參數為

=?10.16 設隨機變量X服從參數為 0.015的指數分布。（1）求p{x > 100}。

（2）若要使p{X > x} < 0.1，問x應當在哪個范圍內？ 解：由于X～E(0.015)，即其概率密度為，于是，（1）p{X > 100} =

（2）要p{X > 0} < 0.1，即。

取對數，便得?0.015x < 1n0.1，于是便解得。3．正態分布

?2(?，?如果隨機變量X的概率密度為，其中 > 2)的正態分布，記為X～N(?，?0)為常數，則稱X服從參數(2)。?，? = 1的正態分布N(0，1)為標準正態分布，其概率密度為? = 0，?稱 ；分布函數為（其值有表可查）。10.17 從某地乘車前往火車站，有兩條路可走。（1）走市區路程短，但交通擁擠，所需時間X1～N（50，100）。（2）走郊區路程長，但意外阻塞少，所需時間X2～N（60，16）。若有70分鐘可用，應走哪條路線？

解：走市區及時趕上火車的概率為，走郊區及時趕上火車的概率為P{0≤X2≤70}=(2.5)=?(?12.5)= ?(2.5)? ?= 0.9938，故應走郊區路線。如果還有65分鐘可用，情況又如何呢？同樣，走市區及時趕上火車的概率為P{0≤X1≤65}

(1.25)= 0.8994，此時便應改走市區路線。? ?而走郊區及時趕上火車的概率便為P{0≤X2≤65}= 本講自測

1．取數問題。從0,1,……,9共10個數字中隨機不放回的接連取4個數字，并按其出現的先后次序排成一列，求下列事件的概率：（1）4個數排成一個偶數；（2）4個數排成一個4位數；（3）4個數排成一個4位偶數。

2．為了防止意外，在礦內安裝兩個報警系統a和b，每個報警系統單獨使用時，系統a有效的概率為0.92，系統b的有效概率為0.93，而在系統a失靈情況下，系統b有效的概率為0.85。試求：（1）當發生意外時，兩個報警系統至少有一個有效的概率；（2）在系統b失靈情況下，系統a有效的概率。

3．某種診斷癌癥的實驗有如下效果：患有癌癥者做此實驗反映為陽性的概率為0.95，不患有癌癥者做此實驗反映為陰的概率也為0.95，并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實驗反應為陽性，問他是一個癌癥患者的概率是多少？

4．設電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數X服從參數λ=3的泊松分布。（1）求在一分鐘內接到超7次呼喚的概率；（2）若一分鐘內一次呼喚需要占用一條線路。求該交換臺至少要設置多少條線路才能以不低于90％的概率使用戶得到及時服務。

公務員考試行測判斷推理講解：概率問題

概率題是公務員考試行測數量關系模塊中數學運算計數問題中的重要題型之一。但是，在2009年國家公務員考試《行政職業能力測驗》中，概率題卻“改頭換面”，以與在運算計數問題模塊完全不同的表現形式出現在了判斷推理模塊中。

面對這樣的題型，很多考生無從下手，覺得沒有思路。下面，國家公務員網將以2009年國家公務員考試第92題為例，揭開概率題在國家公務員考試行測判斷推理模塊中的神秘面紗，幫助各位考生捋順概率類題目的做題思路，快解準確這類考題。

【原題】

有三個骰子，其中紅色骰子上2、4、9點各兩面；綠色骰子上3、5、7點各兩面；藍色骰子上1、6、8點各兩面。兩個人玩擲骰子的游戲，游戲規則是兩人先各選一個骰子，然后同時擲，誰的點數大誰獲勝。那么，以下說法正確的是？（2009年國家公務員考試行政職業能力測驗真題-92題）

A.先選骰子的人獲勝的概率比后選的骰子的人高 B.選紅色骰子的人比選綠色骰子的人獲勝概率高 C.獲勝概率的高低于選哪種顏色的骰子沒有關系 D.沒有任何一種骰子的獲勝概率能同時比其他兩個高

【解析】

首先：捋順題干信息。三個骰子：紅色骰子（2、4、9）；綠色骰子（3、5、7）；藍色骰子（1、6、8）。問那種顏色的骰子獲勝的概率大。

其次：任選兩種骰子進行比較。例如紅色骰子（2、4、9）與綠色骰子（3、5、7）比較。

2《3；2《5；2《7 4》3；4《5；4《7 9》3；9》5；9》7 通過比較可以得出：紅色骰子勝出的概率是4/9，綠色骰子勝出的概率是5/9。因此綠色骰子的獲勝概率大于紅色骰子。

同理將紅色骰子（2、4、9）與藍色骰子（1、6、8）比較，綠色骰子（3、5、7）與藍色骰子（1、6、8）比較，可以得出：紅色骰子的獲勝概率大于藍色骰子；藍色骰子的獲勝概率大于綠色骰子。

綜上得出，綠色》紅色；紅色》藍色；藍色》綠色。先選的人肯定吃虧，因為總能找出概率比先選的大的骰子，A錯誤；紅色骰子比綠色骰子獲勝概率低，因此B錯誤；獲勝概率的高低肯定與骰子的顏色有關系，因此C錯誤；沒有任何一種骰子的獲勝概率能同時比其他兩個高，因此D對。

【總結】

首先，概率問題放在判斷推理模塊考查，與其在運算計數問題模塊考查相比，運算難度相對較低；

其次，需要掌握基本的概率運算公式，比如，概率=滿足條件的情況數÷總情況數。例如紅色骰子與綠色骰子比較時，“總情況數”是9；針對于紅色骰子的點來說，比綠色骰子的點大的情況為“滿足條件的情況數”，即4次；因此紅色骰子勝出的概率為4/9。針對綠色骰子的點來說，比紅色骰子的點大的情況為“滿足條件的情況數”，即5次；因此綠色骰子勝出的概率是5/9。因為5/9》4/9，由此可知綠色骰子的獲勝概率大于紅色骰子。

最后，在做這類題目時，一定首先捋順題干信息，戒驕戒躁，相信勝利一定屬于你！

公考行測：數量關系之簡單概率問題

www.gwy114.net | 時間:2009-04-09 | 點擊率:2675次 【大 中 小】【打印】

簡單概率問題

1.隨機事件基本概念

隨機事件：在一定條件下可能發生也可能不發生的事件；

必然事件：在一定條件下必然要發生的事件；

不可能事件：在一定條件下不可能發生的事件

2.古典概型

古典概型的概率公式(有時也叫等可能事件的概率公式)：P(A)=A所包含的基本事件的個數/總的基本事件個數。注意在利用等可能事件的概率公式解題時，首先要確定試驗中各基本事件出現的機會是均等的。同時還要注意分析題中條件，以便于確定基本事件的個數。【例題1】

將一個硬幣擲兩次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少?()。

A.1／2 B.1／3 C.1／4 D.2／3 【解析】

硬幣投擲兩次一共可能的情況有：（正，正）（正，反）（反，正）（反，正），那么有一次為正且有一次為反的概率為2÷4= ,選A。

【例題2】

在箱子中有十張卡片，分別寫有1到10的十個整數；從箱子中任取一張卡片，記下它的讀數X ,然后再放回箱子中；第二次再從箱子中抽取一張卡片，記下它的讀數Y,試求X+Y是10 的倍數的概率。【解析】

先后兩次抽取卡片，第次都有1~10這10 種結果，幫有序實數對(X,Y)共有10X10=100個。因為X+Y是10的倍數，它包含下列10個數對：(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4，6)、(5,5)、(6,4)、(7,3)、(8，2)、(9,1)、(10,10)，故X+Y是10 的倍數的概率為P=10/100=1/10.【例題3】向假設的三個軍火庫投擲一個炸彈，炸中第一軍火庫的概率為0.025；其余兩個各為0.1，只要炸中一個，別兩個也要爆炸。求軍火庫發生爆炸的概率。【解析】

設以A、B、C分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件，于是P(A)=0.025，P(B)=P(C)=0.1。又設D表示軍火庫爆炸這一事件，則有D=A+B+C。其中A、B、C是互斥事件，因為投擲了一個炸彈，不會同時炸中兩個以上的軍火庫。所以P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225。

出自公務員百事通 [編輯：晴歆]

公務員考試行測數量關系沖刺：幾何概率

2011-01-05 08:40 華圖網校 點擊: 公務員考試行測數量關系沖刺：幾何概率

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例題：甲乙兩人相約見面，并約定第一人到達后，等15分鐘不見第二人來就可以離去。假設他們都在10點至10點半的任一時間來到見面地點，則兩人能見面的概率有多大？（2010年4月25日聯考第10題）

A.37.5％

B.50％

C.62.5％

D.75％

這是幾何概型中一道典型的會面問題。幾何概型是在古典概型的基礎上進一步發展起來的，是等可能事件的概念從有限到無限延伸，它們之間的主要區別就是，幾何概型中等可能事件是無限多個，而古典概型中等可能事件只有有限多個。在古典概型中，因為基本事件是有限個，由古典概型的計算公式，只要知道所求事件包含的基本事件個數再除以總的基本事件個數就可以了；而在幾何概型中，由于基本事件是無限多個，解題就相對來說比較困難了，但是近幾年來的省考中已經考了不少幾何概型，因此華圖教育特別提示考生引起足夠重視。下面華圖教育就先大家介紹一下幾何概型。

一、幾何概型的定義：

向平面上有限區域（集合）G內隨機地投擲點M，若點M落在子區域的概率與的面積成正比，而與的形狀、位置無關，即則稱這種模型為幾何概型。

幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區域，相應的概率是體積之比或長度之比。

二、幾何概型的特點是：

（1）無限性：在每次試驗中，可能的出現的結果有無窮多個；

（2）等可能性：在每次試驗中，每個結果出現的可能性相等。

三、例題詳解

【例1】公交車每隔10分鐘來一輛。假定乘客在接連兩輛車之間的任何時刻隨機地到

達車站，試求乘客候車時間不超過3分鐘的概率。

解：從前一輛開出起計算時間，乘客到達車站的時刻t可以是[0，10）中的任何一點，即G={t︱0≤t<10}，由假定，乘客到達時刻t均勻地分布在G內，故問題歸結為幾何概型，設表示“乘客候車不超過3分鐘”的事件，則={t︱0≤t≤3}

【例2】某人午覺醒來，發現表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率。

解：設={等待的時間不多于10分鐘}.事件恰好是打開收音機的時刻位于[50,60]時間段內。

【例3】（會面問題）甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時間內，在預定地點會面。先到的人等候另一個人，經過時間 t（t

解：從0點開始計時，設兩人到達的時刻分別為x，y，則

G={（x，y）︱0≤x≤T，0≤y≤T}

假定兩人到達時刻是隨機的，則問題歸結為幾何概型，設A表示“兩人能會面”事件，則={（x，y）︱0≤x≤T，0≤y≤T，︱x-y︱≤t}（圖中的陰影部分），則

注：開頭的題目，只需將數據應用到這個公式里，答案選D。

概率題是公務員考試《行政職業能力測驗》考試數量關系模塊中數學運算計數問題模塊重要題型之一，本文中華圖公務員考試輔導專家李委明老師通過2009年浙江省公務員考試行政職業能力測驗真題中的“牛奶糖概率”問題詳細闡釋了

條件概率題的解題公式及其運用。

【原題】小孫的口袋里有四顆糖，一顆巧克力味的，一顆果味的，兩顆牛奶味的。小孫任意從口袋里取出兩顆糖，他看了看后說，其中一顆是牛奶味的。問小孫取出的另一顆糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？（2009年浙江省公務員考試行政職業能力測驗真題-52題）A.1/3 B.1/4 C.1/5 D.1/6 ［華圖答案］C ［華圖解析］小孫任意取出兩顆糖有以下六種情況：“巧果、巧奶

1、巧奶

2、果奶

1、果奶

2、奶1奶2”。其中有五種情況滿足“其中一顆是牛奶味”這個條件，而要另外一顆也是牛奶味，只有“奶1奶2”這一種情況，所以概率為1/5。

這是一道典型的條件概率題，下文中華圖公務員考試研究中心李委明老師將通過上例來進一步闡述條件概率題的解題公式及其運用。

題型類型：條件概率。

條件概率的公式：

P(A︱B)≡“B成立時，A也成立”的概率

＝P(A∩B)/P(B)≡“A和B都成立”的概率÷“B成立”的概率

上述例題要問的是：

“其中一顆是牛奶味”時，“另一顆也是牛奶味”的概率

套用公式＝

“其中一顆是牛奶味，并且，另一顆也是牛奶味”的概率÷“其中一顆是牛奶味”的概率

前者等于1/6，后者等于5/6，所以答案就是1/5(這個應該很容易算了)李老師關于此題的三個說明：

1、上面這個只是為了消除分歧嚴格按公式來計算，實際考試的時候簡單數數就能出來，“其中一顆是牛奶味”明顯有5種情況，“兩顆都是牛奶味只有1種情況”直接得到1/5

2、很多說是1/3，這是錯的，題目只有這樣問才是1/3，“口袋里有四顆糖，一顆巧克力味的，一顆果味的，兩顆牛奶的。小孫任意從口袋里連續取出兩顆糖，他看了看后說，第一顆是牛奶味的，問小孫取出的第二顆糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？”這個才是很多人說的1/3，解起來就很簡單，第一顆是牛奶味的，第二顆還有三種選擇，只有一種滿足條件，所以是1/3。按照我上面給的公式也可以。“第一顆是牛奶味”時，“第二顆也是牛奶味”的概率＝“第一顆是牛奶味，并且，第二顆也是牛奶味”的概率÷“第一顆是牛奶味”的概率＝(1/6)÷(1/2)=1/3

3、還有一個重要的概念必須澄清，也是考生容易出問題的地方，在計算簡單概率的時候，我們用到的基本公式：概率＝滿足條件的情況數÷總情況數。在這里數“情況數”的時候，如果遇到有像這個題目里說的“兩顆都是牛奶味”的情況數，我們數情況就應該特別注意了。雖然我們應該認為這兩顆牛奶糖是相同的，而事實上我們要分情況來看：如果是計算排列組合的時候確實應該視為相同（就是說如果問你從這四顆糖里拿出兩顆，有幾種情況，答案就是4種：巧果、巧牛、果牛、牛牛）；但是如果是計算概率的時候數有多少種情況，就一定必須把兩顆牛奶糖視為不同的（就是說在用概率公式“概率＝滿足條件的情況數÷總情況數”里的“總情況數”就是6而不是4：巧果、巧牛

1、巧牛

2、果牛

1、果牛

2、牛1牛2”，這是古典概率的定義里就給出來的，有興趣的可以翻翻高中課本，里面有要求用到“概率＝滿足條件的情況數÷總情況數”的時候，要求這些“情況”都必須是等概率的，也就是說即使東西給的是相同，計算也應該編號視為不同情況。

第二篇：行測方陣問題詳細總結

公務員考試行測輔導數學運算“方陣”問題

學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數與列數都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣(亦叫乘方問題)。

1.方陣總人數=最外層每邊人數的平方(方陣問題的核心)

2.方陣最外層每邊人數=(方陣最外層總人數÷4)+3.方陣外一層總人數比內一層總人數多2

4.去掉一行、一列的總人數=去掉的每邊人數×2-1

例1 學校學生排成一個方陣，最外層的人數是60人，問這個方陣共有學生多少人?

A.256人 B.250人 C.225人 D.196人(2002年A類真題)

解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數。

根據四周人數和每邊人數的關系可以知：

每邊人數=四周人數÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數，那么整個方陣隊列的總人數就可以求了。

方陣最外層每邊人數：60÷4+1=16(人)

整個方陣共有學生人數：16×16=256(人)。

所以，正確答案為A。

例2 參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人?

分析 如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數相等;最外層每邊人數是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：

去掉一行、一列的總人數=去掉的每邊人數×2-1

解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數。

原題中去掉一行、一列的人數是33，則去掉的一行(或一列)人數=(33+1)÷2=17

方陣的總人數為最外層每邊人數的平方，所以總人數為17×17=289(人)

下面幾道習題供大家練習：

1.小紅把平時節省下來的全部五分硬幣先圍成個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是：

A.1元 B.2元 C.3元 D.4元(2005年中央真題)

2.某儀仗隊排成方陣，第一次排列若干人，結果多余100人;第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。儀仗隊總人數為多少?答案：1.C 2.500人

(1)方陣總人(物)數＝最外層每邊人(物)數的平方；

(2)方陣最外一層總人(物)數比內一層總人(物)數多8(行數和列數分別大于2)；(3)方陣最外層每邊人(物)數＝(方陣最外層總人數÷4)＋1；(4)方陣最外層總人數＝[最外層每邊人(物)數－1]×4；(5)去掉一行、一列的總人數＝去掉的每邊人數×2－1 【例1】（國家2002A類-

9、國家2002B類-18）某學校學生排成一個方陣，最外層的人數是60人，問這個方陣共有學生多少人？（）A.256人 B.250人 C.225人 D.196人

［答案］A［解析］根據公式：方陣人數＝(最外層人數÷4＋1）^2＝（60÷4＋1）^2＝256（人）。【例2】（浙江2003-18）某校的學生剛好排成一個方陣，最外層的人數是96人，則這個學校共有學生（）。A.600人 B.615人 C.625人 D.640人

［答案］C［解一］根據公式：方陣人數＝(最外層人數÷4＋1)^2＝（96÷4＋1）^2＝625（人）。［解二］數字特性法：方陣的人數應該是一個完全平方數，所以結合選項，選擇C。【例3】（廣西2008-11）參加閱兵式的官兵排成一個方陣，最外層的人數是80人，問這個方陣共有官兵多少人？（）A． 441 B.400 C.361 D.386 ［答案］A［解析］根據公式：方陣人數＝(最外層人數÷4＋1)^2＝（80÷4＋1）^2＝441（人）。【例4】（國家2005一類-

44、國家2005二類-44）小紅把平時節省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是多少？（）A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

［答案］C［解一］設正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有N枚硬幣，根據公式可得方程組： N=4x－4 N=3y-3N=60

y-x=5，因為每枚硬幣5分，所以總價值3元。

［注釋］ 這里圍成的三角形和正方形都指的是空心的。

［解二］根據數字特性法：硬幣能圍成正三角形→硬幣的個數是3的倍數→硬幣的價值可以三等分→根據選項選擇C。【例6】參加中學生運動會團體操表演的運動員排成一個正方形隊列，若減少一行一列，則要減少49人，則參加團體操表演的運動員共（）人。A.576 B.625 C.676 D.2401 ［答案］B［解析］重疊點思維：假設每邊有x人，則一行一列共有（2x-1）人（注意該行與列的交叉點上的人被重復計算了兩遍），有方程：2x-1=49，解得x=25。共有25^2=625人。【例7】（廣東2005下-11）要在一塊邊長為48米的正方形地里種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗?（）A.128棵 B.132棵 C.153棵 D.157棵

［答案］C［解析］根據公式：棵數=總長÷間隔+1。邊長為48米，每橫行相距3米，共有48÷3+1=17行；邊長為48米，每橫行相距6米，共有48÷6+1=9列；可得：17×9=153（棵），一共可種樹苗153棵。

【例8】一些解放軍戰士組成一個長方陣，經一次隊列變換后，增加了6行，減少了10列，恰組成一個方陣，一個人也不多，一個人也不少。則原長方形陣共有（）人。A.196 B.225 C.256 D.289 ［答案］B［解析］設該正方形陣每邊x人，則原長方形陣為（x-6）行，（x+10）列。x^2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，選擇B。【例9】奧運會前夕，在廣場中心周圍用2008盆花圍成了一個兩層的空心方陣。則外層有（）盆花。A.251 B.253 C.1000 D.1008［答案］D ［解一］設外層有m盆，內層有n盆，根據公式：m-n=8。則： m-n=8 m+n=2008m=1008 n=1000 ［解二］設該方陣外層每邊x盆，根據“逆向法思維”：x^2-（x-4）^2=2008x=253，外層每邊有253盆，根據公式：外層共有253×4-4=1008。【例10】（江蘇2009-74）有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總人數是（）。A.296人 B.308人 C.324人 D.348人

［答案］B［解一］最外層68人，中間一層44人，則最內層為44×2－68＝20人（成等差數列）。因此一共有：68-208＋1＝7（層），總人數為44×7＝308。

［解二］中間一層共44人，總人數是＝44×層數，是44的倍數，結合選項直接鎖定B。

【例11】有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層的人數共48人，最內層人數為24人，則該方陣共有（）人。A.120 B.144 C.176 D.194［答案］B

［解一］設最外層每邊x人，最內層每邊y人，根據公式： 4x-4=48 4y-4=24x=13 y=7 因此外層每邊13人，內部空心部分每邊7-2＝5人，根據“逆向法思維”：共有132-52=144人。［解二］總人數＝（48+24）×層數÷2＝36×層數，是36的倍數，直接鎖定B。

［解三］根據公式：相鄰兩圈相差8，因此很容易得到這幾圈分別為48、40、32、24，直接加起來即可。

【例12】有若干人，排成一個空心的四層方陣。現在調整陣形，把最外邊一層每邊人數減少16人，層數由原來的四層變成八層，則共有（）人。A.160 B.1296 C.640 D.1936 ［答案］C［解析］設調整前最外層每邊x人，調整后每邊y人，根據“逆向法思維”： x-y=16 x^2-（x-8）^2=y^2-（y-16）^2x=44 y=28 因此：44^2-（44-8）^2=640（人）。容斥原理解題技巧

在行測考試中，容斥原理題令很多考生頭痛不已，因為容斥原理題看起來復雜多變，讓考生一時找不著頭緒。但該題型還是有著非常明顯的內在規律，只要考生能夠掌握該題型的內在規律，看似復雜的問題就能迎刃而解，下面就該題型分兩種情況進行剖析，相信能夠給考生帶來一定的幫助。

一、兩集合類型

1、解題技巧

題目中所涉及的事物屬于兩集合時，容斥原理適用于條件與問題都可以直接帶入公式的題目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B

快速解題技巧：總數=兩集合數之和+兩集合之外數－兩集合公共數

2、真題示例

【例1】現有50名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都錯的有4人，則兩種實驗都做對的有()

A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B 【解析】直接代入公式為：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案為B。

【例2】某服裝廠生產出來的一批襯衫大號和小號各占一半。其中25％是白色的，75％是藍色的。如果這批襯衫共有100件，其中大號白色襯衫有10件，小號藍色襯衫有多少件？（）

A、15B、25C、35D、40【答案】C 【解析】這是一種新題型，該種題型直接從求解出發，將所求答案設為A∩B，本題設小號和藍色分別為兩個事件A和B，小號占50%，藍色占75%，直接代入公式為：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。二、三集合類型

1、解題步驟

涉及到三個事件的集合，解題步驟分三步：①畫文氏圖；②弄清圖形中每一部分所代表的含義，按照中路（三集合公共部分）突破的原則，填充各部分的數字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）進行求解。

2、解題技巧

三集合類型題的解題技巧主要包括一個計算公式和文氏圖。

公式：總數=各集合數之和－兩集合數之和＋三集合公共數＋三集合之外數

3、真題示例

【例3】【國考2010-47】某高校對一些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備只選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調查的學生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A

【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分數字24，再推其他部分數字：

根據每個區域含義應用公式得到：

總數=各集合數之和－兩兩集合數之和＋三集合公共數＋三集合之外數

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15

根據上述含義分析得到：x+z+y只屬于兩集合數之和，也就是該題所講的只選擇兩種考試都參加的人數，所以x+z+y的值為46人；得本題答案為120.【例4】對某單位的100名員工進行調查，結果發現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人（）

A.22人 B.28人 C.30人 D.36人【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分數字12，再推其他部分數字：根據各區域含義及應用公式得到：

總數=各集合數之和－兩兩集合數之和＋三集合公共數＋三集合之外數

100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因為該題中，沒有三種都不喜歡的人，所以三集合之外數為0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。（曾凡穩）

一、兩集合類型

1、解題技巧

題目中所涉及的事物屬于兩集合時，容斥原理適用于條件與問題都可以直接帶入公式的題目，公式如下： A∪B=A+B－A∩B 快速解題技巧：總數=兩集合數之和+兩集合之外數－兩集合公共數

2、真題示例

【例1】現有50名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有()

【答案】C【解析】直接代入公式為：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案為B。

【例2】某服裝廠生產出來的一批襯衫大號和小號各占一半。其中25％是白色的，75％是藍色的。如果這批襯衫共有100件，其中大號白色襯衫有10件，小號藍色襯衫有多少件？（）A、15 B、25 C、35 D、40【答案】C 【解析】這是一種新題型，該種題型直接從求解出發，將所求答案設為A∩B，本題設小號和藍色分別為兩個事件A和B，小號占50%，藍色占75%，直接代入公式為：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

二、三集合類型

1、解題步驟

涉及到三個事件的集合，解題步驟分三步：①畫文氏圖；②弄清圖形中每一部分所代表的含義，按照中路（三集合公共部分）突破的原則，填充各部分的數字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）進行求解。

2、解題技巧

三集合類型題的解題技巧主要包括一個計算公式和文氏圖。

公式：總數=各集合數之和－兩集合數之和＋三集合公共數＋三集合之外數

文氏圖如下：

其中各區域含義分別為：1區域代表只屬于A集合；2區域代表只屬于A和B；3區域代表只屬于B集合；4區域代表只屬于B和C；5區域代表三集合公共部分；6區域代表只屬于A和C；7區域代表只屬于C集合；2+5區域代表A∩B； 4+5區域代表B∩C；5+6區域代表A∩C；1+2+5+6區域代表屬于A集合；3+2+5+4區域代表屬于B集合；4+5+6+7區域代表屬于C集合。

3、真題示例

【例3】【國考2010-47】某高校對一些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備

只選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調查的學生共有多少人？（）A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分數字24，再推其他部分數字，得下圖：

根據每個區域含義應用公式得到：

總數=各集合數之和－兩兩集合數之和＋三集合公共數＋三集合之外數

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 ＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15 根據上術含義分析得到：x+z+y只屬于兩集合數之和，也就是該題所講的只選擇兩種考試都參加的人數，所以x+z+y的值為46人；得本題答案為120.【例4】對某單位的100名員工進行調查，結果發現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人（）A.22人 B.28人 C.30人 D.36人【答案】A 【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分數字12，再推其他部分數字，得下圖：

根據各區域含義及應用公式得到：

總數=各集合數之和－兩兩集合數之和＋三集合公共數＋三集合之外數 100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因為該題中，沒有三種都不喜歡的人，所以三集合之外數為0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。容斥原理題目巧解

容斥原理是公務員考試中較難的一類題目，一般的解題思路有兩種：

1、公式法，適用于“條件與問題”都可直接代入公式的題目；

2、文氏圖示意法，即當條件與問題不能直接代入公式時，需要利用該方法解決。

一般而言，能夠直接代入公式的題目較容易，而需要利用文氏圖的題目相對靈活，容易給考生解題帶來不便。如果大家能夠對公式中的各個要素以及文氏圖上的各個部分所代表的含義有深入了解，則可以快速抓住解題關鍵。

【例題】某班有35個學生，每個學生至少參加英語小組、語文小組、數學小組中的—個課外活動小組。現已知參加英語小組的有17人。參加語文小組的有30人，參加數學小組的有13人。如果有5個學生三個小組全參加了，問有多少個學生只參加了一個小組？

A.15 B.16 C.17 D.18

對于這個題目，一般思路為：將題目條件帶入三集合文氏圖，假設只參加兩個小組的人數分別為x，y，z人，由加減關系可以得到只參加一個小組的人數的表示形式，根據總人數可以列出方程：

(13-5-x-y)+(17-5-x-y)+(30-5-x-y)+x+y+z+5=35，從而得到x+y+z=15，即為所求。

該方法是利用文氏圖和列方程的方法進行解題，方法簡單易懂，但是實際操作起來消耗時間較多，下文將給出本題的另外兩種解法：

【解法1】文氏圖與三集合標準型公式相結合。

三集合標準型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。

將語文小組的人數視為A，數學小組人數視為B，英語小組人數視為C，分別代入公式可以得到AB+AC+BC=30。“AB+AC+BC”中包含三個ABC，因此要減去兩個，即AB+AC+BC-2ABC=20，即為至少選兩個小組的人數，因此，得到只參加一個小組的人數=總人數(AUBUC=35)減去至少選兩個小組的人數(AB+AC+BC-2ABC=20)，等于15。

該方法將文氏圖與三集合標準型公式結合使用，避免了求解不必要要素的過程，這需要各位考生對于基本公式和文氏圖各部分的意義有深刻理解。對于這道題目而言，還有更加快速的解題方法，如下：

【解法2】通過讀題，我們可以發現，英語小組、語文小組、數學小組在題目中都是同時出現，即這三個小組是并列關系，對于這三個小組的人數，即17、30、13三個數字只能用加法處理，等于60。這樣原題五個數字(35、17、30、13、5)就變為三個(35、60、5)，而這三個數字之間只能做加減，而不能做乘除，因此，得到結果的尾數必為“0”或“5”。

在得到這個結論之后，我們觀察一下選項，發現只有A選項尾數為5，因此，本題答案確定無疑，就是A。本題成功實現“秒殺”。

關于容斥原理的考試題目千變萬化，但是無論怎樣變化都離不開基本公式和文氏圖，考生在平時練習的時候一定要熟練掌握這兩種方法，從而提高做題速度與正確率，并爭取針對個性化的題目產生巧妙的方法。山東公務員行測：數量關系之容斥問題解題原理及方法

一、知識點

1、集合與元素：把一類事物的全體放在一起就形成一個集合。每個集合總是由一些成員組成的，集合的這些成員，叫做這個集合的元素。如：集合A={0，1，2，3，??，9}，其中0，1，2，?9為A的元素。

2、并集：由所有屬于集合A或集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的并集，記作A∪B，記號“∪”讀作“并”。A∪B讀作“A并B”，用圖表示為圖中陰影部分表示集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的約數集合為A={1，2，3，6}，10的約數集合為B={1，2，5，10}，則A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B兩個集合公共的元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們組成的集合叫做A和B的交集，記作“A∩B”，讀作“A交B”，如圖陰影表示：

例：已知6的約數集合A={1，2，3，6}，10的約數集合B={1，2，5，10}，則A∩B={1，2}。

4、容斥原理(包含與排除原理)：

(用|A|表示集合A中元素的個數，如A={1，2，3}，則|A|=3)原理一：給定兩個集合A和B，要計算A∪B中元素的個數，可以分成兩步進行： 第一步：先求出∣A∣+∣B∣(或者說把A，B的一切元素都“包含”進來，加在一起);第二步：減去∣A∩B∣(即“排除”加了兩次的元素)總結為公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

原理二：給定三個集合A，B，C。要計算A∪B∪C中元素的個數，可以分三步進行： 第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣;第二步：減去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣;第三步：再加上∣A∩B∩C∣。即有以下公式：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-|C∩A|+|A∩B∩C∣

二、例題分析：

例1 求不超過20的正整數中是2的倍數或3的倍數的數共有多少個。

分析：設A={20以內2的倍數}，B={20以內3的倍數}，顯然，要求計算2或3的倍數個數，即求∣A∪B∣。

解1：A={2，4，6，?20}，共有10個元素，即|A|=10 B={3，6，9，?18}，共有6個元素，即|B|=6

A∩B={既是2的倍數又是3的倍數}={6，12，18}，共有3個元素，即|A∩B|=所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13個元素。

解2：本題可直觀地用圖示法解答

如圖，其中，圓A中放的是不超過20的正整數中2的倍數的全體;圓B中放的是不超過20的正整數中3的倍數的全體，其中陰影部分的數6，12，18是既是2的倍數又是3的倍數的數(即A∩B中的數)只要數一數集合A∪B中的數的個數即可。

例2 某班統計考試成績，數學得90分上的有25人;語文得90分以上的有21人;兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人?

解：設A={數學成績90分以上的學生} B={語文成績90分以上的學生}

那么，集合A∪B表示兩科中至少有一科在90分以上的學生，由題意知，∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

現要求兩科均在90分以上的學生人數，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

點評：解決本題首先要根據題意，設出集合A，B，并且會表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3 某班同學中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項體育活動的總人數是多少?

解：設A={打籃球的同學};B={跑步的同學}則 A∩B={既打籃球又跑步的同學}A∪B={參加打籃球或跑步的同學}

應用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)

例4 求在不超過100的自然數中，不是5的倍數，也不是7的倍數有多少個?

分析：這個問題與前幾個例題看似不相同，不能直接運用容斥原理，要計算的是“既不是5的倍數，也不是7的倍數的數的個數。”但是，只要同學們仔細分析題意，這只需先算出“100以內的5的倍數或7的倍數的數的個數。”再從100中減去就行了。

解：設A={100以內的5的倍數} B={100以內的7的倍數} A∩B={100以內的35的倍數} A∪B={100以內的5的倍數或7的倍數} 則有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2 由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32因此，不是5的倍數，也不是7的倍數的數的個數是：100-32=68(個)

點評：從以上的解答可體會出一種重要的解題思想：有些問題表面上看好象很不一樣，但經過細心的推敲就會發現它們之間有著緊密的聯系，應當善于將一個問題轉化為另一個問題。

例5 某年級的課外學科小組分為數學、語文、外語三個小組，參加數學小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人;同時參加數學、語文兩個小組的有4人，同時參加數學、外語小組的有7人，同時參加語文、外語小組的有5人;三個小組都參加的有2人。問：這個年級參加課外學科小組共有多少人?

解1：設A={數學小組的同學}，B={語文小組的同學}，C={外語小組的同學}，A∩B={數學、語文小組的同學}，A∩C={參加數學、外語小組的同學}，B∩C={參加語文、外語小組的同學}，A∩B∩C={三個小組都參加的同學}

由題意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

根據容斥原理二得：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

=23+27+18-(4+5+7)+2 =54(人)山東公務員行測：數量關系之容斥問題解題原理及方法

解2： 利用圖示法逐個填寫各區域所表示的集合的元素的個數，然后求出最后結果。

設A、B、C分別表示參加數學、語文、外語小組的同學的集合，其圖分割成七個互不相交的區域，區域Ⅶ(即A∩B∩C)表示三個小組都參加的同學的集合，由題意，應填2。區域Ⅳ表示僅參加數學與語文小組的同學的集合，其人數為4-2=2(人)。區域Ⅵ表示僅參加數學與外語小組的同學的集合，其人數為7-2=5(人)。區域Ⅴ表示僅參加語文、外語小組的同學的集合，其人數為5-2=3(人)。區域Ⅰ表示只參加數學小組的同學的集合，其人數為23-2-2-5=14(人)。同理可把區域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人數逐個算出，分別填入相應的區域內，則參加課外小組的人數為;

14+20+8+2+5+3+2=54(人)

點評：解法2簡單直觀，不易出錯。由于各個區域所表示的集合的元素個數都計算出來了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問。

例6 學校教導處對100名同學進行調查，結果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇(但不喜歡看電影)的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇(但不喜歡看球賽)的有4人，三種都喜歡的有12人。問有多少同學只喜歡看電影?有多少同學既喜歡看球賽又喜歡看電影(但不喜歡看戲劇)?(假定每人至少喜歡一項)

解法1：畫三個圓圈使它們兩兩相交，彼此分成7部分(如圖)這三個圓圈分別表示三種不同愛好的同學的集合，由于三種都喜歡的有12人，把12填在三個圓圈的公共部分內(圖中陰影部分)，其它6部分填上題目中所給出的不同愛好的同學的人數(注意，有的部分的人數要經過簡單的計算)其中設既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數為χ，這樣，全班同學人數就是這7部分人數的和，即

16+4+6+(40-χ)+(36-χ)+12=100解得 χ=14只喜歡看電影的人數為36-14=22

解法2：設A={喜歡看球賽的人}，B={喜歡看戲劇的人}，C={喜歡看電影的人}，依題目的條件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18(這里加12是因為三種都喜歡的人當然喜歡其中的兩種)，|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再設|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

得：100=58+38+52-(18+16+х+12)+12解得：х=14∴36-14=22所以既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數為14，只喜歡看電影的人數為22。

點評：解法1沒有用容斥原理公式，而是先分別計算出(未知部分設為х)各個部分(本題是7部分)的數目，然后把它們加起來等于總數，這種計算方法也叫“分塊計數法”，它是利用圖示的方法來解決有關問題，希望同學們能逐步掌握此類方法，它比直接用容斥原理公式更直觀，更具體。

例

7、某車間有工人100人，其中有5個人只能干電工工作，有77人能干車工工作，86人能干焊工工作，既能干車工工作又能干焊工工作的有多少人?

解：工人總數100，只能干電工工作的人數是5人，除去只能干電工工作的人，這個車間還有95人。利用容斥原理，先多加既能干車工工作又能干焊工工作的這一部分，其總數為163，然后找出這一公共部分，即163-95=68

例

8、某次語文競賽共有五道題(滿分不是100分)，丁一只做對了(1)、(2)、(3)三題得了16分;于山只做對了(2)、(3)、(4)三題，得了25分;王水只做對了(3)、(4)、(5)三題，得了28分，張燦只做對了(1)、(2)、(5)三題，得了21分，李明五個題都對了他得了多少分?

解：由題意得：前五名同學合在一起，將五個試題每個題目做對了三遍，他們的總分恰好是試題總分的三倍。五人得分總和是16+25+30+28+21=120。因此，五道題滿分總和是120÷3=40。所以李明得40分。

例9，某大學有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既教日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，則不教三門課的外語教師有多少名?

解：本題只有求出至少教英、日、法三門課中一種的教師人數，才能求出不教這三門課的外語教師的人數。至少教英、日、法三門課中一種教師人數可根據容斥原理求出。根據容斥原理,至少教英、日、法三門課中一種的教師人數為50+45+40-15-10-8+4=106(人)不教這三門課的外語教師的人數為120-106=14(人)

第三篇：2015銀行校園招聘行測概率問題-內蒙古銀行招聘

文章來自赤峰人事考試信息網：http://chifeng.offcn.com

2015銀行校園招聘行測概率問題-內蒙古銀行招聘

概率指某事件發生的可能性，取值在0到1之間。常考的概率問題有3種，一是古典型概率;二是多次獨立重復試驗;三是幾何概率。在這里中公教育專家重點為大家講解第一種，也就是古典型概率。

在古典型概率中目標數和總可能數是可以數出來的，具體的數目通常可以用排列組合運算得出。那么事件A發生的概率P就等于目標數m除以總可能數n，例2：甲某打電話時忘記了對方電話號碼最后一位數字，但記得這個數字不是0。甲某嘗試用其他數字代替最后一位數字，恰好第二次嘗試成功的概率是()。

A.1/9 B.1/8 C.1/7 D.2/9 答案：A 中公解析：運用分步的思想去理解并進行計算。恰好第二次嘗試成功則說明第一次猜錯，第二次猜對，分了兩個步驟，則其概率為8/9×1/8=1/9。

例3：某單位端午節3天假期安排甲、乙、丙、丁4人值班。端午節當天上、下午各安排一個人值班，另外兩天每天安排一個人，每人只值班一次。則乙被安排在端午節當天值班的概率是: A.1/24 B.1/12 C.1/3 D.1/2 答案：D 文章來自赤峰人事考試信息網：http://chifeng.offcn.com

例4：某單位分為A、B兩個部門，A部門有3名男性，3名女性，B部分由4名男性，5名女性，該單位欲安排三人出差，要求每個部門至少派出一人，則至少一名女性被安排出差的概率為()。

A.107/117 B.87/98 C.29/36 D.217/251 答案：A

中公教育專家認為，概率問題雖然題目千變萬化，但是解決問題的思想是相同的，希望廣大考生能在理解的基礎之上多做練習題，以達到融會貫通的目的。

第四篇：行測集合問題

行測集合問題

集合問題也稱容斥原理，是國家公務員考試中出題頻率最高的題型之一。本類試題基本解題思路如下：

1、利用集合原理公式法：適用于條件與問題都可直接代入公式的題目。（1）兩個集合：（2）三個集合：

2、文氏圖示意法：用圖形來表示集合關系，變抽象文字為形象圖示。

2003年國考A卷第7題

某服裝廠生產出來的一批襯衫中大號和小號各占一半。其中25%是白色，75%是藍色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號白色襯衫有10件，問小號藍色襯衫有多少件？（）

（直接計算）

2004年國考A卷第46題

某大學某班學生總數為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數是（）

（作圖法）

2005年國考第一卷第45題

對某單位的100名員工進行調查，結果發現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有（）

（公式法）

2005年國考第二卷第45題

外語學校有英語、法語、日語教師共27人，其中智能教英語的有8人，只能教日語的有6人，能教英、日語的有5人，能教法、日語的有3人，能教英、法語的有4人，三種都能教的有2人，則只能教法語的有（）

（作圖、公式）

2006年國考一卷第42題

現有50名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有（）

（作圖、公式）

2006年國考二卷第43題

某工作組有12名外國人，其中6人會說英語，5人會說法語，5人會說西班牙語，有3人既會說英語又會說法語，有2人既會說法語又會說西班牙語，有2人既會說西班牙語又會說英語；有1人這三種語言都會說。則只會說一種語言的人比一種語言都不會說的人多（）

（作圖、公式）2007年國考第50題

小明和小強參加同一次考試，如果小明答對的題目占所有題目的3、4，小強答對了27道題，他們兩個人都答對的題目占題目總數的2、3，那么兩個人都沒有答對的題目共有（）道題。

（小明做對的+小強做對的—他兩都做對的+他兩都做錯的=總題數）2009年國考第116題

X,Y,Z分別是面積為64、180、160的三個不同形狀的紙片，它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為290，且X與Y、Y與Z、Z與X重疊部分面積分別為24、70、36，問陰影部分的面積是多少？（）

（公式法）

第五篇：行測總結

行測總結

一、選詞填空

1、利用詞語色彩義解答邏輯填空

（1）詞語的感情色彩

詞語可分為：褒義詞、貶義詞、中性詞。大家在做題時，需要根據現有句子所提供的語境，判斷作者的感情態度和褒貶意味，從而選出與作者感情色彩最相符合的詞語。

例題：他

在色彩與線條的世界中，一個星期沒有離開過設計室，終于出色地完成了任務。（D）

A.沉溺 B.沉淪 C.沉陷 D.沉浸

（2）詞語的語體色彩

根據語體色彩，詞語可分為口頭語和書面語兩大類。口頭語的主要特點是：自然、通俗，常用于日常交談，或比較口語化的文學作品。書面語的特點是：文雅、莊重，多用于比較正式的場合、理論性強的文章等。從試題選材來看，公務員考試多考查考生對書面語的掌握情況。

從表達內容來看，書面語又可分為公文語體、政論語體、科技語體和文藝語體。不同的語體色彩表現出不同的語體風格。如：公文類語體用詞比較規范、莊重，政論類語體的詞語感情色彩比較強烈、邏輯性強，科技類語體的詞語比較嚴密、規范，文藝類語體的詞語則相對比較文雅、抒情。

例題：中國國家質檢總局將繼續加強對企業的監督管理，要求企業進一步完善其質量安全自控體系，確保出口日本產品質量安全;同時將繼續加強與日方

，其盡快解除對其余三十七家企業產品的檢查命令，保證輸日食品貿易的進展順利。

填入劃橫線部分最恰當的一項是(C)。

A.協商 要求B.商量 催促 C.磋商 敦促 D.洽談 懇請

（3）詞語的形象色彩

有些詞語除了具有一般意義，還能給人以一種特別的形象感，它往往以生動、具體的形象讓人們產生視覺、聽覺、嗅覺、味覺上的感受，以引起人們對現實生活中某種形象的聯想，這就是詞語的形象色彩。例如，北京頤和園里有一座石拱橋叫“玉帶橋”，許多人又把它叫作“羅鍋橋”，兩個詞語同指一座橋，但卻給人以不同的形象聯想。有些邏輯填空題，從詞語的理性義、感情色彩、搭配習慣等方面都不太好判斷答案，這時對詞語的形象色彩進行辨析有可能成為我們攻克難關的法寶。

例題：云團

地移動著，被吞沒了多時的滿月一下子跳出來，像一個剛出煉爐的銀盤，輝煌燦爛，銀光耀眼，把整個大地照得

的，荷葉上的青蛙，草叢里的螞蚱和樹枝上的小鳥，都被這突然

的光明驚醒，歡呼、跳躍，高聲鳴唱起來。

填入劃橫線部分最恰當的一項是(B)。

A.慢慢 明晃晃 降臨 B.緩緩 亮堂堂 降臨

C.慢慢 亮堂堂 來臨 D.緩緩 明晃晃 來臨(二)詞語的理性義

1.看詞義所指的范圍

示例：“度過”與“渡過”

度過：指過去的意思，多用于表示與時間有關的對象，如“光陰”“童年”等;

渡過：渡，水字旁。指經過與水有關的江、河、湖、海等，也指經過困難、危機等。

【誤用】社會各界好心人士捐款共計20余萬元，幫助這家人暫時度過了難關。

【辨錯】句中說的是“難關”，應該與“渡過”搭配。

2.看詞義的側重點

示例：“精準”VS“精確”

精準：側重于很符合、沒差錯;

精確：側重于精細、確切，如：精確到小數點后多少位數。

【誤用】8號選手的遠投非常精確。

【辨錯】句子說的是投籃投得準，所以“精確”應改為“精準”。

3.看詞義的輕重程度

示例：“批判”VS“批評”

批判：指對錯誤的或敵對的思想、言論或行為作系統地分析，加以否定，詞義較重;

批評：指對書籍、文章加以批點評注，或專指對缺點和錯誤提出意見，詞義較輕。

【誤用】過去開會，有些人總是拖拖拉拉愛遲到，經過批判教育，這種不良的現象已經不再出現了。

【辨錯】“批判”針對的是錯誤或敵對的思想、言論等，而“開會遲到”沒有那么嚴重，不能用“批判”，應改為“批評”。

二、巧解啟后類語句銜接題

啟后類的題，考生做題時要注意：

1、要保持上下文話題的一致性;

2、可參照文段的行文脈絡，文段的邏輯關系有時也要注意到。

3、要與最后一句有銜接，這是參考性最強的一個事項。我們在寫文章時，如果要引出另一個內容，往往會有個過渡句，在啟后類的題中，給定文段的最后一句一般會有過渡的作用。

【例1】(2005-國考-25)“人造”美女是最近非常搶眼的一個詞。愛美之心人皆有之，丑小鴨變成白天鵝的夢想，通過整形手術就可以在短時間內成為現實，對每一位愛美女性來說，都是一種誘惑。目前，整形美容已成為諸多愛美女性增加個人靚麗指數的時尚選擇。與此同時，也有許多女性為此付出了慘痛的代價……

作為文章的引言，該文章最有可能談的是()

A.整形美容的方法、原理和效果

B.整形美容受到眾多女性的青睞

C.整形美容給女性生活帶來的變化

D.失敗的整形美容所帶來的痛苦

【解析】本題正確答案為D。這是一道典型的啟后類的語句銜接題。文段前面內容講的的整形美容帶給女性好的方面，文段最后一句用“與此同時”過渡到“許多女性為此付出了慘痛的代價”，即整形美容的負面影響，因此，正確答案為D。本題有看考生誤選C，注意對“變化”的理解，變化有好的變化也有壞的變化，而最后一句非常明顯是指的壞的變化，因此，C項不正確。

【例2】(2010-國考-29)幾千年前，在非洲濕熱的原始森林里，土著居民圍著火堆，跟隨各種復雜節奏自由而熱烈地邊舞邊唱。這種歌聲，也許在某些“文明人”眼里算不上音樂。然而，這樣的聲音卻是最原始的，是在惡劣環境里頑強的本能所發出的生命之音。如果說布魯斯音樂是很多音樂的根源，那么，上面所說的便是這個根源的根源。

這段文字是一篇文章的引言，文章接下來最應該講述的是：

A.自然環境與音樂風格的關系

B.布魯斯音樂與土著音樂的源流關系

C.土著音樂產生的歷史背景

D.人類本能在原聲音樂中的表現

【解析】本題正確答案為B。本題是一道典型的啟后類語句銜接題。文中前面三句都是圍繞“土著音樂”闡述，最后一句提出了“上面所說的(土著音樂)便是這個根源(布魯斯音樂)的根源”的觀點，也就是說，文章接下來要談的應該是二者的源流關系，正確答案為B。

這類題，關鍵是對最后一句的理解。考生的最佳做法是：首先看最后一句，然后篩選出前面已經敘述過的內容是什么，沒有敘述的內容是什么，前面沒有敘述到的內容肯定是作者接下來想敘述的內容。這樣，就可以快而準的鎖定正確答案了。祝考生在考試中能運用自如。

三、片段閱讀題

片段閱讀重點考查的是迅速準確地理解文字材料內涵、把握文字材料主旨的能力。要快速準確地解答片段閱讀題首先要能抓住文字材料的重點、關鍵信息。

何謂“關鍵”?“關鍵”是比喻緊要的部分或對事情起決定作用的因素，對片段閱讀題目來說，它就是對迅速而準確地理解文段材料內涵最有幫助或最有效用的信息，這些信息能夠幫助我們快速定位文段的論述對象和重點、劃分出文段的結構，繼而幫助我們排除錯誤選項，鎖定正確答案。

根據特性不同，“關鍵”信息主要有以下三大類：關鍵詞、關鍵句和關鍵暗示信息。專家在本系列文章中就對這三劍客的使用方法做介紹并結合實例幫助考生更好地理解。本篇文章先講解關鍵詞。

題干材料中的關鍵詞主要有以下幾種：高頻詞、表示某一特定含義的概念、提示文段重點或結構的詞。

(一)高頻詞：確定文段論述主題、重點

文段中多次出現的詞語稱為高頻詞語。反復通常表強調，故高頻詞一般都是文段的中心詞，與文段的主要內容或主旨密切相關。因此解題時要注意高頻詞，尤其是解答主旨類題目和主題類題目時可直接鎖定包含了高頻詞的選項為正確答案。

例題1：信息時代里的企業就像一個完整的人，組織如骨骼，資金如血液，信息如神經。信息流是生命線，信息系統是神經系統，顧客需求是刺激源。在統一的數字神經系統下，從決策者到管理者再到執行者，從人到機器，如果信息可以一路順暢，整個企業就能用一個大腦思考。這顆數字大腦不僅要對多樣化、個性化的顧客需求做出及時準確的反應，還要在對這類信息資源的篩選和分析中不斷尋找新的機遇，拓展進步的空間，打造時刻貼近顧客需求的無縫隙的服務品牌。

這段文字意在強調()。

A.打造知名品牌是企業長遠發展的基礎

B.應高度重視企業各個環節的有效整合 C.如何對顧客需求做出及時準確的反應

D.信息系統對企業具有至關重要的意義

解析：此題答案為D。歸納內容可知，文段把信息時代的企業比作一個完整的人，由“信息如神經，信息流就是生命線，信息系統是神經系統”，“如果信息可以一路暢通，整個企業就能……”可知，文段是在強調信息對企業意義重大。

【快解】通讀材料后我們發現名詞“信息”在文中出現了六次，屬于高頻詞語，A、B、C、D四個選項中只有D項與“信息”有關，這樣即可快速確定答案為D。

(二)表示某一特定含義的概念：確定文段落腳點

文段中出現的含有特定意義的概念，通常是文段的要點。尤其當該概念出現在段尾時，往往是文段的落腳點，與文段的主旨多有密切關系。遇到此類文段時，考生只要抓住這個概念，運用排除法，即可快速準確地鎖定答案。

例題2：從本質上說，人類文明的進程就是不斷脫離動物界的過程，這一過程主要包括人類體質的進化和心性的進化兩個方面。從猿到人的體質進化，人類用了上百萬年的時間才完成，而人類心性的進化則還要緩慢。當人類跨越石器時代、青銅時代進入鐵器時代之后，動物性依然頑強地在人類身上閃現著。如何管理好人類的情感，使帶有動物性的人變成理性的人，是儒家最為關注的重要課題。如果把儒家的答卷歸結為一個字，那就是“禮”。

對這段文字的主旨概括最準確的是()。

A.描述人類文明發展進化的大致過程

B.對比人類體質與心性兩方面的進化

C.闡述儒家強調禮儀作用的社會原因

D.說明儒家思想的產生根源與現實意義

解析：此題答案為C。本題屬于主旨題，概括內容可知，作者從人類文明的進程說到人類情感的管理，最后引出儒家思想中的“禮”這一課題。由此可見，作者主要想談的是儒家思想中的“禮”。

【快解】若注意到該文段在末尾提出了一個重要概念——“禮”，且加了引號，則可快速判斷主旨應與此相關，而包含這層含義的只有C項。

(三)提示文段重點或結構的詞：指示重點、區分層次

與高頻詞和表示某一特定含義的概念直接點出文段的中心詞或落腳點不同，文段中有些詞只能間接對快速定位文段的重點或劃分出文段的結構起指示作用，這些詞一般為關聯詞、副詞或其他某些起提示或指示作用的詞。

1.關聯詞

關聯詞是復句中用來連接分句與分句，表明分句與分句之間結構關系和語義關系的詞語。不同的關聯詞所表達的關系也不一樣，主要有轉折關系、因果關系、遞進關系、條件關系、假設關系、并列關系。

例題3：對一項科學工作的評價不能簡單地歸結為一個數字的大小，任何數字都不能取代同行評議及對該工作科學意義的具體分析和歷史檢驗。然而，不好的評價指標有可能誤導評審人員，導致錯誤的結果;而好的評價指標可以提供更準確的信息，使相應的評審更加客觀和公正。

這段文字意在強調，對科學工作的評價()。

A.應該是主觀評價和客觀評價的統一 B.關鍵在于建立科學的評價指標體系

C.不應以數字結論作為主要參考依據 D.需要綜合考慮多種因素才能實現公正

解析：此題答案為B。文段首先指出對科學工作的評價不能簡單地歸結為數字的大小，然后從正反兩方面論證了評價指標對評價結果的影響。由此可知，文段強調的是建立科學的評價指標體系的重要性，即B項。

【快解】本題易錯選C項，但若能抓住“然而”則能快速得出正確答案，其后的內容從正反兩方面論證了評價指標對評價結果的影響。

2.副詞：其實、倒、尤其(特別)

副詞是用在動詞或形容詞前起輔助性作用的虛詞。雖然大多數副詞沒有具體的含義，但在表情達意上有時能起到實詞不能替代的作用。分析作者的觀點或文段的重點，要注意文段中的相關副詞。

例題4：文明和文化是不同的。文明使所有的地方所有的民族越來越相似，按照德國人埃利亞斯《文明的進程》的說法，文明是一個群體社會中大家按照同一規則生活，就好像按照一個節拍跳舞，不至于踩到腳一樣;而文化使一個民族與別的民族不同，它是與生俱來的，不是規則而是習慣。其實城市化也可以這樣看：城市迅速發展，摩天大樓變成城市象征，這其實是現代文明在世界各個角落強勢發展的結果。但是，我們又希望文明不要壓倒文化，“同一”不要消滅“差異”。

這段文字意在()。

A.質疑現代文明忽略民族個性的趨勢

B.探究城市化進程與文明發展的關系

C.強調城市化進程中保存文化的必要性

D.比較文明與文化對人類發展的不同影響

解析：此題答案為C。文段先對比了文明和文化對人類發展的不同影響，然后指出城市化是文明的結果，末句的“又希望文明不要壓倒文化”說的是在城市化過程中，不要忽視文化的作用，即不要為了追求城市的現代化而犧牲城市的個性。“城市化”為文段的論述對象，選項中應包含這一關鍵詞，據此排除A、D。B項未談到保存文化，排除。本題選C。

【快解】“其實”指示了文段意在說明的內容。

3.其他起提示或指示作用的詞

例題5：作物生產系統，是一個作物—環境—社會相互交織的復雜系統，作物生產的高產、優質和高效通常又是矛盾的和難于協調統一的整體，而且，高產、優質和高效三者的主次關系也會隨著社會經濟的發展而變化，可見農學學科的研究對象不僅涉及自然因素，而且涉及了社會因素。

這段文字意圖說明()。

A.農學學科的研究對象既涉及自然因素又涉及了社會因素

B.作物生產系統是一個作物—環境—社會相互交織的復雜系統

C.農學是服務于作物生產的一門綜合學科

D.必須以系統學的觀點來認識農學和作物生產

解析：此題答案為A。文段為典型的分總結構，“可見”一詞引導的句子歸納總結了文段內容，為文段中心句，A項表述為文段中心句的同義轉述，故選A

（四）增強削弱類題

增強削弱論點的直接選該選項，沒有此情況的，在選項中選擇最能增強削弱論點的論據

四、定義判斷

（一）關鍵詞法

例1.(2008年國家66)立體農業是指農作物復合群體在時空上的充分利用。根據不同作物的不同特性，如高稈與矮稈、富光與耐蔭、早熟與晚熟、深根與淺根、豆科與禾本科，利用它們在生長過程中的時空差，合理地實行科學的間種、套種、混種、輪種等配套種植，形成多種作物、多層次、多時序的立體交叉種植結構。根據上述定義，下列屬于立體農業的是()

A.甲在自己的玉米地里種植大豆

B.乙在自己承包的魚塘不但養魚，還種植了很多蓮藕

C.丙在南方某地區承包了十畝稻田，特意引種了高產的水稻新品種

D.丁前年承包了-座山，他在山上種植了大量蘋果樹，并在山上養殖了大量蜜蜂

1.A[解析]關鍵詞“農作物復合群體”，A選項玉米和大豆符合農作物復合群體，B選項魚不是農作物，同樣D中蜜蜂也不是農作物，C選項都是稻田，沒體現復合群體，因此選擇A選項。

四、邏輯推理

（一）矛盾命題

真假推理型題目我們的解題思路是：首先找矛盾，關鍵看其余。矛盾找到了，我們只能知道互為矛盾的兩個命題永遠是一真一假，但是誰真誰假我們是不知道的，這時看剩下的，其余命題的真假我們是知道的，這時從剩下命題入手就可以進行推理了。

例

1、某個??是--某個??不是

比如說李四及格了--李四不及格，正好是“某個??是--某個??不是”的形式，那么這就是一對矛盾命題。筆者將結合下面的例題進行詳細的講解。

例1（2009年河北92）國王要為自己的女兒挑選一個最聰明勇敢的女婿，他向所有的求婚者宣稱他已經把公主和兩只獅子分別關進了三間房子，然后在三間房子門上分別寫了一句話，讓求婚者們去打開自己認為可以打開的門。第一間房上寫著：“這間房子里有獅子。”第二間房門上寫著：“公主在第一間房子里。”第三間房門上寫著：“這間房子里有獅子。”其實這三句話中，只有一句話是真的。

據此可以推斷

A.公主在第一間房子里B.公主在第二間房子里

C.公主在第三間房子里D.三間房子里關的都是獅子

1.C［解析］第一間房上寫著：“這間房子里有獅子。”就是說：公主不在第一間房間，與第二間房門上寫著：“公主在第一間房子里。”是矛盾的。題干已知只有一句話是真的，那這個真的肯定存在于矛盾命題之間，按照我們的思路：首先找矛盾，關鍵看其余，由此推出第三間房門寫的肯定是假話，這間房子里有獅子是假的，真的就是：這間房子里沒獅子，也就是說這間房子里有公主，因此選擇C選項。

（二）所有??都是??--有些??不是??

比如說所有同學都是團員--有些同學不是團員，恰好是“所有??都是??--有些??不是??”的形式，因此這就是一對矛盾命題。

例2（2006年江蘇A56）張三到某店買巧克力，店主領他看四個箱子，每個箱子上都寫了句話。第一個箱子：“所有箱子中都有荔枝。”第二個箱子：“本箱中有蘋果。”第三個箱子：“本箱中沒有巧克力。”第四個箱子：“有些箱子中沒有荔枝。”店主對張三說：“四句話中只有一句真話，您看巧克力在哪個箱子里？”請替張三選擇一個正確答案。

A.巧克力在第一個箱子里 B.巧克力在第二個箱子里

C.巧克力在第三個箱子里 D.巧克力在第四個箱子里

2.C［解析］第一個箱子的話和第四個箱子的話是矛盾的，題目已知四句話中只有一句是真話，那么這個真的肯定存在于矛盾命題之間，因此剩下的兩個命題肯定是假的，第三個箱子：“本箱中沒有巧克力”這句話是假的，真的就是本箱中有巧克力，所以選擇C選項。

（二）等價命題

1、充分條件假言命題（如果···那么····）肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。

例

1、有人對“不到長城非好漢”這句名言的理解是：“如果不到長城，就不是好漢。”假定這種理解為真，則下列哪項判斷必然為真()

A.只要到了長城，他就一定是好漢

B.如果是好漢，那么他一定到過長城

C.只有好漢，才到過長城

D.不是好漢，不到長城

解析：

1、判斷題型：含有關聯詞

2、翻譯 長城→好漢

3、推理

4、翻譯四個選項，與等價命題一樣的即為答案

A.長城→好漢 B.好漢→長城 C.長城→好漢 D.長城→好漢

5、答案：B

【例題二】

如果某人是殺人犯，那么案發時他在現場。因此，我們可以推知()。

A.張三案發時在現場，所以張三是殺人犯

B.李四不是殺人犯，所以李四案發時不在現場

C.王五案發時不在現場，所以王五不是殺人犯

D.趙六不在案發現場，所以趙六是殺人犯

解析：

1、判斷題型：含有關聯詞

2、翻譯 殺人犯→在現場

3、推理 在現場→殺人犯

4、翻譯四個選項，與等價命題一樣的即為答案

5、答案：C 【例題三】

有關專家指出，月餅高糖、高熱量，不僅不利于身體健康，甚至演變成了“健康

殺手”。月餅要想成為一種健康食品，關鍵是要從工藝和配料方面進行改良，如果不能從工藝和配料方面進行改良，口味再好，也不能符合現代人對營養方面的需求：由此不能推出的是：()

A.只要從工藝和配料方面改良了月餅，即使口味不好，也能符合現代人對營養方面的需求

B.只有從工藝和配料方面改良了月餅，才能符合現代人對營養方面的需求

C.如果月餅符合了現代人對營養方面的要求，說明一定從工藝和配料方面進行了改良

D.沒有從工藝和配料方面改良月餅，卻能符合現代人對營養方面要求的情況是不可能存在的

解析：

1、判斷題型：含有關聯詞

2、翻譯 改良→需求

3、推理 需求→改良

4、翻譯四個選項，與等價命題不一樣的即為答案

A.改良→需求 B.需求→改良 C.需求→改良 D.(-改良→需求)不符合題干

5、答案：A

2、必要條件假言命題（只有···才···）肯定后件就要肯定前件，否定前件就要否定后件

（三）假設法 1.選項假設法

[例]小明在星期

一、星期

二、星期三說謊話，麗麗在星期

四、星期

五、星期六說謊話;此外的日子里，他們都講真話。青青忘了今天是星期幾，他問小明，小明說：“昨天是我說謊話的日子。”他又問麗麗，麗麗也說：“昨天是我說謊話的日子。”由此可以推斷今天是：

A.星期一 B.星期四

C.星期六 D.星期天

解析：此題答案為B。觀察題目可以發現，題干描述的是小明和麗麗兩人說謊的時間情況，答案就是簡單的日期，無法直接推理，采用選項假設代入法應該最快。

將A項代入，假設今天是星期一，那么小明說假話，而昨天是周日，小明昨天說真話，符合題意，但麗麗今天說真話，昨天也說真話，不符合題意，排除。將B項代入，假設今天是星期四，小明今天說真話，昨天說假話，麗麗今天說假話，昨天說真話，符合題意。2.題干假設法

[例]在某城市，有一家銀行被盜，警方通過偵查，拘捕了1號、2號、3號、4號、5號、6號六個重大嫌疑人，經過審問，查明了以下事實：1號、5號、6號三人中只有兩個作案，1號、2號兩人最少有一個作案，2號和3號兩人要么都作案，要么都沒有作案，1號和4號兩人中只有一人作案，3號和4號兩人中也只有一人作案，據此，可以推出全部案犯人數是()。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析：此題答案為B。題目中所有描述都是正確的，但是沒有一句肯定的結論，選項又特別簡單，只能用題干假設法。

假設這六個嫌疑人中的哪一個呢?這就要用到“信息最大優先原則”，在題目中提到1號嫌疑人次數最多，就可以假設1號嫌疑人是案犯，剛4號嫌疑人不是案犯，3和2號嫌疑人是案犯，1和2號嫌疑人都是案犯與題目描述不矛盾，說明1、2和3號嫌疑人是案犯。5號和6號嫌疑人中有一個是案犯但不能確定是誰，卻不影響選擇答案，一共是4個案犯。

五、類比推理

（一）兩詞型

兩詞型是指題干和四個備選答案中均涉及兩個詞項的題目，考生需要通過分析題干中兩個詞項之間的關系，在備選答案中找出與題干詞項關系最為相似的一組。

基本形式為：A∶B(其中A、B一般為有著某種關系的兩個詞項)

還有一種特殊形式，只在2008年國家公務員考試和少數地方公務員考試出現過，其形式為：A 對于 B 相當于()對于()

1.當題干兩個詞項之間無關系時，可通過縱向對比，看是否存在關系;

2.當題干兩個詞項有關系但關系不明顯時，可通過引入新的詞語，使用遣詞造句法在兩者間建立聯系，從而更直觀地表示出題干的詞項間關系。

例題：

樹根：根雕

A.陶土：瓷器 B.紙張：剪紙

C.水泥：硯臺 D.竹子：竹排

解析：本題答案選B。根雕是樹根經雕刻而得到的藝術品，剪紙是紙張經剪裁而得到的藝術品。A項在陶土燒制成瓷器的過程中，發生了化學反應，而根雕和剪紙的制作過程中沒有發生化學反應。

（二）、三詞型

三詞型是指題干和四個備選答案中均涉及三個詞項，考生需要通過分析題干中三個詞項之間的關系，在備選答案中找出與題干詞項關系最為相似的一組。

其基本形式為：A∶B∶C(其中A、B、C為一般有著某種關系的三個詞項)

三詞型解題要點與兩詞型類似，但由于詞項數量較多，因此詞項間的關系更加復雜，考生在解題時需要綜合考慮三個詞之間的關系。

例題：

刀：屠夫：肉

A.相機：記者：攝影 B.剪刀：裁縫：布料

C.粉筆：老師：黑板 D.法律：法官：犯人

解析：本題答案選B。屠夫用刀切肉，裁縫用剪刀剪布料。

【考點點撥】此題乍一看，A、B、C、D四個選項似乎都符合。但肉是名詞，而攝影是動詞，排除A項;刀是具體事物，而法律是抽象事物，排除D項。由詞項在句子中的位置可知，C項黑板不符合。且刀切肉造成的效果與剪刀切布料造成的效果相似。

（三）、對當型

對當型，即指題干涉及的詞項分別分成兩組，每組均缺少一個詞項，而四個備選答案中均涉及兩個詞項;考生需要將選項的詞項與題干匹配之后，綜合分析兩組詞之間的關系，在備選答案中找出能使兩組詞關系最為相似的選項。

國家公務員考試中涉及的對當型都為四詞對當型，即題干涉及四個詞項的對當型題目。

其基本形式為：A 對于()相當于()對于 B

當題干詞項數目增加至六個時，即為六詞對當型題目，在某些地方考試中出現過，其形式為：(): A : B 相當于 C : D :()

這種題型與兩詞型和三詞型的不同之處在于：題干不存在完整的一組詞，即詞項間關系具有一定的不確定性，增大了解題的難度。因此，大家在做題時需要增加代入的過程，即需要先將選項代入題干后，再分析兩組詞項之間的關系，能使兩組詞項關系最相似的選項即為答案。

例題：

()對于 表達 相當于 信件 對于()

A.比喻 溝通 B.文字 載體

C.感情 抒情 D.交流 包裹

解析：本題答案選A。解析：比喻是表達的一種手段，信件是溝通的一種手段。B、C兩項都不能形成類似的關系。D項交流的過程中需要使用表達，但信件與包裹沒有這種關系。

最后，總結下類比推理題的解題步驟，可以避免因疏忽大意而導致誤選錯誤選項，對解題正確率的提高有極大的幫助。

1.看題干，定關系。即觀察題干所給詞項之間的關系，當題干詞項間關系不明顯時，可以使用遣詞造句法。對于對當型題目，我們需要通過將選項代入才能找出詞語之間的關系。

2.看選項，先排除。即根據所找到的詞項間關系來分析選項，排除與題干關系明顯不符合的選項。對于對當型題目，則將選項代入后排除兩組詞關系明顯不同的選項。

3.再對比，定答案。當我們完成第二步以后，可能有兩個選項都看似正確，無法排除，此時，需要再次對比題干與選項，進行二次辨析。即分析題干與選項關系之間的共同點和不同點，找出其中的細微差別，從而選出與題干具有最多共同屬性、關系最為相似的選項為正確答案。在此過程中的常用技巧有遣詞造句法、縱向對比法。

六、圖形推理十大規律

一.圖形的轉動(包括圖形的翻轉和旋轉)

例題1

答案：C

例題2

答案：C。第一個圖形上半部分向下翻轉一次得到第二個圖形，第一個圖形的上半部分連續向下翻轉兩次得到第三個圖形。本題考察角度是圖形的翻轉。

例題3

答案：A本題考察角度是圖形的翻(旋轉)轉。每一行三個圖形的變化規律是：第一個圖形逆時針旋轉90度得到第二個圖形，第二個圖形上下翻轉得到第三個圖形。

例題4

答案：D本題考察角度是圖形的翻轉。規律是含有字母B的圖形，在下次出現的時候上下翻轉。含有其他字母的圖形在下次出現的時候不做任何變動。

例題5

時針轉動45度，逆時針轉動135度，順時針轉動45度。

二.圖形的對稱(軸對稱和中心對稱)

答案：D本題考察的角度是圖形的轉動。陰影部分依次作逆時針轉動135度，順

三.圖形的封閉(封閉圖形以及圖形的封閉部分之間的數量關系)

四.圖形的疊加

五.圖形的筆畫數以及邊角數量的關系

六.圖形的形狀以及種類

答案： B。解析 ：本題目考察的是圖形的種類。每一行都有3種不同的圖形。

七.(或者求異去同)

找所有圖形的共同點。

八.權重問題

九.圖形的拆拼組合。

十.圖形的重心位置。

圖形推理注意事項。

答案：A。所有圖形的共同特點是都有三角形。該題目考察的角度是求同。即尋

1.有時候曲線看作邊，有時候不看作邊。一般在國考中，邊通常是指的直線邊，而曲線不當作邊。例如：

答案：D該題目考察角度的是圖形邊數關系。第一行三個圖形邊數與第二行三個圖形邊數對應相加等于第三行對應三個圖形的邊數。本題曲線不算邊。考題中，解答有的題目我們需要把曲線也看成邊。這與命題專家的喜好有關。根據具體題目，靈活處理。

在有的省考中，曲線和直線一樣被 看作一條邊。例如：

2006年江蘇省考真題：

面的小圖案數量相等。

答案：C。本題考察角度是圖形邊數關系。第一組圖形，圖形的邊數和圖形里

第二組圖形，圖形的邊數比圖形里面的小圖案數量多1.本題中，圓圈被看作一條邊。

2006年江蘇省考真題：

條邊邊長相等。

答案：B。本題考察角度是邊的關系。幾個圖形中，依次有1，2，3，4，5，6

本題中，圓圈當作一條邊。這個題目本來有難度的，但是答案選項的設置不是很好，很多考生直接選B。因為后面幾個圖形不就是三角形，四邊形，五邊形，六邊形。雖然這個思路是錯誤的，但同樣得到了答案。本題沒有起到考察的作用。

2.一些圖形可以當作立體圖形，也可以當作平面圖形。

例如：

這個圖形可以看作是立方體，也可以看作是平面圖形六邊形。當作平面圖形看待的時候，該圖形的封閉部分有3部分。該圖形共有9條邊。

答案：A 2，3，4，5。

下面4個圖形的邊數分別是12，6，8，7。

分析一：上面5個圖形的邊數分別是2，5，1，4，3。整理一下順序，就是1，分析二：本題的關鍵在于對圖形A的判斷。如果認為A是立體圖形，那么問題就變得相當簡單。上面的5個圖形，全部是平面圖形。下面4個選項中，只有A不是平面圖形。根據題目要求，要選擇規律不同的圖形。因此答案為A。顯然，本題也是一個很有難度的題目，但如果把A當作立體圖形的話，本題沒有任何難度了。

3.對九宮圖，可以從以下幾個角度考察。

(1)行看：

答案：A分析：每一行三個圖形封閉部分數目是8.(2)列看：

答案：D。每列的三個圖形，第一個圖形的邊數等于后面兩個圖形的邊數之和。

(3)交替看：

答案：A從第一行開始，用筆尖沿著螺旋線從外往里動，筆尖的運動方向依次是順時針，逆時針，順時針，逆時針??如此交替出現

答案：D分析：圖形依次是由曲線，直線，曲線，直線。(4)整體看： 例題1

答案：C分析：所有圖形都是軸對稱圖形，并且對稱軸不止一條。例題2

。。。構成。

答案：D 分析：所有圖形都含有豎線。另：數字推理規律

(1)筆畫(2)面的個數(3)求同(4)求異(5)結構(6)組成元素的個數

【例1】

答案：C。本題目考察漢字的筆畫。前面一組圖形筆畫數分別是：2、4、6；后面一組圖形筆畫數：

2、4、?；因此選擇一個圖形具有6筆畫即可

【例2】

答案：B

解析：本題目考察封閉區域即面的個數。題干中封閉區域的個數分別為：1、2、3、4、?；因此選擇一個圖形具有5個封閉區域即可

七、數學運算

（一）兩次相遇公式：單岸型S=(3S1+S2)/2 兩岸型 S=3S1-S2

例1：兩艘渡輪在同一時刻垂直駛離 H 河的甲、乙兩岸相向而行，一艘從甲岸駛向乙 岸，另一艘從乙岸開往甲岸，它們在距離較近的甲岸 720 米處相遇。到達預定地點后，每艘船都要停留10分鐘，以便讓乘客上船下船，然后返航。這兩艘船在距離乙岸 400 米處又重新相遇。問：該河的寬度是多少?()

A.1120 米 B.1280 米 C.1520 米 D.1760 米

解析：典型兩次相遇問題，這題屬于兩岸型(距離較近的甲岸 720 米處相遇、距離乙岸

400 米處又重新相遇)代入公式3×720-400=1760選D;如果第一次相遇距離甲岸x米，第二次相遇距離甲岸Y米，這就屬于單岸型了，也就是說屬于哪類型取決于參照的是 一邊岸還是兩邊岸。

（二）十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)

例2：某班男生比女生人數多80%，一次考試后，全班平均成績為75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，則此班女生的平均分是()

解析：男生平均分X，女生1.2X

1.2X 75-X 1

X 1.2X-75 1.8

得X=70 女生為84

（三）往返運動問題公式：V均=2（v1×v2)/(v1+v2)

例3：一輛汽車從A地到B地的速度為每小時30千米，返回時速度為每小時20千米，則它的平均速度為多少千米/小時?()

A.24 B.24.5 C.25 D.25.5

解：代入公式得2×30×20/(30+20)=24,選A。

（四）過河問題：M個人過河，船能載N個人。需A個人劃船，共需過河(M-A)/(N-A)次

例4：有37名紅軍戰士渡河，現在只有一條小船，每次只能載5人，需要幾次才能渡完?()

A.7 B.8

C.9 D.10

解：(37-1)/(5-1)=9

（五）牛吃草問題：草場原有草量=(牛數-每天長草量)×天數

例5：有一水池，池底有泉水不斷涌出，要想把水池的水抽干，10臺抽水機需抽8小時，8臺抽水機需抽12小時，如果用6臺抽水機，那么需抽多少小時?()

A.16 B.20

C.24 D.28

解：(10-X)×8=(8-X)×12 求得X=4(10-4)×8=(6-4)×Y 求得答案Y=24 公式熟練以后可以不設方程直接求出來。

（六）N人傳接球M次公式：次數=(N-1)的M次方/N，最接近的整數為末次傳他人次數，第二接近的整數為末次傳給自己的次數。

例6： 四人進行籃球傳接球練習，要求每人接球后再傳給別人。開始由甲發球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有傳球方式()。

A.60種

B.65種

C.70種

D.75種

公式解題：(4-1)5/4=60.75 最接近的是61為最后傳到別人次數，第二接近的是60為最后傳給自己的次數。

（七）頁碼問題

要想要想順利解答頁碼問題，首先要弄明白“頁碼”與“組成它的數碼個數”之間的關系。我們知道：一位數共有9個(從1～9)，組成所有的一位數需要9個數碼;兩位數共有90個(從10～99)，組成所有的兩位數需要2×90=180(個)數碼;三位數共有900個(從100～999)，組成所有的三位數需要3×900=2700(個)數碼。

例1：編一本書的書頁，用了270個數字(重復的也算，如頁碼115用了2個1和1個5共3個數字)，問這本書一共多少頁?()

A.117 B.126 C.127 D.189

答案及解析：B。本題是已知數碼數，求頁碼數。一共用了270個數字，其中一位數用了9個數字，兩位數用了180個數字，那么三位數用的數字就是270-9-180=81個數字。81÷3=27，因此三位數的頁碼共27頁，從100起算，到126頁就是27頁，因此這本書一共126頁。故選B。

例2：一本書共204頁，需多少個數碼編頁碼?()

A.501 B.502 C.503 D.504

答案及解析：D。本題是已知數碼數，求頁碼數。1～9頁每頁上的頁碼是一位數，共需數碼1×9=9(個);10～99頁每頁上的頁碼是兩位數，共需數碼2×90=180(個);100～204頁每頁上的頁碼是三位數，共需數碼(204-100+1)×3=105×3=315(個)。綜上所述，這本書共需數碼9+180+315=504(個)。故選D。

例3：一本書的頁碼從1開始，經過計算總共出現了202個數字1，問這本書一共有多少頁?()A.510

B.511

C.617

D.713 答案及解析：A。關于三位數字中“1”的出現次數，公式如下：出現次數=(總數÷5)取整百+100+(其他多余情況)，將四個選項帶入公式中只有A項510符合。【注：(510÷5)取整百的結果是100;從501到510這10個數中，1出現了2次，故其他多余情況為2】。