第一篇：高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計中的實踐探討

高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計中的實踐探討_中等教育論文_教育學(xué)論文_

引言 在高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，不僅在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置，而且，在現(xiàn)實生活中有著非常廣泛的作用，同時，數(shù)列的教學(xué)也是培養(yǎng)觀察、分析、歸納、猜想、邏輯推理以及運用數(shù)學(xué)知識提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑。因而，研究數(shù)列的教學(xué)設(shè)計可以洞察高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的一般規(guī)律，進而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的理論與實踐之間架起一座更為堅實的橋梁。

1．新理念下數(shù)列教學(xué)設(shè)計的內(nèi)容

按通常的觀念，教學(xué)設(shè)計是指運用系統(tǒng)方法，將學(xué)習(xí)理論與教學(xué)理論的原理轉(zhuǎn)換成對教學(xué)資料和教學(xué)活動的具體計劃的系統(tǒng)化過程。教學(xué)設(shè)計主要解決了“教什么”、“如何教”、“教的如何”的問題，即教學(xué)設(shè)計是以設(shè)計解決教學(xué)問題的方法和步驟，形成教學(xué)方案，并對方案實施后的教學(xué)效果做出價值判斷的規(guī)劃過程和操作程序，其目的是優(yōu)化教學(xué)過程，提高教學(xué)效果，創(chuàng)造更加合理高效的教學(xué)。

1.1 知識結(jié)構(gòu)

數(shù)列這一章應(yīng)主要包括一般的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)列的應(yīng)用四部分，重點是等差數(shù)列以及等比數(shù)列這兩部分。數(shù)列這一部分主要是數(shù)列的概念、特點、分類以及數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩部分內(nèi)容主要介紹了兩類特殊數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式以及數(shù)列的前 n 項和公式；數(shù)列的應(yīng)用除了滲透在等差與等比數(shù)列內(nèi)賓的堆放物品總數(shù)的計算以及產(chǎn)品規(guī)格設(shè)計的某些問題外，重點是新理念下研究性學(xué)習(xí)專題，即數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用以及儲蓄問題。

1.2 數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式，它的定義方式有描述性的，指明外種延的，有種概念加類差等方式。一個數(shù)學(xué)概念需要記住名稱，敘述出本質(zhì)屬性，體會出所涉及的范圍，并應(yīng)用概念準(zhǔn)確進行判斷。數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項公式等都屬于數(shù)學(xué)概念，而且都屬于陳述性概念，在設(shè)計這些概念的教學(xué)時，教師要注意向同學(xué)表明這些定義所揭露的概念的特點、本質(zhì)，因為這些概念既是后續(xù)學(xué)習(xí)相應(yīng)公式以及性質(zhì)的基礎(chǔ)，更是同學(xué)們準(zhǔn)確解題的依據(jù)。

1.3 數(shù)學(xué)公式

公式在一定的范圍內(nèi)具有普遍適用性，因而也具有抽象性，公式中的字母代表一定范圍內(nèi)的無窮多個數(shù)。有的學(xué)生在學(xué)習(xí)公式時，可以在短時間內(nèi)掌握，而有的學(xué)生卻要反來復(fù)去地體會，才能跳出千變?nèi)f化的數(shù)字關(guān)系的泥堆里。在數(shù)列這一章主要涉及到等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列前 n 項和公式及其變形公式，等比數(shù)列通項公式，等比數(shù)列前 n 項和公式及其變形公式。要使同學(xué)能牢固記住并熟練應(yīng)用這些公式就必須讓他們懂得公式的來龍去脈，掌握其推導(dǎo)思想及過程。在這一章有很多的變形公式，因此，教師要明確告訴學(xué)生哪個公式適用于哪種情形，以使解題變得簡便易行。

1.4 數(shù)學(xué)方法

數(shù)列這一章蘊含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進對數(shù)列概念、公式的理解，而且運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程，往往能誘發(fā)知識的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反

三、融會貫通的解決多數(shù)列問題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法：

（1）不完全歸納法 不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，而且可以幫助學(xué)生有效的解決問題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式推導(dǎo)的過程就用到了不完全歸納法。

（2）倒敘相加法 等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程中，就根據(jù)等差數(shù)列的特點，很好的應(yīng)用了倒敘相加法，而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。

（3）錯位相減法 錯位相減法是另一類數(shù)列求和的方法，它主要應(yīng)用于求和的項之間通過一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，并且是多個數(shù)求和的問題。等比數(shù)列的前 n 項和公式的推導(dǎo)就用到了這種思想方法。

（4）函數(shù)的思想方法 數(shù)列本身就是一個特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時，可以將它們看成一個函數(shù)，進而運用函數(shù)的性質(zhì)和特點來解決問題。

（5）方程的思想方法 數(shù)列這一章涉及了多個關(guān)于首項、末項、項數(shù)、公差、公比、第 n 項和前 n 項和這些量的數(shù)學(xué)公式，而公式本身就是一個等式，因此，在求這些數(shù)學(xué)量的過程中，可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù)，通過公式建立關(guān)于求未知量的方程，可以使解題變得清晰、明了，而且簡化了解題過程。

2．新理念下影響教師進行數(shù)列教學(xué)設(shè)計的因素分析

在數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)部，數(shù)列占據(jù)著非常重要的地位，而且在現(xiàn)實生活當(dāng)中有著具大的應(yīng)用價值，對學(xué)生能力的培養(yǎng)也起到了不可估量的作用，因此教師要重視數(shù)列的教學(xué)。那么，在新的理念下，如何進行數(shù)列的教學(xué)設(shè)計才能將知識更好地傳給學(xué)生，才能對學(xué)生的發(fā)展有幫助，才可以稱得上好的教學(xué)設(shè)計呢？哪些因素影響了教師進行數(shù)列的教學(xué)設(shè)計呢？為此筆者從一線優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師、高中學(xué)生以及教材編訂者三個維度進行了調(diào)查、研究。

2.1 線優(yōu)秀教師如何看待數(shù)列的教學(xué)設(shè)計

教師是教學(xué)的實施者，是教學(xué)設(shè)計的實踐者，尤其是優(yōu)秀的教師，他們積極了大量 的教學(xué)經(jīng)驗，因此有絕對充分的發(fā)言權(quán)，為此，我采訪了幾位特級和高級教師，現(xiàn)將他

們的觀點對比分析如下：

（1）重視教學(xué)情境的設(shè)置以及教學(xué)案例的使用

他們一致認(rèn)為要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境及教學(xué)案例的使用不但能更好的啟發(fā)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且有助于增強學(xué)生的應(yīng)用意識。

（2）對數(shù)列及其相關(guān)概念的教學(xué)設(shè)計說法不一

有的教師覺得應(yīng)該先舉數(shù)列的實例，讓學(xué)生自己體會數(shù)列特點，組織同學(xué)討論，并啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識，因為這對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，增強學(xué)生合作、探究的能力都非常有幫助。有的教師則持另一種態(tài)度，他們認(rèn)為由于時間的原因，可能會減少把知識轉(zhuǎn)化為能力的環(huán)節(jié)，而以教師講解為主的教學(xué)設(shè)計則可以在有限的時間內(nèi)傳授給學(xué)生更多的知識，教學(xué)效果更好，而且對于學(xué)習(xí)能力、接受能力差的學(xué)生更適合這種風(fēng)格的教學(xué)設(shè)計。

（3）對等差數(shù)列概念的教學(xué)，采用以學(xué)生為中心的教學(xué)設(shè)計風(fēng)格更適合學(xué)生深刻理解知識

“等差數(shù)列”這個概念本身就很形象地描述了它的本質(zhì)，因此教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常寣W(xué)生在這個情境中自覺領(lǐng)會和發(fā)現(xiàn)知識的形成過程，在感悟的過程中深刻體會其蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，理解知識的本質(zhì)。在教學(xué)過程中應(yīng)組織學(xué)生研究、討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和能力，在合作中發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的樂趣，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開發(fā)學(xué)生智力。

（4）對等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計說法不一

有的教師認(rèn)為等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)思想非常重要，他不但有助于理解公式，而且在以后的解題中也會用到，但只要通過教師的講解，加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，學(xué)生便能掌握。而有的教師則持另一種觀點，他們認(rèn)為，等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)思想并不是很順理成章，水到渠成的，單純的講解可能對有的學(xué)生來說很生澀，因此，有必要在這一教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置適當(dāng)?shù)那榫常瑔l(fā)與引導(dǎo)學(xué)生，這樣才能達到更佳的教學(xué)效果。

（5）對等比數(shù)列的概念以及通項公式的教學(xué)，多種教學(xué)設(shè)計風(fēng)格互不排斥

等比數(shù)列與等差數(shù)列雖然是兩類不同的數(shù)列，但是它們在研究方法、性質(zhì)上都有很多的共通之處。因此，等比數(shù)列的教學(xué)設(shè)計可以采用對比法，即在概念、性質(zhì)、公式的教學(xué)過程當(dāng)中對比著相應(yīng)的等差數(shù)列的內(nèi)容進行設(shè)計，這也符合心理學(xué)中順應(yīng)教學(xué)法。有了等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計基礎(chǔ)，因此有的教師建議可采用類似等差數(shù)列相應(yīng)知識的教學(xué)設(shè)計法，學(xué)生不但可以很容易接受等比數(shù)列的內(nèi)容，還可以加深學(xué)生對等差數(shù)列的理解，但兩種方法都各有自己的長處，教師可根據(jù)個人風(fēng)格自己進行選擇設(shè)計，當(dāng)然如果將兩種方法結(jié)合起來，針對不同的內(nèi)容進行優(yōu)化設(shè)計，可能會收到更好的效果。

（6）應(yīng)該在教學(xué)設(shè)計過程中，適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生介紹數(shù)學(xué)史的知識

數(shù)學(xué)史知識的引入不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們的數(shù)學(xué)文化底蘊，而且能讓他們更加懂得有關(guān)知識的形成過程，比如實踐應(yīng)用的需要、知識本身發(fā)展的地需要等，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

http:// 2.2 學(xué)生期望的數(shù)列的教學(xué)設(shè)計

教學(xué)設(shè)計的對象是學(xué)生，最終的著眼點是為了學(xué)生的發(fā)展，因此從學(xué)生的角度出發(fā)考慮教學(xué)設(shè)計變得尤其重要。

（1）對于等差數(shù)列的概念以及通項公式的教學(xué)設(shè)計，他們更希望教師能給自己更多的參與空間

比如對于等差數(shù)列概念的教學(xué)，他們更期望教師能先列舉幾個等差數(shù)列的例子，同學(xué)思考、講解其特點，找出規(guī)律，從而總結(jié)出什么是等差數(shù)列。因為他們認(rèn)為，高中生的他們已經(jīng)初步具備了一定的數(shù)學(xué)思維，已經(jīng)學(xué)會了用思考、分析、理解去解決問題這種求知的方式不僅能讓他們體會知識的形成過程，能深刻的理解與記憶知識，而且能夠提高他們分析問題、解決問題，以及戰(zhàn)勝困難的能力。（2）不同數(shù)學(xué)水平的學(xué)生，對等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計的看法不同

對于學(xué)習(xí)中等偏上的學(xué)生，他們希望教師能夠通過與等差數(shù)列相應(yīng)知識來進行對比教學(xué)，這不但有助于他們深入的理解等差數(shù)列的性質(zhì)特點，而且能夠使他們深刻理解與掌握等比數(shù)列的知識；但對于成績落后的學(xué)生來說，他們覺得這種對比教學(xué)設(shè)計法反而會讓他們感覺更加迷惑，容易混淆知識點，因此他們更希望能采用類似等差數(shù)列相應(yīng)知識的教學(xué)法進行設(shè)計。

（3）數(shù)學(xué)史知識的引入頗受學(xué)生歡迎

數(shù)學(xué)史知識的適當(dāng)引入不但能活躍課堂氣氛，調(diào)動大家學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使枯燥的數(shù)學(xué)變得更加生動有趣，而且有助于他們更好的接納新知識因此 89.5%的學(xué)生都希望能在課堂上聽到教師講述有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識。

2.3 教材編訂者對數(shù)列教學(xué)設(shè)計的關(guān)注點

教材編訂者是對教材理念、教材設(shè)計思想的最權(quán)威把握，而教師要進行教學(xué)設(shè)計首先要把握教材，要把握教材就要懂得教材的理念，因此教材編訂者的意見就顯得尤為重要。

（1）注重數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識教學(xué)

知識是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)與靈魂所在，因此“總的要求是使學(xué)生在正確理解數(shù)列這一概念的基礎(chǔ)上，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，能夠熟練地解決有關(guān)問題”。那么在講解等差數(shù)列的性質(zhì)時，教師要將等差數(shù)列的六條性質(zhì)全部向?qū)W生交待清楚，并要求他們牢固掌握。

（2）注重對學(xué)生的啟發(fā)教育

任何事物的產(chǎn)生都是有一定緣由的，數(shù)學(xué)知識也不例外，因此在教學(xué)過程中，應(yīng)該盡可能向?qū)W生再現(xiàn)知識的發(fā)生過程。比如說等差數(shù)列概念的教學(xué)，為了讓學(xué)生明白什么是等差數(shù)列，為什么要將等差數(shù)列這樣定義，教師就可以在教學(xué)過程中先列舉幾個等差數(shù)列的例子，讓學(xué)生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學(xué)生嘗試說出等差數(shù)列的定義。這樣讓學(xué)生參與的課堂將是生動的課堂，而且很恰當(dāng)?shù)貛蛯W(xué)生建立了知識體系，并幫助他們進行知識的記憶。

（3）注重知識的應(yīng)用

新教材中加入了等差與等比數(shù)列研究性學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容，目的在于教會學(xué)生將知識學(xué)以致用，用理論指導(dǎo)實踐，而且培養(yǎng)了他們的合作意識、研究精神，這也是新理念所倡導(dǎo)的。

3．對數(shù)列教學(xué)設(shè)計的實踐分析

實踐是最好的問題發(fā)源地，何種類型的教學(xué)設(shè)計更容易讓學(xué)生接受，更易知識的傳授，對學(xué)生的發(fā)展有幫助，要通過實踐才能得以驗證，為此我在長春市第二實驗中學(xué)旁觀了“數(shù)列”這一章的教學(xué)過程，給了我很大的啟發(fā)。

3.1 不存在“萬能”的教學(xué)設(shè)計 對數(shù)列這一章的教學(xué)設(shè)計，不存在完全以“教”為中心，或以“學(xué)”為中心的極端教學(xué)設(shè)計風(fēng)格。兩種風(fēng)格的教學(xué)設(shè)計，并不是是我非你，是你則非我的完全對立關(guān)系，并不是一定要肯定一方，而否定另一方，采用哪種模式的教學(xué)設(shè)計，要針對不同的教學(xué)內(nèi)容進行選擇。比如等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)課，我認(rèn)真聽取了二實驗兩位新教師對這一節(jié)課不同的詮釋方法，第一位教師是基于以教師的教為中心的風(fēng)格，第二位教師是基于以學(xué)生的學(xué)為中心，二者收到的效果也大相徑庭。第一位教師以講解為主，又由于本身能力所限，不能對學(xué)生進行很好的啟發(fā)、誘導(dǎo)，因此很難將同學(xué)們的思路引到正確的路線上來，以至于同學(xué)們表現(xiàn)得不夠積極，而且公式的推導(dǎo)也因為同學(xué)們的無法配合而顯得過于生硬、艱難；第二位教師則將公式推導(dǎo)與梯形面積公式的證明聯(lián)系起來，創(chuàng)設(shè)了恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，使公式的推導(dǎo)顯得簡單而水道渠成，而且同學(xué)們表現(xiàn)得也非常積極，教學(xué)效果非常好。但是對于等比數(shù)列的概念的教學(xué)，兩種風(fēng)格的教學(xué)設(shè)計若經(jīng)過教師認(rèn)真的思考，斟酌，都會是一個好的教學(xué)設(shè)計。

3.2 教學(xué)設(shè)計要關(guān)注學(xué)生的需要

教學(xué)設(shè)計最終是為學(xué)生服務(wù)的，而學(xué)生原有認(rèn)知水平，認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以及接受能力都會因人而異，對于水平相對弱一些的學(xué)生，如果把課堂教給他們，讓他們自己去探索、發(fā)現(xiàn)知識可能會有一些困難，因此，這于這樣的學(xué)生更適合傳統(tǒng)的講授式教學(xué)，這不但能讓他們在盡可短的時間內(nèi)掌握最基本的知識，而且通過強化，能幫助他們對知識的記憶。市二實驗的學(xué)生接受能力不能算最優(yōu)秀的，因此他們的老師在習(xí)題課教學(xué)過程中，往往將簡單易處理的問題留給學(xué)生討論，而有一定難度的題，則由教師進行講解，做到了以從學(xué)生需要出了，收到了良好的教學(xué)效果。

3.3 教學(xué)設(shè)計還要尊重教師的教學(xué)習(xí)慣

對于有教學(xué)經(jīng)驗的老教師，他們經(jīng)過多年的摸索、嘗試，反思，已經(jīng)沉淀出自己對特定知識的固有想法，而且這是被實踐證明了的有效的方法。比如對于等差數(shù)的概念教學(xué)，某位特級教師就采用了以教為中心的教學(xué)風(fēng)格：根據(jù)前一節(jié)所學(xué)知識（數(shù)列的通項公式），為了恰當(dāng)?shù)貜?fù)習(xí)和引入本節(jié)課，也就是從承上啟下的角度，在上課開始給出這樣的一個題目：

已知數(shù)列{an}的通項公式是：an = 3n-2

（1）求a1，a2，a3，a4；

（2）求a2-a1，a3-a2，a4-a3，并由這三個式的值，猜想對任意的正整數(shù)n，都有an+1-an 值是否為同一個常數(shù)？如果是給出證明；如果不是，說明理由。

讓學(xué)生從這個具體的題目中，初步體會到等差數(shù)列的本質(zhì)特征，即“等差”。在這個短小精悍的情境設(shè)置當(dāng)中學(xué)生既鞏固到了上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，更重要的是比較輕松地感悟到等差數(shù)列的本質(zhì)。

總之，進行數(shù)列的教學(xué)設(shè)計，不存在永恒的教學(xué)設(shè)計模式，選擇哪種教學(xué)設(shè)計風(fēng)格，以什么樣的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，既要考慮到教學(xué)內(nèi)容的特點，又要考慮到學(xué)生的因素，當(dāng)然還與教師的教學(xué)風(fēng)格有關(guān)，要綜合多種因素，因情況而定，但好的教學(xué)設(shè)計就是既達到知識的傳授，又能對學(xué)生的能力發(fā)展有一定的促進作用。

參考文獻：

[1] 孔凡哲，王漢嶺．高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計[M]．長春：東北師范大學(xué)出版社，2005． [2] 楊開城，李文光．教學(xué)設(shè)計理論的新框架[J]．北京：中國電化教育，2001

[3] 劉長華．新課程教學(xué)設(shè)計―數(shù)學(xué)[J]．大連：遼寧師范大學(xué)出版社，2003

[4] 何克抗．建構(gòu)主義―革新傳統(tǒng)教學(xué)的理論基礎(chǔ)[J]．甘肅：電化育研究，1997

http://

教

第二篇：高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的極限》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的極限》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與能力目標(biāo)

①使學(xué)生理解數(shù)列極限的概念和描述性定義。

②使學(xué)生會判斷一些簡單數(shù)列的極限，了解數(shù)列極限的“e-N"定義，能利用逐步分析的方法證明一些數(shù)列的極限。

③通過觀察運動和變化的過程，歸納總結(jié)數(shù)列與其極限的特定關(guān)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力和抽象思維能力。

2.過程與方法目標(biāo)

培養(yǎng)學(xué)生的極限的思想方法和獨立學(xué)習(xí)的能力。

3.情感、態(tài)度、價值觀目標(biāo)

使學(xué)生初步認(rèn)識有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點。

二、教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點：數(shù)列極限的概念和定義。

教學(xué)難點：數(shù)列極限的“ε―N”定義的理解。

三、教學(xué)對象分析

這節(jié)課是數(shù)列極限的第一節(jié)課，足學(xué)生學(xué)習(xí)極限的入門課，對于學(xué)生來說是一個全新的內(nèi)容，學(xué)生的思維正處于由經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡階段，在《立體幾何》內(nèi)容求球的表面積和體積時對極限思想已有接觸，而學(xué)生在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要接觸的是關(guān)于“有限”的問題，很少涉及“無限”的問題。極限這一抽象概念能夠使他們做基于直觀的理解，并引導(dǎo)他們作出描述性定義“當(dāng)n無限增大時，數(shù)列｛an｝中的項an無限趨近于常數(shù)A，也就是an與A的差的絕對值無限趨近于0”，并能用這個定義判斷一些簡單數(shù)列的極限。但要使他們在一節(jié)課內(nèi)掌握“ε-N”語言求極限要求過高。因此不宜講得太難，能夠通過具體的幾個例子，歸納研究一些簡單的數(shù)列的極限。使學(xué)生理解極限的基本概念，認(rèn)識什么叫做數(shù)列的極限以及數(shù)列極限的定義即可。

四、教學(xué)策略及教法設(shè)計

本課是采用啟發(fā)式講授教學(xué)法，通過多媒體課件演示及學(xué)生討論的方法進行教學(xué)。通過學(xué)生比較熟悉的一個實際問題入手，引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。然后通過具體的兩個比較簡單的數(shù)列，運用多媒體課件演示向?qū)W生展示了數(shù)列中的各項隨著項數(shù)的增大，無限地趨向于某個常數(shù)的過程，讓學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上討論總結(jié)出這兩個數(shù)列的特征，從而得出數(shù)列極限的一個描述性定義。再在教師的引導(dǎo)下分析數(shù)列極限的各種不同情況。從而對數(shù)列極限有了直觀上的認(rèn)識，接著讓學(xué)生根據(jù)數(shù)列中各項的情況判斷一些簡單的數(shù)列的極限。從而達到深化定義的效果。最后進行練習(xí)鞏固，通過這樣的一個完整的教學(xué)過程，由觀察到分析、由定量到定性，由直觀到抽象，并借助于多媒體課件的演示，使得學(xué)生逐步地了解極限這個新的概念，為下節(jié)課的極限的運算及應(yīng)用做準(zhǔn)備，為以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識打下基礎(chǔ)。在整個教學(xué)過程中注意突出重點，突破難點，達到教學(xué)目標(biāo)的要求。

五、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境

課件展示創(chuàng)設(shè)情境動畫。

今天我們將要學(xué)習(xí)一個很重要的新的知識。

情境

1、我國古代數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年創(chuàng)立“割圓術(shù)”，“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”。

情境

2、我國古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。也就是說拿一根木棒，將它切成一半，拿其中一半來再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之???如此下去，無限次地切，每次都切一半，問是否會切完?

大家都知道，這是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原來的少了一半，也就是說木棒的長度越來越短，但永遠不會變成零。從而引出極限的概念。

2.定義探究

展示定義探索(一)動畫演示。

問題1：請觀察以下無窮數(shù)列，當(dāng)n無限增大時，a，I的變化趨勢有什么特點?

(1)1/2,2/3,3/4,?n/n-1(2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n??

問題2：觀察課件演示，請分析以上兩個數(shù)列隨項數(shù)n的增大項有那些特點?

師生一起歸納總結(jié)出以下結(jié)論：數(shù)列(1)項數(shù)n無限增大時，項無限趨近于1；數(shù)列(2)項數(shù)n無限增大時，項無限趨近于1。

那么就把1叫數(shù)列(1)的極限，1叫數(shù)列(2)的極限。這兩個數(shù)列只是形式不同，它們都是隨項數(shù)n的無限增大，項無限趨近于某一確定常數(shù)，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的極限。

那么，什么叫數(shù)列的極限呢?對于無窮數(shù)列an，如果當(dāng)n無限增大時，an無限趨向于某一個常數(shù)A，則稱A是數(shù)列an的極限。

提出問題3：怎樣用數(shù)學(xué)語言來定量描述呢?怎樣用數(shù)學(xué)語言來描述上述數(shù)列的變化趨勢?

展示定義探索(二)動畫演示，師生共同總結(jié)發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上兩點間距離越小，項與1越趨近，因此可以借助兩點間距離無限小的方式來描述項無限趨近常數(shù)。無論預(yù)先指定多么小的正數(shù)e，如取e=O-1，總能在數(shù)列中找到一項am，使得an項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，若取￡=0。0001，則第6項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，即1是數(shù)列(1)的極限。最后，師生共同總結(jié)出數(shù)列的極限定義中應(yīng)包含哪量(用這些量來描述數(shù)列1的極限)。

數(shù)列的極限為：對于任意的ε>0，如果總存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時，不等式｜an-A｜n的極限。

定義探索動畫(一)：

課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可以計算出相應(yīng)的數(shù)列第n項的值，并且動畫演示數(shù)列的變化過程。如圖1所示是課件運行時的一個畫面。

定義探索動畫(二)課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可以計算出相應(yīng)的數(shù)列第n項的值和I an一1I的值，并且動畫演示出第an項和1之間的距離。如圖2所示是課件運行時的一個畫面。

3.知識應(yīng)用

這里舉了3道例題，與學(xué)生一塊思考，一起分析作答。

例1.已知數(shù)列：

1,-1/2,1/3,-1/4,1/5??,(-1)n+11/n，??

(1)計算|an-0|(2)第幾項后面的所有項與0的差的絕對值都小于0.017都小于任意指定的正數(shù)。

(3)確定這個數(shù)列的極限。

例2.已知數(shù)列：

已知數(shù)列：3/2,9/4,15/8??，2+(-1/2)n，??。

猜測這個數(shù)列有無極限，如果有，應(yīng)該是什么數(shù)?并求出從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.1，從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.017

例3.求常數(shù)數(shù)列一7，一7，一7，一7，??的極限。

5.知識小結(jié)

這節(jié)課我們研究了數(shù)列極限的概念，對數(shù)列極限有了初步的認(rèn)識。數(shù)列極限研究的是無限變化的趨勢，而通過對數(shù)列極限定義的探討，我們看到這一過程又是通過有限來把握的，有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變之間的辯證關(guān)系在這里得到了充分的體現(xiàn)。

課后練習(xí)：

(1)判斷下列數(shù)列是否有極限，如果有的話請求出它的極限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(-1)n/3n；④aan=-2；⑤an=n；⑥an=(-1)n。

(2)課本練習(xí)1，2。

6.探究性問題

設(shè)計研究性學(xué)習(xí)的思考題。

提出問題：

芝諾悖論：阿基里斯是《荷馬史詩》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永遠也無法超過在他前面慢慢爬行的烏龜，因為當(dāng)阿基里斯到達烏龜?shù)钠鹋茳c時，烏龜已經(jīng)走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是烏龜速度的10倍，阿基里斯與烏龜賽跑的路程是1公里。如果讓烏龜先跑0.1公里，當(dāng)阿基里斯追到O.1公里的地方，烏龜又向前跑了0.01公里。當(dāng)阿基里斯追到0.01公里的地方，烏龜又向前跑了0.001公里??這樣一直追下去，阿基里斯能追上烏龜嗎?

這里是研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，以學(xué)生感興趣的悖論作為課后作業(yè)，鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，進一步提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的極限的興趣。同時也為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了課下交流與討論的情境，逐步培養(yǎng)學(xué)生相互合作、交流和討論的習(xí)慣，使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的實質(zhì)，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的知識去解決生活中遇到的實際問題的習(xí)慣。

第三篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何設(shè)計

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何設(shè)計“先行組織者”

我國新一輪課改的核心理念強調(diào)“重視科學(xué)教育，全面提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)”。而科學(xué)概念是組成科學(xué)知識的基本單元，也是科學(xué)素養(yǎng)的基本構(gòu)成要素。因而數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)可以說是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本前提，在新課程理念下，數(shù)學(xué)教師不僅不能放松數(shù)學(xué)科學(xué)概念的教學(xué)，而且還應(yīng)切實加強，找到實施科學(xué)教育新的突破口。

美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾(David Ausubel)在其著名的《認(rèn)知同化論》(即意義學(xué)習(xí)論)中提出，學(xué)生能否獲得新信息，主要取決于他們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有概念，意義學(xué)習(xí)是通過新信息與學(xué)生已有概念的相互作用才發(fā)生的。而建立新舊知識聯(lián)系、防止干擾的最有效的策略即“先行組織者”(advance organizer)。

那么，如何在數(shù)學(xué)課堂中利用不同類型的“先行組織者”進行概念教學(xué)呢，下面對此作一分析。

一、設(shè)計不同類型的先行組織者，促進數(shù)學(xué)概念教學(xué)

1.設(shè)計陳述性組織者(expositive organizer)

如果學(xué)習(xí)材料與已有知識關(guān)聯(lián)不大，這就適宜用陳述性組織者。陳述性組織者以一種簡化的、綱要的形式去呈現(xiàn)新學(xué)習(xí)的概念，在學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中預(yù)先嵌入一個上位觀念，用它來同化新的學(xué)習(xí)材料。許多有經(jīng)驗的教師為了減少由于數(shù)學(xué)概念的抽象性而給學(xué)生帶來的理解困難，常常會采用這樣的方法，做到以其所知，喻其不知，使其知之。通過精心組織將要呈現(xiàn)給學(xué)生的材料(通常被稱為引導(dǎo)性材料)，建立學(xué)習(xí)新概念的認(rèn)知框架，幫助學(xué)生改變原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量，讓學(xué)生對新概念有更深刻的理解。

2.設(shè)計比較性組織者(comparative organizer)

比較性組織者是指用于新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中基本類似概念的整合，并增加本質(zhì)不同而貌似相同的新舊概念之間的可辨別性的組織者。當(dāng)學(xué)生面對新的學(xué)習(xí)任務(wù)時，倘若其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具有了同化新知識的適當(dāng)概念，但原有概念不清晰或不鞏固，學(xué)生難以應(yīng)用，或者對新舊概念之間的關(guān)系辨別不清，則可以設(shè)計一個指出新舊概念異同的比較性組織者。例如，將一元二次方程的解法與一元二次不等式的解法進行比較，還有平面幾何中的一些概念或判斷也常常作為立體幾何概念或判斷的先行組織者。

3.設(shè)計具體模型組織者(model organizer)

具體模型組織者是梅耶(R．E．Mayer)在奧蘇貝爾先行組織者理論的基礎(chǔ)上進一步發(fā)展出來的。梅耶等人研究表明，具體模型組織者似乎更有助于為新的學(xué)習(xí)提供必要的準(zhǔn)備知識。這主要由于具體模型直觀、形象，能通過類比方式促進學(xué)生對新材料理解。例如，函數(shù)概念的教學(xué)中，我曾用“孫悟空大戰(zhàn)牛魔王”的神話來啟發(fā)學(xué)生理解函數(shù)概念。牛魔王先變，它變的目的是千方百計想逃跑，牛魔王變成白鶴，孫悟空變成丹鳳，牛魔王變成香獐，孫悟空相應(yīng)地變成餓虎……孫悟空是隨著牛魔王的變化而變化。所以，牛魔王是“自變量”，而孫悟空則是牛魔王的“函數(shù)”。牛魔王能變，但并不是隨心所欲，想變什么就變什么的。這就好像是自變量有它的允許值范圍，也就是函數(shù)的定義域。孫悟空善變，也只能七十二變，也是有范圍的，這就是函數(shù)的值域。設(shè)計這種組織者，能把抽象的函數(shù)概念類比到直觀形象的具體模型，從而加深學(xué)生對概念的理解。

當(dāng)然，除了上述呈現(xiàn)方式外，還有很多其他如實驗、多媒體等先行組織者。在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)需要，不失時機地呈現(xiàn)不同的組織者引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念，以取得最佳教學(xué)效果。

二、設(shè)計和使用先行組織者需注意的幾個問題

1.要準(zhǔn)確了解學(xué)生已有的前科學(xué)概念

前科學(xué)概念簡稱前概念，是指學(xué)生在接受數(shù)學(xué)教育之前或在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過自己的觀察、體會和對各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)過程的理解和認(rèn)識，這些認(rèn)識和理解大多是非本質(zhì)的。布盧姆《人的特性和學(xué)校學(xué)習(xí)》一書中證明了前概念是影響學(xué)習(xí)效果的一個重要變量，另外，大量教學(xué)實踐也證明，學(xué)生頭腦中的前概念會影響科學(xué)概念的建構(gòu)和掌握，因而教師設(shè)計使用組織者前首先應(yīng)調(diào)查、誘導(dǎo)學(xué)生暴露其前概念。通常可采用談話、書面表達、墻報、分類卡片、調(diào)查問卷等方法。

2.先行組織者的使用應(yīng)貫穿教學(xué)的始終

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師習(xí)慣只在每節(jié)課的開始設(shè)置先行組織者，實際上這是不完全的。其實在每一章、每一節(jié)、每一段的開始都應(yīng)有一定的引導(dǎo)材料。中學(xué)生正處于生理和心理的發(fā)育發(fā)展階段，自制力較差，所以他們表現(xiàn)出上課不能持久地保持注意力，好動和易疲勞等特點。這就要求教師在一堂課中隨時注意組織教學(xué)工作，以便集中學(xué)生的注意力更好地進行教學(xué)。即使先行組織者呈現(xiàn)于課始，隨后的教學(xué)活動也應(yīng)對它展開和延伸，時刻保持前后呼應(yīng)，若后繼教學(xué)與之脫節(jié)，則使先行組織者的使用流于形式。例如邏輯聯(lián)結(jié)詞的教學(xué)中，通過呈現(xiàn)具體實例組織者，讓學(xué)生自主探索真值表，再呈現(xiàn)“與生活中的?或且非?相比較”的比較性組織者，真正理解邏輯中的“或且非”與生活中“或且非”的異同，最后還可呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史“理發(fā)師悖論”的組織者：“給一切不給自己刮臉的人刮臉，”按照這條準(zhǔn)則，理發(fā)師給不給自己刮臉呢?使邏輯概念和生活體驗相結(jié)合，使數(shù)學(xué)教學(xué)生活化，這樣學(xué)生在課堂上一直保持著持久的注意。

總之，“先行組織者”對學(xué)生的思維起著導(dǎo)向作用，可激發(fā)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的心向，幫助學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效建構(gòu)，是實施概念教學(xué)的“綠色通道”。當(dāng)然，我們也要看到這種有意義的接受式學(xué)習(xí)在培養(yǎng)學(xué)生開拓性思維和創(chuàng)造力方面畢竟有其局限性，概念教學(xué)中應(yīng)將接受式學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)有機結(jié)合，靈活運用多種教學(xué)方法，全面提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。

先行組織者是指教師在教授新教材之前，先給學(xué)生一種引導(dǎo)性材料，它要比新教材更加抽象、概括和綜合，并能清晰地反映認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新的學(xué)習(xí)任務(wù)的聯(lián)系。

先行組織者教學(xué)策略是奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論的一個重要組成部分。奧蘇貝爾提出，有意義學(xué)習(xí)過程的實質(zhì)，就是符號所代表的新知識與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念建立起非人為的和實質(zhì)性的聯(lián)系。所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是指學(xué)生現(xiàn)有的知識的數(shù)量、清晰度和組織結(jié)構(gòu)，它是由學(xué)生眼下能回想出的事實、概念、命題、理論等構(gòu)成的。而提供先行組織者的目的就在于用先前學(xué)過的材料去解釋、整合和聯(lián)系當(dāng)前學(xué)習(xí)任務(wù)中的材料（并幫助學(xué)習(xí)者區(qū)分新材料和以前學(xué)過的材料）。

先行組織者可以分為以下兩類。（1）陳述性組織者

使用陳述性組織者的目的，在于為新的學(xué)習(xí)提供最適當(dāng)?shù)念悓僬撸c新的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一種上位關(guān)系。例如，學(xué)習(xí)“螞蟻”之前先讓學(xué)生學(xué)習(xí)“昆蟲的基本特征”，那么“昆蟲”概念就是學(xué)生學(xué)習(xí)“螞蟻”概念的陳述性先行組織者。

（2）比較性組織者

比較性組織者用于比較熟悉的學(xué)習(xí)材料中，目的在于比較新材料與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相類似的材料，從而增強似是而非的新舊知識之間的可辨性。例如，在讓學(xué)生學(xué)習(xí)關(guān)于白蟻的知識之前，先讓學(xué)生學(xué)習(xí)螞蟻與白蟻的相同與不同之處，這就屬于比較性組織者。

先行組織者教學(xué)策略的教學(xué)過程主要由三個階段組成，如下圖所示：

運用先行組織者的教學(xué)策略，需要有一定的教學(xué)條件，它們是：（1）教師起呈現(xiàn)者、教授者和解釋者的作用；

（2）教學(xué)的主要目的是幫助學(xué)生掌握教材，教師直接向?qū)W生提供學(xué)習(xí)的概念和原理；（3）教師需要深刻理解奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論和先行組織者策略；（4）學(xué)生的主要任務(wù)是掌握觀念和信息；

（5）個人的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)是決定新學(xué)習(xí)材料是否有意義、是否能夠很好地獲得并保持的最重要因素；（6）學(xué)習(xí)材料必須加以組織以便于同化；（7）需要預(yù)先準(zhǔn)備先行組織者。

策略描述

先行組織者(advance organizer)是在新授課開始之前，呈現(xiàn)給學(xué)生的內(nèi)容，以此幫助學(xué)生建立新知識與舊有知識的聯(lián)系，并整合到更加上位的知識結(jié)構(gòu)中去。先行組織者常常用來展示概念的框架和全貌，在系統(tǒng)講授某一領(lǐng)域的觀點的時候，或?qū)⑿轮R與原有知識相比較時，這一策略的作用尤為突出。（費茲科

和麥克盧爾，2008)先行組織者能使學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的更加清晰，為新知識的學(xué)習(xí)提供上位的聯(lián)結(jié)點，從而達到促進有意義學(xué)習(xí)的目的。先行組織者的具體表現(xiàn)形式可以是包攝性水平較高的文字（如文章摘要等)，也可以是圖片表格等。在實驗報告或者學(xué)習(xí)任務(wù)單中先行組織者也常常出現(xiàn)。

先行組織者有著如下的特點：

◆高度概括：先行組織者常常以概括性框架的形式出現(xiàn)，體現(xiàn)出一般性和包

含性。◆注重條理性、邏輯性：邏輯關(guān)系和條理性是先行組織者的一般特性。◆有助于提高認(rèn)知效率：先行組織者的使用有助于內(nèi)容的整體性呈現(xiàn)，幫助學(xué)習(xí)者梳理概念（事物）之間的聯(lián)系，能夠有效提高課堂教學(xué)的效率。先行組織者可以是概念的定義、概括性結(jié)論或者新材料與某些熟悉例子之間的類比。常常分為說明性先行組織者(expository advance organizer)和比較性先行組織者（comparative advance organizer)。(Ausubel, 1960)說明性先行組織者呈現(xiàn)的是一堂課或幾堂課所包含的具體信息，提供相對一般性的觀念、原則或范疇。課堂當(dāng)中的具體信息都跟這些一般信息相聯(lián)系。學(xué)生可以由此體會具體信息之間的聯(lián)系。生物課中的家族樹，化學(xué)課中的元素周期表

就是起這樣的作用。比較性先行組織者呈現(xiàn)的是要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容和已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容之間的異同。這種先行組織者著眼兩類相似事物之間的區(qū)別和聯(lián)系，從而借助熟悉的知識快速掌握新知識。英語課中不同時態(tài)動詞形式的對比可以用比較性先行組織者呈

現(xiàn)。

操作指南

先行組織者的呈現(xiàn)一般要先于正式學(xué)習(xí)材料，先于具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容。先行組織者的內(nèi)容對后來正式學(xué)習(xí)內(nèi)容必須具有同化作用，其中說明性先行組織者應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)高度概括的上位知識對下位知識的同化，比較性先行組織者體現(xiàn)同級知識之間的同化。由于運用先行組織者的目標(biāo)是知識表征的理化、邏輯化，先行組織者的結(jié)構(gòu)就顯得尤為重要。

先行組織者策略運用包括三個階段：呈現(xiàn)先行組織者、補充下位知識、建立

知識結(jié)構(gòu)

◆呈現(xiàn)先行組織者

先行組織者的優(yōu)勢在于概括性和條理性。呈現(xiàn)先行組織者常常采用圖表形式，體現(xiàn)出高度的概括性。教師也可以在導(dǎo)入過程中提出學(xué)習(xí)內(nèi)容的多個關(guān)鍵特征或?qū)傩裕詭椭鷮W(xué)生更好地開展學(xué)習(xí)。

◆通過學(xué)習(xí)任務(wù)補充下位知識

在此階段教師提出本節(jié)課學(xué)習(xí)任務(wù)，并進一步說明先行組織者與新學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在先行組織者的基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)。

◆建立新知識結(jié)構(gòu)

通過學(xué)習(xí)活動使學(xué)生將新學(xué)習(xí)任務(wù)納入到先行組織者所呈現(xiàn)出的概念框架

之中，形成新的知識結(jié)構(gòu)。

第四篇：高中數(shù)學(xué)-公式-數(shù)列

數(shù)列

1、等差數(shù)列的通項公式是an?a1?(n?1)d，前n項和公式是：Sn?n(a1?an)1=na1?n(n?1)d。22.等差數(shù)列 ｛an｝ ?an?an?1?d(d為常數(shù)）?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)?an?an?b?Sn?An2?Bn。

?na1(q?1)?nn?

12、等比數(shù)列的通項公式是an?a1q，前n項和公式是：Sn??a1(1?q)(q?1)??1?q

2n-13.等比數(shù)列 ｛an}?an?an-1?an?1(n?2,n?N)?an?a1?q;

＊

4、當(dāng)m+n=p+q=2t(m、n、p、q∈N)時，對等差數(shù)列｛an｝有：am?an?ap?aq?2at；對等比數(shù)列｛an｝

有：aman?apaq?at。

5、等差數(shù)列中, am=an+(n－m)d, d?am?an;等比數(shù)列中，an=amqn-m;q=n?m?n

{anbn}等也是等比數(shù)列。

7、設(shè)Sn表示數(shù)列前n項和；等差數(shù)列中有：Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,??也是等差數(shù)列；在等比數(shù)列中，2an;am6、若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan?bbn}(k、b、a是非零常數(shù))是等差數(shù)列；若{an}、{bn}是等比數(shù)列，則｛kankan｝、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,??是等比數(shù)列。

8、等差(或等比)數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)數(shù)列；

9、等差數(shù)列中：a1?an?a2?an?1?a3?an?2??；

等比數(shù)列中：a1an?a2an?1?a3an?2??

10、對等差數(shù)列｛an｝,當(dāng)項數(shù)為2n時，S偶?S奇?nd；項數(shù)為2n－1時，S奇?S偶?a中項(n∈N*)。

11、由Sn求an，an={S1(n?1)

*Sn?Sn?1(n?2,n?N)

一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式；

12、首項為正(或為負(fù))的遞減(或遞增)的等差數(shù)列前n項和的最大(或最小)問題，轉(zhuǎn)化為解不等式?an?0??an?0?解決； ?或?????a?0a?0?n?1??n?1? 注意驗證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨列出。

13、熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式，在用等比數(shù)列前n項和公式時，勿忘分類討論思想；

14、若一階線性遞歸數(shù)列an=kan－1+b(k≠0,k≠1),則總可以將其改寫變形成如下形

式:an?b?k(an?1?b)(n≥2)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項公式； k?1k?115、當(dāng)?shù)缺葦?shù)列?an?的公比q滿足q<1時，limSn=S=

n??a1。一般地，如果無窮數(shù)列?an?的前n項和的極限n??1?qlimSn存在，就把這個極限稱為這個數(shù)列的各項和(或所有項的和)，用S表示，即S=limSn。n??

第五篇：數(shù)列教學(xué)設(shè)計

§2.1.1 數(shù)列的概念與簡單表示法

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

1.教材的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容

本節(jié)課選自人教A版必修5第二章第一節(jié)《數(shù)列的概念與簡單表示法》第1課時的內(nèi)容，它主要研究數(shù)列的概念、分類，以及數(shù)列的兩種表示形式。

2.教材的地位、作用

本節(jié)課是在集合、映射、函數(shù)等相關(guān)知識的基礎(chǔ)上的一節(jié)課，它將數(shù)列與集合區(qū)分開來，使學(xué)生在對比中更加明確集合的概念性質(zhì)，將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，加深了學(xué)生對函數(shù)的理解；同時作為數(shù)列的起始課，它為后續(xù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)作了知識儲備。

教材從實際問題引入數(shù)列的概念，這樣就把生活實際與數(shù)學(xué)有機地聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用價值，讓學(xué)生感受到數(shù)列產(chǎn)生的背景，培養(yǎng)了學(xué)生觀察分析、抽象概括的能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

（1）理解數(shù)列及其概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；

（2）掌握數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；（3）對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式。

2.過程與方法

通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的通項公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力。

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過例舉生活中的實際例子，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

三、教學(xué)重點和難點

1.教學(xué)重點

數(shù)列及其有關(guān)概念，數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用。

2.教學(xué)難點

根據(jù)一些數(shù)列的前幾項，抽象、歸納數(shù)列的通項公式。

四、教學(xué)過程

第一部分——創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

情境一：傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫

點或用小石子來表示數(shù)。比如他們研究過三角形數(shù)和正方形數(shù)（圖示）：

情境二：某市在某年內(nèi)的月平均氣溫為（單位：°C）：

8.0，9.5，9.5，12.8，20.6，25.1，30.0，32.3，29.7，17.2，10.2，8.0。

情境三：在學(xué)習(xí)英語的過程中，記憶英語單詞是很重要的一個環(huán)節(jié)。小明現(xiàn)在有3000個英

語單詞量，他認(rèn)為自己不需要再記憶了，于是他每天都會忘記10個單詞，而小東現(xiàn)在 只有2000個單詞量，他認(rèn)為自己需要不斷的重復(fù)記憶，保證2000個單詞量不變。問題：從以上三個情境中，我們可以得到這樣的五組數(shù)據(jù)：①1，3，6,10，15，...；②1，4，9，16，25，...；③8.0，9.5，9.5，12.8，20.6，25.1，30.0，32.3，29.7，17.2，10.2，8.0；④3000，2990，2980，2970，...；⑤2000，2000，2000，2000，...。觀 察這五組數(shù)據(jù)，看它們有何共同特點？

【師生活動】

學(xué)生獨立思考，教師點名回答 【教師歸納】

（1）均是一列數(shù)；（2）有一定次序 【設(shè)計意圖】

首先，情境的設(shè)計均源于生活，既可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)列的概念，又能夠讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念形成的背景以及數(shù)學(xué)在實際生活中應(yīng)用的廣泛性，激發(fā)學(xué)生會的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。其次，情境中的五組數(shù)據(jù)，也可作為教學(xué)中數(shù)列的分類等較為典型的例子。

第二部分——師生合作，形成概念

1.定義

數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù) 2.定義剖析

（1）數(shù)列的數(shù)是按一定順序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；

（2）定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)。問題：回憶集合的相關(guān)定義、性質(zhì)，將以上五個數(shù)列中的數(shù)用集合表示，觀察分析集合與數(shù)

列有何區(qū)別？

【師生活動】

學(xué)生獨立思考，教師點名回答 【教師歸納】

（1）集合中的元素是無序的，而數(shù)列中的數(shù)是按一定順序排列的；

（2）集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)出現(xiàn)的；

（3）集合中的元素不一定是數(shù)，而數(shù)列的對象一定是數(shù)。3.相關(guān)概念

（1）數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項.。各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，?，第n 項，?。（2）數(shù)列的一般形式：a1,a2,a3,...,an,...，簡記為?an?，其中an為數(shù)列的第n項。（3）數(shù)列的分類：

①根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。

②根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列。結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列項的定義。例如，數(shù)列①中，“1”是這個數(shù)列的第1項（或首項），“15”是這個數(shù)列中的第5項；數(shù)列①②為遞增數(shù)列，數(shù)列④為遞減數(shù)列，數(shù)列⑤為常數(shù)列，數(shù)列③為擺動數(shù)列等等。

第三部分——例題講解，鞏固新知

例：下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？

（1）全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列

0，1，2，3，....（2）1996~2002年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬人）構(gòu)成數(shù)列

82，93，105，119，129，130，132.（3）無窮多個3構(gòu)成數(shù)列

3，3，3，....（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列（單位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.（5）-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪......構(gòu)成數(shù)列

-1，1，-1，1，....（6）2的精確到1，0.1，0.01，0.001，...，的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列

1，1.4，1.41，1.414，...；

2，1.5，1.42，1.415，....【設(shè)計意圖】

通過幾個典型的例子，加深學(xué)生對數(shù)列的理解以及數(shù)列項與項之間的關(guān)系，使學(xué)生掌握數(shù)列的分類。

第四部分——課堂小結(jié)，深化新知 【師生共同總結(jié)】

（1）數(shù)列的定義

（2）數(shù)列的項及一般表示形式（3）數(shù)列的分類