第一篇：新課程高中數(shù)學(xué)數(shù)列題型總結(jié)

高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)題型總結(jié)

1.等差等比數(shù)列(n?1)??S

12．Sn與an的關(guān)系：an??，已知Sn求an，應(yīng)分n?1時a1?n?

2??Sn?Sn?1(n?1)

時，an=兩步，最后考慮a1是否滿足后面的an.基礎(chǔ)題型

題型一：求值類的計算題（多關(guān)于等差等比數(shù)列）A）根據(jù)基本量求解（方程的思想）

1、已知Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，a4?9,a9??6,Sn?63，求n；

2、等差數(shù)列?an?中，a4?10且a3，a6，a10成比數(shù)列，求數(shù)列?an?前20項(xiàng)的和S20．

3、設(shè)?an?是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1?1,a5?16，求數(shù)列?an?前7項(xiàng)的和.4、已知四個實(shí)數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)之和為37，中間兩數(shù)之和為36，求這四個數(shù).B）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解（整體思想）

1、已知Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，a6?100，則S11?

2、設(shè)Sn、Tn分別是等差數(shù)列?an?、?an?的前n項(xiàng)和，Sn7n?2a，則5?.?

Tnn?3b

5a55S9

?,則?（）

3、設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，若

a39S

5Sa2n4、等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若n?,則n=（）

Tn3n?1bn5、已知Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，Sn?m,Sm?n(n?m)，則Sm?n?題型二：求數(shù)列通項(xiàng)公式： A）給出前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,21,?,B）給出前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式

1、⑴Sn?2n2?3n；⑵Sn?3n?1.2n-

12、設(shè)數(shù)列?an?滿足a1?3a2?3a3?…+3an?

3，-33,333，-3333,33333……

n

(n?N*)，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

3C）給出遞推公式求通項(xiàng)公式

a、⑴已知關(guān)系式an?1?an?f(n)，可利用迭加法或迭代法；

例：1.已知數(shù)列{an}滿足a1?

11,an?1?an?2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。24n?

12.已知數(shù)列{an}滿足an?1?an?2n?1，a1?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

3.已知數(shù)列{an}滿足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。4.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1?2，an?1?an?3?22n?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

b、已知關(guān)系式an?1?an?f(n)，可利用迭乘法.例：1.已知數(shù)列{an}滿足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

2n

an，求an。，an?1?

3n?13n?

1an(n?1)，求an。3.已知a1?3，an?1?

3n?

2c、構(gòu)造新數(shù)列待定系數(shù)法適用于an?1?qan?f(n)

2.已知數(shù)列?an?滿足a1?

解題基本步驟：

1、確定f(n)

2、設(shè)等比數(shù)列?an??1f(n)?，公比為

3、列出關(guān)系式

an?1??1f(n?1)??2[an??2f(n)]

4、比較系數(shù)求?1，?

25、解得數(shù)列?an??1f(n)?的通項(xiàng)公式

6、解得數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

例：1.已知數(shù)列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式。

2.（2006，重慶,文,14）在數(shù)列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)

an?______________

3.（2006.福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

4.已知數(shù)列{an}滿足an?1?2an?3?5n，a1?6，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)

5.已知數(shù)列{an}滿足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)

511n?

1,an?1?an?()，求an 6

327.已知數(shù)列{an}滿足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

6.已知數(shù)列?an?中，a1?

解：設(shè)an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)

8.已知數(shù)列{an}滿足an?1?2an?4?3n?1，a1?1，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式。d、給出關(guān)于Sn和an的關(guān)系 解法：把Sn換為an

例

1、設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1?a,an?1?Sn?3n(n?N?)，設(shè)bn?Sn?3n，求數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式．

例

2、設(shè)Sn是數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，a1?1，Sn?an?Sn?

⑴求?an?的通項(xiàng)； ⑵設(shè)bn?

?

?

1?

?(n?2).2?

Sn，求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Tn.2n?

1（6）根據(jù)條件找n?1與n項(xiàng)關(guān)系

151

例1.已知數(shù)列{an}中，a1?1,an?1?C?，若C?,bn?，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式

an2an?

21n?1

a1?1,an?1?(1?)an?n

{a}n2 2.（2009全國卷Ⅰ理）在數(shù)列n中，abn?n

n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式（I）設(shè)

（7）倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng) 例：1.已知數(shù)列{an}滿足an?1?

2an,a1?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。an?2

（8）對無窮遞推數(shù)列

消項(xiàng)得到第n?1與n項(xiàng)的關(guān)系

例：1.（2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列{an}滿足

a1?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通項(xiàng)公式。

題型三：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列 A)證明數(shù)列等差

例

1、已知Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，bn?

Sn

(n?N?).求證：數(shù)列?bn?是等差數(shù)列.n

例

2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=數(shù)列；

B）證明數(shù)列等比

1.求證：{}是等差

Sn

2?1?

例

1、設(shè){an}是等差數(shù)列，bn＝??，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

?2?

n

例

2、設(shè)Sn為數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，已知ban?2??b?1?Sn

n?

1⑴證明：當(dāng)b?2時，an?n?2是等比數(shù)列；⑵求?an?的通項(xiàng)公式

an

??

例

3、已知數(shù)列?an?滿足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).⑴證明：數(shù)列?an?1?an?是等比數(shù)列；⑵求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

⑶若數(shù)列?bn?滿足4b1?14b2?1...4bn?1?(an?1)bn(n?N*),證明?bn?是等差數(shù)列.題型四：求數(shù)列的前n項(xiàng)和 基本方法： A）公式法，?na1(q?1)

n(a1?an)n(n?1)?Sn??na1?dSn??a1(1?qn)公比含字母時一定要討論

(q?1)22??1?q

例：1.已知等差數(shù)列{an}滿足a1?1,a2?3，求前n項(xiàng)和{Sn}

2.等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100,則n=（）A．9B．10C．11D．1

23.已知等比數(shù)列{an}滿足a1?1,a2?3，求前n項(xiàng)和{Sn} B）拆解求和法.例

1、求數(shù)列{2n?2n?3}的前n項(xiàng)和Sn.23，?，(n?例

2、求數(shù)列1，1214181)，?的前n項(xiàng)和Sn.2n

例

3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）C）裂項(xiàng)相消法，數(shù)列的常見拆項(xiàng)有：

1111

1?(?)；?n?1?n；

n(n?k)knn?k?n?1

111????例

1、求和：S=1+ 1?21?2?31?2?3???n111

1?????例

2、求和：.2?13?24?3n?1?nx

2例、設(shè)f(x)?，求：

1?x2⑴f()?f()?f()?f(2)?f(3)?f(4)；

⑵f()?f()???f()?f(2010).)?f()?f(2)???f(2009

D）倒序相加法，E）錯位相減法，例、若數(shù)列?an?的通項(xiàng)an?(2n?1)?3n，求此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn 例：1．求和Sn?1?2x?3x2???nxn?

12.求和：Sn?

123n?2?3???n aaaa

3.設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1?b1?1，a3?b5?21，?an?

（Ⅱ）求數(shù)列??的前n項(xiàng)和Sn． a5?b3?13（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

?bn?

F）對于數(shù)列等差和等比混合數(shù)列分組求和

例、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=12n－n，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.題型五：數(shù)列單調(diào)性最值問題

例

1、數(shù)列?an?中，an?2n?49，當(dāng)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn取得最小值時，n?例

3、數(shù)列?an?中，an?3n2?28n?1，求an取最小值時n的值.例

4、數(shù)列?an?中，an?n?

例

2、已知Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，a1?25,a4?16.當(dāng)n為何值時，Sn取得最大值；

n2?2，求數(shù)列?an?的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).*

例

5、設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3n，n?N*．

（Ⅰ）設(shè)bn?Sn?3n，求數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若an?1≥an，n?N，求a的取值范圍． 例

6、已知Sn為數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，a1?3，SnSn?1?2an(n?2).⑴求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列?an?中是否存在正整數(shù)k，使得不等式ak?ak?1對任意不小于k的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)k，若不存在，說明理由.例

7、非等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn??(an?1)2，（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn?

有Tn?

(n?N*)，Tn?b1?b2???bn，是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意的n均

n(3?an)

m

總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由。32

綜合練習(xí)：

1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1?0且（1）求{an}的通項(xiàng)公式（2）設(shè)bn?

2.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1?3a2?1，a3?9a2a6（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

a1a2

（2）設(shè)bn?log3?log3?...?log3n，求數(shù)列{

a

??1

1?an?11?an

n

1?an?1

n,記Sn??bk，證明：Sn?1

k?1的前n項(xiàng)和 bn

3.已知等差數(shù)列{an}滿足a2?0, a6?a8??10.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn（2）求數(shù)列{

an的前n項(xiàng)和 n?12

4.已知兩個等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1?a(a?0)，b1?a1?1，b2?a2?2，b3?a3?3（1）若a?1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（2）若數(shù)列{an}唯一，求a的值

5.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1?2，an?1?an?3?22n?1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

（2）令bn?nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

6.已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1）證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；（3）記bn=

112，求｛bn｝數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1.?

anan?23Tn?1

7.已知等差數(shù)列{an}滿足：a3?7,a5?a7?26，{an}的前n項(xiàng)和Sn（1）求an及Sn（2）令bn?

8．已知數(shù)列?an?中，a1?3，前n和Sn?

1an?1

（n?N），求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn

?

(n?1)(an?1)?1 2

①求證：數(shù)列?an?是等差數(shù)列②求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

③設(shè)數(shù)列?

?

1?

?的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在實(shí)數(shù)M，使得Tn?M對一切正整數(shù)n都成立？

?anan?1?

若存在，求M的最小值，若不存在，試說明理由。

9.數(shù)列?an?滿足a1=8，a4?2，且an?2?2an?1?an?0（n?N），?

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn?

(n?N*)，Sn?b1?b2????bn，是否存在最大的整數(shù)m，使得任意的n(12?an)

n均有Sn?

m

總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由． 32

第二篇：數(shù)列綜合題型總結(jié)

數(shù)列求和

1.（分組求和）

(x-2)+(x2-2)+…+（xn-2）

2.(裂相求和)

????1?44?7(3n?2)(3n?1)

3.（錯位相減）

135?2?3?222?2n?12n

1?2?2?22?3?23???n?2n

4.（倒寫相加）

1219984x)?f()???f()?x 求值設(shè)f(x），求f(1999199919994?25.（放縮法）

求證：1?

數(shù)列求通項(xiàng)

6.（Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)）

正數(shù)數(shù)列{an}，2Sn?an?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

7．（遞推公式變形求通項(xiàng)）已知數(shù)列{an }，滿足，a1=1,8.累乘法

an?1?5an求{an }的通項(xiàng)公式 5?an11??2232?1?2n2

數(shù)列?an?中，a1?122，前n項(xiàng)的和Sn?nan，求an?1.2222a?S?S?na?(n?1)a?(n?1)a?(n?1)an?1 nnn?1nn?1n解：

?

∴

∴an?ann?1?an?1n?1，anan?1a2n?1n?2111???a1?????an?1an?2a1n?1n32n(n?1)an?1?1

(n?1)(n?2)

9累加法

第三篇：數(shù)列典型題型

數(shù)列典型題型

1、已知數(shù)列?an?中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，⑴設(shè)數(shù)列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求證：數(shù)列?bn?是等比數(shù)列； a,(n?1,2,??)，求證：數(shù)列?cn?是等差數(shù)列； ⑵設(shè)數(shù)列cn?n

2n

⑶求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。

2、已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…

（1）證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；

3、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰為等比數(shù)列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn4、設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S7=7，S15=75,Tn為數(shù)列{

求Tn5、、正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2n?an?1，求：

（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn?11，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：Bn?.anan?12Sn}的前n項(xiàng)和，n6、在等比數(shù)列{an}中，an?0(n?N*)，公比q?(0,1)，且a1a5?2a3a5?a2a8?25，又a3與a5的等比

中項(xiàng)為2.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

SnS1S2????（2）設(shè)bn?log2an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)最大時，求n的值.12n7、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1?

（Ⅰ）判斷1,an?2SnSn?1?0(n?2)，21是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論； Sn

（Ⅱ）求Sn和an8、已知二次函數(shù)y?f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)?6x?2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(n?N?)均在函數(shù)y?f(x)的圖像上。

（Ⅰ）、求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； '

（Ⅱ）、設(shè)bn?m1?，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn?對所有n?N都成立的最小正整數(shù)m； 20anan?1

第四篇：數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

文德教育

知識框架

?列?數(shù)列的分類?數(shù)???數(shù)列的通項(xiàng)公式?函數(shù)?的概念角度理解???數(shù)列的遞推關(guān)系????等差數(shù)列的定義an?an?1?d(n?2)?????等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d???等差數(shù)列??n???等差數(shù)列的求和公式Sn?2(a1?an)?na1?n(n?1)d?????2??等差數(shù)列的性質(zhì)an?am?ap?aq(m?n???p?q)?兩個基??等比數(shù)列的定義an?q(n??本數(shù)列???a2)n?1??????等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an?1?n?a1q數(shù)列??等比數(shù)列???a1?anq?aqn1(1?)???等比數(shù)列的求和公式S(q?1)n???1?q1?q????????na1(q?1)????等比數(shù)列的性質(zhì)anam?apaq(m?n?p?q)????公式法??分組求和????錯位相減求和?數(shù)列??求和?裂項(xiàng)求和??倒序相加求和????累加累積???歸納猜想證明???數(shù)列的應(yīng)用?分期付款???其他

掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可

能在高考中順利地解決數(shù)列問題。

一、典型題的技巧解法

1、求通項(xiàng)公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項(xiàng)。

對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。

(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan（d，q為常數(shù)）例

1、已知{an}滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例

1、解 ∵an+1-an=2為常數(shù) ∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列

∴an=1+2（n-1）即an=2n-1 例

2、已知{a1n}滿足an?1?2an，而a1?2，求an=？

（2）遞推式為an+1=an+f（n）

例

3、已知{a?12，a1n}中a1n?1?an?4n2，求?1an.解： 由已知可知an?1?an?1(2n?1)(2n?1)?12(12n?1?12n?1)

令n=1，2，?，（n-1），代入得（n-1）個等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+?

+（an-an-1）

文德教育

an?a1?12(1?12n?1)?4n?34n?2

★ 說明 只要和f（1）+f（2）+?+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，?，（n-1）代入，可得n-1個等式累加而求an。

(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）

例

4、{an}中，a1?1，對于n＞1（n∈N）有an?3an?1?2，求an.解法一： 由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）

因此數(shù)列{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=（3×1+2）-1=4 ∴an-1 n+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3即 an=2·3n-1-1 解法二： 上法得{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a23n-24-a3=4·3，?，an-an-1=4·，把n-1個等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)遞推式為an+1=p an+q n（p，q為常數(shù)）

b2n?1?bn?3(b題的解法，得：b2nn?bn?1)由上n?3?2(3)∴

abnn?2?3(1n1nn2)?2(3)

(5)遞推式為an?2?pan?1?qan

思路：設(shè)an?2?pan?1?qan,可以變形為：an?2??an?1??(an?1??an)，想

于是{an+1-αan}是公比為β的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。求

an。

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(6)遞推式為Sn與an的關(guān)系式

關(guān)系；2）試用n表示an。

∴Sn?1?Sn?(an?an?1)?(12n?2?12n?1)

∴a1n?1?an?an?1?2n?

1∴a1n?1?2an?1n

2上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則{2nan}是公差為2的等差數(shù)列。

∴2nan= 2+（n-1）·2=2n

數(shù)列求和的常用方法：

1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。

2、錯項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果?an?等差，?bn?等比，那么?anbn?叫做差比數(shù)列）

即把每一項(xiàng)都乘以?bn?的公比q，向后錯一項(xiàng)，再對應(yīng)同次

項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。

3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。

?

適用于數(shù)列??1???1??a?和?n?an?1???a?an?a?（其中 n?1?n?等差）

?

可裂項(xiàng)為：

1a?1d(1a?1，n?an?1na)n?11?1an?an?1d(an?1?an)

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：（文德教育

1、若等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?0，公差d?0，則前n項(xiàng)和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通項(xiàng)a，則S?a?n?0nn最大??a；

n?1?0（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近?q2p的非零自然數(shù)時Sn最大；

2、若等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?0，公差d?0，則前n項(xiàng)和Sn有最小值（ⅰ）若已知通項(xiàng)aS?an?0n，則n最小??；

?an?1?0（ⅱ）若已知S?pn2n?qn，則當(dāng)n取最靠近?q2p的非零自然數(shù)時Sn最小；

數(shù)列通項(xiàng)的求法：

⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。

⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：a??S,(n?1)nS1。

n?Sn?1,(n?2)?f(1),(n?已知a?af(n)求a?1)12???an?n，用作商法：an??f(n)。?(n?1),(n?

?f2)⑶已知條件中既有Sn還有an，有時先求Sn，再求an；有時也可直接求an。⑷若an?1?an?f(n)求

an用累加法：

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1(n?2)。

⑸已知

an?1a?f(n)求an，用累乘法：an?anna?an?1???a2n?1an?2a?a1(n?2)。

1⑹已知遞推關(guān)系求an，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。

特別地，（1）形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an；形

如ann?kan?1?k的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個等差數(shù)列后，再求

an。

（2）形如a1n?an?ka

n?1?b的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。（3）形如akn?1?an的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項(xiàng)。

（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納法。（8）當(dāng)遇到an?1?an?1?d或an?1a?q時，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可

n?1能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式。

（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是

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等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

①1?1?1； ②1?1n(n?1)nn?1n(n?k)k(1n?1n?k)； ③1k2?1k2?1?12(1k?1?1k?1)，11k?1k?1?1(k?1)k?111k2?(k?1)k?k?1?； k④111 ；⑤

n11n(n?1)(n?2)?12[n(n?1)?(n?1)(n?2)](n?1)!?n!?；(n?1)!⑥2(n?1?n)?212n?n?1?n?n?n?1?2(n?n?1)

二、解題方法：

求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：

1、公式法

2、由Sn求an

（n?1時，a1?S1，n?2時，an?Sn?Sn?1）

3、求差（商）法

如：?a1n?滿足12a1?22a2????12nan?2n?5?1?

解：n?1時，12a1?2?1?5，∴a1?14 n?2時，12a11?22a12????2n?1an?1?2n?1?5?2?

?1???2?得：12nan?2

∴an?1n?

2∴an??14(n?1)??2n?1(n?2)

［練習(xí)］

數(shù)列?a5n?滿足Sn?Sn?1?3an?1，a1?4，求an

（注意到a?1n?1?Sn?1?Sn代入得：SnS?4

n 又S是等比數(shù)列，Sn1?4，∴?Sn?n?4

n?2時，an?1n?Sn?Sn?1????3·4

4、疊乘法

例如：數(shù)列?aan?1n?中，a1?3，a?nnn?1，求an

解：a2·a3??an?1·2a1a2an?123??n?1n，∴ana?11n

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又a31?3，∴an?n

5、等差型遞推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2時，a2?a1?f(2)? a?3?a2?f(3)??兩邊相加，得：

?????an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)????f(n)

∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)［練習(xí)］

數(shù)列?a?3n?1n?，a1?1，an?an?1?n?2?，求an（a1nn?2?3?1?）

6、等比型遞推公式

an?can?1?d?c、d為常數(shù)，c?0，c?1，d?0? 可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an?x?c?an?1?x?

?an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?dc?1

∴??ad?n?c?1?是首項(xiàng)為?ad?1?c?1，c為公比的等比數(shù)列 ∴add?n?c?1????an?11?c?1??·c ∴a?d?n?1n???a1?c?1??c?d c?1［練習(xí)］

數(shù)列?an?滿足a1?9，3an?1?an?4，求an

n?1（an?8??4???3???1）

7、倒數(shù)法

例如：a2an1?1，an?1?an?2，求an

由已知得：1a?an?2?1n?12a?1n2a

n ∴11a?1?2

n?1an ???1??a?為等差數(shù)列，1?1，公差為1 n?a126

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?111a?1??n?1?·n2?2?n?1?

∴an?2n?1

2．?dāng)?shù)列求和問題的方法（1）、應(yīng)用公式法

等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。

1＋3＋5＋??＋(2n-1)=n2

【例8】 求數(shù)列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），?前n項(xiàng)的和。

解 本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+?+n=12n(n?1)個奇數(shù)，∴最后一個奇數(shù)為：1+[12n(n+1)-1]×2=n

2+n-1 因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為

（2）、分解轉(zhuǎn)化法

對通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。

【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+?+n（n2-n2）

解 S=n2（1+2+3+?+n）-（13+23+33+?+n3）

（3）、倒序相加法

適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。

例

10、求和：S16C2nn?3Cn?n???3nCn

例

10、解 S012nn?0?Cn?3Cn?6Cn???3nCn

∴ Sn=3n·

2n-1

（4）、錯位相減法

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如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和．

例

11、求數(shù)列1，3x，5x2,?,(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和．

解 設(shè)Sn=1+3+5x2+?+(2n-1)xn-1． ①

(2)x=0時，Sn=1．

(3)當(dāng)x≠0且x≠1時，在式①兩邊同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+?+(2n-1)xn，②

①-②，得(1-x)S23+?+2xn-1-(2n-1)xnn=1+2x+2x+2x．

(5)裂項(xiàng)法：

把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：

例

12、求和111?5?13?7?5?9??1(2n?1)(2n?3)

注：在消項(xiàng)時一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。

在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時的應(yīng)用。

二、常用數(shù)學(xué)思想方法 1．函數(shù)思想

運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。

【例13】 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，前n項(xiàng)的和為Sn，若Sl=Sk（l≠k）問n為何值時Sn最大？

此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)。∵a1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函數(shù)的圖像開口向下

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∵ f（l）=f（k）

2．方程思想

【例14】設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q。分析 本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及推理能力。

解 ∵依題意可知q≠1。

∵如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此應(yīng)推出a1=0與等比數(shù)列不符。

∵q≠1

整理得 q3（2q6-q3-1）=0 ∵q≠0

此題還可以作如下思考：

S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），∴由S336633+S6=2S9可得2+q=2（1+q+q），2q+q=0

3．換元思想

【例15】 已知a，b，c是不為1的正數(shù)，x，y，z∈R+，且

求證：a，b，c順次成等比數(shù)列。

證明 依題意令ax=by=cz=k ∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

∴b2=ac ∴a，b，c成等比數(shù)列（a，b，c均不為0）

數(shù)學(xué)5（必修）第二章：數(shù)列

一、選擇題

1．?dāng)?shù)列?a1n?的通項(xiàng)公式an?，則該數(shù)列的前（）項(xiàng)之和等于9。n?n?1A．98 B．99

C．96 D．97

2．在等差數(shù)列?an?中，若S4?1,S8?4，則a17?a18?a19?a20的值為（）A．9 B．12

C．16 D．17

3．在等比數(shù)列?an?中，若a2?6，且a5?2a4?a3?12?0，則an為（）A．6 B．6?(?1)n?2 C．6?2n?2 D．6或6?(?1)n?2或6?2n?2

二、填空題

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1．已知數(shù)列?an?中，a1??1，an?1?an?an?1?an，則數(shù)列通項(xiàng)an?___________。

2．已知數(shù)列的Sn?n2?n?1，則a8?a9?a10?a11?a12=_____________。3．三個不同的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，且a,c,b成等比數(shù)列，則a:b:c?_________。

三、解答題

1． 已知數(shù)列?aSnn?的前n項(xiàng)和n?3?2，求an

2． 數(shù)

列l(wèi)g1000,lg(1000?cos600),lg(1000?cos2600),...lg(1000?cosn?1600),?的前多少項(xiàng)和為最大？

3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=2an-2n(n∈N?)（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列{

bna}的前n項(xiàng)和，求

n?2證T1n≥

2;

第五篇：高中數(shù)學(xué)思想方法題型總結(jié)

2012年高考數(shù)學(xué)答題思想方法

1.函數(shù)或方程或不等式的題目，先直接思考后建立三者的聯(lián)系。首先考慮定義域，其次是函數(shù)圖象。

2.面對含有參數(shù)的初等函數(shù)來說，在研究的時候應(yīng)該抓住參數(shù)有沒有影響到函數(shù)的不變的性質(zhì)。如所過的定點(diǎn)，二次函數(shù)的對稱軸或是??； 如果產(chǎn)生了影響，應(yīng)考慮分類討論。

3.填空中出現(xiàn)不等式的題目（求最值、范圍、比較大小等），優(yōu)選特殊值法；

4.求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)該建立關(guān)于參數(shù)的等式或是不等式，用函數(shù)的定義域或是值域或是解不等式完成，在對式子變形的過程中，優(yōu)先選擇分離參數(shù)的方法；

5.恒成立問題或是它的反面，可以轉(zhuǎn)化為最值問題，注意二次函數(shù)的應(yīng)用，靈活使用閉區(qū)間上的最值，分類討論的思想，分類討論應(yīng)該不重復(fù)不遺漏；

6.圓錐曲線的題目優(yōu)先選擇它們的定義完成，直線與圓錐曲線相交問題，若與弦的中點(diǎn)有關(guān)，選擇設(shè)而不求點(diǎn)差法，與弦的中點(diǎn)無關(guān)，選擇韋達(dá)定理公式法；使用韋達(dá)定理必須先考慮是否為二次及根的判別式問題；

7.求曲線方程的題目，如果知道曲線的形狀，則可選擇待定系數(shù)法，如果不知道曲線的形狀，則所用的步驟為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡（注意去掉不符合條件的特殊點(diǎn)）；

8.求橢圓或是雙曲線的離心率，建立關(guān)于a、b、c之間的關(guān)系等式即可（多觀察圖形，注意圖形中的垂直、中點(diǎn)等隱含條件）；個別題目考慮圓錐曲線的第二定義。

9.三角函數(shù)求周期、單調(diào)區(qū)間或是最值，優(yōu)先考慮化為一次同角弦函數(shù)，然后使用輔助角公式解答；解三角形的題目，重視內(nèi)角和定理的使用；與向量聯(lián)系的題目，注意向量角的范圍；

10、向量問題兩條主線：轉(zhuǎn)化為基底和建系，當(dāng)題目中有明顯的對稱、垂直關(guān)系時，優(yōu)先選擇建系。

11.數(shù)列的題目與和有關(guān)，優(yōu)選和通公式，優(yōu)選作差的方法；注意歸納、猜想之后證明；猜想的方向是兩種特殊數(shù)列；解答的時候注意使用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，體會方程的思想；

12.導(dǎo)數(shù)的題目常規(guī)的一般不難，但要注意解題的層次與步驟，如果要用構(gòu)造函數(shù)證明不等式，可從已知或是前問中找到突破口，必要時應(yīng)該放棄；重視幾何意義的應(yīng)用，注意點(diǎn)是否在曲線上；

12.遇到復(fù)雜的式子可以用換元法，使用換元法必須注意新元的取值范圍，有勾股定理型的已知（即有平方關(guān)系），可使用三角換元來完成；

13.絕對值問題優(yōu)先選擇去絕對值，去絕對值優(yōu)先選擇使用定義；

14.與圖象平移有關(guān)的，注意口訣“左加右減，上加下減”只用于函數(shù)

15.關(guān)于中心對稱問題，只需使用中點(diǎn)坐標(biāo)公式就可以，關(guān)于軸對稱問題，注意兩個等式的運(yùn)用：一是垂直，二是中點(diǎn)在對稱軸上。