第一篇：高中數(shù)學(xué)“數(shù)列的基本問題”教學(xué)研究

高中數(shù)學(xué)“數(shù)列的基本問題”教學(xué)研究

郭潔 北京市東城區(qū)教師研修中心

一、對(duì)“數(shù)列的基本問題”中數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次理解

（一）數(shù)列內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型．研究等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種特殊數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問題．

（二）深入理解數(shù)列內(nèi)容在知識(shí)體系中的地位及相互聯(lián)系 數(shù)列是函數(shù)學(xué)習(xí)的繼續(xù)；

數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型； 數(shù)列在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位 ；

歸納和類比是兩種用途最廣的合情推理.也是數(shù)列教學(xué)和學(xué)習(xí)中最重要的方 法。

（三）數(shù)列教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn) 等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的探求，在實(shí)際問題的情境中抽象出等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，數(shù)列遞推關(guān)系的建立及其應(yīng)用是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)．

二、“ 數(shù)列的基本問題 ” 的教與學(xué)的策略

（一）學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列概念時(shí)的障礙及對(duì)策

數(shù)列概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起始課，在學(xué)習(xí)中學(xué)生會(huì)遇到如下障礙： 1．對(duì)數(shù)列定義中的關(guān)鍵詞“按一定次序”的理解有些模糊． 2．對(duì)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系認(rèn)識(shí)不清． 3．對(duì)數(shù)列的表示，特別是通項(xiàng)公式以不只一個(gè)覺得不可思議．

4．由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫不出數(shù)列的通項(xiàng)公式． 教學(xué)策略：

1．為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣，體會(huì)數(shù)列知識(shí)在實(shí)際生活中的作用，可由實(shí)際問題引入，從中抽象出數(shù)列要研究的問題，使學(xué)生對(duì)所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子等。

2．?dāng)?shù)列中蘊(yùn)含的函數(shù)思想是研究數(shù)列的指導(dǎo)思想，應(yīng)及早引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)列的項(xiàng)是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列．函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項(xiàng)公式法。數(shù)列的概念

定義：像這樣按照一定次序排列起來的一列數(shù)稱為數(shù)列.從三個(gè)層次來理解“次序”（1）語言描述

把位置編上號(hào)碼，這些號(hào)碼是所有的非零自然數(shù)按從小到大順序排列，每一個(gè)有序號(hào)的位置都有一個(gè)確定的值，由所有這樣的數(shù)值組成一個(gè)數(shù)列； 數(shù)列的一般形式可以寫成 a1，a2，a3，?，an，?，這種有序性是對(duì)數(shù)列本質(zhì)的刻畫

感到困惑．對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式可（2）映射角度

“次序”用數(shù)學(xué)語言來表示，就是一種特殊的對(duì)應(yīng)，即映射：

（3）函數(shù)角度

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集 N *（或它的有限子集 {1，2，?，n}）為定義域的函數(shù) an= f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值． 數(shù)列——初等函數(shù)

對(duì)于任意的函數(shù) y = f(x)（x ≥0），我們可以得到一個(gè)數(shù)列

3．由數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)是簡單的代入法，對(duì)程度差的學(xué)生，可多舉幾個(gè)例子，讓學(xué)生觀察歸納通項(xiàng)公式與各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，盡量為寫通項(xiàng)公式提供幫助． 歸納數(shù)列的通項(xiàng)

教學(xué)的目的：歸納法的運(yùn)用，數(shù)列概念的理解。教學(xué)中，分幾個(gè)層次： 可以先給一些特殊的數(shù)列：

再給和特殊數(shù)列有關(guān)的數(shù)列：

4．由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，要幫助學(xué)生分析各項(xiàng)中的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生依據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，猜想該數(shù)列的下一項(xiàng)或下幾項(xiàng)的值，以便尋求項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系。最后老師可以和學(xué)生共同歸納一些規(guī)律性的結(jié)論：

（1）并非所有數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式，如： 0，-1，3，7，11 ?；（2）有些數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上不一定是唯一的，如：數(shù)列 1，-1，1，-1，1，-1，?的通項(xiàng)可寫成（3）當(dāng)一個(gè)數(shù)列出現(xiàn)“ + ”、“-”相間時(shí)，應(yīng)先把符號(hào)分離出來，用

等來控制，然后再尋找數(shù)量間關(guān)系；（4）有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用分段的形式來表示；（5）熟悉常見數(shù)列的通項(xiàng)：

例如，全體正偶數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列 2，4，6，?，2 n，?，這個(gè)數(shù)列還可以用列表和圖象分別表示為

總之：數(shù)列概念的要求比過去高，用圖形的變化描述數(shù)列，把圖形的幾何結(jié)構(gòu)量化。

（二）用函數(shù)的觀點(diǎn)進(jìn)行等差數(shù)列的教學(xué) 關(guān)于等差數(shù)列定義的教學(xué)

給出一些等差數(shù)列的例子，讓學(xué)生從項(xiàng)與項(xiàng)關(guān)系的角度去觀察、歸納、概括得等差數(shù)列的定義.在這一段的教學(xué)中，一定要重視歸納的過程，這是學(xué)生能理解等差數(shù)列的所必須的，不要一筆帶過！研究數(shù)列的一個(gè)很重要的方法是：從整體上看數(shù)列，研究數(shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系

引入：（2004 北京卷）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列

是等和數(shù)列，且a1=2，公和為 5，那么 a18的值為

從定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

得： 表明從第二項(xiàng)起，等差數(shù)列的任意項(xiàng)都可以表示為它的前一項(xiàng)與公差的和 , 因此，等差數(shù)列的任意項(xiàng)也就應(yīng)該可以用首項(xiàng)和公差來表示.2．等差數(shù)列通項(xiàng)與一次函數(shù) 得到結(jié)論： 是等差數(shù)列

這樣，由于公差不為零的等差數(shù)列的每一項(xiàng)an是關(guān)于項(xiàng)數(shù) n 的一次函數(shù)式 于是可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來認(rèn)識(shí)等差數(shù)列

例如，理解為什么.根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線和直線由兩個(gè)點(diǎn)唯一確定的性質(zhì)，就容易理解為什么兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列 由斜率的計(jì)算方法）3．等差數(shù)列的性質(zhì)，它的含義是什么呢？（可以適當(dāng)拓展到直線

表面看是兩項(xiàng)之和相等，從對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間又是一種什么關(guān)系呢？ 由此歸納得出：

使用等差數(shù)列的性質(zhì)

注意：必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不成立。如

.時(shí)要，有等差中項(xiàng)的定義是針對(duì)三個(gè)數(shù)的，即如果 x，A，y組成等差數(shù)列，則 A叫做 x，y的等差中項(xiàng).從等差數(shù)列的整體看： a1，a2，a3，?，an，?，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).推廣：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是到它距離相等的兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即與數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于該項(xiàng)的 2 倍.這個(gè)性質(zhì)體現(xiàn)的是數(shù)列的對(duì)稱性，這種對(duì)稱性是由項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系決定的.例題：

（三）把握等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式的教學(xué)實(shí)質(zhì) 1 ．等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式的教學(xué)實(shí)質(zhì)

有些教師在教學(xué)中利用“梯形鋼管堆的計(jì)數(shù)”“梯形面積公式”等模型來體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，認(rèn)為“倒序求和”是等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式這一內(nèi)容蘊(yùn)含的思想方法。因此，把基礎(chǔ)定位在要讓學(xué)生掌握求和公式及其變式，學(xué)會(huì)“倒序求和”的思想方法。

其實(shí)，“倒序求和”只是為避免對(duì)項(xiàng)數(shù) n進(jìn)行奇偶討論而引入的一個(gè)技巧，并不是什么思想方法。基礎(chǔ)性表現(xiàn)在幾個(gè)層次： 用等差數(shù)列的“基本量”

；

用等差數(shù)列的性質(zhì)“等差數(shù)列”，將不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，從數(shù)量關(guān)系上看是利用了“平均數(shù)”概念； 更進(jìn)一步地，為了體現(xiàn)從概念出發(fā)思考和解決問題的思想，利用等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式求

教學(xué)設(shè)計(jì)：

引入高斯故事，歸納方法本質(zhì)。，所以實(shí)質(zhì)就是從“高斯的故事”引入；歸納“高斯方法”的本質(zhì)，即實(shí)質(zhì)是利用，將不同數(shù)化為相同數(shù)求和；

探究求值方法，引出分類討論 用這一方法求的值，引出需要分 n為奇數(shù)、偶數(shù)討論的問題，并

求出和；過渡到利用歸納思想方法，提升解題技巧

求等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式。

聚焦基本概念和基本原理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程，從中領(lǐng)悟“化歸”的思想方法的思路。

教學(xué)中不必急于引入“倒序求和”的技巧。可以在討論 n的奇偶性而得出求和公式后，再讓學(xué)生思考“能否想個(gè)辦法避免討論”，把公式

變形為，再聯(lián)系性質(zhì)得到。

應(yīng)把等差數(shù)列前 項(xiàng)和這節(jié)課看成是等差數(shù)列概念、性質(zhì)的應(yīng)用課。這一節(jié)課的教學(xué)，重要的是培養(yǎng)學(xué)生從基本概念、基本原理出發(fā)思考問題的習(xí)慣。具體教學(xué)時(shí)應(yīng)明確任務(wù)（即用基本量）的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從基本性質(zhì)、通項(xiàng)公式入手，尋找化歸的方法，在不斷“求簡”中得到“倒序求和”。2.公式的推導(dǎo) ．從函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí) Sn

首項(xiàng)為 a1、公差為 d 的等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的公式可以寫為：

即當(dāng) 時(shí)，Sn是 n 的二次函數(shù)式，于是可以運(yùn)用二次函數(shù)的觀點(diǎn)和方法來認(rèn)識(shí)求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的問題 如可以根據(jù)二次函數(shù)的圖象了解 Sn的增減變化、極值等情況 ．通過 Sn的有關(guān)問題進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征

本題給出了等差數(shù)列前 6 項(xiàng)的和，應(yīng)該關(guān)注最后六項(xiàng)的和，利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前 n項(xiàng)和公式解決問題。要求學(xué)生對(duì)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和概念要有深刻理解。例 2 等差數(shù)列 的公差為 d，前 n項(xiàng)和為 Sn，當(dāng)首項(xiàng) a1和 d變化時(shí)，a2+a8+a11是一個(gè)定值，則下列各數(shù)中也為定值的是（C）

本題利用整體代換求解，體現(xiàn)了整體代換的思想。

（四）典型例題的作用及教學(xué)

所以，滿足不等式組的正整數(shù) n的取值只能是 8，9.（五）數(shù)列研究的幾個(gè)基本問題 1 ．關(guān)注 an與 Sn

（六）數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)定位 1 ．?dāng)?shù)學(xué)歸納法教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn) 重 點(diǎn)

（1）初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理.（2）明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟.（3）初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式.難 點(diǎn)

（1）對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性與有效性.（2）假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)論正確.2 ．?dāng)?shù)學(xué)歸納法原理形成的教學(xué)定位

由于數(shù)學(xué)歸納法原理的高度的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，往往限于掌握了一些應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧，而不能真正理解它的意義.因此學(xué)習(xí)停留在單純的模仿之中.所以原理的形成過程的教學(xué)，既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).教師要組織形象、生動(dòng)、與所學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的素材，作為數(shù)學(xué)歸納法原理產(chǎn)生的背景，以激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，幫助、引導(dǎo)學(xué)生從中感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，最終產(chǎn)生遷移效果.抽象出數(shù)學(xué)歸納法的原理，如何通過探究順利實(shí)現(xiàn)遷移抽象的目標(biāo)，就成了本節(jié)課能否成功的關(guān)鍵.有些教師對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理形成過程的教學(xué)不夠重視，表現(xiàn)在有的教師沒有安排實(shí)驗(yàn)探究，急于向?qū)W生展示一種思維“模式”和“套路”，接著通過大量的例題、習(xí)題進(jìn)行強(qiáng)化；有的教師雖然安排了實(shí)驗(yàn)，但也是一帶而過，很快抽象出了數(shù)學(xué)歸納法原理，這只能是教師的“成果”，而不是學(xué)生的成果，仍然擺脫不了生硬灌輸這種教學(xué)模式的影子；甚至有的教師將相當(dāng)多的時(shí)間和精力花在舉例說明“不完全歸納法”的缺陷上，這顯然偏離了本節(jié)課的主題與核心.“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)定位

本節(jié)課所需的“引例”，形式豐富多樣，教師用的最多的是“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”，因?yàn)檫@幾乎是所有學(xué)生小時(shí)候都玩過的一種游戲，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，具有一種無形的親近感。同時(shí)“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”以簡便的形式蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)歸納法的深刻原理，因而成為這節(jié)課的典型素材.問題是如何正確認(rèn)識(shí)，科學(xué)定位“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”？在實(shí)驗(yàn)的方式上，“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”應(yīng)從不同角度多次進(jìn)行，每次實(shí)驗(yàn)都要有不同的目的，都要引發(fā)學(xué)生不同的思考、探究，讓學(xué)生既要有實(shí)驗(yàn)成功的體驗(yàn)，又要有實(shí)驗(yàn)失敗的反思；而多次的實(shí)驗(yàn)又能形成一個(gè)有機(jī)的整體，當(dāng)將每次實(shí)驗(yàn)的體驗(yàn)和反思糅合在一起后，數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)在原理就扎根于學(xué)生的心中了。從學(xué)生的基礎(chǔ)來看，學(xué)生用原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)同化數(shù)學(xué)歸納法存在著數(shù)學(xué)知識(shí)和邏輯知識(shí)上的準(zhǔn)備不足，需要具體的實(shí)例幫助；從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來看認(rèn)知抽象的事物應(yīng)盡可能將其具體化、形象化，同時(shí)，對(duì)抽象事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)不能一步到位，應(yīng)該由淺入深、由表及里、正反對(duì)比，方能凸顯本質(zhì)。

“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”的功能應(yīng)該包含兩個(gè)層次：一是將實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為關(guān)于正整數(shù)的命題，即“第一塊骨牌倒下”對(duì)應(yīng)“當(dāng) n取第一個(gè)正整數(shù) n0時(shí)命題成立”，“第二塊骨牌倒下”對(duì)應(yīng)“當(dāng) n取第一個(gè)正整數(shù) n0+1時(shí)命題成立”，?，“所有的骨牌都倒下（即游戲成功）”對(duì)應(yīng)“命題對(duì)從 n0開始的所有正整數(shù)都成立”，若“第“若

塊骨牌倒下，則一定有第 k+1塊骨牌跟著倒下”對(duì)應(yīng)時(shí)命題成立，則 n=K+1時(shí)命題也一定成立”。

二是將游戲轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生通過解決具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納法的思想，并從中感受到成功的喜悅，然后在此基礎(chǔ)上才能推廣到一般命題，抽象概括，得到數(shù)學(xué)歸納法原理。這樣學(xué)生才能夠切實(shí)掌握數(shù)學(xué)歸納法原理，本節(jié)課的難點(diǎn)才能夠得到有效突破。“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)設(shè)計(jì) 三次實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn) 1 ：用手推倒 1 號(hào)骨牌，然后 2 號(hào)骨牌，3 號(hào)骨牌，?，緊跟著全部倒下，讓學(xué)生討論為什么會(huì)出現(xiàn)這種結(jié)果，在這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)現(xiàn)象的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)可能是比較模糊的，但必要的討論為下面顯現(xiàn)本質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

實(shí)驗(yàn) 2 ：課件展示動(dòng)畫，在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距和實(shí)驗(yàn) 1 相同，用手推倒 1 號(hào)骨牌，沒有推倒，然后 2 號(hào)骨牌，3 號(hào)骨牌，?，自然就沒有倒下，即游戲失敗。這時(shí)教師讓學(xué)生對(duì)比實(shí)驗(yàn) 1 和實(shí)驗(yàn) 2，討論游戲失敗的原因，從而得到游戲成功的第一個(gè)必要條件，1 號(hào)骨牌必須被推倒。

實(shí)驗(yàn) 3 ：課件展示動(dòng)畫，在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距出現(xiàn)分化，1 號(hào)骨牌與 2 號(hào)骨牌的間距拉開的足夠大，其他骨牌間距不變（同實(shí)驗(yàn) 1），這是用手推倒了 1 號(hào)骨牌，但 2 號(hào)骨牌沒有倒下，3 號(hào)骨牌，4 號(hào)骨牌?，自然就沒有倒下，即游戲失敗。同樣讓學(xué)生對(duì)比不同實(shí)驗(yàn)及其結(jié)果，分析原因。這是學(xué)生得到的結(jié)論往往在具體骨牌上，即 1 號(hào)骨牌倒下，沒有帶動(dòng) 2 號(hào)骨牌倒下導(dǎo)致了失敗，而學(xué)生對(duì)其中的任意性很難提煉出來。繼續(xù)下去，再將 2 號(hào)骨牌和 3 號(hào)骨牌 ,3 號(hào)骨牌和 4 號(hào)骨牌?，的間距拉開的足夠大，（每一次試驗(yàn)只改變一個(gè)間距），重復(fù)實(shí)驗(yàn) 3，如此反復(fù)幾次，學(xué)生不難悟出游戲成功的第二個(gè)必要條件，即第 k塊骨牌倒下，則一定有第 k+1塊骨牌倒下（這里暗示了無窮推理的合理性）。至此，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，為何兩步缺一不可，便不言自明。兩次遷移：

骨牌游戲雖然有數(shù)學(xué)歸納法的影子，但畢竟不是數(shù)學(xué)歸納法原理本身，不能直接用來證明數(shù)學(xué)問題，這就需要將游戲遷移到數(shù)學(xué)問題中去。遷移 1 將骨牌游戲換成數(shù)學(xué)問題，提出問題：設(shè)等差數(shù)列 的首項(xiàng)為 a1，公差為 d，我們在前面推導(dǎo)其通項(xiàng)公式時(shí)，得到與正整數(shù)有關(guān)的無窮多等式：

要使這無窮多個(gè)等式都成立，你能否用數(shù)學(xué)語言概括上面游戲成功的兩個(gè)條件？然后讓學(xué)生獨(dú)立思考、合作討論、得到（1）第一個(gè)等式成立（即當(dāng) n=1成立）（2）假設(shè)第個(gè)等式成立，一定能推出第k+1個(gè)等式也成立。這樣就實(shí)現(xiàn)了由游戲向原理的第一次遷移。

遷移 2 教師請同學(xué)就等差數(shù)列通項(xiàng)公式問題具體嘗試，是否能做到這兩步？最后將無窮多個(gè)等式統(tǒng)一為

。至此，由游戲向原理的第二次遷移順利完成。數(shù)學(xué)歸納法原理的得出已經(jīng)是水到渠成。（1）歸納奠基（2）歸納遞推

從多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)歸納法原理，清晰地反映了生活問題 — 數(shù)學(xué)問題 — 數(shù)學(xué)形式化的發(fā)展軌跡。在對(duì)實(shí)驗(yàn)的探究過程中，學(xué)生經(jīng)歷了成功與失敗的種種體驗(yàn)，經(jīng)歷了將生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的過程，經(jīng)歷了將生活中蘊(yùn)含的原理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)原理的過程。由于始終堅(jiān)持在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)置問題情境，注重層層遞進(jìn)，避免一步到位，因而學(xué)生能夠積極思考。樂于交流討論，不斷體驗(yàn)到成功的快樂，從而順利地建立了新舊知識(shí)及其本質(zhì)之間的聯(lián)系。

學(xué)生通過數(shù)列一章內(nèi)容和其它相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法─數(shù)學(xué)歸納法。

三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測

（一）課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對(duì)數(shù)列內(nèi)容的要求

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型．學(xué)生將通過對(duì)日常生活中大量實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問題．

（1）數(shù)列的概念和簡單表示法

通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列

①通過實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念．

②探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和的公式．

③能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.④體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 因此教師在檢測中要注意 ．等差數(shù)列和等比數(shù)列有著廣泛的應(yīng)用，教學(xué)中應(yīng)重視通過具體實(shí)例（如教育貸款、購房貸款、放射性物質(zhì)的衰變、人口增長等），使學(xué)生理解這兩種數(shù)列模型的作用，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)列模型的能力． ．在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)保證基本技能的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生通過必要的練習(xí)，掌握數(shù)列中各量之間的基本關(guān)系．但訓(xùn)練要控制難度和復(fù)雜程度．

（二）典型題目分析

本題涉及到等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本知識(shí)，涉及到求公比的問題，應(yīng)該注意對(duì)公比q的討論，這一點(diǎn)學(xué)生往往容易忽略。

本題的第一問涉及到判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列的問題，通過解決本題，教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握證明等比數(shù)列的方法，第二問是數(shù)列求和問題，教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ā?/p>

此題為 1996 年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，試卷中不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失 2 分，因此在檢測中要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。

第二篇：高中數(shù)學(xué)-公式-數(shù)列

數(shù)列

1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?a1?(n?1)d，前n項(xiàng)和公式是：Sn?n(a1?an)1=na1?n(n?1)d。22.等差數(shù)列 ｛an｝ ?an?an?1?d(d為常數(shù)）?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)?an?an?b?Sn?An2?Bn。

?na1(q?1)?nn?

12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?a1q，前n項(xiàng)和公式是：Sn??a1(1?q)(q?1)??1?q

2n-13.等比數(shù)列 ｛an}?an?an-1?an?1(n?2,n?N)?an?a1?q;

＊

4、當(dāng)m+n=p+q=2t(m、n、p、q∈N)時(shí)，對(duì)等差數(shù)列｛an｝有：am?an?ap?aq?2at；對(duì)等比數(shù)列｛an｝

有：aman?apaq?at。

5、等差數(shù)列中, am=an+(n－m)d, d?am?an;等比數(shù)列中，an=amqn-m;q=n?m?n

{anbn}等也是等比數(shù)列。

7、設(shè)Sn表示數(shù)列前n項(xiàng)和；等差數(shù)列中有：Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,??也是等差數(shù)列；在等比數(shù)列中，2an;am6、若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan?bbn}(k、b、a是非零常數(shù))是等差數(shù)列；若{an}、{bn}是等比數(shù)列，則｛kankan｝、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,??是等比數(shù)列。

8、等差(或等比)數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)數(shù)列；

9、等差數(shù)列中：a1?an?a2?an?1?a3?an?2??；

等比數(shù)列中：a1an?a2an?1?a3an?2??

10、對(duì)等差數(shù)列｛an｝,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S偶?S奇?nd；項(xiàng)數(shù)為2n－1時(shí)，S奇?S偶?a中項(xiàng)(n∈N*)。

11、由Sn求an，an={S1(n?1)

*Sn?Sn?1(n?2,n?N)

一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式；

12、首項(xiàng)為正(或?yàn)樨?fù))的遞減(或遞增)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大(或最小)問題，轉(zhuǎn)化為解不等式?an?0??an?0?解決； ?或?????a?0a?0?n?1??n?1? 注意驗(yàn)證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨(dú)列出。

13、熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，在用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，勿忘分類討論思想；

14、若一階線性遞歸數(shù)列an=kan－1+b(k≠0,k≠1),則總可以將其改寫變形成如下形

式:an?b?k(an?1?b)(n≥2)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式； k?1k?115、當(dāng)?shù)缺葦?shù)列?an?的公比q滿足q<1時(shí)，limSn=S=

n??a1。一般地，如果無窮數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和的極限n??1?qlimSn存在，就把這個(gè)極限稱為這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和(或所有項(xiàng)的和)，用S表示，即S=limSn。n??

第三篇：高中數(shù)學(xué)數(shù)列說課稿

高中數(shù)學(xué)數(shù)列說課稿

高中數(shù)學(xué)數(shù)列說課稿1

以下是高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》說課稿，僅供參考。

教學(xué)目標(biāo)

A、知識(shí)目標(biāo)：

掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法;掌握公式的運(yùn)用。

B、能力目標(biāo)：

(1)通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

(2)利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。

(3)通過對(duì)公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

C、情感目標(biāo)：(數(shù)學(xué)文化價(jià)值)

(1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。

(2)通過公式的運(yùn)用，樹立學(xué)生“大眾教學(xué)”的思想意識(shí)。

(3)通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用。

教學(xué)方法：啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式。

教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。

師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì)，今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會(huì)想到德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯“神速求和”的故事，小高斯上小學(xué)四年級(jí)時(shí)，一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題：“把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少?”年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計(jì)算出來的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計(jì)算，那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(教師觀察學(xué)生的表情反映，然后將此問題縮小十倍)。我們來看這樣一道一例題。

例1，計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

這道題除了累加計(jì)算以外，還有沒有其他有趣的解法呢?小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。

生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個(gè)11，得到55。

生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10個(gè)

所以我們得到S=55，

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

師：高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個(gè)101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個(gè)性質(zhì)呢?

生3：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.

二、教授新課(嘗試推導(dǎo))

師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)an，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計(jì)算公式呢?根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請一位學(xué)生板演。

生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成

Sn=an+an-1+......a2+a1

兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

n個(gè)

=n(a1+an)

所以Sn=

#FormatImgID_0#

(I)

師：好!如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

Sn=na1+

#FormatImgID_1#

d(II) 上面(I)、(II)兩個(gè)式子稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式(I)是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，下底是第n項(xiàng)an，高是項(xiàng)數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量?(a1，d，n，an，Sn)，它們由哪幾個(gè)關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d，Sn=

#FormatImgID_2#

=na1+

#FormatImgID_3#

d];這些量中有幾個(gè)可自由變化?(三個(gè))從而了解到：只要知道其中任意三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。

三、公式的應(yīng)用(通過實(shí)例演練，形成技能)。

1、直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式)例2、計(jì)算：

(1)1+2+3+......+n

(2)1+3+5+......+(2n-1)

(3)2+4+6+......+2n

(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

請同學(xué)們先完成(1)-(3)，并請一位同學(xué)回答。

生5：直接利用等差數(shù)列求和公式(I)，得

(1)1+2+3+......+n=

#FormatImgID_4#

(2)1+3+5+......+(2n-1)=

#FormatImgID_5#

(3)2+4+6+......+2n=

#FormatImgID_6#

=n(n+1)

師：第(4)小題數(shù)列共有幾項(xiàng)?是否為等差數(shù)列?能否直接運(yùn)用Sn公式求解?若不能，那應(yīng)如何解答?小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答。

生6：(4)中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為-1，故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n個(gè)

師：很好!在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會(huì)尋找到好的方法。注意在運(yùn)用Sn公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會(huì)引起錯(cuò)解。

例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

又∵d=-2，∴a1=6

∴S12=12 a1+66×(-2)=-60

生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4

a8+a9+a10=75，a1+8d=25

解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+

#FormatImgID_7#

=145

師：通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。在Sn公式有5個(gè)變量。已知三個(gè)變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量(知三求二)，請同學(xué)們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習(xí)題，以便下節(jié)課交流。

師：(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第(2)小題改編)

①數(shù)列{an}等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

②若此題不求a1，d而只求S10時(shí)，是否一定非來求得a1，d不可呢?引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a1+a10的`值。

2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)Sn公式。

例4，在等差數(shù)列{an}， (1)已知a2+a5+a12+a15=36，求S16;(2)已知a6=20，求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解)

師：來看第(1)小題，寫出的計(jì)算公式S16=

#FormatImgID_8#

=8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么?

生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。

師：對(duì)!(簡單小結(jié))這個(gè)題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和，于是這個(gè)問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。

師：由于時(shí)間關(guān)系，我們對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一一剖析，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點(diǎn)如何來認(rèn)識(shí)Sn公式后，這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。

最后請大家課外思考Sn公式(1)的逆命題：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于所有自然數(shù)n，都有Sn=

#FormatImgID_9#

。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說明理由。

四、小結(jié)與作業(yè)。

師：接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。

生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2、用所推導(dǎo)的兩個(gè)公式解決有關(guān)例題，熟悉對(duì)Sn公式的運(yùn)用。

生12：1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值。

2、具體用Sn公式時(shí)，要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II)，掌握知三求二的解題通法。

3、當(dāng)已知條件不足以求此項(xiàng)a1和公差d時(shí)，要認(rèn)真觀察，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

師：通過以上幾例，說明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時(shí)希望大家在學(xué)習(xí)中做一個(gè)有心人，去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)，主動(dòng)積極地去學(xué)習(xí)。

本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法;觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。

數(shù)學(xué)思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。

高中數(shù)學(xué)數(shù)列說課稿2

一、教材分析

1、從在教材中的地位與作用來看

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2、從學(xué)生認(rèn)知角度看

從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯(cuò)。

3、學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。

4、重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用。

教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用。

公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

二、目標(biāo)分析

知識(shí)與技能目標(biāo)：

理解并掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題。

過程與方法目標(biāo)：

通過對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)

化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。

情感與態(tài)度價(jià)值觀：

通過對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，滲透事物之間等價(jià)轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn)。

三、過程分析

學(xué)生是認(rèn)知的主體，設(shè)計(jì)教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地讓學(xué)生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過程：

1、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國王大為贊賞，對(duì)他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)。

此時(shí)我問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥粒總數(shù)。帶著這樣的問題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和。這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定。

設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，教師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營造知識(shí)形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙。同時(shí)，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆、

2、師生互動(dòng)，探究問題

在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，22，.....，263是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？

探討1：，記為（1）式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍）

探討2：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2則有，記為（2）式。比較（1）（2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機(jī)。

經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到：。老師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

3、類比聯(lián)想，解決問題

這時(shí)我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，

這里，讓學(xué)生自主完成，并喊一名學(xué)生上黑板，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。

設(shè)計(jì)意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。

對(duì)不對(duì)？這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn=？（這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)。）

再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn—1，如何把sn用a1、an、q表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）

設(shè)計(jì)意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的'主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時(shí)間有時(shí)比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用。

4、討論交流，延伸拓展

在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？我們知道，

那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出sn呢？根據(jù)等比數(shù)列的定義又有，能否聯(lián)想到等比定理從而求出sn呢？

設(shè)計(jì)意圖：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、討論的氛圍、以上兩種方法都可以化歸到，這其實(shí)就是關(guān)于的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價(jià)值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用、

5、變式訓(xùn)練，深化認(rèn)識(shí)

首先，學(xué)生獨(dú)立思考，自主解題，再請學(xué)生上臺(tái)來幻燈演示他們的解答，其它同學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià)，然后師生共同進(jìn)行總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組，深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，通過直接套用公式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)和競爭意識(shí)。

6、例題講解，形成技能

設(shè)計(jì)意圖：解題時(shí)，以學(xué)生分析為主，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的問題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想。

7、總結(jié)歸納，加深理解

以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再從知識(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。

8、故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)

最后我們回到故事中的問題，我們可以計(jì)算出國王獎(jiǎng)賞的小麥約為1、84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，顯然國王兌現(xiàn)不了他的承諾。

設(shè)計(jì)意圖：把引入課題時(shí)的懸念給予釋疑，有助于學(xué)生克服疲倦、繼續(xù)積極思維。

9、課后作業(yè)，分層練習(xí)

必做：P129練習(xí)1、2、3、4

選作：

（2）“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？

設(shè)計(jì)意圖：出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間。

四、教法分析

對(duì)公式的教學(xué)，要使學(xué)生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系。在教學(xué)中，我采用“問題――探究”的教學(xué)模式，把整個(gè)課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個(gè)階段。

利用多媒體輔助教學(xué)，直觀地反映了教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生思維活動(dòng)得以充分展開，從而優(yōu)化了教學(xué)過程，大大提高了課堂教學(xué)效率。

五、評(píng)價(jià)分析

本節(jié)課通過三種推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。錯(cuò)位相減：變加為減，等價(jià)轉(zhuǎn)化；遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；等比定理：回歸定義，自然樸實(shí)。學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會(huì)到推導(dǎo)過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性。同時(shí)通過精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能。在此基礎(chǔ)上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。

高中數(shù)學(xué)數(shù)列說課稿3

一、教材分析

本課時(shí)的內(nèi)容是數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及運(yùn)用；本課是在學(xué)習(xí)映射、函數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)上研究數(shù)列，既對(duì)進(jìn)一步理解數(shù)列，又為今后研究等差、等比數(shù)列打下基礎(chǔ)，起著承前啟后的重要作用.

首先，數(shù)列，特別是等差數(shù)列與等比數(shù)列，有著較為廣泛的應(yīng)用。值得一提的是，數(shù)列在產(chǎn)品尺寸標(biāo)準(zhǔn)化方面有著重要作用。例如在我國已頒布的供各種生產(chǎn)部門設(shè)計(jì)產(chǎn)品尺寸用的國家標(biāo)準(zhǔn)，就是按等比數(shù)列對(duì)產(chǎn)品尺寸進(jìn)行分級(jí)的。

其次，數(shù)列在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，很多知識(shí)都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識(shí)在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容作了鋪墊。應(yīng)該說：新課本采取將代數(shù)、幾何打通的混編體系的主要目的是強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)列正是將各知識(shí)勾通方面發(fā)揮了重要作用。

最后，由于不少關(guān)系恒等變形、解方程（組）以及一些帶有綜合性的數(shù)學(xué)問題都與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的'能力。因此本節(jié)內(nèi)容起到一個(gè)鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承接作用。

二、學(xué)生情況分析

學(xué)習(xí)障礙：

本節(jié)課是學(xué)習(xí)數(shù)列的起始課，在學(xué)習(xí)中會(huì)遇到下列障礙：

1．對(duì)數(shù)列定義中的關(guān)鍵詞“按一定次序”的理解有些模糊．

2．對(duì)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系認(rèn)識(shí)不清．

3．對(duì)數(shù)列的表示，特別是通項(xiàng)公式an＝f(n)感到困惑．對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以不只一個(gè)覺得不可思議．

4．由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫不出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

學(xué)習(xí)策略：

（1）為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣，體會(huì)數(shù)列知識(shí)在實(shí)際生活中的作用，可由實(shí)際問題引入，從中抽象出數(shù)列要研究的問題，使學(xué)生對(duì)所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子等．

（2）數(shù)列中蘊(yùn)含的函數(shù)思想是研究數(shù)列的指導(dǎo)思想，應(yīng)及早引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)列的項(xiàng)是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列．函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項(xiàng)公式法。

（3）由數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)是簡單的代入法，這一例題為寫通項(xiàng)公式作一些準(zhǔn)備，尤其是對(duì)程度差的學(xué)生，可多舉幾個(gè)例子，讓學(xué)生觀察歸納通項(xiàng)公式與各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，盡量為寫通項(xiàng)公式提供幫助．

（4）由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，要幫助學(xué)生分析各項(xiàng)中的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生依據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，猜想該數(shù)列的下一項(xiàng)或下幾項(xiàng)的值，以便尋求項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系。最后老師與學(xué)生共同歸納一些規(guī)律性的結(jié)論。

1、并非所有數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式；如④

2、有些數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上不一定是唯一的。如數(shù)列1，-1，1，-1，1，-1，...的通項(xiàng)可寫成或或等

3、當(dāng)一個(gè)數(shù)列出現(xiàn)“”、“-”相間時(shí)，應(yīng)先把符號(hào)分離出來，用等來控制；

4、有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用分段的形式來表示；

5、熟悉常見數(shù)列的通項(xiàng)：三、教學(xué)方法及教學(xué)手段分析

考慮到學(xué)生已學(xué)過映射、函數(shù)的特點(diǎn)，為突破難點(diǎn)，在教學(xué)上，我著重從以下幾個(gè)方面：（1）數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式；（2）歸納通項(xiàng)公式；（3）畫出數(shù)列的圖像；（4）把數(shù)列的通項(xiàng)公式理解為一種特殊函數(shù)，采取了講解、引導(dǎo)、探索式相結(jié)合的教學(xué)方法啟發(fā)學(xué)生積極思考、勇于創(chuàng)新.

（一）啟發(fā)誘導(dǎo)式：舉實(shí)例讓學(xué)生找規(guī)律，得到數(shù)列的基本知識(shí)。

（二）自主學(xué)習(xí)式：根據(jù)數(shù)列的定義和前面所學(xué)的函數(shù)關(guān)系，由學(xué)生自己通過聯(lián)想、類比、對(duì)比、歸納的方法遷移到新情境中，將新的知識(shí)內(nèi)化到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。

（三）問題解決式：設(shè)計(jì)的每一個(gè)探究問題的解答過程。

（四）利用多媒體教學(xué)手段，引入課題，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增加數(shù)學(xué)人文色彩，同時(shí)也闡述了數(shù)列來源于實(shí)際，化抽象為具體，增強(qiáng)動(dòng)感與直觀性，同時(shí)也提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量

總之1、本節(jié)課是數(shù)列的起始課，設(shè)置情景、激發(fā)興趣有利于學(xué)生學(xué)好本章知識(shí)；

2、把數(shù)列與集合、函數(shù)對(duì)比學(xué)習(xí)，有利于鞏固舊知識(shí)，掌握新知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)形成系統(tǒng)化；

3、教法和學(xué)法上突出教材重點(diǎn)、力求突破難點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。較多地采用提問（包括設(shè)問）；在教學(xué)材料呈現(xiàn)上以多媒體形式給出。例題的配備由淺入深、滲透了思維活動(dòng)組織上由此及彼的類比推理概括的方法。貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為主攻”的教學(xué)思想，采取“精講、善導(dǎo)、激趣、引思”的八字方針。

高中數(shù)學(xué)數(shù)列說課稿4

尊敬的各位考官：

大家好，我是xx號(hào)考生，今天我說課的題目是《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》。

新課標(biāo)指出：高中教育屬于基礎(chǔ)教育，具有基礎(chǔ)性，且具有多樣性與選擇性，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)過程等幾個(gè)方面展開我的說課。

一、說教材

本節(jié)課選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修5第二章。本節(jié)課是等差數(shù)列概念和特點(diǎn)等知識(shí)的延續(xù)和深化，也是后面學(xué)習(xí)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)。本節(jié)課既加深了對(duì)數(shù)列相關(guān)概念的理解，又蘊(yùn)含了倒序相加法、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。在整個(gè)高中教學(xué)中起到承上啟下的重要作用。

二、說學(xué)情

接下來談?wù)剬W(xué)生的實(shí)際情況。本階段的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象邏輯思維能力，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決問題。因此在教學(xué)過程中要給學(xué)生留置充分的思考時(shí)間和空間。此外要注重在學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)上建構(gòu)知識(shí)。

三、說教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)以上分析，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)：

(一)知識(shí)與技能

掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解其推導(dǎo)方法，能用公式解決簡單問題。

(二)過程與方法

經(jīng)歷觀察、思考、計(jì)算等探究過程，滲透從特殊到一般的`數(shù)學(xué)思想方法。

(三)情感、態(tài)度與價(jià)值觀

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得積極的、成功的情感體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

四、說教學(xué)重難點(diǎn)

在教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)過程中，教學(xué)重點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，教學(xué)難點(diǎn)是公式的推導(dǎo)過程。

五、說教法和學(xué)法

現(xiàn)代教學(xué)理論認(rèn)為，在教學(xué)過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者，教學(xué)的一切活動(dòng)都必須以強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)性、積極性為出發(fā)點(diǎn)。根據(jù)這一教學(xué)理念，結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生的年齡特征，我將采用講授法、練習(xí)法、自主探究、小組討論等教學(xué)方法。

六、說教學(xué)過程

下面重點(diǎn)談?wù)勎覍?duì)教學(xué)過程的設(shè)計(jì)。

(一)導(dǎo)入新課

導(dǎo)入環(huán)節(jié)我會(huì)設(shè)置情境。200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：1+2+3+…+100=?據(jù)說，當(dāng)時(shí)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用非常巧妙的方法迅速得出了答案。

然后簡單分析1+2+3+…+100是求一個(gè)等差數(shù)列前100項(xiàng)的和。利用這一本質(zhì)引出本節(jié)課學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。

將著名數(shù)學(xué)家融入課堂，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也注重了數(shù)學(xué)課堂的文化的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)。此外利用數(shù)學(xué)家進(jìn)行導(dǎo)入，滲透數(shù)學(xué)的發(fā)展史。

(二)探索新知

新授環(huán)節(jié)主要探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算公式，是本課的中心環(huán)節(jié)。

我會(huì)直接提問：你知道高斯是如何計(jì)算的嗎?相信大多數(shù)學(xué)生聽過這個(gè)故事，想到(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050。

有了本道題目的鋪墊，我會(huì)繼續(xù)提問：1，2，3，…n，…這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和如何求呢?在這里組織同桌討論。并且提示學(xué)生思考：如何使得不管有奇數(shù)個(gè)還是偶數(shù)個(gè)都能恰好配對(duì)不剩余?

高中數(shù)學(xué)數(shù)列說課稿5

一、地位作用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，等比數(shù)列是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列后新的一種特殊數(shù)列，在生活中如儲(chǔ)蓄、分期付款等應(yīng)用較為廣泛，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中數(shù)列與已學(xué)過的函數(shù)及后面的數(shù)列極限有密切聯(lián)系，它也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材，它可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、猜想及綜合解決問題的能力。

基于此，設(shè)計(jì)本節(jié)的數(shù)學(xué)思路上：

利用類比的思想，聯(lián)系等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)方法，采取自學(xué)、引導(dǎo)、歸納、猜想、類比總結(jié)的教學(xué)思路，充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體地位，充分體現(xiàn)教為主導(dǎo)、學(xué)為主體、練為主線的教學(xué)思想。

二、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：1）理解等比數(shù)列的概念

2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

3）并能用公式解決一些實(shí)際問題

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察能力及發(fā)現(xiàn)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比思想、解決分析問題的能力。

三、教學(xué)重點(diǎn)

1）等比數(shù)列概念的理解與掌握 關(guān)鍵：是讓學(xué)生理解“等比”的'特點(diǎn)

2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用

四、教學(xué)難點(diǎn)

“等比”的理解及利用通項(xiàng)公式解決一些問題。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）預(yù)習(xí)自學(xué)環(huán)節(jié)。（8分鐘）

首先讓學(xué)生重新閱讀課本105頁國際象棋發(fā)明者的故事，并出示預(yù)習(xí)提綱，要求學(xué)生閱讀課本P122至P123例1上面。

回答下列問題

1）課本中前3個(gè)實(shí)例有什么特點(diǎn)？能否舉出其它例子，并給出等比數(shù)列的定義。

2）觀察以下幾個(gè)數(shù)列，回答下面問題：

1， ， ， ，……

－1，－2，－4，－8……

1，2，－4，8……

－1，－1，－1，－1，……

1，0，1，0……

①有哪幾個(gè)是等比數(shù)列？若是公比是什么？

②公比q為什么不能等于零？首項(xiàng)能為零嗎？

③公比q=1時(shí)是什么數(shù)列？

④q＞0時(shí)數(shù)列遞增嗎？q＜0時(shí)遞減嗎？

3）怎樣推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式？課本中采取了什么方法？還可以怎樣推導(dǎo)？

4）等比數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)關(guān)系怎樣？

（二）歸納主導(dǎo)與總結(jié)環(huán)節(jié)（15分鐘）

這一環(huán)節(jié)主要是通過學(xué)生回答為主體，教師引導(dǎo)總結(jié)為主線解決本節(jié)兩個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。

通過回答問題（1）（2）給出等比數(shù)列的定義并強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：①定義關(guān)鍵字“第二項(xiàng)起”“常數(shù)”；

②引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)定義： =q（n≥2）；③q=1時(shí)為非零常數(shù)數(shù)列，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列。引申：若數(shù)列公比為字母，分q=1和q≠1兩種情況；引入分類討論的思想。

④q＞0時(shí)等比數(shù)列單調(diào)性不定，q＜0為擺動(dòng)數(shù)列，類比等差數(shù)列d＞0為遞增數(shù)列，d＜0為遞減數(shù)列。

通過回答問題（3）回憶等差數(shù)列的推導(dǎo)方法，比較兩個(gè)數(shù)列定義的不同，引導(dǎo)推出等比數(shù)列通項(xiàng)公式。

法一：歸納法，學(xué)會(huì)從特殊到一般的方法，并從次數(shù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)觀察力。

法二：迭乘法，聯(lián)系等差數(shù)列“迭加法”，培養(yǎng)學(xué)生類比能力及新舊知識(shí)轉(zhuǎn)化能力。

高中數(shù)學(xué)數(shù)列說課稿6

一、教材分析

1.從在教材中的地位與作用來看

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.從學(xué)生認(rèn)知角度看

從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo).不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯(cuò).

3.學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn).

4.重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用.

教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用.

公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn).

二、目標(biāo)分析

知識(shí)與技能目標(biāo)：

理解并掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)

上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題.

過程與方法目標(biāo)：

通過對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)

化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力.

情感與態(tài)度價(jià)值觀：

通過對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，滲透事物之

間等價(jià)轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn).

三、過程分析

學(xué)生是認(rèn)知的主體，設(shè)計(jì)教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地讓學(xué)生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過程：

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國王大為贊賞，對(duì)他說：我可以滿足你的任何要求.西薩說：請給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格.國王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚.為什么呢?

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性.故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn).

此時(shí)我問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎?引導(dǎo)學(xué)生寫出麥粒總數(shù).帶著這樣的問題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和.這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定.

設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，教師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢?在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營造知識(shí)形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙.同時(shí)，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆.

2.師生互動(dòng)，探究問題

在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，22，…，263是什么數(shù)列?有何特征?應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢?

探討1：，記為(1)式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系?(學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍)

探討2：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，(1)式兩邊同乘以2則有，記為(2)式.比較(1)(2)兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)?

設(shè)計(jì)意圖：留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的.辯證思維能力的良好契機(jī).

經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：(1)、(2)兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到：.老師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過程，反思：為什么(1)式兩邊要同乘以2呢?

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了!讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

3.類比聯(lián)想，解決問題

這時(shí)我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，

這里，讓學(xué)生自主完成，并喊一名學(xué)生上黑板，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo).

設(shè)計(jì)意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感.

對(duì)不對(duì)?這里的q能不能等于1?等比數(shù)列中的公比能不能為

1q=1時(shí)是什么數(shù)列?此時(shí)sn=?(這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ).)

再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來?(引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式)

設(shè)計(jì)意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力.這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時(shí)間有時(shí)比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用.

4.討論交流，延伸拓展

第四篇：“ 數(shù)列的基本問題 ” 的教與學(xué)的策略

二、“ 數(shù)列的基本問題 ” 的教與學(xué)的策略 發(fā)布者：楊小紅 發(fā)布時(shí)間： 2012-8-17 10:54:23

（一）學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列概念時(shí)的障礙及對(duì)策

數(shù)列概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起始課，在學(xué)習(xí)中學(xué)生會(huì)遇到如下障礙： 1．對(duì)數(shù)列定義中的關(guān)鍵詞“按一定次序”的理解有些模糊． 2．對(duì)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系認(rèn)識(shí)不清．

3．對(duì)數(shù)列的表示，特別是通項(xiàng)公式一個(gè)覺得不可思議．

4．由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫不出數(shù)列的通項(xiàng)公式． 教學(xué)策略：

感到困惑．對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以不只1．為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣，體會(huì)數(shù)列知識(shí)在實(shí)際生活中的作用，可由實(shí)際問題引入，從中抽象出數(shù)列要研究的問題，使學(xué)生對(duì)所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子等。

2．?dāng)?shù)列中蘊(yùn)含的函數(shù)思想是研究數(shù)列的指導(dǎo)思想，應(yīng)及早引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)列的項(xiàng)是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列．函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項(xiàng)公式法。

數(shù)列的概念

定義：像這樣按照一定次序排列起來的一列數(shù)稱為數(shù)列.從三個(gè)層次來理解“次序”（1）語言描述

把位置編上號(hào)碼，這些號(hào)碼是所有的非零自然數(shù)按從小到大順序排列，每一個(gè)有序號(hào)的位置都有一個(gè)確定的值，由所有這樣的數(shù)值組成一個(gè)數(shù)列；

數(shù)列的一般形式可以寫成 a1，a2，a3，?，an，?，這種有序性是對(duì)數(shù)列本質(zhì)的刻畫（2）映射角度

“次序”用數(shù)學(xué)語言來表示，就是一種特殊的對(duì)應(yīng)，即映射：

（3）函數(shù)角度

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集 N *（或它的有限子集 {1，2，?，n}）為定義域的函數(shù) an= f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．

數(shù)列——初等函數(shù)

對(duì)于任意的函數(shù) y = f(x)（x ≥0），我們可以得到一個(gè)數(shù)列

3．由數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)是簡單的代入法，對(duì)程度差的學(xué)生，可多舉幾個(gè)例子，讓學(xué)生觀察歸納通項(xiàng)公式與各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，盡量為寫通項(xiàng)公式提供幫助．

歸納數(shù)列的通項(xiàng)

教學(xué)的目的：歸納法的運(yùn)用，數(shù)列概念的理解。教學(xué)中，分幾個(gè)層次： 可以先給一些特殊的數(shù)列：

再給和特殊數(shù)列有關(guān)的數(shù)列：

4．由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，要幫助學(xué)生分析各項(xiàng)中的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生依據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，猜想該數(shù)列的下一項(xiàng)或下幾項(xiàng)的值，以便尋求項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系。最后老師可以和學(xué)生共同歸納一些規(guī)律性的結(jié)論：

（1）并非所有數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式，如： 0，-1，3，7，11 ?；（2）有些數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上不一定是唯一的，如：數(shù)列 1，-1，1，-1，-1，?的通項(xiàng)可寫成

（3）當(dāng)一個(gè)數(shù)列出現(xiàn)“ + ”、“-”相間時(shí)，應(yīng)先把符號(hào)分離出來，用等來控制，然后再尋找數(shù)量間關(guān)系；

（4）有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用分段的形式來表示；（5）熟悉常見數(shù)列的通項(xiàng)：

例如，全體正偶數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列 2，4，6，?，2 n，?，這個(gè)數(shù)列還可以用列表和圖象分別表示為

總之：數(shù)列概念的要求比過去高，用圖形的變化描述數(shù)列，把圖形的幾何結(jié)構(gòu)量化。

（二）用函數(shù)的觀點(diǎn)進(jìn)行等差數(shù)列的教學(xué)

關(guān)于等差數(shù)列定義的教學(xué)

給出一些等差數(shù)列的例子，讓學(xué)生從項(xiàng)與項(xiàng)關(guān)系的角度去觀察、歸納、概括得等差數(shù)列的定義.在這一段的教學(xué)中，一定要重視歸納的過程，這是學(xué)生能理解等差數(shù)列的所必須的，不要一筆帶過！

研究數(shù)列的一個(gè)很重要的方法是：從整體上看數(shù)列，研究數(shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系 引入：（2004 北京卷）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列 是等和數(shù)列，且a1=2，公和為 5，那么 a18的值為

從定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

得： 表明從第二項(xiàng)起，等差數(shù)列的任意項(xiàng)都可以表示為它的前一項(xiàng)與公

差的和 , 因此，等差數(shù)列的任意項(xiàng)也就應(yīng)該可以用首項(xiàng)和公差來表示.2．等差數(shù)列通項(xiàng)與一次函數(shù)

得到結(jié)論： 是等差數(shù)列

這樣，由于公差不為零的等差數(shù)列的每一項(xiàng)an是關(guān)于項(xiàng)數(shù) n 的一次函數(shù)式 于是可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來認(rèn)識(shí)等差數(shù)列 例如，理解為什么.根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線和直線由兩個(gè)點(diǎn)唯一確定的性質(zhì)，就容易理解為什么兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列

由率的計(jì)算方法）

3．等差數(shù)列的性質(zhì)，它的含義是什么呢？（可以適當(dāng)拓展到直線斜

表面看是兩項(xiàng)之和相等，從對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間又是一種什么關(guān)系呢？

由此歸納得出：

使用等差數(shù)列的性質(zhì)意：必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不成立。

如

時(shí)要注，有

.等差中項(xiàng)的定義是針對(duì)三個(gè)數(shù)的，即如果 x，A，y組成等差數(shù)列，則 A叫做 x，y的等差中項(xiàng).從等差數(shù)列的整體看： a1，a2，a3，?，an，?，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).推廣：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是到它距離相等的兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即與數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于該項(xiàng)的 2 倍.這個(gè)性質(zhì)體現(xiàn)的是數(shù)列的對(duì)稱性，這種對(duì)稱性是由項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系決定的.例題：

（三）把握等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式的教學(xué)實(shí)質(zhì) ．等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式的教學(xué)實(shí)質(zhì)

有些教師在教學(xué)中利用“梯形鋼管堆的計(jì)數(shù)”“梯形面積公式”等模型來體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，認(rèn)為“倒序求和”是等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式這一內(nèi)容蘊(yùn)含的思想方法。因此，把基礎(chǔ)定位在要讓學(xué)生掌握求和公式及其變式，學(xué)會(huì)“倒序求和”的思想方法。

其實(shí)，“倒序求和”只是為避免對(duì)項(xiàng)數(shù) n進(jìn)行奇偶討論而引入的一個(gè)技巧，并不是什么思想方法。

基礎(chǔ)性表現(xiàn)在幾個(gè)層次：

用等差數(shù)列的“基本量”；

用等差數(shù)列的性質(zhì)“等差數(shù)列不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，從數(shù)量關(guān)系上看是利用了“平均數(shù)”概念；

”，將更進(jìn)一步地，為了體現(xiàn)從概念出發(fā)思考和解決問題的思想，利用等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式。，所以實(shí)質(zhì)就是求 教學(xué)設(shè)計(jì)：

引入高斯故事，歸納方法本質(zhì)

從“高斯的故事”引入；歸納“高斯方法”的本質(zhì)，即實(shí)質(zhì)是利用將不同數(shù)化為相同數(shù)求和；

探究求值方法，引出分類討論，用這一方法求的值，引出需要分 n為奇數(shù)、偶數(shù)討論的問題，并

求出和；過渡到利用歸納思想方法，提升解題技巧

求等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式。

聚焦基本概念和基本原理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程，從中領(lǐng)悟“化歸”的思想方法的思路。

教學(xué)中不必急于引入“倒序求和”的技巧。可以在討論 n的奇偶性而得出求和公式后，再讓學(xué)生思考“能否想個(gè)辦法避免討論”，把公式，再聯(lián)系性質(zhì)得到。

變形為應(yīng)把等差數(shù)列前 項(xiàng)和這節(jié)課看成是等差數(shù)列概念、性質(zhì)的應(yīng)用課。這一節(jié)課的教學(xué)，重要的是培養(yǎng)學(xué)生從基本概念、基本原理出發(fā)思考問題的習(xí)慣。具體教學(xué)時(shí)應(yīng)明確任務(wù)（即用基本量）的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從基本性質(zhì)、通項(xiàng)公式入手，尋找化歸的方法，在不斷“求簡”中得到“倒序求和”。

2.公式的推導(dǎo) 3 ．從函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí) Sn

首項(xiàng)為 a1、公差為 d 的等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的公式可以寫為：

即當(dāng) 時(shí)，Sn是 n 的二次函數(shù)式，于是可以運(yùn)用二次函數(shù)的觀點(diǎn)和方法來認(rèn)識(shí)求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的問題 如可以根據(jù)二次函數(shù)的圖象了解 Sn的增減變化、極值等情況 ．通過 Sn的有關(guān)問題進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征

本題給出了等差數(shù)列前 6 項(xiàng)的和，應(yīng)該關(guān)注最后六項(xiàng)的和，利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前 n項(xiàng)和公式解決問題。要求學(xué)生對(duì)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和概念要有深刻理解。

例 2 等差數(shù)列 的公差為 d，前 n項(xiàng)和為 Sn，當(dāng)首項(xiàng) a1和 d變化時(shí)，a2+a8+a11是一個(gè)定值，則下列各數(shù)中也為定值的是（C）

本題利用整體代換求解，體現(xiàn)了整體代換的思想。

（四）典型例題的作用及教學(xué)

n的取值只能是 8，9.（五）數(shù)列研究的幾個(gè)基本問題 ．關(guān)注 an與 Sn

（六）數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)定位 ．?dāng)?shù)學(xué)歸納法教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn) 重 點(diǎn)

（1）初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理.（2）明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟.（3）初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式.難 點(diǎn)

（1）對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性與有效性.（2）假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)論正確.2 ．?dāng)?shù)學(xué)歸納法原理形成的教學(xué)定位

由于數(shù)學(xué)歸納法原理的高度的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，往往限于掌握了一些應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧，而不能真正理解它的意義.因此學(xué)習(xí)停留在單純的模仿之中.所以原理的形成過程的教學(xué)，既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).教師要組織形象、生動(dòng)、與所學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的素材，作為數(shù)學(xué)歸納法原理產(chǎn)生的背景，以激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，幫助、引導(dǎo)學(xué)生從中感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，最終產(chǎn)生遷移效果.抽象出數(shù)學(xué)歸納法的原理，如何通過探究順利實(shí)現(xiàn)遷移抽象的目標(biāo)，就成了本節(jié)課能否成功的關(guān)鍵.有些教師對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理形成過程的教學(xué)不夠重視，表現(xiàn)在有的教師沒有安排實(shí)驗(yàn)探究，急于向?qū)W生展示一種思維“模式”和“套路”，接著通過大量的例題、習(xí)題進(jìn)行強(qiáng)化；有的教師雖然安排了實(shí)驗(yàn)，但也是一帶而過，很快抽象出了數(shù)學(xué)歸納法原理，這只能是教師的“成果”，而不是學(xué)生的成果，仍然擺脫不了生硬灌輸這種教學(xué)模式的影子；甚至有的教師將相當(dāng)多的時(shí)間和精力花在舉例說明“不完全歸納法”的缺陷上，這顯然偏離了本節(jié)課的主題與核心.“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)定位

本節(jié)課所需的“引例”，形式豐富多樣，教師用的最多的是“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”，因?yàn)檫@幾乎是所有學(xué)生小時(shí)候都玩過的一種游戲，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，具有一種無形的親近感。同時(shí)“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”以簡便的形式蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)歸納法的深刻原理，因而成為這節(jié)課的典型素材.問題是如何正確認(rèn)識(shí)，科學(xué)定位“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”？在實(shí)驗(yàn)的方式上，“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”應(yīng)從不同角度多次進(jìn)行，每次實(shí)驗(yàn)都要有不同的目的，都要引發(fā)學(xué)生不同的思考、探究，讓學(xué)生既要有實(shí)驗(yàn)成功的體驗(yàn)，又要有實(shí)驗(yàn)失敗的反思；而多次的實(shí)驗(yàn)又能形成一個(gè)有機(jī)的整體，當(dāng)將每次實(shí)驗(yàn)的體驗(yàn)和反思糅合在一起后，數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)在原理就扎根于學(xué)生的心中了。從學(xué)生的基礎(chǔ)來看，學(xué)生用原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)同化數(shù)學(xué)歸納法存在著數(shù)學(xué)知識(shí)和邏輯知識(shí)上的準(zhǔn)備不足，需要具體的實(shí)例幫助；從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來看認(rèn)知抽象的事物應(yīng)盡可能將其具體化、形象化，同時(shí)，對(duì)抽象事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)不能一步到位，應(yīng)該由淺入深、由表及里、正反對(duì)比，方能凸顯本質(zhì)。

“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”的功能應(yīng)該包含兩個(gè)層次：一是將實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為關(guān)于正整數(shù)的命題，即“第一塊骨牌倒下”對(duì)應(yīng)“當(dāng) n取第一個(gè)正整數(shù) n0時(shí)命題成立”，“第二塊骨牌倒下”對(duì)應(yīng)“當(dāng) n取第一個(gè)正整數(shù) n0+1時(shí)命題成立”，?，“所有的骨牌都倒下（即游戲成功）”對(duì)應(yīng)“命題對(duì)從 n0開始的所有正整數(shù)都成立”，若“第一定有第 k+1塊骨牌跟著倒下”對(duì)應(yīng)“若

塊骨牌倒下，則

時(shí)命題成立，則 n=K+1時(shí)命題也一定成立”。

二是將游戲轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生通過解決具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納法的思想，并從中感受到成功的喜悅，然后在此基礎(chǔ)上才能推廣到一般命題，抽象概括，得到數(shù)學(xué)歸納法原理。這樣學(xué)生才能夠切實(shí)掌握數(shù)學(xué)歸納法原理，本節(jié)課的難點(diǎn)才能夠得到有效突破。

“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)設(shè)計(jì) 三次實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn) 1 ：用手推倒 1 號(hào)骨牌，然后 2 號(hào)骨牌，3 號(hào)骨牌，?，緊跟著全部倒下，讓學(xué)生討論為什么會(huì)出現(xiàn)這種結(jié)果，在這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)現(xiàn)象的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)可能是比較模糊的，但必要的討論為下面顯現(xiàn)本質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

實(shí)驗(yàn) 2 ：課件展示動(dòng)畫，在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距和實(shí)驗(yàn) 1 相同，用手推倒 1 號(hào)骨牌，沒有推倒，然后 2 號(hào)骨牌，3 號(hào)骨牌，?，自然就沒有倒下，即游戲失敗。這時(shí)教師讓學(xué)生對(duì)比實(shí)驗(yàn) 1 和實(shí)驗(yàn) 2，討論游戲失敗的原因，從而得到游戲成功的第一個(gè)必要條件，1 號(hào)骨牌必須被推倒。

實(shí)驗(yàn) 3 ：課件展示動(dòng)畫，在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距出現(xiàn)分化，1 號(hào)骨牌與 2 號(hào)骨牌的間距拉開的足夠大，其他骨牌間距不變（同實(shí)驗(yàn) 1），這是用手推倒了 1 號(hào)骨牌，但 2 號(hào)骨牌沒有倒下，3 號(hào)骨牌，4 號(hào)骨牌?，自然就沒有倒下，即游戲失敗。同樣讓學(xué)生對(duì)比不同實(shí)驗(yàn)及其結(jié)果，分析原因。這是學(xué)生得到的結(jié)論往往在具體骨牌上，即 1 號(hào)骨牌倒下，沒有帶動(dòng) 2 號(hào)骨牌倒下導(dǎo)致了失敗，而學(xué)生對(duì)其中的任意性很難提煉出來。繼續(xù)下去，再將 2 號(hào)骨牌和 3 號(hào)骨牌 ,3 號(hào)骨牌和 4 號(hào)骨牌?，的間距拉開的足夠大，（每一次試驗(yàn)只改變一個(gè)間距），重復(fù)實(shí)驗(yàn) 3，如此反復(fù)幾次，學(xué)生不難悟出游戲成功的第二個(gè)必要條件，即第 k塊骨牌倒下，則一定有第 k+1塊骨牌倒下（這里暗示了無窮推理的合理性）。

至此，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，為何兩步缺一不可，便不言自明。兩次遷移：

骨牌游戲雖然有數(shù)學(xué)歸納法的影子，但畢竟不是數(shù)學(xué)歸納法原理本身，不能直接用來證明數(shù)學(xué)問題，這就需要將游戲遷移到數(shù)學(xué)問題中去。

遷移 1 將骨牌游戲換成數(shù)學(xué)問題，提出問題：設(shè)等差數(shù)列 的首項(xiàng)為 a1，公差為 d，我們在前面推導(dǎo)其通項(xiàng)公式時(shí)，得到與正整數(shù)有關(guān)的無窮多等式：

要使這無窮多個(gè)等式都成立，你能否用數(shù)學(xué)語言概括上面游戲成功的兩個(gè)條件？然后讓學(xué)生獨(dú)立思考、合作討論、得到

（1）第一個(gè)等式成立（即當(dāng) n=1成立）

（2）假設(shè)第 個(gè)等式成立，一定能推出第k+1個(gè)等式也成立。這樣就實(shí)現(xiàn)了由游戲向原理的第一次遷移。

遷移 2 教師請同學(xué)就等差數(shù)列通項(xiàng)公式問題具體嘗試，是否能做到這兩步？最后將無窮多個(gè)等式統(tǒng)一為

。至此，由游戲向原理的第二次遷移順利完成。數(shù)學(xué)歸納法原理的得出已經(jīng)是水到渠成。

（1）歸納奠基（2）歸納遞推

從多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)歸納法原理，清晰地反映了生活問題 — 數(shù)學(xué)問題 — 數(shù)學(xué)形式化的發(fā)展軌跡。在對(duì)實(shí)驗(yàn)的探究過程中，學(xué)生經(jīng)歷了成功與失敗的種種體驗(yàn)，經(jīng)歷了將生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的過程，經(jīng)歷了將生活中蘊(yùn)含的原理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)原理的過程。由于始終堅(jiān)持在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)置問題情境，注重層層遞進(jìn)，避免一步到位，因而學(xué)生能夠積極思考。樂于交流討論，不斷體驗(yàn)到成功的快樂，從而順利地建立了新舊知識(shí)及其本質(zhì)之間的聯(lián)系。

學(xué)生通過數(shù)列一章內(nèi)容和其它相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法─數(shù)學(xué)歸納法。

第五篇：高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)

數(shù)列是以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。下面小編給大家分享一些數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)1

等差數(shù)列

1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式

an=a1+(n-1)d

n=1時(shí)a1=S1

n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b為常數(shù))推導(dǎo)過程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b

2.等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡單的等差數(shù)列。這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)(arithmeticmean)。

有關(guān)系：A=(a+b)÷2

3.前n項(xiàng)和

倒序相加法推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式：

Sn=a1+a2+a3+·····+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個(gè))=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

4.等差數(shù)列性質(zhì)

一、任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。

二、從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N--

三、若m，n，p，q∈N--，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq

四、對(duì)任意的k∈N--，有

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。

數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)2

等比數(shù)列

1.等比中項(xiàng)

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

有關(guān)系：

注：兩個(gè)非零同號(hào)的實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，所以G2=ab是a,G,b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。

2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式

an=a1--q’(n-1)(其中首項(xiàng)是a1，公比是q)

an=Sn-S(n-1)(n≥2)

前n項(xiàng)和

當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1--q’n)/(1-q)(q≠1)

當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

Sn=na1

3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系

an=a1=s1(n=1)

an=sn-s(n-1)(n≥2)

4.等比數(shù)列性質(zhì)

(1)若m、n、p、q∈N--，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;

(2)在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。

(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

(4)等比中項(xiàng)：q、r、p成等比數(shù)列，則aq·ap=ar2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。

記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底指數(shù)冪后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列;反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

(5)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

(6)任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am·q’(n-m)

(7)在等比數(shù)列中，首項(xiàng)a1與公比q都不為零。

數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)3

數(shù)列的相關(guān)概念

1.數(shù)列概念

①數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N--或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項(xiàng)公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。

③函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項(xiàng)公式。

高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)