第一篇：13.4 課題學習 最短路徑問題 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1.理解并掌握平面內一條直線同側兩個點到直線上的某一點距離之和為最小值時點的位置的確定；

2.能利用軸對稱平移解決實際問題中路徑最短的問題；

3.通過獨立思考，合作探究，培養學生運用數學知識解決實際問題的基本能力，感受學習成功的快樂。

2.教學重點/難點

教學重點

將實際問題轉化成數學問題，運用軸對稱平移解決生活中路 徑最短的問題，確定出最短路徑的方法。教學難點

探索發現“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說理。

3.教學用具 4.標簽

教學過程

一、創設情景，引入新知。

同學們：我們已經學習過“兩點的所有連線中。”和“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，”等問題，我們稱他們為最短路徑問題。

二、自主學習，探究新知。

1、探究問題：如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？

（I）兩點在一條直線異側：

活動1: 已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得這個點到點AB的距離和最短，即PA+PB最小。

思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗證PA+PB最短呢？(Ⅱ)兩點在一條直線同側

活動2：如圖，牧馬人從地出發到一條筆直的河邊L飲馬，然后到地，牧馬人到B河邊的什么地方飲馬，可是所走的路徑最短？這個問題可以轉化為;當點L在的什么位置時。AC與BC的和最小。

2、探究問題：造橋選址問題中的最短路徑問題

活動3：如圖，A和B連地在一條河的兩岸，要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

①怎樣將實際問題轉化為實際問題？ ②若直線重合，最短路徑是什么？ ③若將直線平移開，怎樣思考該問題？ ④怎樣解決造橋選址問題？

作法：如圖，1.將點A沿與和垂直的方向平移MN的距離到A2.連接AB交河岸與點N，在此處造橋MN，所的路程AMNB就是最短路程。

三、合作交流，感悟新知 問題：如圖，點A是總局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，怎樣AD+DE+EA使最小？

四、反思構造，融匯新知

五、檢測展示，反饋新知

如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。

六、拓展延伸，深化新知

1、在一條河的同一岸上有AB兩個油庫，要在河邊建一個碼頭C，怎樣作圖使：①AB兩油庫到碼頭C的距離相等.②AC+BC最短.2、如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑．

七、學后反思，升華新知

第二篇：13．4 課題學習最短路徑問題

13．4

課題學習

最短路徑問題

能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想．

利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題．

探索發現“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說理．

一師一優課　一課一名師(設計者：)

一、創設情景，明確目標

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，走哪條路最近？你的理由是什么？

前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們為最短路徑問題．現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題，本節將利用數學知識探究數學史中著名的“將軍飲馬問題”．

二、自主學習，指向目標

自學教材第85

頁至87

頁，思考下列問題：

1．求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求，其依據是兩點的所有連線中，線段最短．

2．求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．

3．在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇．

三、合作探究，達成目標

探索最短路徑問題

活動一：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

從圖中的A地出發，到一條筆直的河邊l

飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數學問題嗎？

追問1　這是一個實際問題，你打算首先做什么？答：將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l

抽象為一條直線．

追問2　你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？

答：(1)從A

地出發，到河邊l

飲馬，然后到B

地；

(2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B

連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A

地到飲馬地，再回到B

地的路程之和；(3)現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C

為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C

在l的什么位置時，AC

與CB的和最小(如圖)．問題2：如圖，點A，B

在直線l的同側，點C

是直線上的一個動點，當點C

在l的什么位置時，AC與CB的和最小？

追問1：對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l

上的任意一點C，都保持CB

與CB′的長度相等？

追問2：你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？

展示點評：作法：

(1)作點B

關于直線l的對稱點B′；

(2)連接AB′，與直線l

交于點C.則點C

即為所求．

問題3　你能用所學的知識證明AC

＋BC最短嗎？

證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質知，BC

＝B′C，BC′＝B′C′.∴

AC

＋BC＝

AC

＋B′C

＝

AB′，AC′＋BC′＝

AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴

AC

＋BC＜AC′＋BC′.即

AC

＋BC

最短.小組討論：證明AC

＋BC

最短時，為什么要在直線l

上任取一點C′(與點C

不重合)，證明AC

＋BC

＜AC′＋BC′？這里的“C′”的作用是什么？

反思小結：運用軸對稱變換及性質將不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題．利用三角形的三邊關系，若直線l上任意一點(與點C

不重合)與A，B

兩點的距離和都大于AC

＋BC，就說明AC

＋BC

最小.C′的代表的是除點C以外直線l上的任意一點．

針對訓練：

1．如圖，A、B是河流

同側的兩個村莊，現要在河邊修一個抽水站向兩村供水，問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請在圖中表示出來．

答：如下圖，作點B關于l的對稱點B′，連接AB′交l于點P，點P即為所求．

2．如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC

上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．

答：作Q關于直線BC的對稱點Q′，連接PQ′交BC于R，∴旅游船線路：P—Q—R—P.選址造橋問題

活動二：(造橋選址問題)如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．)

展示點評：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．

第三篇：最短路徑教案

13.4最短路徑問題

一、教學內容：本節課的主要內容是利用軸對稱研究某些最短路徑問題，最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有連線中，垂線段最短”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究。

本節課以數學史中的一個經典故事----“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間、線段最短”的問題。

二、教學目標

1、能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題

2、再談歲最短路徑的過程中，體會“軸對稱”的橋梁作用，感悟轉化的數學思想。

三、教學重難點

重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間、線段最短”問題。難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。

四、教學問題診斷

最短路徑問題從本質上說是最值問題，作為初中學生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數學經驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手。

解答“當點AB在直線l的同側時，如何在l上找到點C，使AC與BC的和最小”，需要將其轉化為“直線l異側的兩點，與直線l上的點的線段的和最小”的問題，為什么需要這樣轉化，怎樣通過軸對稱實現轉化，一些學生會存在理解上和操作上的困難。

在證明“最短”時，需要在直線上任取一點（與所求做的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學生想不到。

教學時，教師可以讓學生首先思考“直線l異側的兩點，與直線l上的點的和最小”為學生搭建“腳手架”，在證明最短時，教師要適時點撥學生，讓學生體會任意的作用。

五、教學過程

教師引語：現實生活中經常會有這樣的生活經歷，比如學校雖然為我們鋪設了一些石板甬路，方便同學們的行走，但是很多時候我們卻并不在這些小路上行走，這樣做的目的是什么呢？（學生一起回答）如果用數學知識來解釋這種行為，那就是我們曾經學習的“兩點之間、線段最短”或“垂線段最短”，我們稱這樣的問題為最短路徑問題（板書課題）現實生活中經常涉及到最短路徑問題，這節課我們學習的主要任務就是最短路徑問題，并用所學知識探究數學史上著名的“將軍飲馬問題”。

1、情境引入

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫，有一天，有一位將軍專門拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地，到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路線全程最短？精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題。這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。

2、探究解決問題的方法

問題一：這是一個實際問題，我們首先把它抽象為數學問題，請同學們用自己的語言說明這個問題的意思。

師生活動：學生獨立思考后小組交換意見，然后嘗試回答，相互補充，最后達成共識，教師根據學生的回答寫出問題的板書：如圖，已知點A和點B在直線L的同側，在直線L上找一點C，使AC與BC的和最小。

設計意圖：讓學生將實際問題抽象為數學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”。

問題二：由上面的問題我們可以聯想到下面的問題：A、B分別是直線L異側的兩點，如何在直線L上找到一點C，使AC與BC的和最小？

師生活動：學生獨立思考，畫圖分析并嘗試回答，教師補充。

問題三：對于第一個問題，如何將點B移到L的另一側，B′處，滿足直線L上的任一點C，都保持CB與CB′的長度相等？ 問題四：你能利用軸對稱的知識找到符合條件的點B′嗎？

師生活動：學生獨立考，嘗試畫圖，然后小組交流，學生代表匯報交流成果，師生共同補充：只要作出點B關于直線L的對稱點B′，就可以滿足CB=CB′,再利用問題二中的方法，連接AB′,則AB′與直線L的交點即為所求。

學生敘述，教師板書并畫圖，同時學生在練習本上畫圖。

設計意圖：通過搭建臺階，為學生探究問題提供“腳手架”將同側難以解決的問題提轉化為異側容易解決的問題，滲透轉化思想。

3、推理證明“最短”

問題五：你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？

師生活動：師生共同分析，然后學生說證明過程，教師板書。

證明：在直線L上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′,BC′,B′C′.由軸對稱的性質可知，BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+ B′C=AB′, AC′+ BC′= AC′+ B′C′

在△AB′C′中，AB′＜AC′+ B′C′

∴AC+BC＜ AC′+ BC′ 即AC+BC最短。

問題六：這里任取一點C′的作用是什么？

師生活動：學生相互交流，教師適時點撥，最后達成共識：若直線L上任取一點C′與A、B兩點的距離之和都大于AC+BC，則說明AC+BC最短。

設計意圖：讓學生進一步體會做法的正確性，提高邏輯思維能力。

問題七：回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？

師生共同總結：首先作其中一點關于直線的對稱點，然后連接另一點與對稱點之間的線段，通過軸對稱將兩條線段和轉化到同一條線段上去，這條線段與直線的交點即為所求，整個過程利用了“軸對稱”和“兩點之間、線段最短“的知識。

設計意圖：讓學生在反思的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想，豐富數學活動經驗。

4、鞏固練習

（1）如圖，一艘旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再回到P處，請畫出旅游船的最短路徑。

師生活動：學生分析解題思路，并相互補充，然后獨立完成畫圖，學生代表上臺講解。基本思路分析：此題中輪船的行走路線共有三段，其中PQ是必經路段，由“兩點之間，線段最短”需首先連接PQ，再將河岸BC看成一條直線，這樣問題就轉化為“點P、Q在直線BC同側，如何在BC上找一點R，使PR+QR最小”。

設計意圖：讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法。

（2）如圖，∠XOY內有一點P，在射線OX上找出一點M，在射線OY上找出一點N，使PM+MN+NP最短．

分析：此題的出題背景就是角。本題主要利用了兩點之間線段最短的性質通過軸對稱圖形的性質確定三角形的另兩點．

分別以直線OX、OY為對稱軸，作點P的對應點P1與P2，連接P1P2交OX于M，交OY于N，則PM+MN+NP最短．

5、課堂小結：教師與學生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答：（1）本節課研究問題的基本過程是什么？（2）軸對稱在所研究的問題中起到什么作用？

6、布置作業：《課時練》第49頁1、2、3、4、5、7、8、9

第四篇：最短路徑問題（將軍飲馬問題）教學設計

最短路徑問題

——將軍飲馬問題及延伸

最短路徑問題

教學內容解析：

本節課的主要內容是利用軸對稱研究某些最短路徑問題，最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移變換進行研究。

本節課以數學史中的一個經典故事----“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間、線段最短”的問題。

教學目標設置：

1、能利用軸對稱解決最短路徑問題。

2、在解題過程能總結出解題方法，能進行一定的延伸。

3、體會“軸對稱”的橋梁作用，感悟轉化的數學思想。

教學重點難點：

重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間、線段最短”問題。

難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。

學情分析：

1、八年級學生的觀察、操作、猜想能力較強，但演繹推理、歸納和運用數學意識的思想比較薄弱，自主探究和合作學習能力也需要在課堂教學中進一步引導。此年齡段的學生具有一定的探究精神和合作意識，能在一定的親身經歷和體驗中獲取一定的數學新知識，但在數學的說理上還不規范，集合演繹推理能力有待加強。

2、學生已經學習過

“兩點之間，線段最短。”以及“垂線段最短”。以及剛剛學習的軸對稱和垂直平分線的性質作為本節知識的基礎。

教學條件分析:

在初次解決問題時，學生出現了多種方法，通過測量，發現利用軸對稱將同側兩點轉化為異側兩點求得的線段和比較短；進而利用PPT動畫演示，實驗驗證了結論的一般性；最后通過邏輯推理證明。

教具準備：直尺、ppt

教學過程：

環

節

教師活動

學生活動

設計意圖

一

復

習

引

入

1.【問題】：看到圖片，回憶如何用學過的數學知識解釋這個問題？

2.這樣的問題，我們稱為“最短路徑”問題。

1、兩點之間，線段最短。

2、兩邊之和大于第三邊。

從學生已經學過的知識入手，為進一步豐富、完善知識結構做鋪墊。

二

探

究

新

知

1.探究一：

【故事引入】：唐朝詩人李頎在《古從軍行》中寫道：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中就隱含著一個有趣的數學問題，古時候有位將軍，每天從軍營回家，都要經過一條筆直的小河。而將軍的馬每天要到河邊喝水，那么問題來了，問題：怎樣走才能使總路程最短呢？

認真讀題，仔細思考。

將實際問題中的“地點”“河”抽象為數學中的“點”“線”，把實際問題抽象線段和最小問題。

從異側問題入手，由簡到難，逐步深入。

二

探

究

新

知

2.探究二：

【變換情境】：后來將軍把家搬到了河的對面，若還是要帶馬先到河邊喝水，然后再回家，應該怎樣走，才能使總路程最短呢？

（1）【轉化】：你能將實際問題抽象為數學問題嗎？

（2）【展示】：

讓學生猜想，并畫出圖形。

巡視發現學生不同的作法（盡可能多），分別展示各小組的作法。

給予學生一定的提示。

（3）【度量】：如何才能判斷哪種猜想是正確的呢？（測量一下）在幾何畫板中分別度量出AC,BC的長度，并計算AC+BC。讓學生觀察數值如何變化。并反思各自的作法是否正確。

【回答】：學生思考并回答，如何將實際問題轉化為數學問題。

已知：直線L和同側兩點A、B

求作：直線L上一點C，使C滿足AC+BC的值最小。

【學生展示】：

作法1：

作法2：：

作法3：

【學生反思】：第1種作法是利用“垂線段最短”，得到AC最短，利用“兩點之間線段最短”，得到BC最短，但不能確定AC+BC是最短的。

第2種作法只能說明在河l上取一點，到A、B兩地的距離相等，也就是AC＝BC。不能說明AC+BC最短

第3種作法應該是正確的。

學生主動探索，充分發揮學生的主動性。

展示多種方法，產生思維沖突，引發學生進一步探究的學習欲望。

二

探

究

新

知

3.解決問題

【追問】用第3種作法的同學，你們是怎樣想到作點B關于直線L的對稱點的？為什么要作對稱點？

如果做點B關于直線L的對稱點，就是把點B移到了另一側，而且滿足了BC＝BC’。其實直線L上所有點到B和B’的距離都相等。

也可是根據垂直平分線的性質，L就是線段BB’的垂直平分線，而垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。

利用軸對稱將同側線段和最短轉化為異側線段和最短問題。借助軸對稱，把折線轉化為線段的長來求解。

讓學生進一步體會做法的正確性，提高邏輯思維能力。

讓學生在反思的過程中，體會軸對稱的作用，感悟轉化思想，豐富數學活動經驗。

（4）【推理論證】：如何證明AC+BC最短呢？

【提示】：沒有比較就不會產生大小。通常我們要在直線上任另取一點C＇（與點C不重合），只要證明AC＇+BC＇〉AC+BC即可。

老師動手操作，驗證結論的正確性。

（1）學生自主證明，教師糾錯。

（2）師生共同分析，學生說明證明過程，教師版書。

（3）共同完成證明過程。

認真觀察，思考，要想確認AC+BC最短，可以在直線l上任取一點C’（不與點C重合）

1.獨立糾錯

2.兵教兵

讓學生進一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力。

通過動畫演示，從特殊到一般地驗證了前面的結論。

三

發

散

思

維

除了作點B關于直線l的對稱點以外，還有沒有別的作法？

還可以作點A關于直線l的對稱點。

發散思維，培養學生一題多解的能力。

四

得

出

結

論

【問題】：我們是如何解決將軍飲馬問題的？

先將實際問題轉化為數學問題。然后作其中一個點關于直線l的對稱點，連接對稱點和另一點與直線的交點就是滿足最短距離的點的位置。

讓學生反思剛才的探究過程。培養數學思維，和及時總結所學的知識的好習慣。

五

變式鞏固

【問題】：如圖，已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點，你能在BC上確定一點R，使△PQR的周長最短嗎？

在具體問題中實踐已有模型，固化已有模型。為進一步豐富、完善知識結構做鋪墊。

六

拓展提升

【問題】：如圖,一位將軍騎馬從駐地A出發，先牽馬去草地

OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水，最后回到駐地A問：這位將軍怎樣走路程最短？

【問題】：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。

七

鞏

固

練

習

1.【題目】：如圖，已知：

MON內兩點A、B.求作：點C和點D,使得點C在OM上，點D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。

2.【題目】：如圖，如圖，OMCN是矩形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點的位置上，試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺邊OM、ON后，反彈擊中黑球？

習題難度，由易到難，逐步深入。讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法。

八

課

堂

小

結

1.【問題】：本節課研究問題的基本過程是什么？

當我們遇到一個實際問題，首先，我們要將實際問題變成一個數學問題（群答），也就是抽象成一個數學模型，這樣可以幫助我們進行實驗觀察，進而運用合情推理得到一個猜想，然后我們可以通過嚴謹的邏輯證明，驗證猜想，從而得出結論，最后再將結論運用到實際問題里。

2.【問題】：今天我們學習了最短路徑的相關問題，我們應該怎么樣找到它們的最短路徑呢？

先確定對稱軸，找出定點的對稱點。然后連接對稱點與另一點確定所求位置點（連接各對稱點確定所求位置點）。

我們要先將實際問題變成一個數學問題，然后觀察實驗，提出猜想，之后通過證明，驗證猜想，從而得出結論，最后再將結論運用到實際問題里。

如何求解

培養學生總結在課題學習的基本思路。

九

課

后

拓

展

【問題】：在矩形ABCD中，在邊和對角線AD、BD上有兩個動點M、N,當M、N運動到何處時，BM+MN最短？

根據解題方法進行深度拓展（難度大）

第五篇：最短路徑教學設計(上交)（推薦）

13．4《課題學習——最短路徑問題》教學設計

玉泉二中 王衛杰

一.內容和內容解析

最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段主要以“兩點之間，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為基礎知識，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究.本節課利用“河邊飲馬地點的選擇”問題，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題.二.目標和目標解析

1.教學目標

基于以上分析，本節課我確定的教學目標是：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變換在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想，進一步獲得數學活動的經驗，增強應用意識.本節課我確定的的教學重點是：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題，培養學生解決實際問題的能力.2.教學目標解析

要求學生能將實際問題中的“地點”、“河流”抽象為數學中的“點”、“線”，把實際問題抽象為數學問題；能利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想.三.教學問題診斷分析

最短路徑問題從本質上說是極值問題，作為八年級的學生，在此之前很少接觸，解決這方面問題的經驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的極值問題，更會感到陌生，無從下手.對于直線異側的兩點，如何在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，學生很容易想到連接這兩點，所連線段與直線的交點就是所求的點.但對于直線同側的兩點，如何在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，一些學生會感到茫然，找不到解決問題的思路.在證明“最短”時，需要在直線上任取一點（與所求作的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，學生可能想不到，不會用.所以，本節課我確定的教學難點是：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題.教學時，教師可從“直線異側的兩點”過渡到“直線同側的兩點”，為學生搭建“腳手架”.在證明“最短”時，教師可以告訴學生，證明“最大”、“最小”這類問題，常常要另選一個量，通過與求證的那個“最大”、“最小”的量進行比較來證明.由于另取的點具有任意性，所以結論對于直線上的每一點（所求作的點除外）都成立.四.教學過程設計

1．創設問題情境

引入：（課件展示行人踐踏茵茵綠草穿越草坪）師：（1）同學們，生活中你見到過這樣的現象嗎？（2）他為什么選擇走紅色路線？（3）理由是什么？ 生：集體回答.師：生活中的實際問題，都可以抽象出數學圖形，并能用數學知識來解決.比如，請大家思考問題一：

（課件展示）問題1：

如圖，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選擇哪條路距離最短？說說你的理由.師生活動：學生回答問題，說出理由：兩點之間，線段最短.【設計意圖】讓學生回顧“兩點之間，線段最短”，同時讓學生感知從實際問題抽象出數學圖形，并用數學知識來解決，為引入新課作準備.師：同學們，隨著生活條件的改善，暖氣的使用已經在城市普及.目前，市政府決定向農村集中供暖，在施工過程中，技術人員遇到了這樣一個問題，請大家思考問題二：

（課件展示）問題2：

如圖，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩村供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

教師提出要求：

（1）在導學練上先抽象出數學圖形，一生上臺扮演.（2）學生獨立思考，怎樣找到泵站的位置？

師：現在的問題就是，怎樣在直線上找一點，使它到兩點的距離值和最小？

師生活動：學生回答，連接AB，線段AB與l的交點即為泵站修建的位置.師生小結：對于直線異側的兩點，怎樣在直線上找一點，使它到兩點的距離值和最小，就是要連接這兩點，所連線段與直線的交點就是所要求做的點.師：如何證明所找的點能滿足距離值和最短呢？

生：在直線上任意找一點（求作的點除外），與已知兩點連接，就得到一條新的路徑，只需要與前一條路徑進行比較即可.師：很明顯，利用兩點之間，線段最短，或者利用三角形中，兩邊之和大于第三邊，均可得證.師：如果兩點在直線同側呢？怎樣在直線上找一點，使它到兩點的距離值和最小？

請大家思考問題三：

【設計意圖】讓學生進一步感受“兩點之間，線段最短”，為把“同側的兩點”轉化為“異側的兩點”做鋪墊.2．將實際問題抽象為數學問題

（課件展示）問題3：

牧馬人從圖中的A 地出發，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地．到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路徑最短？

你能將這個問題抽象為數學問題嗎？

教師提出要求：

（1）在導學練上先抽象出數學圖形，一生上臺扮演.（2）學生獨立思考，怎樣找到飲馬的位置？

師：現在的問題就是，怎樣在直線上找一點，使它到兩點的距離值和最小？

師生活動：學生嘗試回答，并相互補充，最后達成共識:（1）將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線；（2）在直線l上找到一點C，使AC與BC的和最小？

【設計意圖】學生通過動手操作，在具體感知軸對稱圖形特征的基礎上，抽象出軸對稱圖形的概念.3．解決數學問題

問題4：

如圖，點A，B 在直線l 的同側，怎樣在直線l上找到一點C，使AC 與BC的和最小？

師生活動：學生獨立思考，嘗試畫圖，相互交流.如果學生有困難，教師可作如下提示：

（1）如果點B在點A的異側，如何在直線l上找到一點C，使AC 與BC的和最小

（2）現在點B與點A在同側，能否將點B移到l 的另一側點 處，且滿足直線l上的任意一點C，都能保持 ?（3）你能根據軸對稱的知識，找到（2）中符合條件的點 嗎？ 師生共同完成作圖，如下圖.作法：（1）作點B 關于直線l 的對稱點B′；

（2）連接AB′，與直線l 相交于點C．則點C 即為所求.【設計意圖】教師一步一步引導學生，如何將同側的兩點轉化為異側的兩點，為問題的解決提供思路，滲透轉化思想.4．證明AC +BC “最短”

問題5： 你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？

師生活動：學生獨立思考，相互交流，師生共同完成證明過程.證明：如圖，在直線l 上任取一點AC′，BC′，∴ 在△∴

即AC +BC 最短．

追問1：

證明AC +BC最短時，為什么要在直線l上任取一點（與點C但不重合）？

師生活動：學生相互交流，教師適時點撥，最后達成共識：若直中，． ．，． ．，（與點C 不重合），連接由軸對稱的性質知，線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC +BC，就說明AC +BC最小.【設計意圖】讓學生體會作法的正確性，提高邏輯思維能力.追問2：

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？

師生活動：學生回答，相互補充.【設計意圖】學生在反思中，體會軸對稱的橋梁作用，感悟轉化思想，豐富數學活動經驗.5．鞏固練習

如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑.師生活動:學生分析解題思路，獨立完成畫圖，教師適時點撥.【設計意圖】讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法.6．歸納小結

教師和學生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題.（1）本節課研究問題的基本過程是什么？（2）軸對稱在所研究問題中起什么作用？ 師生活動：教師引導，學生小結.【設計意圖】：引導學生把握研究問題的基本策略和方法，體會軸對稱在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉化思想的重要價值.7．布置作業：

教科書復習題13第15題.8、課堂寄語：

（1）、你有夢想嗎？（2）、你的夢想是什么？

（3）、實現你的夢想的最短路徑是什么？

五、目標檢測設計

某實驗中學八(1)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？

【設計意圖】考查學生解決“最短路徑問題”的能力.