第一篇：ArcGIS網(wǎng)絡(luò)分析(最短路徑問題分析)

網(wǎng)絡(luò)分析（最短路徑問題分析）

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/p>

理解最短路徑分析的基本原理，學(xué)習(xí)利用arcgis軟件進(jìn)行各種類型的最短路徑分析的操作。

二、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

1、實(shí)驗(yàn)背景：

最短路徑分析是空間網(wǎng)絡(luò)分析中最基本的應(yīng)用，而交通網(wǎng)絡(luò)中要素的設(shè)置對(duì)最短路徑的選擇有著很大的影響。實(shí)驗(yàn)要求根據(jù)不同的權(quán)重，給出到達(dá)指定目的地的路徑選擇方案，并給出路徑長度。

? 在網(wǎng)絡(luò)中指定一個(gè)超市，要求分別求出在距離、時(shí)間限制上從家到超市的最佳路徑。

? 給定訪問順序，按要求找出從家經(jīng)逐個(gè)地點(diǎn)達(dá)到目的地的最佳路徑。

2、實(shí)驗(yàn)材料：

軟件：ArcGIS Desktop 9.x，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：文件夾ex6中，一個(gè)GeoDatabase地理數(shù)據(jù)庫：City.mdb，內(nèi)含有城市交通網(wǎng)、超市分布圖，家庭住址以及網(wǎng)絡(luò)關(guān)系。

三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟

首先啟動(dòng)ArcMap，選擇ex6city.mdb，再雙擊后選擇將整個(gè)要素?cái)?shù)據(jù)集“city”加載進(jìn)來，然后將“place”點(diǎn)狀要素以“HOME”字段屬性值進(jìn)行符號(hào)化，1值是家，0值是超市。

第1步 無權(quán)重最佳路徑的選擇 ? 加載 “設(shè)施網(wǎng)絡(luò)分析”工具條（“視圖”>>“工具條”，勾選“設(shè)施網(wǎng)絡(luò)分析”），點(diǎn)選旗標(biāo)和障礙工具板下拉箭頭，將旗標(biāo)放在家和想要去的超市點(diǎn)上。

第2步 加權(quán)最佳路徑選擇

? 在設(shè)施網(wǎng)絡(luò)分析工具條上，點(diǎn)選旗標(biāo)和障礙工具板下拉箭頭，將旗標(biāo)放在家和想去的某個(gè)超市點(diǎn)上。

? 選擇“分析”下拉菜單，選擇“選項(xiàng)”按鈕，打開“分析選項(xiàng)”對(duì)話框，選擇“權(quán)重”標(biāo)簽頁，在“邊權(quán)重”上，全部選擇長度“l(fā)ength”權(quán)重屬性。? 點(diǎn)選“追蹤任務(wù)”下拉菜單選擇“查找路徑”。單擊“執(zhí)行”鍵，則以長度為比重為基礎(chǔ)的最短路徑將顯示出來，這條路徑的總成本將顯示在狀態(tài)列。

?? 上述是通過距離的遠(yuǎn)近選擇而得到的最佳路徑，而不同類型的道路由于道路車流量的問題，有時(shí)候要選擇時(shí)間較短的路徑，同樣可以利用網(wǎng)絡(luò)分析進(jìn)行獲得最佳路徑。

第3步 按要求和順序逐個(gè)對(duì)目的點(diǎn)的路徑的實(shí)現(xiàn)

? 在設(shè)施網(wǎng)絡(luò)分析工具條上，點(diǎn)選旗標(biāo)和障礙工具板下拉箭頭，將旗標(biāo)按照車輛訪問的順序逐個(gè)放在點(diǎn)上。

? 選擇“分析”下拉菜單，選擇“選項(xiàng)”按鈕，打開“分析選項(xiàng)”對(duì)話框，選擇“權(quán)重”標(biāo)簽頁，在“邊權(quán)重”上，全部選擇長度“l(fā)ength”權(quán)重屬性。? 點(diǎn)選“追蹤任務(wù)”下拉菜單選擇“查找路徑”。單擊“執(zhí)行”鍵，則從起點(diǎn)按順序逐一經(jīng)過超市最后回到家的最短有效路徑將顯示出來，這條路徑的總成本將顯示在狀態(tài)列。

同樣是經(jīng)過這11個(gè)地點(diǎn)，換成權(quán)重是時(shí)間的，由于道路車流量的不同，如在市中心車流量特別大，車速慢，故而為節(jié)約時(shí)間，所以使得路徑發(fā)生很大的改變。

第4步 阻強(qiáng)問題

這里的阻強(qiáng)是指網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)狀要素或線狀要素因?yàn)閷?shí)際中遇到的例如修路，或那個(gè)時(shí)段車輛飽和，十字路口發(fā)生事故等一些緣故而使得要素不可運(yùn)行，這時(shí)原來獲得的最短路徑就需要進(jìn)行修正，具體操作如下： 修路的情形出現(xiàn)，即某個(gè)路段不可運(yùn)行，這在網(wǎng)絡(luò)中的表現(xiàn)是設(shè)置阻強(qiáng)，方法有兩種，一種是永久性的，直接將網(wǎng)絡(luò)邊要素的屬性修改成不可運(yùn)行。選擇要進(jìn)行設(shè)置的邊要素，將其屬性中的“Enabled”字段改成“False”即可；另一種是暫時(shí)性的，設(shè)置邊要素障礙。即利用邊要素障礙添加工具將邊設(shè)置。

?

4、心得體會(huì) ：

第二篇：ArcGIS空間分析和最短路徑分析實(shí)習(xí)報(bào)告

考察報(bào)告

實(shí)驗(yàn)

一、矢量數(shù)據(jù)的空間分析

練習(xí)1：市區(qū)擇房分析

操作步驟：

首先打開ArcMap，打開E:Chp7Ex1city.mxd文件將文件加入到窗口中來，這時(shí)就將五個(gè)文件全部加入其中來了，如下圖所示；

（1）主干道噪音緩沖區(qū)的建立

1）選擇交通網(wǎng)絡(luò)圖層（network.shp），打開圖層的屬性表，在右下角的打開option選項(xiàng)中，在菜單中選擇select by attributes，考察報(bào)告

考察報(bào)告

在select by attributes對(duì)話框中，左邊選擇“TYPE” 雙擊將其添加到對(duì)話框下面SQL算式表中，點(diǎn)中間“=”，再單擊Get unique values將TYPE的全部屬性值加入上面的列表框中，然后選擇“ST”屬性值，雙擊添加到SQL算式表中，單擊APPLY按鈕，就將市區(qū)的主要道路選擇出來了

考察報(bào)告

考察報(bào)告

2）點(diǎn)擊緩沖區(qū)按鈕對(duì)選擇的主干道進(jìn)行緩沖區(qū)的建立，首先在緩沖區(qū)對(duì)象圖層選擇交通網(wǎng)絡(luò)圖層（network），然后將下面的Use Only the Selected Feature（僅對(duì)選擇的要素進(jìn)行分析）選中，單擊next；

考察報(bào)告

考察報(bào)告

3）確定尺寸單位，選擇第一種緩沖區(qū)建立方法（At a specified distance），指定緩沖區(qū)半徑為200米，單擊next；

4）由于不是分別考慮一個(gè)圖層的各個(gè)不同的要素的目的，所以我們?cè)谶@里選擇的是第一種邊界設(shè)定類型（Dissolve barriers between），然后指定好緩沖區(qū)文件的存放路徑和文件名后，單擊OK，完成主干道噪音污染緩沖區(qū)的建立。

考察報(bào)告

考察報(bào)告

（2）商業(yè)中心影響范圍建立

1）建立大型商業(yè)中心的影響范圍。首先點(diǎn)擊緩沖區(qū)按鈕，在緩沖區(qū)對(duì)象圖層選擇商業(yè)中心分布圖層（network），單擊next；

2）確定尺寸單位，選擇第一種緩沖區(qū)建立方法，以其屬性字段YUZHI為緩沖區(qū)半徑，單擊next；

考察報(bào)告

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3）選擇的是第一種邊界設(shè)定類型，然后指定好緩沖區(qū)文件的存放路徑和文件名后，單擊OK，完成商業(yè)中心影響范圍緩沖區(qū)的建立。

（3）名牌高中的影響范圍建立

1）點(diǎn)擊緩沖區(qū)按鈕，在緩沖區(qū)對(duì)象圖層選擇名牌高中分布圖層（school），單擊next；

2）確定尺寸單位米，選擇第一種緩沖區(qū)建立方法，指定750米作為半徑，設(shè)置好后，單擊next；

考察報(bào)告

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3）選擇的是第一種邊界設(shè)定類型，然后指定好緩沖區(qū)文件的存放路徑和文件名后，單機(jī)OK，完成名牌高中的覆蓋范圍緩沖區(qū)的建立。

（4）．名勝古跡的影響范圍建立

1）點(diǎn)擊緩沖區(qū)按鈕，在緩沖區(qū)對(duì)象圖層選擇名勝古跡分布圖層。

2）單擊next，確定尺寸單位，選擇第一種緩沖區(qū)建立方法，指定500米作為緩沖區(qū)半徑，設(shè)置好后，單擊next；

考察報(bào)告

考察報(bào)告

3）選擇的是第一種邊界設(shè)定類型，然后指定好緩沖區(qū)文件的存放路徑和文件名后，單擊，OK，完成名勝古跡的覆蓋范圍緩沖區(qū)的建立。

（5）．進(jìn)行疊置分析將滿足上述四個(gè)要求的區(qū)域求出

1）將商業(yè)中心影響范圍、名牌高中的影響范圍和名勝古跡的影響范圍進(jìn)行疊置分析的交集操作，可以將同時(shí)滿足三個(gè)條件的區(qū)域計(jì)算出。打開ArcToolBox，在analyst tools下選擇overlay下的Intersect操作，打開交集操作對(duì)話框，將商業(yè)中心的緩沖區(qū)、名牌高中的緩沖區(qū)和名勝古跡的緩沖區(qū)分別添加進(jìn)來，設(shè)定輸出文件名并選擇全部字段，輸出類型和輸入類型一樣，單擊OK，從而獲得同時(shí)滿足三個(gè)條件的交集區(qū)域。

考察報(bào)告

考察報(bào)告

2）利用主干道噪音緩沖區(qū)對(duì)獲得的三個(gè)區(qū)域的交集進(jìn)行圖層擦除操作，從而獲得，同時(shí)滿足四個(gè)條件的區(qū)域的獲得，打開ArcToolBox，在analyst tools下選擇overlay下的Erase操作，打開圖層擦除操作對(duì)話框，在input features選擇三個(gè)區(qū)域的交集，在erase features選擇主干道噪音緩沖區(qū)，同時(shí)設(shè)定輸出圖層的地址和文件名，單擊OK，從而獲得同時(shí)滿足四個(gè)條件的交集區(qū)域的獲得，即購房者的最佳選擇區(qū)域。考察報(bào)告

考察報(bào)告

（6）．為了便于購房者的選擇有更大的余地，更直觀地，綜合上述四個(gè)因子，對(duì)整個(gè)市區(qū)進(jìn)行分等定級(jí)，分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)是：

滿足其中四個(gè)條件為第一等級(jí)；

滿足其中三個(gè)條件為第二等級(jí)；

滿足其中兩個(gè)條件為第三等級(jí)；

滿足其中一個(gè)條件為第四等級(jí)；

完全不滿足條件的為第五等級(jí)。

1）分別打開商業(yè)中心，名牌高中和名勝古跡影響范圍的緩沖區(qū)圖層的屬性列表，添加一個(gè)market，school和famous字段，并全部賦值為1。將主干道噪音緩沖區(qū)圖層的屬性列表中添加voice字段，全部賦值為-1，這里取-1的原因是所取的噪音緩沖區(qū)之外的才是所要獲得的區(qū)域。考察報(bào)告

考察報(bào)告

考察報(bào)告

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2）打開ArcToolBox，在analyst tools 下選擇 overlay 下的 Union 操作，打開圖層合并操作對(duì)話框，在四個(gè)緩沖區(qū)逐個(gè)添加進(jìn)去，同時(shí)設(shè)定輸出圖層的地址和文件名Union，將全部字段連接，單擊OK，得到四個(gè)區(qū)域的疊加合并圖。

3）打開生成的Union文件圖層屬性列表，添加一個(gè)短整型字段class，然后保留 FID，Shape*，class，market，voice，school和famous字段，然后在Editor工具欄下來菜單中選擇start editing，然后在屬性列表中的class字段上單擊右鍵，選考察報(bào)告

考察報(bào)告

擇Calculate values，單擊之后，打開Field Calculator對(duì)話框，使得class=market+voice+school+famous，即將其進(jìn)行分等定級(jí)。（圖10）就將四個(gè)因子進(jìn)行了一個(gè)簡單的綜合，同時(shí)也可以根據(jù)最后的區(qū)域的class的屬性值將全部的研究的區(qū)域進(jìn)行了等級(jí)的劃分：

第一等級(jí)：數(shù)值為3；

第二等級(jí)：數(shù)值為2；

第三等級(jí)：數(shù)值為1；

第四等級(jí)：數(shù)值為0；

第五等級(jí)：數(shù)值為-1。

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練習(xí)2：最短路徑問題分析與應(yīng)用

操作步驟：

首先打開ArcMap選擇E:Chp7Ex2city.mdb再雙擊后選擇將整個(gè)要素?cái)?shù)據(jù)集 city 加載進(jìn)來。然后將place點(diǎn)狀要素以 HOME 字段屬性值進(jìn)行符號(hào)化，1 值是家，0 值是超市，(1）無權(quán)重最佳路徑的選擇

1）在設(shè)施網(wǎng)絡(luò)分析工具條上，點(diǎn)選旗標(biāo)和障礙工具板下拉箭頭，將旗標(biāo)放在家和想要去的超市點(diǎn)上。

2）確認(rèn)在Analysis下拉菜單中的Options按鈕打開的Analysis Options對(duì)話框中weight和weight filter 標(biāo)簽項(xiàng)全部是 none，這樣使得進(jìn)行的最短路徑分析是完全按照這個(gè)網(wǎng)絡(luò)自身的長短來確定的

考察報(bào)告

考察報(bào)告

3）點(diǎn)選追蹤工作（Track task）下拉菜單選擇尋找路徑（find path）。單擊solve鍵，則最短路徑將顯示出來，這條路徑的總成本將顯示在狀態(tài)列。

（2）加權(quán)最佳路徑選擇

1）在設(shè)施網(wǎng)絡(luò)分析工具條上，點(diǎn)選旗標(biāo)和障礙工具板下拉箭頭，將旗標(biāo)放在家和想去的某個(gè)超市點(diǎn)上。

2）選擇Analysis下拉菜單，選擇Option按鈕，打開Analysis Option對(duì)話框，選擇Weight標(biāo)簽頁，在邊的權(quán)重(edge weight)上，全部選擇長度（length）權(quán)重屬性。

考察報(bào)告

考察報(bào)告

3）點(diǎn)選追蹤工作（Track task）下拉菜單選擇尋找路徑（find path）。單擊solve鍵，則以長度為比重為基礎(chǔ)的最短路徑將顯示出來，這條路徑的總成本將顯示在狀態(tài)列。

4）上述是通過距離的遠(yuǎn)近選擇而得到的最佳路徑，而不同類型的道路由于道路車流量的問題，有時(shí)候要選擇時(shí)間較短的路徑，同樣可以利用網(wǎng)絡(luò)分析進(jìn)行獲得最佳路徑。

這里的時(shí)間屬性是在建網(wǎng)之前，通過各個(gè)道路的類型（主干道，次要道等）來給定速度屬性，然后通過距離和速度的商值確定的，并將其作為屬性設(shè)定于每個(gè)道路上，這里沒有考慮紅燈問題以及其他因素，而是一種理想情況，不過可以將其他的要素可以逐漸加入來完善。

考察報(bào)告

考察報(bào)告

（3）按要求和順序逐個(gè)對(duì)目的點(diǎn)的路徑的實(shí)現(xiàn)

1）在設(shè)施網(wǎng)絡(luò)分析工具條上，點(diǎn)選旗標(biāo)和障礙工具板下拉箭頭，將旗標(biāo)按照車輛訪問的順序逐個(gè)放在點(diǎn)上。

2）選擇Analysis下拉菜單，選擇Option按鈕，打開Analysis Option對(duì)話框，選擇Weight標(biāo)簽頁，在邊的權(quán)重(edge weight)上，全部選擇長度（length）權(quán)重屬性。

3）點(diǎn)選追蹤工作（Track task）下拉菜單選擇尋找路徑（find path）。單擊solve鍵，則從起點(diǎn)按順序逐一經(jīng)過超市然后最后回到家的最短有效路徑將顯示出來，這條路徑的總成本將顯示在狀態(tài)列。

4）同樣是經(jīng)過這11個(gè)地點(diǎn)，換成權(quán)重是時(shí)間的，由于道路車流量的不同，如在市中心車流量特別大，車速慢，故而為節(jié)約時(shí)間，所以使得路經(jīng)發(fā)生很大的改變，而從外圍的道路行駛了。

考察報(bào)告

考察報(bào)告

（4）阻強(qiáng)問題

這里的阻強(qiáng)是指網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)狀要素或線狀要素因?yàn)閷?shí)際中遇到的例如修路，或那個(gè)時(shí)段車輛飽和，十字路口發(fā)生事故等一些緣故而使得要素不可運(yùn)行，這時(shí)原來獲得的最短路徑就需要進(jìn)行修正，具體操作如下：

修路的情形出現(xiàn)，即某個(gè)路段不可運(yùn)行，這在網(wǎng)絡(luò)中的表現(xiàn)是設(shè)置阻強(qiáng)，方法有兩種，一種是永久性的，直接將網(wǎng)絡(luò)邊要素的屬性修改成不可運(yùn)行。操作是選擇要進(jìn)行設(shè)置的邊要素，將其屬性中的Enabled字段改成False即可；另一種是暫時(shí)性的，設(shè)置邊要素障礙。即利用邊要素障礙添加工具將邊設(shè)置。取同上述距離加權(quán)相同的超市為地點(diǎn)，假設(shè)其中一條路段正在修路，則產(chǎn)生的新的最佳路徑

（圖中標(biāo)注“╳”即為阻強(qiáng)設(shè)置邊）。可以看出路段的維修狀況使得最佳路徑產(chǎn)生了改變，同時(shí)最近距離也隨之發(fā)生改變。

2）十字路口發(fā)生問題，即網(wǎng)絡(luò)中的結(jié)點(diǎn)不可運(yùn)行，這時(shí)在網(wǎng)絡(luò)中的表現(xiàn)也是設(shè)置阻強(qiáng)，方法和線狀要素的一樣，改變結(jié)點(diǎn)屬性或利用點(diǎn)要素阻強(qiáng)添加工具將點(diǎn)設(shè)置，取同上述距離加權(quán)相同的超市為地點(diǎn)，假設(shè)其中某個(gè)路口出現(xiàn)阻塞，利用該方法產(chǎn)生的最佳路徑。

考察報(bào)告

考察報(bào)告

以上這個(gè)例子——從家到超市的最佳路徑選擇這個(gè)方面簡單說明了網(wǎng)絡(luò)分析中的最短路徑問題對(duì)于實(shí)際之中有什么主要的用途，以及隨著實(shí)際情況的改變，而對(duì)網(wǎng)絡(luò)中要素的變化對(duì)最佳路徑的產(chǎn)生什么樣的影響，相信隨著要素的健全，實(shí)際因素的添加等因子的輔助一定會(huì)使得網(wǎng)絡(luò)分析在指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)生活發(fā)揮著越來越大的作用。

考察報(bào)告

第三篇：最短路徑教案

13.4最短路徑問題

一、教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對(duì)稱研究某些最短路徑問題，最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有連線中，垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究。

本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典故事----“將軍飲馬問題”為載體開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”的問題。

二、教學(xué)目標(biāo)

1、能利用軸對(duì)稱解決簡單的最短路徑問題

2、再談歲最短路徑的過程中，體會(huì)“軸對(duì)稱”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”問題。難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。

四、教學(xué)問題診斷

最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中學(xué)生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問題，更會(huì)感到陌生，無從下手。

解答“當(dāng)點(diǎn)AB在直線l的同側(cè)時(shí)，如何在l上找到點(diǎn)C，使AC與BC的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，與直線l上的點(diǎn)的線段的和最小”的問題，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化，怎樣通過軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會(huì)存在理解上和操作上的困難。

在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)（與所求做的點(diǎn)不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學(xué)生想不到。

教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，與直線l上的點(diǎn)的和最小”為學(xué)生搭建“腳手架”，在證明最短時(shí)，教師要適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)任意的作用。

五、教學(xué)過程

教師引語：現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常會(huì)有這樣的生活經(jīng)歷，比如學(xué)校雖然為我們鋪設(shè)了一些石板甬路，方便同學(xué)們的行走，但是很多時(shí)候我們卻并不在這些小路上行走，這樣做的目的是什么呢？（學(xué)生一起回答）如果用數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋這種行為，那就是我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)的“兩點(diǎn)之間、線段最短”或“垂線段最短”，我們稱這樣的問題為最短路徑問題（板書課題）現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到最短路徑問題，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要任務(wù)就是最短路徑問題，并用所學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史上著名的“將軍飲馬問題”。

1、情境引入

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫，有一天，有一位將軍專門拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地，到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題。這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。

2、探究解決問題的方法

問題一：這是一個(gè)實(shí)際問題，我們首先把它抽象為數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)同學(xué)們用自己的語言說明這個(gè)問題的意思。

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后小組交換意見，然后嘗試回答，相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的回答寫出問題的板書：如圖，已知點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線L的同側(cè)，在直線L上找一點(diǎn)C，使AC與BC的和最小。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”。

問題二：由上面的問題我們可以聯(lián)想到下面的問題：A、B分別是直線L異側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線L上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最小？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫圖分析并嘗試回答，教師補(bǔ)充。

問題三：對(duì)于第一個(gè)問題，如何將點(diǎn)B移到L的另一側(cè)，B′處，滿足直線L上的任一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長度相等？ 問題四：你能利用軸對(duì)稱的知識(shí)找到符合條件的點(diǎn)B′嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立考，嘗試畫圖，然后小組交流，學(xué)生代表匯報(bào)交流成果，師生共同補(bǔ)充：只要作出點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′，就可以滿足CB=CB′,再利用問題二中的方法，連接AB′,則AB′與直線L的交點(diǎn)即為所求。

學(xué)生敘述，教師板書并畫圖，同時(shí)學(xué)生在練習(xí)本上畫圖。

設(shè)計(jì)意圖：通過搭建臺(tái)階，為學(xué)生探究問題提供“腳手架”將同側(cè)難以解決的問題提轉(zhuǎn)化為異側(cè)容易解決的問題，滲透轉(zhuǎn)化思想。

3、推理證明“最短”

問題五：你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？

師生活動(dòng)：師生共同分析，然后學(xué)生說證明過程，教師板書。

證明：在直線L上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′,BC′,B′C′.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+ B′C=AB′, AC′+ BC′= AC′+ B′C′

在△AB′C′中，AB′＜AC′+ B′C′

∴AC+BC＜ AC′+ BC′ 即AC+BC最短。

問題六：這里任取一點(diǎn)C′的作用是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生相互交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥，最后達(dá)成共識(shí)：若直線L上任取一點(diǎn)C′與A、B兩點(diǎn)的距離之和都大于AC+BC，則說明AC+BC最短。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)做法的正確性，提高邏輯思維能力。

問題七：回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？

師生共同總結(jié)：首先作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接另一點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)之間的線段，通過軸對(duì)稱將兩條線段和轉(zhuǎn)化到同一條線段上去，這條線段與直線的交點(diǎn)即為所求，整個(gè)過程利用了“軸對(duì)稱”和“兩點(diǎn)之間、線段最短“的知識(shí)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在反思的過程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

4、鞏固練習(xí)

（1）如圖，一艘旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再回到P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑。

師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，并相互補(bǔ)充，然后獨(dú)立完成畫圖，學(xué)生代表上臺(tái)講解。基本思路分析：此題中輪船的行走路線共有三段，其中PQ是必經(jīng)路段，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”需首先連接PQ，再將河岸BC看成一條直線，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P、Q在直線BC同側(cè)，如何在BC上找一點(diǎn)R，使PR+QR最小”。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法。

（2）如圖，∠XOY內(nèi)有一點(diǎn)P，在射線OX上找出一點(diǎn)M，在射線OY上找出一點(diǎn)N，使PM+MN+NP最短．

分析：此題的出題背景就是角。本題主要利用了兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)通過軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)確定三角形的另兩點(diǎn)．

分別以直線OX、OY為對(duì)稱軸，作點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1與P2，連接P1P2交OX于M，交OY于N，則PM+MN+NP最短．

5、課堂小結(jié)：教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答：（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？（2）軸對(duì)稱在所研究的問題中起到什么作用？

6、布置作業(yè)：《課時(shí)練》第49頁1、2、3、4、5、7、8、9

第四篇：13．4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

13．4

課題學(xué)習(xí)

最短路徑問題

能利用軸對(duì)稱解決簡單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．

利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題．

探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說理．

一師一優(yōu)課　一課一名師(設(shè)計(jì)者：)

一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標(biāo)

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，走哪條路最近？你的理由是什么？

前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”．

二、自主學(xué)習(xí)，指向目標(biāo)

自學(xué)教材第85

頁至87

頁，思考下列問題：

1．求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求，其依據(jù)是兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．

2．求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求．

3．在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇．

三、合作探究，達(dá)成目標(biāo)

探索最短路徑問題

活動(dòng)一：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：

從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l

飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題．這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？

追問1　這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？答：將A，B

兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l

抽象為一條直線．

追問2　你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？

答：(1)從A

地出發(fā)，到河邊l

飲馬，然后到B

地；

(2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B

連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A

地到飲馬地，再回到B

地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C

為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C

在l的什么位置時(shí)，AC

與CB的和最小(如圖)．問題2：如圖，點(diǎn)A，B

在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C

是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C

在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？

追問1：對(duì)于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點(diǎn)C，都保持CB

與CB′的長度相等？

追問2：你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條件的點(diǎn)B′嗎？

展示點(diǎn)評(píng)：作法：

(1)作點(diǎn)B

關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；

(2)連接AB′，與直線l

交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C

即為所求．

問題3　你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC

＋BC最短嗎？

證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC

＝B′C，BC′＝B′C′.∴

AC

＋BC＝

AC

＋B′C

＝

AB′，AC′＋BC′＝

AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴

AC

＋BC＜AC′＋BC′.即

AC

＋BC

最短.小組討論：證明AC

＋BC

最短時(shí)，為什么要在直線l

上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C

不重合)，證明AC

＋BC

＜AC′＋BC′？這里的“C′”的作用是什么？

反思小結(jié)：運(yùn)用軸對(duì)稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問題．利用三角形的三邊關(guān)系，若直線l上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)C

不重合)與A，B

兩點(diǎn)的距離和都大于AC

＋BC，就說明AC

＋BC

最小.C′的代表的是除點(diǎn)C以外直線l上的任意一點(diǎn)．

針對(duì)訓(xùn)練：

1．如圖，A、B是河流

同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)抽水站向兩村供水，問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請(qǐng)?jiān)趫D中表示出來．

答：如下圖，作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．

2．如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC

上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑．

答：作Q關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交BC于R，∴旅游船線路：P—Q—R—P.選址造橋問題

活動(dòng)二：(造橋選址問題)如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．)

展示點(diǎn)評(píng)：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．

第五篇：八年級(jí)數(shù)學(xué)最短路徑問題

八年級(jí)數(shù)學(xué)最短路徑問題

一、兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)

例：已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

練習(xí)、如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

二、兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)

例：圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．

練習(xí)：如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，?要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，?可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)。三、一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部

例：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形ABC，使三角形周長最小.練習(xí)1：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形ABC周長最小值為OA.求∠MON的度數(shù)。

練習(xí)2：某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？

提高訓(xùn)練

一、題中出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

1.當(dāng)題中只出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),可作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短,或三角形兩邊之和小于第三邊求出最值.例：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上一定點(diǎn)，且BE=10,CE=14,P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，求PE+PC最小值。

二、題中出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),應(yīng)作兩次定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn).利用兩點(diǎn)之間線段最短求出最值。

例：如圖，在直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn), A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),當(dāng)四邊形ABCD周長最短時(shí),求 C、D的坐標(biāo)。

練習(xí)1如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是

．

三、題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)。

在求解時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn),(2)同時(shí)要考慮點(diǎn)點(diǎn),點(diǎn)線,線線之間的最短問題.例：如圖，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P分別為AB,BC,AC上動(dòng)點(diǎn), 求PE+PF最小值 例：如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，PO=10，在AO，BO上有兩動(dòng)點(diǎn)Q，R，求△PQR周長的最小值。

練習(xí)1如圖，∠AOB=30°，角內(nèi)有一定點(diǎn)P，PO=20cm，在AO，BO上有兩動(dòng)點(diǎn)C、D，求△PCD周長的最小值。