第一篇：最短路徑教學(xué)設(shè)計(jì)(上交)（推薦）

13．4《課題學(xué)習(xí)——最短路徑問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)

玉泉二中 王衛(wèi)杰

一.內(nèi)容和內(nèi)容解析

最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為基礎(chǔ)知識(shí)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究.本節(jié)課利用“河邊飲馬地點(diǎn)的選擇”問(wèn)題，開(kāi)展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題.二.目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.教學(xué)目標(biāo)

基于以上分析，本節(jié)課我確定的教學(xué)目標(biāo)是：能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變換在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).本節(jié)課我確定的的教學(xué)重點(diǎn)是：利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.2.教學(xué)目標(biāo)解析

要求學(xué)生能將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)”、“河流”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”、“線”，把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題；能利用軸對(duì)稱將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題；能通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短；在探索最短路徑的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.三.教學(xué)問(wèn)題診斷分析

最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是極值問(wèn)題，作為八年級(jí)的學(xué)生，在此之前很少接觸，解決這方面問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的極值問(wèn)題，更會(huì)感到陌生，無(wú)從下手.對(duì)于直線異側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最小，學(xué)生很容易想到連接這兩點(diǎn)，所連線段與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn).但對(duì)于直線同側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最小，一些學(xué)生會(huì)感到茫然，找不到解決問(wèn)題的思路.在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)（與所求作的點(diǎn)不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，學(xué)生可能想不到，不會(huì)用.所以，本節(jié)課我確定的教學(xué)難點(diǎn)是：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題.教學(xué)時(shí)，教師可從“直線異側(cè)的兩點(diǎn)”過(guò)渡到“直線同側(cè)的兩點(diǎn)”，為學(xué)生搭建“腳手架”.在證明“最短”時(shí)，教師可以告訴學(xué)生，證明“最大”、“最小”這類(lèi)問(wèn)題，常常要另選一個(gè)量，通過(guò)與求證的那個(gè)“最大”、“最小”的量進(jìn)行比較來(lái)證明.由于另取的點(diǎn)具有任意性，所以結(jié)論對(duì)于直線上的每一點(diǎn)（所求作的點(diǎn)除外）都成立.四.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1．創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

引入：（課件展示行人踐踏茵茵綠草穿越草坪）師：（1）同學(xué)們，生活中你見(jiàn)到過(guò)這樣的現(xiàn)象嗎？（2）他為什么選擇走紅色路線？（3）理由是什么？ 生：集體回答.師：生活中的實(shí)際問(wèn)題，都可以抽象出數(shù)學(xué)圖形，并能用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決.比如，請(qǐng)大家思考問(wèn)題一：

（課件展示）問(wèn)題1：

如圖，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選擇哪條路距離最短？說(shuō)說(shuō)你的理由.師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題，說(shuō)出理由：兩點(diǎn)之間，線段最短.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回顧“兩點(diǎn)之間，線段最短”，同時(shí)讓學(xué)生感知從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)圖形，并用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決，為引入新課作準(zhǔn)備.師：同學(xué)們，隨著生活條件的改善，暖氣的使用已經(jīng)在城市普及.目前，市政府決定向農(nóng)村集中供暖，在施工過(guò)程中，技術(shù)人員遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)大家思考問(wèn)題二：

（課件展示）問(wèn)題2：

如圖，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩村供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

教師提出要求：

（1）在導(dǎo)學(xué)練上先抽象出數(shù)學(xué)圖形，一生上臺(tái)扮演.（2）學(xué)生獨(dú)立思考，怎樣找到泵站的位置？

師：現(xiàn)在的問(wèn)題就是，怎樣在直線上找一點(diǎn)，使它到兩點(diǎn)的距離值和最小？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，連接AB，線段AB與l的交點(diǎn)即為泵站修建的位置.師生小結(jié)：對(duì)于直線異側(cè)的兩點(diǎn)，怎樣在直線上找一點(diǎn)，使它到兩點(diǎn)的距離值和最小，就是要連接這兩點(diǎn)，所連線段與直線的交點(diǎn)就是所要求做的點(diǎn).師：如何證明所找的點(diǎn)能滿足距離值和最短呢？

生：在直線上任意找一點(diǎn)（求作的點(diǎn)除外），與已知兩點(diǎn)連接，就得到一條新的路徑，只需要與前一條路徑進(jìn)行比較即可.師：很明顯，利用兩點(diǎn)之間，線段最短，或者利用三角形中，兩邊之和大于第三邊，均可得證.師：如果兩點(diǎn)在直線同側(cè)呢？怎樣在直線上找一點(diǎn)，使它到兩點(diǎn)的距離值和最小？

請(qǐng)大家思考問(wèn)題三：

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步感受“兩點(diǎn)之間，線段最短”，為把“同側(cè)的兩點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“異側(cè)的兩點(diǎn)”做鋪墊.2．將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題

（課件展示）問(wèn)題3：

牧馬人從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地．到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路徑最短？

你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

教師提出要求：

（1）在導(dǎo)學(xué)練上先抽象出數(shù)學(xué)圖形，一生上臺(tái)扮演.（2）學(xué)生獨(dú)立思考，怎樣找到飲馬的位置？

師：現(xiàn)在的問(wèn)題就是，怎樣在直線上找一點(diǎn)，使它到兩點(diǎn)的距離值和最小？

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試回答，并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí):（1）將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線；（2）在直線l上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最小？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，在具體感知軸對(duì)稱圖形特征的基礎(chǔ)上，抽象出軸對(duì)稱圖形的概念.3．解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題4：

如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，怎樣在直線l上找到一點(diǎn)C，使AC 與BC的和最小？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試畫(huà)圖，相互交流.如果學(xué)生有困難，教師可作如下提示：

（1）如果點(diǎn)B在點(diǎn)A的異側(cè)，如何在直線l上找到一點(diǎn)C，使AC 與BC的和最小

（2）現(xiàn)在點(diǎn)B與點(diǎn)A在同側(cè)，能否將點(diǎn)B移到l 的另一側(cè)點(diǎn) 處，且滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都能保持 ?（3）你能根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)，找到（2）中符合條件的點(diǎn) 嗎？ 師生共同完成作圖，如下圖.作法：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)B′；

（2）連接AB′，與直線l 相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C 即為所求.【設(shè)計(jì)意圖】教師一步一步引導(dǎo)學(xué)生，如何將同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)，為問(wèn)題的解決提供思路，滲透轉(zhuǎn)化思想.4．證明AC +BC “最短”

問(wèn)題5： 你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，相互交流，師生共同完成證明過(guò)程.證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)AC′，BC′，∴ 在△∴

即AC +BC 最短．

追問(wèn)1：

證明AC +BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)（與點(diǎn)C但不重合）？

師生活動(dòng)：學(xué)生相互交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥，最后達(dá)成共識(shí)：若直中，． ．，． ．，（與點(diǎn)C 不重合），連接由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC +BC，就說(shuō)明AC +BC最小.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)作法的正確性，提高邏輯思維能力.追問(wèn)2：

回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，相互補(bǔ)充.【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在反思中，體會(huì)軸對(duì)稱的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).5．鞏固練習(xí)

如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑.師生活動(dòng):學(xué)生分析解題思路，獨(dú)立完成畫(huà)圖，教師適時(shí)點(diǎn)撥.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問(wèn)題的基本策略和基本方法.6．歸納小結(jié)

教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題.（1）本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？（2）軸對(duì)稱在所研究問(wèn)題中起什么作用？ 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生小結(jié).【設(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生把握研究問(wèn)題的基本策略和方法，體會(huì)軸對(duì)稱在解決最短路徑問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價(jià)值.7．布置作業(yè)：

教科書(shū)復(fù)習(xí)題13第15題.8、課堂寄語(yǔ)：

（1）、你有夢(mèng)想嗎？（2）、你的夢(mèng)想是什么？

（3）、實(shí)現(xiàn)你的夢(mèng)想的最短路徑是什么？

五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

某實(shí)驗(yàn)中學(xué)八(1)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生解決“最短路徑問(wèn)題”的能力.

第二篇：《最短路徑》教學(xué)反思

11月23號(hào)下午第三節(jié)，我講了公開(kāi)課《最短路徑》第一課時(shí)，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)及沒(méi)課的老師來(lái)到報(bào)告廳聽(tīng)課，聽(tīng)課后田校長(zhǎng)對(duì)我講的這一節(jié)課經(jīng)行了點(diǎn)評(píng)，我受益匪淺，所以把感悟以及所學(xué)到的總結(jié)如下：

1、問(wèn)題設(shè)計(jì)要有啟發(fā)性。在設(shè)計(jì)問(wèn)題的時(shí)候不可以設(shè)計(jì)無(wú)用的問(wèn)題，要讓學(xué)生真正有所思考，并且可以經(jīng)過(guò)思考可以得到結(jié)論，在設(shè)計(jì)問(wèn)題的時(shí)候也不要設(shè)計(jì)太難的問(wèn)題，打擊學(xué)生的積極性，要把難的問(wèn)題分解，解剖成簡(jiǎn)單的小問(wèn)題一步步來(lái)解決。

2、課堂引入，要更加的正規(guī)，不能太隨意。比如在引入的時(shí)候可以用螞蟻找食物的實(shí)例引入，可以更形象。

3、引入之后，要復(fù)習(xí)預(yù)備知識(shí)。因?yàn)樗械闹R(shí)都是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上生成的，如果說(shuō)新知識(shí)是冰川露出大海的部分，那舊知識(shí)就是藏在大海中的更大的部分，所以要強(qiáng)調(diào)從舊知識(shí)的基礎(chǔ)上生成新知識(shí)，調(diào)動(dòng)舊知識(shí)環(huán)境，衍生新知識(shí)，這樣有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)體系，所學(xué)的內(nèi)容也不會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)太突兀，而是自然而然的得到。所以要認(rèn)真分析預(yù)備知識(shí)，把新知識(shí)放在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)復(fù)習(xí)慢慢引出新的內(nèi)容，這樣學(xué)生更容易掌握，更容易接受，不會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，反而覺(jué)得清松自如。

4、授課的過(guò)程中應(yīng)該環(huán)環(huán)相扣，一步步上，要講問(wèn)題分解，化大為小，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，降低難度，就像是上臺(tái)階，一個(gè)個(gè)的臺(tái)階上。

5、注重建模思想。雖然不必要提出來(lái)這個(gè)名詞，但是要讓學(xué)生能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，本節(jié)課的“將軍飲馬問(wèn)題”就是一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題，要讓學(xué)生轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。

第三篇：最短路徑教案

13.4最短路徑問(wèn)題

一、教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對(duì)稱研究某些最短路徑問(wèn)題，最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有連線中，垂線段最短”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究。

本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典故事----“將軍飲馬問(wèn)題”為載體開(kāi)展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”的問(wèn)題。

二、教學(xué)目標(biāo)

1、能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題

2、再談歲最短路徑的過(guò)程中，體會(huì)“軸對(duì)稱”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”問(wèn)題。難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題。

四、教學(xué)問(wèn)題診斷

最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是最值問(wèn)題，作為初中學(xué)生，在此前很少涉及最值問(wèn)題，解決這方面問(wèn)題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問(wèn)題，更會(huì)感到陌生，無(wú)從下手。

解答“當(dāng)點(diǎn)AB在直線l的同側(cè)時(shí)，如何在l上找到點(diǎn)C，使AC與BC的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，與直線l上的點(diǎn)的線段的和最小”的問(wèn)題，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化，怎樣通過(guò)軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會(huì)存在理解上和操作上的困難。

在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)（與所求做的點(diǎn)不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學(xué)生想不到。

教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，與直線l上的點(diǎn)的和最小”為學(xué)生搭建“腳手架”，在證明最短時(shí)，教師要適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)任意的作用。

五、教學(xué)過(guò)程

教師引語(yǔ)：現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常會(huì)有這樣的生活經(jīng)歷，比如學(xué)校雖然為我們鋪設(shè)了一些石板甬路，方便同學(xué)們的行走，但是很多時(shí)候我們卻并不在這些小路上行走，這樣做的目的是什么呢？（學(xué)生一起回答）如果用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解釋這種行為，那就是我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)的“兩點(diǎn)之間、線段最短”或“垂線段最短”，我們稱這樣的問(wèn)題為最短路徑問(wèn)題（板書(shū)課題）現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到最短路徑問(wèn)題，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要任務(wù)就是最短路徑問(wèn)題，并用所學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史上著名的“將軍飲馬問(wèn)題”。

1、情境引入

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫，有一天，有一位將軍專(zhuān)門(mén)拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地，到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”。

2、探究解決問(wèn)題的方法

問(wèn)題一：這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們首先把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思。

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后小組交換意見(jiàn)，然后嘗試回答，相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的回答寫(xiě)出問(wèn)題的板書(shū)：如圖，已知點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線L的同側(cè)，在直線L上找一點(diǎn)C，使AC與BC的和最小。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”。

問(wèn)題二：由上面的問(wèn)題我們可以聯(lián)想到下面的問(wèn)題：A、B分別是直線L異側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線L上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最小？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫(huà)圖分析并嘗試回答，教師補(bǔ)充。

問(wèn)題三：對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，如何將點(diǎn)B移到L的另一側(cè)，B′處，滿足直線L上的任一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？ 問(wèn)題四：你能利用軸對(duì)稱的知識(shí)找到符合條件的點(diǎn)B′嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立考，嘗試畫(huà)圖，然后小組交流，學(xué)生代表匯報(bào)交流成果，師生共同補(bǔ)充：只要作出點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′，就可以滿足CB=CB′,再利用問(wèn)題二中的方法，連接AB′,則AB′與直線L的交點(diǎn)即為所求。

學(xué)生敘述，教師板書(shū)并畫(huà)圖，同時(shí)學(xué)生在練習(xí)本上畫(huà)圖。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)搭建臺(tái)階，為學(xué)生探究問(wèn)題提供“腳手架”將同側(cè)難以解決的問(wèn)題提轉(zhuǎn)化為異側(cè)容易解決的問(wèn)題，滲透轉(zhuǎn)化思想。

3、推理證明“最短”

問(wèn)題五：你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？

師生活動(dòng)：師生共同分析，然后學(xué)生說(shuō)證明過(guò)程，教師板書(shū)。

證明：在直線L上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′,BC′,B′C′.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+ B′C=AB′, AC′+ BC′= AC′+ B′C′

在△AB′C′中，AB′＜AC′+ B′C′

∴AC+BC＜ AC′+ BC′ 即AC+BC最短。

問(wèn)題六：這里任取一點(diǎn)C′的作用是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生相互交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥，最后達(dá)成共識(shí)：若直線L上任取一點(diǎn)C′與A、B兩點(diǎn)的距離之和都大于AC+BC，則說(shuō)明AC+BC最短。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)做法的正確性，提高邏輯思維能力。

問(wèn)題七：回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？

師生共同總結(jié)：首先作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接另一點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)之間的線段，通過(guò)軸對(duì)稱將兩條線段和轉(zhuǎn)化到同一條線段上去，這條線段與直線的交點(diǎn)即為所求，整個(gè)過(guò)程利用了“軸對(duì)稱”和“兩點(diǎn)之間、線段最短“的知識(shí)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在反思的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

4、鞏固練習(xí)

（1）如圖，一艘旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再回到P處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑。

師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，并相互補(bǔ)充，然后獨(dú)立完成畫(huà)圖，學(xué)生代表上臺(tái)講解。基本思路分析：此題中輪船的行走路線共有三段，其中PQ是必經(jīng)路段，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”需首先連接PQ，再將河岸BC看成一條直線，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P、Q在直線BC同側(cè)，如何在BC上找一點(diǎn)R，使PR+QR最小”。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問(wèn)題的基本策略和基本方法。

（2）如圖，∠XOY內(nèi)有一點(diǎn)P，在射線OX上找出一點(diǎn)M，在射線OY上找出一點(diǎn)N，使PM+MN+NP最短．

分析：此題的出題背景就是角。本題主要利用了兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)通過(guò)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)確定三角形的另兩點(diǎn)．

分別以直線OX、OY為對(duì)稱軸，作點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1與P2，連接P1P2交OX于M，交OY于N，則PM+MN+NP最短．

5、課堂小結(jié)：教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答：（1）本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？（2）軸對(duì)稱在所研究的問(wèn)題中起到什么作用？

6、布置作業(yè)：《課時(shí)練》第49頁(yè)1、2、3、4、5、7、8、9

第四篇：最短路徑問(wèn)題（將軍飲馬問(wèn)題）教學(xué)設(shè)計(jì)

最短路徑問(wèn)題

——將軍飲馬問(wèn)題及延伸

最短路徑問(wèn)題

教學(xué)內(nèi)容解析：

本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對(duì)稱研究某些最短路徑問(wèn)題，最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移變換進(jìn)行研究。

本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典故事----“將軍飲馬問(wèn)題”為載體開(kāi)展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”的問(wèn)題。

教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：

1、能利用軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)題。

2、在解題過(guò)程能總結(jié)出解題方法，能進(jìn)行一定的延伸。

3、體會(huì)“軸對(duì)稱”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”問(wèn)題。

難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題。

學(xué)情分析：

1、八年級(jí)學(xué)生的觀察、操作、猜想能力較強(qiáng)，但演繹推理、歸納和運(yùn)用數(shù)學(xué)意識(shí)的思想比較薄弱，自主探究和合作學(xué)習(xí)能力也需要在課堂教學(xué)中進(jìn)一步引導(dǎo)。此年齡段的學(xué)生具有一定的探究精神和合作意識(shí)，能在一定的親身經(jīng)歷和體驗(yàn)中獲取一定的數(shù)學(xué)新知識(shí)，但在數(shù)學(xué)的說(shuō)理上還不規(guī)范，集合演繹推理能力有待加強(qiáng)。

2、學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)

“兩點(diǎn)之間，線段最短。”以及“垂線段最短”。以及剛剛學(xué)習(xí)的軸對(duì)稱和垂直平分線的性質(zhì)作為本節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ)。

教學(xué)條件分析:

在初次解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了多種方法，通過(guò)測(cè)量，發(fā)現(xiàn)利用軸對(duì)稱將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)求得的線段和比較短；進(jìn)而利用PPT動(dòng)畫(huà)演示，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)論的一般性；最后通過(guò)邏輯推理證明。

教具準(zhǔn)備：直尺、ppt

教學(xué)過(guò)程：

環(huán)

節(jié)

教師活動(dòng)

學(xué)生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖

一

復(fù)

習(xí)

引

入

1.【問(wèn)題】：看到圖片，回憶如何用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這個(gè)問(wèn)題？

2.這樣的問(wèn)題，我們稱為“最短路徑”問(wèn)題。

1、兩點(diǎn)之間，線段最短。

2、兩邊之和大于第三邊。

從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)入手，為進(jìn)一步豐富、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)做鋪墊。

二

探

究

新

知

1.探究一：

【故事引入】：唐朝詩(shī)人李頎在《古從軍行》中寫(xiě)道：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中就隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，古時(shí)候有位將軍，每天從軍營(yíng)回家，都要經(jīng)過(guò)一條筆直的小河。而將軍的馬每天要到河邊喝水，那么問(wèn)題來(lái)了，問(wèn)題：怎樣走才能使總路程最短呢？

認(rèn)真讀題，仔細(xì)思考。

將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”，把實(shí)際問(wèn)題抽象線段和最小問(wèn)題。

從異側(cè)問(wèn)題入手，由簡(jiǎn)到難，逐步深入。

二

探

究

新

知

2.探究二：

【變換情境】：后來(lái)將軍把家搬到了河的對(duì)面，若還是要帶馬先到河邊喝水，然后再回家，應(yīng)該怎樣走，才能使總路程最短呢？

（1）【轉(zhuǎn)化】：你能將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

（2）【展示】：

讓學(xué)生猜想，并畫(huà)出圖形。

巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生不同的作法（盡可能多），分別展示各小組的作法。

給予學(xué)生一定的提示。

（3）【度量】：如何才能判斷哪種猜想是正確的呢？（測(cè)量一下）在幾何畫(huà)板中分別度量出AC,BC的長(zhǎng)度，并計(jì)算AC+BC。讓學(xué)生觀察數(shù)值如何變化。并反思各自的作法是否正確。

【回答】：學(xué)生思考并回答，如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。

已知：直線L和同側(cè)兩點(diǎn)A、B

求作：直線L上一點(diǎn)C，使C滿足AC+BC的值最小。

【學(xué)生展示】：

作法1：

作法2：：

作法3：

【學(xué)生反思】：第1種作法是利用“垂線段最短”，得到AC最短，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，得到BC最短，但不能確定AC+BC是最短的。

第2種作法只能說(shuō)明在河l上取一點(diǎn)，到A、B兩地的距離相等，也就是AC＝BC。不能說(shuō)明AC+BC最短

第3種作法應(yīng)該是正確的。

學(xué)生主動(dòng)探索，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性。

展示多種方法，產(chǎn)生思維沖突，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的學(xué)習(xí)欲望。

二

探

究

新

知

3.解決問(wèn)題

【追問(wèn)】用第3種作法的同學(xué)，你們是怎樣想到作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)的？為什么要作對(duì)稱點(diǎn)？

如果做點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，就是把點(diǎn)B移到了另一側(cè)，而且滿足了BC＝BC’。其實(shí)直線L上所有點(diǎn)到B和B’的距離都相等。

也可是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，L就是線段BB’的垂直平分線，而垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

利用軸對(duì)稱將同側(cè)線段和最短轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和最短問(wèn)題。借助軸對(duì)稱，把折線轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)來(lái)求解。

讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)做法的正確性，提高邏輯思維能力。

讓學(xué)生在反思的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（4）【推理論證】：如何證明AC+BC最短呢？

【提示】：沒(méi)有比較就不會(huì)產(chǎn)生大小。通常我們要在直線上任另取一點(diǎn)C＇（與點(diǎn)C不重合），只要證明AC＇+BC＇〉A(chǔ)C+BC即可。

老師動(dòng)手操作，驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

（1）學(xué)生自主證明，教師糾錯(cuò)。

（2）師生共同分析，學(xué)生說(shuō)明證明過(guò)程，教師版書(shū)。

（3）共同完成證明過(guò)程。

認(rèn)真觀察，思考，要想確認(rèn)AC+BC最短，可以在直線l上任取一點(diǎn)C’（不與點(diǎn)C重合）

1.獨(dú)立糾錯(cuò)

2.兵教兵

讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)作法的正確性，提高邏輯思維能力。

通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示，從特殊到一般地驗(yàn)證了前面的結(jié)論。

三

發(fā)

散

思

維

除了作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)以外，還有沒(méi)有別的作法？

還可以作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)。

發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力。

四

得

出

結(jié)

論

【問(wèn)題】：我們是如何解決將軍飲馬問(wèn)題的？

先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。然后作其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)與直線的交點(diǎn)就是滿足最短距離的點(diǎn)的位置。

讓學(xué)生反思剛才的探究過(guò)程。培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，和及時(shí)總結(jié)所學(xué)的知識(shí)的好習(xí)慣。

五

變式鞏固

【問(wèn)題】：如圖，已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，使△PQR的周長(zhǎng)最短嗎？

在具體問(wèn)題中實(shí)踐已有模型，固化已有模型。為進(jìn)一步豐富、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)做鋪墊。

六

拓展提升

【問(wèn)題】：如圖,一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地

OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水，最后回到駐地A問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？

【問(wèn)題】：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線。

七

鞏

固

練

習(xí)

1.【題目】：如圖，已知：

MON內(nèi)兩點(diǎn)A、B.求作：點(diǎn)C和點(diǎn)D,使得點(diǎn)C在OM上，點(diǎn)D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。

2.【題目】：如圖，如圖，OMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上，試問(wèn)怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺(tái)邊OM、ON后，反彈擊中黑球？

習(xí)題難度，由易到難，逐步深入。讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問(wèn)題的基本策略和基本方法。

八

課

堂

小

結(jié)

1.【問(wèn)題】：本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？

當(dāng)我們遇到一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，首先，我們要將實(shí)際問(wèn)題變成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題（群答），也就是抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，這樣可以幫助我們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察，進(jìn)而運(yùn)用合情推理得到一個(gè)猜想，然后我們可以通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，驗(yàn)證猜想，從而得出結(jié)論，最后再將結(jié)論運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題里。

2.【問(wèn)題】：今天我們學(xué)習(xí)了最短路徑的相關(guān)問(wèn)題，我們應(yīng)該怎么樣找到它們的最短路徑呢？

先確定對(duì)稱軸，找出定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。然后連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)（連接各對(duì)稱點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)）。

我們要先將實(shí)際問(wèn)題變成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后觀察實(shí)驗(yàn)，提出猜想，之后通過(guò)證明，驗(yàn)證猜想，從而得出結(jié)論，最后再將結(jié)論運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題里。

如何求解

培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)在課題學(xué)習(xí)的基本思路。

九

課

后

拓

展

【問(wèn)題】：在矩形ABCD中，在邊和對(duì)角線AD、BD上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，BM+MN最短？

根據(jù)解題方法進(jìn)行深度拓展（難度大）

第五篇：13.4 將軍飲馬——最短路徑問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)（范文）

13.4 將軍飲馬——最短路徑問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

為了解決生產(chǎn)，經(jīng)營(yíng)中省時(shí)省力省錢(qián)而希望尋求最佳的解決方案而產(chǎn)生了最短路徑問(wèn)題.初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”，“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”，為理論基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究.本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)近平移、軸對(duì)稱等變換的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題——“將軍飲馬問(wèn)題”為載體進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，開(kāi)展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱、平移將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問(wèn)題.從中，讓學(xué)生借助所學(xué)知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決、驗(yàn)證問(wèn)題的全過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間，數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間及其他學(xué)科的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，它既是軸對(duì)稱、平移知識(shí)運(yùn)用的延續(xù)，又能培養(yǎng)學(xué)生自行探究，學(xué)會(huì)思考，在知識(shí)與能力轉(zhuǎn)化上起到橋梁作用。

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為： [教學(xué)重點(diǎn)] 利用軸對(duì)稱、平移等變換將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題.二、教學(xué)目標(biāo)解析

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，還要包括在啟迪思維、解決問(wèn)題、情感與態(tài)度等方面得到發(fā)展.因此，確定教學(xué)目標(biāo)如下：

[教學(xué)目標(biāo)] 能利用軸對(duì)稱、平移解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣和合作交流的意識(shí)，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體驗(yàn)自己探究出問(wèn)題的成就感.[目標(biāo)解析] 達(dá)線目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)”、“河”、“草地”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”、“線”，把最短路徑問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問(wèn)題，能利用軸對(duì)稱將處在直線同側(cè)的兩點(diǎn)，變?yōu)閮牲c(diǎn)處在直線的異側(cè)，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題，能通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短，在探索問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱、平移的作用，體會(huì)感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.三、學(xué)生學(xué)情診斷

八年級(jí)的學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)少，理解能力差，抽象思維水平較低，處于直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)型思維向邏輯思維的過(guò)渡階段，辯證思維還只是處在萌芽和初始的狀態(tài)上.最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是最值問(wèn)題，作為初中生，在此前很少涉及最值問(wèn)題，解決這方面問(wèn)題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值問(wèn)題，更會(huì)感到陌生，無(wú)從下手.解答：“當(dāng)點(diǎn)A、B在直線將其轉(zhuǎn)化為“直線的同側(cè)時(shí)，如何在上找點(diǎn)C，使AC與CB的和最小”，需要異側(cè)的兩點(diǎn)，與上的點(diǎn)的線段和最小”的問(wèn)題，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化，怎樣通過(guò)軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會(huì)存在理解和操作方面的困難.在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)，證明所連線段和大于或等于所求作的線段和.這種思路和方法，一些學(xué)生還想不到.在解答“使處在直線兩側(cè)的兩線段和最小”的問(wèn)題，需要把它們平移拼接在一起，一些學(xué)生想不到.教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線的異側(cè)的兩點(diǎn)，與

上的點(diǎn)的線段和最小”，給予學(xué)生啟發(fā)，在證明“最短”時(shí)，點(diǎn)撥學(xué)生要另選一個(gè)量，通過(guò)與求證的那個(gè)量進(jìn)行比較來(lái)證明，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)“任意”的作用，因此確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：

[教學(xué)難點(diǎn)] 如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題.四、教學(xué)策略分析

建構(gòu)主義理論的核心是“知識(shí)不是被動(dòng)接受的而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的.”

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和實(shí)際水平，教學(xué)上采用“引導(dǎo)——探究——發(fā)現(xiàn)——證明——?dú)w納總結(jié)”的教學(xué)模式，鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生、開(kāi)動(dòng)腦筋、大膽嘗試，在探究活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維與想象能力.教師的教法：突出解題方法的引導(dǎo)與啟發(fā)，注重思維習(xí)慣的培養(yǎng)，為學(xué)生搭建參與和交流的平臺(tái).通過(guò)對(duì)“將軍飲馬問(wèn)題”而改編與設(shè)計(jì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂趣味性,相同背景，不同問(wèn)題，由淺入深、層層遞進(jìn)，有利于學(xué)生分析與解決問(wèn)題，同時(shí)利用現(xiàn)代的信息技術(shù)，直觀地展示圖形的變化過(guò)程，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與激情.學(xué)生的學(xué)法：突出探究與發(fā)現(xiàn)，思考與歸納提升，在動(dòng)手探究、自主思考、互動(dòng)交流中，獲取知識(shí)與能力.五、教學(xué)基本流程

探索新知——運(yùn)用新知——拓展新知——提煉新知——課外思考

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）探索新知

1、建立模型

問(wèn)題1 唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊使他所走的路線全程最短？

追問(wèn)1，這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么呢？ 師生活動(dòng)：將A、B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河

抽象為一條直線

飲馬，然后到軍營(yíng)B地，到河邊什么地方飲馬可

追問(wèn)2，你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)的問(wèn)題嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生交流討論，回答并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：（1）行走的路線：從A地出發(fā)，到河邊

飲馬，然后到B地；

上的點(diǎn).設(shè)C為直線l（2）路線全程最短轉(zhuǎn)化為兩條線段和最短；

（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小

［設(shè)計(jì)意圖］從數(shù)學(xué)史上久負(fù)盛名的“將軍飲馬問(wèn)題”引入，增加學(xué)生們的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)，提高其人文思想.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析題意，畫(huà)出圖形.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題更有利于分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.2、解決問(wèn)題

問(wèn)題2如圖點(diǎn)A、B在直線的同側(cè)，點(diǎn)C位直線位置時(shí)，AC與CB的和最小？

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在的什么

師生活動(dòng)：讓學(xué)生獨(dú)立思考、畫(huà)圖分析，并展示

如果學(xué)生有困難，教師作如下提示：（1）如圖，如果軍營(yíng)B地在河對(duì)岸，點(diǎn)C在此受到什么啟發(fā)呢？ 的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？由

（2）如圖，如何將點(diǎn)B“移”到保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？ 的另一側(cè)B′處，且滿足直線

上的任意一點(diǎn)C，都

學(xué)生在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，完成作圖.［設(shè)計(jì)意圖］先通過(guò)學(xué)生對(duì)本題的思考嘗試，并展示，師生共同糾錯(cuò)，提高認(rèn)識(shí)與辯證思想，再通過(guò)老師的引導(dǎo)啟發(fā)明白解決這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將兩點(diǎn)在直線同側(cè)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)在直線異測(cè)的問(wèn)題，提高學(xué)生的空間想象能力與邏輯思維能力，讓學(xué)生在思考和解決問(wèn)題的過(guò)程中，提高甄別是非的能力，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.3、證明“最短”

問(wèn)題3，為什么這種作法是正確的呢？你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+CB最短嗎？

師生活動(dòng)：分組討論，教師引導(dǎo)點(diǎn)撥，結(jié)合多媒體的演示，師生共同完成證明過(guò)程.證明：如圖，在直線

上任取一點(diǎn)Cˊ.連接AC′、BC′、B′C′.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知： BC=B′C

BC′.=B′C′ ∴AC+BC=AC+B′C=AB′ AC′+BC′=AC′+B′C′ 當(dāng)C′與C不重合時(shí) AB′＜AC′+C′B′ ∴AC+BC＜AC′+C′B 當(dāng)C′與C重合時(shí) AC+BC=AC′+C′B 總之，AC+BC≤AC′+C′B 即AC+BC最短

［設(shè)計(jì)意圖］利用現(xiàn)代信息技術(shù)，通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)C′的位置，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)C′與C不重合時(shí)，AC+BC＜AC′+C′B，當(dāng)C′與C重合時(shí)，AC+BC=AC′+C′B.讓學(xué)生很容易知道AC+BC最短，消除了學(xué)生的疑慮，發(fā)揮了多媒體的作用，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)作法的正確性，提高了邏輯思維能力.4、小結(jié)新知

回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程，借助什么解決問(wèn)題的？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并相互補(bǔ)充.［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生在反思的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，明確解題的方法與策略，為后面進(jìn)一步的學(xué)習(xí)探究做準(zhǔn)備.（二）運(yùn)用新知

如圖，如果將軍從指揮部A地出發(fā)，先到河邊a某一處飲馬，再到草地邊b某一處牧馬，然后來(lái)到軍營(yíng)B地，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑.師生活動(dòng)：分組討論，教師點(diǎn)撥，點(diǎn)學(xué)生上臺(tái)操作演示，畫(huà)出最短路徑.［設(shè)計(jì)意圖］對(duì)前面所學(xué)的解題方法與思路得以鞏固，讓學(xué)生形成技能，進(jìn)一步體會(huì)感悟數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，點(diǎn)學(xué)生上臺(tái)操作演示，提高他們的學(xué)生興趣與實(shí)踐能力，體會(huì)成功的喜悅，激發(fā)他們進(jìn)一步探究問(wèn)題的欲望.（三）拓展新知

有一天，將軍突發(fā)奇想：如果從指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊a某處飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來(lái)到軍營(yíng)B地，到河邊什么地方飲馬可使所走的路線全程最短？

師生活動(dòng)：

1、老師首先解釋行走一定的路程的含義，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再提出如下問(wèn)題：

（1）要使所走的路線全程最短，實(shí)際上是使幾條線段之和最短？（2）怎樣將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問(wèn)題.2、分組討論，師生共同分析.3、完成作圖，體會(huì)作圖的步驟與分析問(wèn)題的思路的聯(lián)系與區(qū)別.［設(shè)計(jì)意圖］本題在“將軍飲馬問(wèn)題”的背景下進(jìn)行改編，有造橋選址問(wèn)題的影子，既增強(qiáng)了課堂教學(xué)的趣味性，又完成了教學(xué)任務(wù)，可謂一舉兩得..教學(xué)由問(wèn)題引領(lǐng)，老師引導(dǎo)，學(xué)生小組合作討論交流的方式，充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的作用完成分析與解答的過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)得輕松與愉悅，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、綜合與分析能力，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)作圖題的解題方法與策略.讓學(xué)生的能力得到進(jìn)一步鍛煉與提高.（四）提煉新知

師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

1、本節(jié)課研究問(wèn)題的過(guò)程是什么？

2、解決上述問(wèn)題運(yùn)用了什么知識(shí)？

3、在解決問(wèn)題的過(guò)程運(yùn)用了什么方法？

4、運(yùn)用上述方法的目的是什么？體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？

［設(shè)計(jì)意圖］引導(dǎo)學(xué)生把握研究問(wèn)題的策略、思路、方法的同時(shí)，并從運(yùn)用的知識(shí)、方法、思想方面進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課有一個(gè)更清晰、更系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)軸對(duì)稱、平移在解決最短路徑問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價(jià)值.（五）課外思考 將軍又提出一個(gè)問(wèn)題：

如圖，如果將軍從指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊a某處飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來(lái)到草地邊b某一處牧馬，最后來(lái)到軍營(yíng)B地，到河邊什么地方飲馬、草地邊何處牧馬可使所走的路線全程最短呢？

［設(shè)計(jì)意圖］通過(guò)一系列的“將軍飲馬問(wèn)題”的變式設(shè)計(jì)，由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，不但學(xué)習(xí)將軍這種喜歡動(dòng)腦，敢于提問(wèn)，勇于探索的求學(xué)精神，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，通過(guò)最后這一問(wèn)題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)有余力的學(xué)生解答，它不僅能鞏固知識(shí)，形成技能，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的求知欲望與勇于探究的精神.同時(shí)，也是由課內(nèi)向課外的一種延伸，預(yù)示著問(wèn)題并沒(méi)有終結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生具有終身學(xué)習(xí)的意識(shí)與創(chuàng)新精神！