13．4

課題學習

最短路徑問題

能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．

利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題．

探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說理．

一師一優(yōu)課　一課一名師(設(shè)計者：)

一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，走哪條路最近？你的理由是什么？

前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題”．

二、自主學習，指向目標

自學教材第85

頁至87

頁，思考下列問題：

1．求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求，其依據(jù)是兩點的所有連線中，線段最短．

2．求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．

3．在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇．

三、合作探究，達成目標

探索最短路徑問題

活動一：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l

飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？

追問1　這是一個實際問題，你打算首先做什么？答：將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l

抽象為一條直線．

追問2　你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？

答：(1)從A

地出發(fā)，到河邊l

飲馬，然后到B

地；

(2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B

連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A

地到飲馬地，再回到B

地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設(shè)C

為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點C

在l的什么位置時，AC

與CB的和最小(如圖)．問題2：如圖，點A，B

在直線l的同側(cè)，點C

是直線上的一個動點，當點C

在l的什么位置時，AC與CB的和最??？

追問1：對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點C，都保持CB

與CB′的長度相等？

追問2：你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？

展示點評：作法：

(1)作點B

關(guān)于直線l的對稱點B′；

(2)連接AB′，與直線l

交于點C.則點C

即為所求．

問題3　你能用所學的知識證明AC

＋BC最短嗎？

證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)知，BC

＝B′C，BC′＝B′C′.∴

AC

＋BC＝

AC

＋B′C

＝

AB′，AC′＋BC′＝

AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴

AC

＋BC＜AC′＋BC′.即

AC

＋BC

最短.小組討論：證明AC

＋BC

最短時，為什么要在直線l

上任取一點C′(與點C

不重合)，證明AC

＋BC

＜AC′＋BC′？這里的“C′”的作用是什么？

反思小結(jié)：運用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題．利用三角形的三邊關(guān)系，若直線l上任意一點(與點C

不重合)與A，B

兩點的距離和都大于AC

＋BC，就說明AC

＋BC

最小.C′的代表的是除點C以外直線l上的任意一點．

針對訓練：

1．如圖，A、B是河流

同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)要在河邊修一個抽水站向兩村供水，問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請在圖中表示出來．

答：如下圖，作點B關(guān)于l的對稱點B′，連接AB′交l于點P，點P即為所求．

2．如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC

上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．

答：作Q關(guān)于直線BC的對稱點Q′，連接PQ′交BC于R，∴旅游船線路：P—Q—R—P.選址造橋問題

活動二：(造橋選址問題)如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．)

展示點評：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．