第一篇：三角函數(shù)圖象變換教案

一、新課引入：

師：前面我們學習了正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)，請同學說出它的定義域、值域、奇偶性、周期及單調(diào)區(qū)間？

生：定義域：R，值域：[-1，1]，奇函數(shù)，單增區(qū)間：[]單減區(qū)間：[] 師：回答的很好，那么形如偶性、周期及單調(diào)區(qū)間又如何呢？

（一片茫然，沒有學生回答）

函數(shù)的定義域、值域、奇師：大家別著急，今天我們就要來學習它們的圖象和性質(zhì)，并通過它們的圖象和性質(zhì)進一步來探究它們的圖象與y=sinx圖象會有什么樣的關(guān)系．

二、動手實驗：

下面請大家用圖形計算器在同一坐標系分別輸入以下幾組三角函數(shù)的圖象，并觀察每一組圖象的定義域、值域、周期、單調(diào)區(qū)間及其再觀察每一組圖象相互之間的關(guān)系、特點，然后進行小組討論、交流．

第一組：

第二組：

第三組：

（教師巡視，同時指導學生注意輸入中經(jīng)常出現(xiàn)的幾個問題：窗口調(diào)節(jié)、弧度與度的單位轉(zhuǎn)換、及其如何利用在同一坐標系同時畫圖和利用功能鍵

進行追蹤和如何利用其它鍵進行的放大等等．）

三、師生交流：

師：從下列第一組圖1，你有什么體會？

圖1 師：的定義域、值域、周期分別是多少？

生：的定義域：x∈R，值域：y［－2，2］，周期：應該與y=sinx的一樣還是

師：不錯，那么呢？

生：的定義域x∈R，值域：y∈［－，］，周期：

師：很好，那么它們?nèi)咧g的圖象有什么關(guān)系呢？ 生：好象它們之間有一定的伸縮關(guān)系 師：能不能再說得具體一點嗎？

生：伸縮倍數(shù)是不是與2和有關(guān)呢？

師：大家探究和分析的很好，是不是這樣呢？不過別著急．下面請大家先看大屏幕幾何畫板的動畫演示

（老師心喜：他們能夠說出“伸縮”二字，而且發(fā)現(xiàn)與2和利用動畫演示有助于驗證他們的猜想）

有關(guān)，只是猜想不知是否正確，此時，圖2 演示1：拖動點C,請大家觀察圖象上D、E的運動，在橫坐標相同的條件下，縱坐標的變化，同時注意比值的變化．（對比y=sinx與y=2sinx）

圖3 演示2：拖動點B，觀察圖象y=sinx與y=Asinx圖象，當A發(fā)生變化時，點D、E的縱坐標的變化，同時注意比值的變化．（改變A的值，整體對比y=sinx與y=Asinx的關(guān)系）

進一步引導,觀察,啟發(fā)：

師：通過上述大家的實驗、和我剛才的幾何畫板演示，你又有什么體會？ 生： 函數(shù)y=1/2sinx的圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標縮短到原來的 倍而得(橫坐標不變)，函數(shù)y=2sinx圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標縮短到原來的2倍而得(橫坐標不變)師：太好了，回答完全正確．（演示進一步鞏固了他們的猜想）教師總結(jié)：

一般地，y=Asinx，(x∈RA>0且A?1)的圖象可以看作把正弦曲線y=sinx上的所有點的縱坐標伸長(A>1)或縮短(0 第二組：

師生交流：

師：和第一組一樣，你們有什么體會？

圖4 師：與的定義域、值域、周期分別是多少？

生：與的定義域：R,值域：[-1，1]，和y=sinx的都一樣，周期是多少看不出來，反正它們的周期顯然不一樣．

（學生從圖形計算器屏幕看到的的確如此，它們的周期明顯不一樣）師：是的，他們的圖象差別太大，但是可以看出一個周期較小，一個較大．（教師想通過周期的不一樣來突破周期變換）現(xiàn)在我給大家演示兩個動畫3．

圖5 演示1：拖動點A（A、B,它們分別在各自的圖象上）在縱坐標相同的條件下，觀察A、B的橫坐標的變化，以及的比值的變化．（對比y=sinx與y=2sinx的關(guān)系）

演示2：拖動點B, 改變W的值，再觀察上述的變化．（改變W的值，進一步觀察y=sinx與y=sinWx的圖象關(guān)系）

(該環(huán)節(jié)的演示要慢，要讓學生注意觀察比值的不變特點)

圖6 進一步引導, 觀察啟發(fā): 師：通過上述你的實驗、和幾何畫板的動畫演示，你又有什么體會？

生：函數(shù)y＝sin2x，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)而得到的 函數(shù)y＝sin原來的2倍(縱坐標不變)而得到，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標伸長到（的確難得，他們能發(fā)現(xiàn)影響周期的量是W了，這樣也為下一節(jié)課周期的教學作好準備）師：大家已經(jīng)能通過第一組的變換特點，類比的方式得到它們之間的關(guān)系，真的很不錯．那么誰能把y=sinωx圖象與y=sinx的圖象作比較，說出它們之間的關(guān)系嗎？

生：函數(shù)y=sinωx, x∈R(ω>0且ω?1)的圖象，可看作把y=sinx所有點的橫坐標縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標不變）

（鼓勵學生用自己的語言來歸納，總結(jié)）師：有進步． 總結(jié)：

一般地，函數(shù)y=sinωx, x∈R(ω>0且ω?1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標不變）．我們把這種變換簡稱為周期（或者伸縮）變換．

第三組：

圖7 師：它們的定義域、值域、周期分別是多少？以及它們的圖象關(guān)系又有如何關(guān)系？ 生：定義域：x∈R，值域：y ∈［-1，1］，周期：，圖象似乎與我們以前學過的具有平移關(guān)系．

（因為高一學習過一些簡單的平移，學生對平移的說法可以很快的提出）

師：回答的十分正確．那么大家再用功能鍵點？

追蹤，觀察它們的平移的方向和平移的單位有什么特（由于學生的圖形計算器的單位是幅度，追蹤的結(jié)果是一個數(shù)，不會帶有行換算，幾分鐘后）

師：請大家看我用幾何畫板的動畫演示4． 演示1：拖動點C,觀察變化．（觀察平移的單位）的單位，讓學生注意進演示2：拖動點B,改變B的值，觀察平移的方向．（讓學生去發(fā)現(xiàn)：從左邊移動(B>0)，從右邊移動（B<0）

圖8 引導,觀察,啟發(fā)：

師：通過上述實驗、和幾何畫板演示的結(jié)果你有什么體會？

生：函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線y=sinx上所有的點向左平行移動個單位長度而得到.函數(shù)y＝sin(x－單位長度而得到)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線y=sinx上所有點向右平行移動個師：太棒了，回答的十分正確． 教師總結(jié)：

一般地，函數(shù)y＝sin(x＋＞0時)或向右(當)，x∈R(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當＜0時＝平行移動｜｜個單位長度而得到(用平移法注意講清方向：“加左”“減右”)，我們把這一變換稱為平移變換

四、運用反思：

1、下列變換中，正確的是

A 將y＝sin2x圖象上的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)即可得到y(tǒng)＝sinx的圖象

B 將y＝sin2x圖象上的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變)即可得到y(tǒng)＝sinx的圖象

C 將y＝－sin2x圖象上的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),即得到y(tǒng)＝sinx的圖象

D 將y＝－3sin2x圖象上的橫坐標縮小一倍，縱坐標擴大到原來的＝sinx的圖象

答案：A

倍，且變?yōu)橄喾磾?shù)，即得到y(tǒng)（可以讓學生使用機器來驗證自己的回答是否正確，尤其是C和D的回答）

2．師：大家可以選擇變換路徑

（由于前面都是單一的變換，可以提示學生先選擇變換路徑）

生： 即把y=sinx圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，再把得到的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的1/2，然后把圖象上的所有點向右移動個單位． 師：有不同意見嗎？ 生：是的，基本就是這樣．

師：從一定是向右平移個單位嗎？

生：是啊

（全體學生感到納悶，老師為什么這樣問呢．）

師：好吧，請大家用計算器實驗，看看他說的是否正確？ 生：我輸入圖象看，平移的數(shù)據(jù)似乎不對，到底是多少呢？

（由于學生的圖形計算器的單位是幅度，追蹤的結(jié)果是一個數(shù)，不會帶有 的單位，可以讓學生進行換算來回答，但是幾何畫板可以動態(tài)變化和計算）

師：請大家再看我的演示：拖動點A,觀察點A、C橫坐標的變化．（觀察它們距離的單位刻度是多少．）

圖9 生：我知道了，應該是向右平移，而不是 師：不錯應該是應該是向右平移，這是我們經(jīng)常會犯的錯誤，一般地，函數(shù)的平移是指變量的變化量，所以要把函數(shù)化為從中可以看出，所以應該是向右平移

（這時學生在做次類題目，經(jīng)常容易犯的錯誤，應引起足夠的重視）

五、小結(jié)與思考：

今天我們學習了三種三角函數(shù)：形如圖象是由y=sinx的圖象怎么變換得到，我們分別把三種變換分別稱為振幅變換、伸縮變換、平移變換．

思考：

上述三種三角變換適應于三角函數(shù)的圖象外，是否也適應于一般函數(shù)的圖象的變換嗎？請同學們下去通過今天學習的方法用圖形計算器探索、思考下列幾組函數(shù)圖象的關(guān)系

1、與2、3、（讓學生下去動手實踐，、探索和驗證，也為后期函數(shù)圖象變換的學習作準備）

六、作業(yè)：

七、教學反思：

1、本節(jié)課是以學生探索為主，教師點撥、啟發(fā)、引導和利用幾何畫板的演示為輔．通過TI-92PLS圖形計算器進行教學學習和探究活動，獲得TI計算器正弦波函數(shù)性質(zhì)等數(shù)學問題的體驗；認識現(xiàn)代信息技術(shù)對學習數(shù)學知識和探究數(shù)學問題的價值．借助已知知識提出問題，體現(xiàn)教師為主導，學生為主體的原則，整個教學過程為：提出問題

探索

解決問題

運用反思

提高．

2、以前該部分內(nèi)容的教學通常是通過取值、列表、描點、畫圖然后靜態(tài)的讓學生觀察、總結(jié)，最后得出它們之間圖象變化的特點，如下圖所示．

（振幅變換）

（周期變換）

（平移變換）

不僅教學內(nèi)容少，而且課時需要多（以前至少需要2課時）、課堂氣氛枯燥、學生參與的活動少、學習的積極性較低．通過信息技術(shù)的使用，改變常規(guī)教學中處理方式，利用圖形計算器讓學生實驗、觀察、體會和交流，然后再通過幾何畫板的輔助教學演示，使得振幅變換、伸縮變換、平移變換變得形象、直觀，學生易于理解和掌握，不僅一節(jié)課完成了三種變換而且學生的興趣濃厚、參與活動多、課堂氣氛活躍，使課堂教學落到了實處，主體作用得到了真正的體現(xiàn)，綜合能力和素質(zhì)也得到了培養(yǎng)，這充分體現(xiàn)了信息技術(shù)具有的優(yōu)勢．

3、但值得商榷的是：原來教學的“五點作圖法”繪制函數(shù)圖象，再討論參數(shù)所起的作用，這里用技術(shù)馬上就畫出函數(shù)圖象，并觀察規(guī)律得出結(jié)論，所以“五點作圖法”在技術(shù)面前如何處理會更好．

第二篇：三角函數(shù)變換公式

兩角和公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ –cosαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cot(α+β)=(cotαcotβ-1)/(cotβ+cotα)cot(α-β)=(cotαcotβ+1)/(cotβ-cotα)和差化積

sinα+sinβ= 2sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]sinα-sinβ= 2cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]tanα+tanβ=sin(α+β)/cosαcosβ

=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

tanα-tanβ=sin(α-β)/cosαcosβ

=tan(α-β)/(1+tanαtanβ)

積化和差

sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 銳角三角函數(shù)公式

正弦：sin α=∠α的對邊/∠α 的斜邊余弦：cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊正切：tan α=∠α的對邊/∠α的鄰邊余切：cot α=∠α的鄰邊/∠α的對邊 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

tanα= sinα/ cosα ；cotα= cosα/ sinα；secα＝1 /cosα ；cscα＝1/ sinα； 倒數(shù)關(guān)系:

tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的關(guān)系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方關(guān)系：

sin2(α)＋cos2(α)＝11＋tan2(α)＝sec2(α)1＋cot2(α)＝csc2(α)二倍角公式：

正弦sin2α=2sinαcosα

余弦cos2a=cos2(a)-sin2(a)=2Cos2(a)-1

=1-2Sin2(a)

正切tan2α=（2tanα）/（1-tan2(α)）

半角公式

tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)cot(α/2)=sinα/(1-cosα)=(1+cosα)/sinα.sin2(α/2)=(1-cos(α))/2cos2(α/2)=(1+cos(α))/2誘導公式

sin(-α)=-sinαcos(-α)= cosαtan(-α)=-tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαsin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)= sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα 誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限 萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))2]

cosα=[1-(tan(α/2))2]/[1+(tan(α/2))2]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))2]三倍角公式

sin3θ= 3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ sin3θ=(3sinθ-sin3θ)/4 cos3θ=(3cosθ+cos3θ)/4 一個特殊公式（sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=sin（α+β）*sin（α-β）證明：（sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2] *2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]=sin（α+β）*sin（α-β）其它公式

(1)(sinα)2+(cosα)2=1(2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2

(4)對于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC(8)sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC

第三篇：高考數(shù)學難點歸納15 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案

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難點15 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點，在復習時要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來.本節(jié)主要幫助考生掌握圖象和性質(zhì)并會靈活運用.●難點磁場

(★★★★)已知α、β為銳角，且x(α+β－＜2對一切非零實數(shù)都成立.●案例探究

［例1］設(shè)z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范圍.命題意圖：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分析問題的能力和等價轉(zhuǎn)化思想的運用，屬★★★★★級題目.知識依托：主要依據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題來解決.錯解分析：考生不易運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法來解決問題.技巧與方法：對于解法一，主要運用消參和分離變量的方法把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題；對于解法二，主要運用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.解法一：∵z1=2z2，?m?2cos?∴m+(2－m)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴? 22?m?2??2sin??

2?2)＞0,試證不等式f(x)=(cos?sin?)?(xcos?sin?)x∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－當sinθ=1414)2－

98.時λ取最小值－

98，當sinθ=－1時，λ取最大值2.?m?2cos?解法二：∵z1=2z2

∴? 22?m?2??2sin??m?cos???2?∴?, 2?sin??2?m?2??2?∴m42?(2?m?2?)422=1.∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,設(shè)t=m2,則0≤t≤4，???0?3?4???4?0?22令f(t)=t－(3－4λ)t+4λ－8λ,則?或f(0)·f(4)≤0 2?f(0)?0???f(4)?0京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網(wǎng) http://www.tmdps.cn/ ?????∴?????????549834或0???2 ????2或??0∴－98≤λ≤0或0≤λ≤2.98∴λ的取值范圍是［－，2］.［例2］如右圖，一滑雪運動員自h=50m高處A點滑至O點，由于運動員的技巧(不計阻力)，在O點保持速率v0不為，并以傾角θ起跳，落至B點，令OB=L，試問，α=30°時，L的最大值為多少？當L取最大值時，θ為多大？ 命題意圖：本題是一道綜合性題目，主要考查考生運用數(shù)學知識來解決物理問題的能力.屬★★★★★級題目.知識依托：主要依據(jù)三角函數(shù)知識來解決實際問題.錯解分析：考生不易運用所學的數(shù)學知識來解決物理問題，知識的遷移能力不夠靈活.技巧與方法：首先運用物理學知識得出目標函數(shù)，其次運用三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決實際問題.解：由已知條件列出從O點飛出后的運動方程：

?S?Lcos??v0tcos???12 ??h??Lsin??v04sin??gt2?① ②

?Lsin?t?12gt.由①②整理得：v0cosθ=14Lcos?t,v0sin??14Lt2∴v0+gLsinα=2gt+22

Lt22≥2gt?222=gL

12運動員從A點滑至O點，機械守恒有:mgh=

v02mv02, ∴v0=2gh,∴L≤2g(1?sin?)142?2ghg(1?sin?)2=200(m)即Lmax=200(m),又gt=

S?ht2?Lt22.∴t?2Lg,S?Lcos??v0tcos??2gh2Lg?cos?

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值為200米，當L最大時，起跳仰角為30°.［例3］如下圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求這段時間的最大溫差.京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網(wǎng) http://www.tmdps.cn/(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.命題意圖：本題以應用題的形式考查備考中的熱點題型，要求考生把所學的三角函數(shù)知識與實際問題結(jié)合起來分析、思考，充分體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則.屬★★★★級題目.知識依托：依據(jù)圖象正確寫出解析式.錯解分析：不易準確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個特定系數(shù)和字母.技巧與方法：數(shù)形結(jié)合的思想，以及運用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式.解：(1)由圖示，這段時間的最大溫差是30－10=20(℃)；

(2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象.∴

1112??=14－6,解得ω=,由圖示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，這時?222?8y=10sin(34?8x+φ)+20,將x=6,y=10代入上式可取φ=

34π.綜上所求的解析式為y=10sin（?8x+ π)+20,x∈［6,14］.●錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決的方法主要有： 1.考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運用.2.三角函數(shù)與其他知識相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.3.三角函數(shù)與實際問題的綜合應用.此類題目要求考生具有較強的知識遷移能力和數(shù)學建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)函數(shù)y=－x·cosx的部分圖象是（）

2.(★★★★)函數(shù)f(x)=cos2x+sin(A.非奇非偶函數(shù)

?2+x)是（）

B.僅有最小值的奇函數(shù)

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高考網(wǎng) http://www.tmdps.cn/ C.僅有最大值的偶函數(shù)

二、填空題

3.(★★★★)函數(shù)f(x)=（1D.既有最大值又有最小值的偶函數(shù))｜cosx｜在［－π，π］上的單調(diào)減區(qū)間為_________.??4.(★★★★★)設(shè)ω＞0，若函數(shù)f(x)=2sinωx在［－范圍是_________.］上單調(diào)遞增，則ω的取值,，3

4三、解答題

5.(★★★★)設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不論α、β為何實數(shù)恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.(1)求證：b+c=－1；(2)求證c≥3；

(3)若函數(shù)f(sinα)的最大值為8，求b，c的值.6.(★★★★★)用一塊長為a，寬為b(a＞b)的矩形木板，在二面角為α的墻角處圍出一個直三棱柱的谷倉，試問應怎樣圍才能使谷倉的容積最大？并求出谷倉容積的最大值.7.(★★★★★)有一塊半徑為R，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了獲取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上，然后作其最大內(nèi)接矩形，試問：工人師傅是怎樣選擇矩形的四點的？并求出最大面積值.8.(★★★★)設(shè)－?6≤x≤

?4，求函數(shù)y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.589.(★★★★★)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+

a－

32在閉區(qū)間［0，?2］上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，試說明理由.參考答案

難點磁場

證明：若x＞0，則α+β＞∴0＜sin(cosαsin??2?2∵α、β為銳角，∴0＜

?2－α＜β＜

?2;0＜

?2－β＜

?2,?2－α)＜sinβ.0＜sin(cos?sin?－β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜

?2＜1,0＜＜1,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜?2,∵α、β為銳角，0＜β＜α,0＜sinα＜sin(?2－α＜

?2,0＜α＜

?2－β＜

cos?sin??2,0＜sinβ＜sin（cos?sin??2－α),∴sinβ＜cos－β),∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1, ∵f(x)在(－∞,0）上單調(diào)遞增，∴f(x)＜f(0)=2,∴結(jié)論成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：函數(shù)y=－xcosx是奇函數(shù)，圖象不可能是A和C，又當x∈(0, y＜0.答案：D 2.解析：f(x)=cos2x+sin（?2

2?2)時，+x)=2cosx－1+cosx

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高考網(wǎng) http://www.tmdps.cn/ =2［(cosx+答案：D 122)?218］－1.二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的單調(diào)遞增區(qū)間是［－f(x)依｜cosx｜取值的遞增而遞減,故［－4.解：由－?2?2?2,0］及［

?2,π］.而,0］及［

?2,π］為f(x)的遞減區(qū)間.?2?≤ωx≤

?2，得f(x)的遞增區(qū)間為［－,?2?］，由題設(shè)得

???????????33?2?3[?,]?[?,],?? 解得:??,?0???.342?2?22??????2?

4三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.從而知f(1)=0∴b+c+1=0.(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因為b+c=－1,∴c≥3.(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－

1?c21?c2)2+c－(())，2當sinα=－1時，［f(sinα)］max=8,由??1?b?c?8?1?b?c?0解得b=－4,c=3.6.解：如圖，設(shè)矩形木板的長邊AB著地，并設(shè)OA=x，OB=y，則a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤

a22(1?cos?)absin?2(當且僅當x=y時取“=”號)，故此時谷倉的容積的最大值V1=（12xysinα)b=

144(1?cos?)?14abcos2?2.同理，若木板短邊著地時，谷倉的容積V的最大值V2=∵a＞b,∴V1＞V2

ab2cos

?2, 從而當木板的長邊著地，并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時，谷倉的容積最大，其最大值為14abcos2

?2.7.解：如下圖，扇形AOB的內(nèi)接矩形是MNPQ，連OP，則OP=R，設(shè)∠AOP=θ，則

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2最大且最大值為R2.工人師傅是這樣選點的，記扇形為AOB，以扇形一半徑OA為一邊，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P為邊與扇形弧的交點，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，則矩形MNPQ為面積最大的矩形，面積最大值為8.解：∵在［－

2?12R2.??,］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函數(shù)可化為y= 64??64log2(1－sin2x)=log2cos2x，又cosx＞0在［－,x∈［ －??2≤cosx≤1.,］上，264］上恒成立，∴原函數(shù)即是y=2log2cosx,在∴l(xiāng)og2ymin=－1.22≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－

??,］上，ymax=0, 649.解:y?1?cosx?acosx?當0?x?若a2?2時,0?cosx?1.258a?32??(cosx?a2)?2a24?58a?12.?1時,即a?2,則當cosx?1時,ymax?a?2013a232?2(舍去),a258a?32?1?a?若0??a?若a2

時,ymax?a2?1,即0?a?2,則當cosx?或a??4?0(舍去).4?58a?12?1?0,即a?0,則當cosx?0時,ymax?58a?12?1?a?125?(舍去).綜合上述知，存在a?32符合題設(shè).京翰教育http://www.tmdps.cn/

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第四篇：三角函數(shù)·正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象·教案解讀

三角函數(shù)·正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象·教案

教學目標

1．掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法．

2．通過學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．

教學重點與難點

五點法畫正弦函數(shù)的圖象． 教學過程設(shè)計

一、復習準備

為了學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法，首先復習以前所學的相關(guān)知識．1．復習學過的函數(shù)．

（1）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）．它的圖象為直線，如圖1．

（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）．它的圖象是拋物線．如圖2．

（3）冪函數(shù)y=xα，α≠0，其圖象為下表．

（4）指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1），其圖象如圖3．

（5）對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1），其圖象如圖4．

2．復習圖象變換知識．（1）平移變換

（2）對稱變換

3．復習相關(guān)的誘導公式．

sin（α+2π）=sinα，cos（α+2π）=cosα

sin（x+π）=-sin x cos（x+π）=-cos x 以上基礎(chǔ)知識的復習為下面的新課教學做好了準備工作．

二、新課講授

1．正弦函數(shù)圖象的畫法．

（1）（板書）畫出y=sinx，x∈［0，2π］的圖象．

師：畫函數(shù)圖象的步驟是：第一步列表；第二步，根據(jù)表中每組x，y的取值逐一在直角坐標系下找到相應的點；第三步，用平滑曲線將所描各點連接．

此題函數(shù)定義域為［0，2π］，所以表中自變量x可選擇此范圍

成列表．

（在完成此表時，當x∈［π，2π）時，也可使用誘導公式sin（π+α）=-sinα來計算．）

根據(jù)此表在直角坐標系下描出相應的點．再用平滑曲線連接．如圖5．

在這里應該提醒學生注意以下兩點：

（i）在建立直角坐標系時，x軸的刻度應以π為單位長取值，而y

由此可見，這種描點法是對函數(shù)值取近似值后畫的函數(shù)圖象，不是準確圖象．這種畫法也叫代數(shù)描點法．

（2）（板書）畫出y=sinx的圖象． 請學生比較（1）與（2）兩個小題：

生：這兩個題的定義域不同．第（1）題定義域為［0，2π］，第（2）題的定義域為R．

師：這一點非常重要，在函數(shù)三要素（即定義域，對應法則，值域）中，定義域是基礎(chǔ)，是函數(shù)的決定因素之一．定義域不同，函數(shù)不同，函數(shù)圖象也不同．但有區(qū)別也有聯(lián)系．這種聯(lián)系對函數(shù)圖象的畫法有什么影響呢？

學生：［0，2π］是R的真子集．所以第（2）題當x∈［0，2π］時的函數(shù)圖象就是第一題的結(jié)果．所以面臨的新問題實質(zhì)上只需考慮x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）時的函數(shù)圖象即可．

師：對x∈（-∝，0）∪（2π，+∝）的函數(shù)圖象的思考可以分為x∈（2π，+∝）和x∈（-∝，0）兩部分．因為sin（x+2π）=sinx，所以x∈（2π，+∝）時，sinx=sin（x-2π），即y=sinx，x∈［2π，4π］的圖象是把y=sinx，x∈［0，2π］的圖象右移2π個單位長，y=sinx，x∈［4π，6π］的圖象是y=sinx，x∈［2π，4π］右移2π個單位長的結(jié)果……依此類推下去，就可得到y(tǒng)=sinx（x≥0）時的函數(shù)圖象．下面只需考慮x＜0時y=sinx的圖象．（請學生思考．）生：由于sin（-x）=-sinx，所以x≤0時，y=sinx的圖象是y=sinx（x≥0）的圖象關(guān)于原點中心對稱的結(jié)果，它的理論根據(jù)是函數(shù)y=f（x）與y=-f（-x）之間圖象變換的特點．

師：這樣我們就得到了y=sinx，x∈R時的完整的圖象．（板書）

由此可見，畫出y=sinx的圖象關(guān)鍵是首先要畫出y=sinx在［0，2π］內(nèi)的圖象．而y=sinx在［0，2π］的圖象有這樣五個點很重要：

分別是函數(shù)圖象的最高、最低點．所以這五個點是確定y=sinx圖象的基本點．

因此，代數(shù)描點法也可簡稱為“五點法”，以后再畫y=sinx圖象時，就可直接使用五點法了．

（板書）

（“五點法”作圖往往是在精度要求不太高時的作函數(shù)簡圖的方法．）下面再學習一種函數(shù)圖象的畫法——幾何描點法． 請學生閱讀課本P167，從第7行開始，邊閱讀邊講解．

師：幾何描點法是利用單位圓中的三角函數(shù)線來作圖．先建立一個直角坐標系，在x負半軸上取一點O1，以O(shè)1為心

每取到一個角的終邊位置都將正弦線平移至右側(cè)坐標系的相應位置后，就可得到正弦函數(shù)圖象上的點．（如圖8）

用平滑曲線將各正弦線的端點連結(jié)．便可得正弦函數(shù)圖象．（如圖9）

師：比較代數(shù)描點法與幾何描點法的區(qū)別在于：代數(shù)描點法所取的各點的縱坐標都是近似值，不能描出對應點的精確位置，因此作出的圖象不夠準確；而幾何描點法作圖準確，但真正畫圖卻較難實現(xiàn)．

2．余弦函數(shù)圖象的畫法．

師：正弦函數(shù)圖象是我們遇到的第一個三角函數(shù)圖象．所以對它的畫法的研究需從最基本的描點法開始．而余弦函數(shù)圖象是繼正弦函數(shù)圖象之后的第二個函數(shù)圖象，對它的畫法的研究可以借鑒正弦函數(shù)圖象的畫法．

方法1：代數(shù)描點法．（可由學生完成）

列表后描點，用平滑曲線相連得到y(tǒng)=cosx，x∈［0，2π］的圖象．

再根據(jù)cosx=cos（x-2π），cos（-x）=cosx可得到完整的y=cosx的圖象． 當精確度要求不很高時，也可用“五點法”畫出y=cosx的簡圖．五

π，1），其中（0，1），（2π，1）為最高點，（π，-1）為最

方法2：幾何描點法．基本思路同正弦函數(shù)圖象． 方法3：平移變換法．

其中方法3表明了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象之間的關(guān)系． 3．課堂練習． 畫出下列函數(shù)的圖象．（1）y=2sinx（3）y=sinx+1 解答過程如下：

（1）y=2sinx．先用“五點法”畫出y=sinx圖象，再縱向伸至2倍．（2）y=-cos是把y=cosx圖象作關(guān)于x軸的對稱變換．（3）y=sinx+1的圖象可將y=sinx圖象向上平移1個單位．

（2）y=-cosx

（4）y=sinx+cosx，x∈［0，2π］

師：此題y=sinx+cosx是否還有其它作法？

4．課堂小結(jié)．

這節(jié)課學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法．除了它們共同的代數(shù)描點法、幾何描點法之外，余弦函數(shù)圖象還可由平移交換法得出．

這節(jié)課講授的“五點法”是比較常用的方法，應重點掌握．

通過學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法，學生應學會遇到新問題時善于調(diào)動所學過的知識，較好地運用新舊知識之間的聯(lián)系，才能提高分析問題、解決問題的能力．

作業(yè)：課本P169練習．P177練習第1～7題． 課堂教學設(shè)計說明

這節(jié)課的教學設(shè)計可概括為： 1．復習相關(guān)知識．（1）以前學過的函數(shù)；（2）圖象變換知識；（3）誘導公式． 2．新課．

（1）正弦函數(shù)圖象（代數(shù)描點法、幾何描點法）；（2）余弦函數(shù)圖象（代數(shù)描點法、幾何描點法、平移交換法）．

重點突出“五點法”． 3．小結(jié)．

這節(jié)課涉及到過去所學的知識較多，可利用這個機會對它們加以鞏固復習．也可采用啟發(fā)式教學，引導學生思考要解決的正弦函數(shù)圖象的畫法．先回顧我們以前所學到函數(shù)圖象是如何得到的，引出描點法，而正弦函數(shù)是建立在角到角的正弦值之間的對應關(guān)系上，所以要解決y=sinx，x∈R時的圖象可先從y=sinx，x∈［0，2π］的圖象研究起，即遵從從特殊到一般的認識規(guī)律，由y=sinx，x∈［0，2π］的圖象，再根據(jù)sin（x+2π）=sinx得到y(tǒng)=sinx（x≥0）時的圖象，體現(xiàn)了知識間的聯(lián)系．而后得到的y=sinx，x∈R圖象，是借用對稱變換的知識．使學生看到一個新問題的解決并不是深不可測，關(guān)鍵在于我們能否較好地恰當?shù)卣{(diào)動學過的舊知識．這種對知識的調(diào)動、遷移能力是需要學生在學習的過程中不斷領(lǐng)悟、不斷實踐、不斷提高的．在調(diào)動、遷移的過程中需要學生分析新舊知識的聯(lián)系，利用舊知識解決新問題．

而余弦函數(shù)圖象的畫法的解決可以以y=sinx的圖象為起點，利用

得到．這是利用舊知識解決新問題的又一很好的例證．

另外，這節(jié)課講述了代數(shù)描點法，幾何描點，它們都是通過描點得到函數(shù)圖象．但又有所區(qū)別，這點應讓學生給予注意．在解決數(shù)學問題時，既要有代數(shù)思想又要有幾何思想，這種意識應在教學過程中加以培養(yǎng)．

本節(jié)課講授了兩個三角函數(shù)圖象的畫法．這兩個圖象不妨可以按如下方法加以比較：

同一個內(nèi)容采用不同的方法加以比較，從不同角度去認識，一定可以幫助學生加深對知識的認識程度，培養(yǎng)靈活的思維方式．

本節(jié)課最后出了四個練習題，都是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與圖象變換知識的綜合題．既是為了鞏固本節(jié)課的知識，使學生能較熟練地畫出y=sinx，y=cosx圖象，強化了“五點法”畫圖，又為后續(xù)課程講正弦型曲線打下了基礎(chǔ)．從開始畫y=sinx，x∈［0，2π］的圖象，到畫出y=sinx，x∈R圖象，再到這四個練習題，體現(xiàn)了從特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律．在這種螺旋式上升的過程中，學生不僅學到了本節(jié)課的知識，而且還提高了思維水平和認知能力．

這節(jié)課圖形多，涉及的知識點多，尤其在復習時，學生對一次函數(shù)、二次函數(shù)掌握得較熟練，對指數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)可能記憶得不很準確，既然遇到了還是應該幫學生復習一下．為了節(jié)省時間，可課前寫成投影片的形式． 對于函數(shù)圖象的幾何描點法，學生能理解，可不必在此耽誤時間．“五點法”應是重點掌握的．

對于余弦函數(shù)圖象的畫法，基礎(chǔ)好的學生可以直接用“五點法”畫出y=cosx，x∈［0，2π］的圖象，再利用cosx=cos（x-2π）和cosx=cos（-x）的性質(zhì)得到出y=cosx，x∈R的圖象．對于基礎(chǔ)較差的學生最好是從基本的列表描點開始慢慢來，不要急于求成．

這節(jié)課所畫的圖象很多，能迅速準確地畫出函數(shù)圖象對初學者來說是一個較高的要求．通過畫圖可以培養(yǎng)學生的動手能力、模仿能力．開始時要慢些，尤其是“五點法”，每個點都要能準確找到，然后迅速畫出圖象．

最后，應向?qū)W生介紹今后在物理課上還要學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的應用．提醒學生注意各學科相關(guān)知識間的聯(lián)系．

第五篇：三角函數(shù)圖像變換聽課感受（范文模版）

聽了羅強老師關(guān)于《正弦函數(shù)的圖像變換》一課的說課，讓我受益匪淺，整節(jié)課聽下來總體感覺是羅強老師這節(jié)課能根據(jù)教材的內(nèi)容、課標的要求和學生的學情了解透徹，對課堂教學設(shè)計的也很好，體現(xiàn)了教育教學改革的新理念。三角函數(shù)在中學數(shù)學所占的分量是很重的，學好這部分內(nèi)容對學生來說相當重要。羅強老師充分結(jié)合了人教版與蘇教版的長處，合理安排課程內(nèi)容，結(jié)構(gòu)嚴謹，重難點突出，特別注重啟發(fā)引導，突出學生的主體性地位，引導學生進行主動探究，并針對學生在學習過程中可能出現(xiàn)的問題，還有課堂上時間限制等問題給出了理想的處理方案。具體來說，羅強老師的課有如下特點：

1.教學定位非常準，羅強老師對課標的解讀、教材的分析有自己獨到的見解，教學設(shè)計中教學目標、教學重難點把握到位，把握住參數(shù)φ、ω、A變化時對函數(shù)圖象形狀和位置的影響這一既是重點又是難點的內(nèi)容，特別是變φ與變ω順序不同是所引起的平移量的不同的處理思想，引導學生進行自主探究，通過“五點法作圖”這一基礎(chǔ)深入理解參數(shù)φ、ω、A變化時對函數(shù)圖象形狀和位置的影響，抓住教學的關(guān)鍵點，有效的突出了教學重點、突破了教學難點。

2.課堂利用的有效性，由于課堂學生的探究需要作圖，羅強老師在課前便準備好了相應的紙質(zhì)卡發(fā)放給學生，這不僅可以讓學生更好的利用課堂時間自主探究，更節(jié)約課堂時間。

3.課堂駕馭能力強徐老師上課教態(tài)自然，語言語調(diào)好，板書清楚有條理，個人基本功非常扎實，能與學生進行有效溝通，而且舍得把時間給學生去板演作圖、去交流思考思路、去講解解決問題過程，善于啟發(fā)調(diào)動學生學習的主動性，有較強的駕馭課堂的能力。這節(jié)課也讓我感受到徐老師一貫的教學風格，每一個探究問題呈現(xiàn)出來之后都讓學生經(jīng)歷觀察、思考、交流、探討的過程，最后教師點評，及時簡單中肯定的評價，給予了學生莫大的鼓勵，較好的發(fā)揮了教師的主導作用。讓我特別敬佩的是徐老師敢于讓學生犯錯，讓學生經(jīng)歷獨立思考、自主探究的過程，然后通過對學生錯誤的分析引導學生走出理解誤區(qū)，從而實現(xiàn)教學目標的達成。在這里我還想順便提一下，徐老師的敬業(yè)精神。作為我的指導老師，徐老師對我如何分析教材、如何備課、上課，如何帶班等教育教學工作的指導讓我的教學基本功有了很大的提升，更讓我受益的是徐老師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、勤勉的工作態(tài)度對我的激勵和影響。