第一篇：數(shù)列復(fù)習(xí)教案(例題加模擬題)1

數(shù)列

一.知識結(jié)構(gòu)

數(shù)列與自然數(shù) 通項公式 集的關(guān)系 遞推公式 數(shù)列的 定義 定義 等差數(shù)列 通項公式 等比數(shù)列 前n項和公式 數(shù)學(xué)歸納法

二.重點、難點：

重點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式的應(yīng)用

難點：用上述知識與等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)解決一些綜合性應(yīng)用問題

【典型例題】

例1.根據(jù)數(shù)列的前n項，寫出數(shù)列的一個通項公式

(1)1，2，4，2，??

1592712??

(3)a，b，a，b，??

(2)，，(4)1，3，6，10……

(5)1，11，111，1111，……

解：(1)a1?320，a2?321，a3?322，an?32n?1

(2)分子1，5，9……4n?3

分母2，7，12……5n?3

因此an?

(3)an??4n?3 5n?3 ?an為奇數(shù)時?bn為偶數(shù)時

或an?asinn?n? ?bcos22

(4)a2?a1?2

a3?a2?3

a4?a3?4

……

an?an?1?n ?an?a1?2?3?4???n

?an?1?2?3????n?10n?1

(5)an?

n(n?1)2

例2.數(shù)列2n2?15n?5的最小項是多少？

解：an?2n2?15n?5?f(x)?2x2?15x?5的對稱軸為x?

又由于4較3離??15 415近，因此f(4)?f(3)4

即a4??23為其最小項

例3.已知下列數(shù)列的前n項和公式，求數(shù)列的通項公式

1.Sn?2n2?3n

2.Sn?3n?1

解：1.an?Sn?Sn?1

?4n?1

而a1?S1?5

4?1?1?5?an?4n?1

2.an?Sn?Sn?1

?2?3n?1

而a1?S1?3?1?4

2?30?2?4

(n?1)?4?an??n?1(n?2)?2?3

例4.在等差數(shù)列?an?中，(1)已知a2?a7?a8?a13?6，求a6?a9??(2)已知S11?66，求a6??

解：(1)?a2?a13?a7?a8?a6?a9

?a6?a9?

(2)S11?

例5.項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列?an?中，已知奇數(shù)之和為12，偶數(shù)項之和為10，求它的項數(shù)和中間項。

解：設(shè)奇數(shù)項之和為S奇，且共有2n?1項，偶數(shù)項之和為S偶 6?3 211(a1?a11)?11a6?66?a6?6

則S奇n(a2?a2n)?nan?12(n?1)(a1?a2n?1)??(n?1)an?1?an?1?S奇?S偶?2

2?12?(n?1)?2S偶?

?n?5?共有2n?1?2?5?1?11

答：它的項數(shù)為11，中間項為2

例6.已知f(x)?1x?22(x??2)

(1)求f?1(x)

1??f?1(an)(n?N*)，求an?? an?1

(2)設(shè)a1?1,解：(1)x2?2?111?1?x??2??f(x)??2?(x?1(0,??))222yyx1 2an

(2)?f?1(an)?2?

?1an?1?2?111???2 222anan?1an

???1?1?1，公差為2的等差數(shù)列 是首項為?221?an??

1?1?2(n?1)?2n?12an12n?1

?an?

【模擬試題】

一.選擇題

1.已知an?n(n?N*)，則數(shù)列?an?的最大項是（）2n?1563an?3，那么這個數(shù)列的通項公式是（）2

A.第12項

B.第13項

C.第12或第13項

D.不存在 2.如果數(shù)列?an?的前n項和Sn?

A.an?2(n2?n?1)

B.an?3?2n

C.an?3n?1

D.an?2?3n

3.數(shù)列?an?的前n項和Sn?n2?2n?5，則a6?a7?a8?（）

A.45

B.35

C.30

D.以上全錯

4.若一個數(shù)列?an?的前4項分別是0，2，0，2，則下列各式：

(1)an??2?2(n為偶數(shù))n(2)an?1?(?1)；(3)an??中可作為?an?1?(?1)n；2??0(n為奇數(shù))??的通項公式的是（）

A.(1)(2)(3)

B.(1)(2)

C.(2)(3)

5.若等比數(shù)列?an?的前n項和公式為Sn?an?1，則（）

A.a?0

B.a?1

C.a?0且a?1

D.a?R

6.在等差數(shù)列?an?中，已知S15?90，則a8?（）

A.6

B.12

C.3

D.4

7.等差數(shù)列?an?中，a3?a11?40，則a6?a7?a8?（）

A.72

B.60

C.48

D.36

1，當(dāng)且僅當(dāng)n?10時，則公差d的取值范圍是（）an?1，25897383?d??d?

A.d?

B.d?

C.D.***5a1?

8.等差數(shù)列?an?中，9.等差數(shù)列?an?的公差d?0，當(dāng)n?1時，下列關(guān)系式成立的是（）

A.a1an?1?a2an

B.a1an?1?a2an

C.a1an?1?a2an

D.a1an?1與a2an不確定

10.等差數(shù)列?an?的前n項和為30，前2n項和為100，則其前3n項和為（）

A.130

B.170

C.210

D.260

11.已知等差數(shù)列前n項和為Sn，若S13?0,S12?0，則此數(shù)列中絕對值最小的項為（）

A.第5項

B.第6項

C.第7項

D.第8項

12.若2個等差數(shù)列?an?前n項和為An與Bn，滿足,?bn?，A.Ana7n?1，則11?（）?Bn4n?27b1173478

B.C.D.42371

13.等差數(shù)列?an?中，Sm?Sn?l(m?n)，則a1?am?n?（）

A.mnl

B.(m+n)l

C.0

D.(m+n-1)l

14.等差數(shù)列?an?滿足3a8?5a13，且a1?0，則Sn的最大值是（）

A.S10

B.S11

C.S20

D.S21

二.填空題

15.數(shù)列?an?中，a1?2,an?2an?1?1(n?1)，則a5?________ an?1

16.等差數(shù)列?an?中，若前三項之和為12，最后三項之和為75，各項之和為145，則n?_________，a1?__________，公差d?__________

17.如果等差數(shù)列5，8，11，……與等差數(shù)列3，7，11，……都有100項，則它們相同的項的個數(shù)是___________

18.一凸n邊形，各內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差為10?，最小的內(nèi)角為100?，則n?_________

19.等差數(shù)列?an?中，d?1,S98?137，則a2?a4????a98?________

三.解答題

20.數(shù)列?an?的前n項和公式Sn??2n?10n?5

(1)求?an?的通項公式

(2)求an的前n項和Tn

D.(1)(3)21.求在［1000，2000］內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)有多少個？

22.設(shè)數(shù)列?an?的前n項和為Sn，若Sn???n(a1?an)，證明：?an?為等差數(shù)列 2

23.等差數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知a3?12,S12?0,S13?0

(1)求公差d的取值范圍

(2)指出S1，S2，S3，??S12中哪個值最大，并說明理由

24.已知等差數(shù)列?an?及關(guān)于x的方程aix2?2ai?1x?ai?2?0(i?1其中ai，2，??n)，及公差d均為非零實數(shù)

(1)求證：這些方程有公共根

(2)若方程另一根為?i，求證：

111依次成等差數(shù)列，???1?1?2?1?n?1【試題答案】

一.1.C

2.D

3.A

4.A

5.C

6.A

7.B

8.D

9.B

10.C

11.C

12.C

13.C

14.C 二.15.6

16.10 1 3

17.25個 5

18.8

19.93 三.20.(1)an??(n?1)?13

?12?4n(n?2)(n?3)(n?3)2???2n?10n?5

(2)Tn??2??2n?10n?29

21.83個

22.略

23.(1)?24?d??3 7

(2)S6最大

24.略

第二篇：數(shù)列經(jīng)典例題

11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3??7,a4?a6??6,則當(dāng)Sn取最小值時，n

等于_________．

20．(本小題滿分14分)

22已知數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)求證：?i?1nai?2(1an?1?1)．

S13等于2．等差數(shù)列

()

A．168 ?an?中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4,記Sn?a1?a2?????an,則B．156 C．152 D．78

21．(本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?1?1． an

(1)寫出這個數(shù)列的前5項；

(2)求這個數(shù)列的一個通項公式．

9．在等比數(shù)列?an?中，a2?4,a5?

20．(本小題滿分14分)1，則公比q＝___________． 2

已知數(shù)列{an}為公差大于0的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足S4?16，a2a3?15．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若bn?1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn； an?an?1

(3)對于大于1的自然數(shù)n，求證：(1?

20．(本小題滿分14分)1112n?1)(1?)?(1?)?a2a3an2

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn?1?an(n?N)，各項為正數(shù)的數(shù)列{bn}中，對于一切n?N，有**?k?1n1k?k?1?nb1?bn?1，且b1?1,b2?2,b3?3．

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求證：Tn?2．

3．已知?an?為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a2?a3?2a1,且a4與2a7的等差中項為,則S5?()4

A．35

20．(本小題滿分14分)

B．33

C．31

D．29

2n

已知數(shù)列?an?滿足a1?3，且an?an?1?2(n?N,n?2),記數(shù)列bn?，Sn

anan?1

n?1

*

為數(shù)列?bn?的前n項和．(1)求a2，b1的值；(2)求數(shù)列?an?的通項公式；(3)求證：Sn?

1． 3

20．(本小題滿分14分)

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn?kn2?n,n?N*，其中k是常數(shù)．(1)用k表示a1及an，并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)若對于任意的m?N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列，求數(shù)列{

an的前n項和Tn． 2n

*

4．已知數(shù)列?an?為等差數(shù)列，且a2?a7?a12?24，Sn為數(shù)列?an?的前n項和，n?N，則S13的值為 A．100 B．99 21．(本小題滿分14分)

C．104

D．102

*y?log1x的圖象上．

已知點P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,P(an,bn)(n?N)都在函數(shù)

(1)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列{an}的前《項和是Sn?1?2，過點Pn,Pn?1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍二角 形面積為cn，求最小的實數(shù)t使cn?t對n?N恒成立；

(3)若數(shù)列{bn}為山(2)中{an}得到的數(shù)列，在bk與bk?1之間插入3k?1(k?N*)個3，得一新數(shù)列{dn}，問是杏存在這樣的正整數(shù)w，使數(shù)列{dn}的前m項的和Sm?2008，*

?n

如果存在，求出m的值，如果不存在，請說明理由

9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S1?1?an(n?N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)

設(shè)bn?,cn?

log1an

記Tn?c1?c2??cn,證明:Tn?1.19．(本小題滿分14分)在數(shù)列{an}中，已知a1?1,.an?an?1?an?2?

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn?log2,an,?a2?a1(n?N*,n?2)．

11??b3b4b4b5

?

?m對于任意的n?N*，且n?3恒成bnbn?1

立，求m的取值范圍．

17．(本小題滿分12分)

設(shè)

函

數(shù)

f(x)?loaxg（a為常數(shù)且a?0,a?1)，已知數(shù)列

f(x1),f(x2),?f(xn),?是公差為2的等差數(shù)列，且x1?a2．

(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項公式；(Ⅱ)當(dāng)a?

11時，求證：x1?x2???xn?． 23

20．(14分)已知數(shù)列?an?是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項和，且滿足

an2?S2n?1,n?N*．?dāng)?shù)列?bn?滿足bn?

和．,n?N*，Tn為數(shù)列?bn?的前n項

an?an?1

(1)求數(shù)列?an?的通項公式an和數(shù)列?bn?的前n項和Tn；

(2)若對任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，求實數(shù)?的取值范圍；(3)是否存在正整數(shù)m,n(1?m?n)，使得T

1,Tm,Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有

m,n的值；若不存在，請說明理由．

n

5．設(shè)?an?1?2

2?an?,n?N*，an＞0，令bn?lgan則數(shù)列?bn?為()A．公差為正數(shù)的等差數(shù)列 B．公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列

C．公比為正數(shù)的等比數(shù)列 D．公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列

19．(本題滿分14分)在數(shù)列?an?中，a1?1,a2?

1(n?1)an，且an?1?,(n?2)． 4n?an

(Ⅰ)求a3,a4，猜想an的表達(dá)式，并加以證明；(Ⅱ)

設(shè)bn?，求證：對任意的自然數(shù)n?N*，都

有

b1?b2??bn?

19．(本小題滿分14分)已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，a3?5，a5?9．?dāng)?shù)列?bn?的前n項和

為Sn，且Sn?

1?bn

n????． ?2

(1)求數(shù)列?an?和?bn?的通項公式；

(2)若cn?an?bn，求數(shù)列?cn?的前n項和?n． 13．設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項和．若

S31

?，則S73

___________．

19．(本小題滿分14分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn?n2．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b1?1，b4?8．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

(Ⅱ)若數(shù)列{cn}滿足cn?abn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn，并證明Tn?1．

21．(本小題共14分)已知數(shù)列?an?中，a1?2，對于任意的p,q?N，有ap?q?ap?a q，?

(1)求數(shù)列?an?的通項公式；(2)數(shù)列?bn?滿足：an?

bb1bb

?22?33?44?2?12?12?12?1

?(?1)n?1

bn，2n?1

(n?N?)，求數(shù)列?bn?的通項公式；

(3)設(shè)Cn?3n??bn(n?N?)，是否存在實數(shù)?，當(dāng)n?N時，Cn?1?Cn恒成立，若存在，求實數(shù)?的取值范圍，若不存在，請說明理由．

?

第三篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當(dāng)n??時的變化趨勢.觀察數(shù)列{1?n問題:

當(dāng)n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:

(?1)n?1當(dāng)n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義

如果對于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當(dāng)n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細(xì)推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有

n?1見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當(dāng)作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第四篇：數(shù)列經(jīng)典例題4

例1錯誤！未指定書簽。．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(Ⅰ)推 導(dǎo){an}的前n項和公式;(Ⅱ)設(shè)q≠1, 證明數(shù)列{an?1}不是等比數(shù)列.例2 已知數(shù)列?an?的首項為a1?1，其前n項和為sn，且對任意正整數(shù)n有：n、an、Sn成等差數(shù)列．

（1）求證：數(shù)列?Sn?n?2?成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列?an?的通項公式． 例3錯誤！未指定書簽。．已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項an?1,an?2,的最小值記為Bn,dn=An-Bn.(I)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N,an?4?an),寫出*d1,d2,d3,d4的值;

(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列;(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則{an}的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.

第五篇：數(shù)列經(jīng)典例題8

1錯誤！未指定書簽。．已知數(shù)列?an?的首項為a1?5,前n項和為Sn,且

Sn?1?2Sn?n?5(n?N*)

(Ⅰ)證明數(shù)列?an?1?是等比數(shù)列

(Ⅱ)令f?x??a1x?a2x2????????anxn,求函數(shù)f(x)在點x?1處的導(dǎo)數(shù)f?1?,并比較2f?1?與23n2?13n的大小.''

2.錯誤！未指定書簽。設(shè)數(shù)列?an?的前為Tn,且Tn?2?2an(n?N?).．n項積．．

(Ⅰ)求證數(shù)列??1??是等差數(shù)列;

?Tn?

(Ⅱ)設(shè)bn?(1?an)(1?an?1),求數(shù)列?bn?的前n項和Sn.例3錯誤！未指定書簽。設(shè)數(shù)列?an?的前n項和為Sn,已知a1?8,an?1?Sn?3n?1?5,n?N?.(Ⅰ)設(shè)bn?an?2?3n,證明:數(shù)列?bn?是等比數(shù)列;

222232n

(Ⅱ)證明:??????1.a1a2a3an