第一篇：第一講 數列的極限典型例題

第一講

數列的極限

一、內容提要

1.數列極限的定義

limxn?a????0,n???N??,?n?N，有xn?a??.注1 ?的雙重性.一方面,正數?具有絕對的任意性,這樣才能有

?xn?無限趨近于a?xn?a??(n?N)

另一方面,正數?又具有相對的固定性,從而使不等式xn?a??.還表明數列?xn?無限趨近于a的漸近過程的不同程度,進而能估算?xn?趨近于a的近似程度.注2 若limxn存在，則對于每一個正數?，總存在一正整數N與之對應，但這種N不是n??唯一的，若N滿足定義中的要求，則取N?1,N?2,?，作為定義中的新的一個N也必須滿足極限定義中的要求，故若存在一個N則必存在無窮多個正整數可作為定義中的N． 注3 xn?a(n??)的幾何意義是：對a的預先給定的任意??鄰域U(a,?)，在?xn?中至多除去有限項，其余的無窮多項將全部進入U(a,?)． 注4 limxn?a???0?0,n???N??,?n0?N，有xn?a??0.02.子列的定義

在數列?xn?中，保持原來次序自左往右任意選取無窮多個項所得的數列稱為?xn?的子列，記為?xnk?，其中nk表示xn在原數列中的項數，k表示它在子列中的項數．

k注1 對每一個k，有nk?k．

注2 對任意兩個正整數h,k，如果h?k，則nh?nk．反之，若nh?nk，則h?k． 注3 limxn?a????0,n??k?K??,?k?K，有xn?a??.k注4 limxn?a??xn?的任一子列?xnn??k?收斂于a.3.數列有界

對數列?xn?，若?M?0，使得對?n?N，有xn?M，則稱數列?xn?為有界數列． 4.無窮大量

對數列?xn?，如果?G?0，?N??,作limxn??．

n???n?N，有xn?G，則稱?xn?為無窮大量，記 1 注1 ?只是一個記號，不是確切的數．當?xn?為無窮大量時，數列?xn?是發散的，即limxnn??不存在．

注2 若limxn??，則?xn?無界，反之不真．

n??注3 設?xn?與?yn?為同號無窮大量，則?xn?yn?為無窮大量． 注4 設?xn?為無窮大量，?yn?有界，則?xn?yn?為無窮大量．

注5 設?xn?為無窮大量，對數列?yn?，若???0，有yn??，?N??,使得對?n?N，則?xnyn?為無窮大量．特別的，若yn?a?0，則?xnyn?為無窮大量． 5.無窮小量

若limxn?0，則稱?xn?為無窮小量．

n??注1 若limxn?0，?yn?有界，則limxnyn?0．

n??n??注2 若limxn??，則limn??1xnn??il若m?0；

n??xn?0，且?N??,使得對?n?N，xn?0，則lim1xnn????．

6.收斂數列的性質

（1）若?xn?收斂，則?xn?必有界，反之不真．（2）若?xn?收斂，則極限必唯一．

（3）若limxn?a，limyn?b，且a?b，則?N??，使得當n?N時，有xn?yn．

n??n??注

這條性質稱為“保號性”，在理論分析論證中應用極普遍．

（4）若limxn?a，limyn?b，且?N??，使得當n?N時，有xn?yn，則a?b．

n??n??注

這條性質在一些參考書中稱為“保不等號（式）性”．

（5）若數列?xn?、?yn?皆收斂，則它們和、差、積、商所構成的數列?xn?yn?，?xn?yn?，?xnyn?，??xn?yn?0）也收斂，且有 ?（limn???yn?n??yn，xn?lim

lim?xn?yn??limn??n??xn?yn?limxn?limyn，limn??n??n?? 2

lim7.迫斂性（夾逼定理）

xnyn?limxnn??n??limynn??（limyn?0）．

n??若?N??，使得當n?N時，有yn?xn?zn，且limyn?limzn?a，則limxn?a．

n??n??n??8.單調有界定理

單調遞增有上界數列?xn?必收斂，單調遞減有下界數列?xn?必收斂． 9.Cauchy收斂準則

數列?xn?收斂的充要條件是：???0,?N??,?n,m?N，有xn?xm??．

注 Cauchy收斂準則是判斷數列斂散性的重要理論依據．盡管沒有提供計算極限的方法，但它的長處也在于此――在論證極限問題時不需要事先知道極限值． 10.Bolzano Weierstrass定理 有界數列必有收斂子列．

1??11.lim?1???e?2.7182818284n??n??n?

12.幾個重要不等式

(1)a?b?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.(2)算術－幾何－調和平均不等式：

? 對?a1,a2,?,an?R, 記 2 M(ai)? a1?a2???annn? 1nia?ni?1,(算術平均值)G(ai)?n??na1a2?an??a??i??,(幾何平均值)

?i?1?

H(ai)?n1a1?1a2???1an?11nn?i?11ai?nn?ai?11i.(調和平均值)有均值不等式:

H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當且僅當a1?a2???an時成立.（3）Bernoulli 不等式:

(在中學已用數學歸納法證明過)對?x?0, 由二項展開式(1?x)?1?nx??nnn(n?1)2!x2?n(n?1)(n?2)3!x3???xn，(1?x)?1?nx,(n?1)

（４）Cauchy－Schwarz 不等式: ?ak,bk(k?1,2,?,n),有

?n??n?

??akbk????akbk???k?1??k?1?22n2kn2k?a?bk?1k?1

（５）?n?N，13.O.Stolz公式 1n?1?ln(1?1n)?1n

二、典型例題 1．用“??N”“G?N”證明數列的極限．（必須掌握）例１ 用定義證明下列各式：（１）lim3n?5n?13n?n?622n???1；

（２）設xn?0，limxn?a，則limn??n??xn?a；（97，北大，10分）

（３）limlnnn?n???0(??0)

證明：（１）???0，欲使不等式

3n?5n?13n?n?6622?1?6n?53n?n?662?6n3n?n2?6nn2?6n??

成立，只須n?，于是，???0，取N?[]?1，當n?N時，有

??3n?5n?13n?n?62

22?1?6n??

即

limn??3n?5n?13n?n?62?1．

（２）由limxn?a，xn?0，知???0,n???N??,xn?aa?n?N，有xn?a?a?，則

xn?a?xn?axn?a???

于是，???0,?N??,?n?N，有

xn?a?xn?aa??，即

lim（３）已知n?lnn，因為

20?lnnn??n??xn?a．

??lnnn?2??????2?ln?n??1????????2n????2??2???n??1????????2?n4

????2[n2]n???4??nn2??4?，?n2

2所以，???0，欲使不等式

lnnn??0?lnnn??4??n2?4????成立，只須n???．

????2???4??

于是，???0，取N??????1，當n?N時，有

????????

lnnn??0?lnnn??4???，?n2?0． 即

lim

lnnn?n??評注１ 本例中，我們均將xn?a做了適當的變形，使得xn?a?g(n)??，從而從解不等式g(n)??中求出定義中的N．將xn?a放大時要注意兩點：①g(n)應滿足當n??時，g(n)?0．這是因為要使g(n)??，g(n)必須能夠任意?。虎诓坏仁絞(n)??容易求解．

評注２ 用定義證明xn?a(n??)，對???0，只要找到一個自然數N(?)，使得當n?N(?)時，有xn?a??即可．關鍵證明N(?)??的存在性．

評注３ 在第二小題中，用到了數列極限定義的等價命題，即：（１）???0,（２）???0,?N??,?N??,?n?N，有xn?a?M?（M為任一正常數）.?n?N，有xn?a??k(k?N).例２ 用定義證明下列各式：（１）limn??nn?1；（92，南開，10分）

kn（２）limn??na?0(a?1,k?N)

nn證明：（１）（方法一）由于n?1（n?1），可令n?1??（??0），則

n??n?nn?(1??)n?1?n??n2n(n?1)2??????2nn(n?1)22?（n?2）

當n?2時，n?1?，有

n2

n? n(n?1)2??24??2n24(nn?1)

2即

0?nn?1?2nn．

???0，欲使不等式n?1?nn?1?2n???成立，只須n?4?2．

于是，???0，取N?max??2??1,2?，當n?N時，有

?????n??4?n?1?2n??，即

limn??nn?1．

（方法二）因為 1?nn?(n?n?2個?????1n?1?1???1)n?n?n?1???1n?2n?n?2n?1?2n，所以

nn?1?2n，???0，欲使不等式

nn?1?nn?1?2n??成立，只須n?4?2．

于是，???0，取N??2??1，當n?N時，有

???n?4?n?1?2n??，即

limn??nn?1．

（２）當k?1時，由于a?1，可記a?1??（??0），則

an?(1??)n?1?n??n(n?1)2??????2nn(n?1)22?（n?2）

當n?2時，n?1?

0?nann2，于是有

nn(n?1)2?4n?2?．

?2

???0，欲使不等式

nan?0 ?nan?4n?2??成立，只須n?4??2．

對???0，取N?max??2??1,2?，當n?N時，有

??????

nan??4???0 ?nan?4n?2??．

1當k?1時，ak?1（a?1），而

nakn??n??1kn??(a)??． ???n1k則由以上證明知???0,?N??,?n?N，有0???，即

n(ak)

0?naknkn??，k故

limn??na?0．

評注１ 在本例中，???0，要從不等式xn?a??中解得N非常困難．根據xn的特征，利用二項式定理展開較容易．要注意，在這兩個小題中，一個?是變量，一個?是定值．

評注２ 從第一小題的方法二可看出算術－幾何平均不等式的妙處． 評注３ 第二小題的證明用了從特殊到一般的證法． 例 用定義證明：limann??n!（山東大學）?0（a?0）證明：當0?a?1時，結論顯然成立．

aaaaaaa?0?????????????成立，當a?1時，欲使

?a??a??1?a?!nn!12nan?a??a?a??1?只須n?．于是???0，取N????1，當n?N時，有 ?a?!???a?!??a?a??1ann!?0?a?a??a?!?an??

a即

lim?0．

n??n!n例 設??1，用“??N”語言，證明：lim[(n?1)?n]?0．

n????證明：當??0時，結論恒成立． 當0???1時，???0，欲使(n?1)??n??0?n[(1??1n)??1]?n(1??1n?1)?1n1????

只須n??111???1．于是???0，取N??1???1???????1，當n?N時，有 ??1n1??(n?1)?n?0???

即

lim[(n?1)?n]?0．

n????2.迫斂性（夾逼定理）

n項和問題可用夾逼定理、定積分、級數來做，通項有遞增或遞減趨勢時考慮夾逼定理．

yn?xn?zn，yn?b，zn?c?{xn}有界，但不能說明xn有極限．使用夾逼定理時，要求yn,zn趨于同一個數．

an例

求證：limn??n!． ?0（a為常數）分析：ann!?aaaaaa?????????，因a為固定常數，必存在正整數m，使123mm?1nam?1m?a?m?1，因此，自開始，am?1?1，am?2?1，?,an?1，且n??時，an?0．

證明：對于固定的a，必存在正整數m，使a?m?1，當n?m?1時，有

an0?mn!?a1?a2?a3???aman?am?1???an?amm!?an，由于liman??m!?an?0，由夾逼定理得limn??n!?0，即

limn??ann!?0．

評注 當極限不易直接求出時，可將求極限的變量作適當的放大或縮小，使放大、縮小所得的新變量易于求極限，且二者極限值相同，直接由夾逼定理得出結果．

例 若{an}是正數數列，且lima1?2a2???nannn???0，則

limn??n?na1???an?0．

證明：由n?1a1???2a2?????nan??a1?2a2???nann，知

nn!?na1?a2???an?a1?2a2???nann1n

即 na1?a2???an?a1?2a2???nann1n?．

n!于是，0?nna1?a2???an?a1?2a2???nann?，而由已知

n!lima1?2a2???nannn???0及lim1nn??n!?0

故

limn??a1?2a2???nann?1nn!?0

由夾逼定理得

limn??n?na1???an?0．

評注1 極限四則運算性質普遍被應用，值得注意的是這些性質成立的條件，即參加運算各變量的極限存在，且在商的運算中，分母極限不為0． 評注2 對一些基本結果能夠熟練和靈活應用．例如：（1）limqn??n?0（q?1）

（2）lim1nnan???0（a?0）

（3）limn??na?1（a?0）

（4）limnn??n?1

（5）liman??n!?0（a?0）

（6）lim1nn??n!?0

例 證明：若limxn?a（a有限或??），則

n??limx1?x2???xnnn???a（a有限或??）．

證明：（１）設a為有限，因為limxn?a，則???0,n???N1??,有xn?a??n?N1，?2.9 于是x1?x2???xnn?a??x1?a???x2?a?????xn?a?n

?x1?a?x2?a???xN1?anAn?n?N1n?xN1?1?a???xn?an

???An??2．

其中A?x1?a?x2?a???xN?a為非負數．

1因為limn??An?0，故對上述的??0,?N2??,?n?N2，有

An??2．

取N?max{N1,N2}當n?N時，有

x1?x2???xnn?a??2??2??

即

limx1?x2???xnnn???a．

?n?N1，有xn?2G，（２）設a???，因為limxn???，則?G?0,n???N1??,且x1?x2???xN?0．于是 x1?x2???xnn?

x1?x2???xN1nxN1?1???xnn?

xN1?1???xnn

??2G(n?N1)n?2G?2N1nG

取N?2N1，當n?N時，2N1nG?G，于是

x1?x2???xnn?2G?G?G．

即

limx1?x2???xnnn?????

（３）a???時證法與（２）類似．

評注１ 這一結論也稱Cauchy第一定理，是一個有用的結果，應用它可計算一些極限，例如：

1?12???n1n?0（已知limn（１）lim1nn??n???0）；

（２）lim1?2?33???nnn???1（已知limnn??n?1）．

評注２ 此結論是充分的，而非必要的，但若條件加強為“{xn}為單調數列”，則由x1?x2???xnnlimn???a可推出limxn?a．

n??評注３ 證明一個變量能夠任意小，將它放大后，分成有限項，然后證明它的每一項都能任意小，這種“拆分方法”是證明某些極限問題的一個常用方法，例如：

若0???1，liman?a（a為有限數），證明：

n??lim(an??an?1??an?2????a0)?n??2n分析：令xn?an??an?1??an?2????a0，則

2na1??．

(1??)xn?an??(an?1?an)??(an?2?an?1)????(a0?a1)??2nn?1a0．

2n只須證

?(an?1?an)??(an?2?an?1)????(a0?a1)?0（n??）

由于liman?a，故?N??,n???n?N，有an?an?1??．于是

2n?(an?1?an)??(an?2?an?1)????(a0?a1)

??an?1?an??an?2?an?1????2Nan?N?1?an?N??N?1an?N?an?N?1????a0?a1nn再利用lim??0（0???1）即得．

n??例 求下列各式的極限：（１）lim(n??1n?n?12?2n?n?22???nn?n?n2)

（２）limnn??1?12???1n

（３）limn1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n2n??

?2n?n?22解：（１）1?2???nn?n?n?1n?n?12???nn?n?n2?1?2???nn?n?12

n(n?1)∵lim12，?22n??n??n?n?n2n?n?nn(n?1)1?2???n12lim?lim，?2n??n??n2?n?1n?n?12由夾逼定理，1?2???n?lim∴lim(n??1n?n?1n2?2n?n?22???nn?n?nn2)?12

（２）1?∵limn??n1?12???1n?n1?1???1?n

n?1，由夾逼定理，∴limnn??1?112???1n?1．

（３）∵1n2n?352n?111?3?5???(2n?1)132n?1????????????1，242n?22n2?4?6???2n242n∴2?nn?n1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?1．

∵lim12?nn??nn?1，由夾逼定理，∴limn1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n2n?12nn???1．

評注 的極限是１，用此法體現了“１”的好處，可以放前，也可放后．若極限不是１，則不能用此法，例如：

xn?2?3???(n?1)3?5???(2n?1)，求limxn．

n??解：∵xn?0，?xn?單調遞減，?xn?單調遞減有下界，故其極限存在． 令limxn?a，∵xn?1?xn?n??n?2∴limxn?1?limxnlimn??n??2n?3n?2

12a，n??2n?3，a?∴a?0，xn?0． 即

limn?? 12 lim(1?n??11?2???11?2???n)（中科院）

評注 拆項：分母是兩項的積，1n(n?1)?1n?1n?1

nn?1n?1?1n?11n?插項：分子、分母相差一個常數時總可以插項．３單調有界必有極限 常用方法：①xn?1?xn；②

xn?1xn??1?

；③歸納法；④導數法．

xn?1?f(xn)

f?(x)?0

f(x)單調遞增

x2?xf(x2)?f(x1)

x3?x2 x2?x1

f(x2)?f(x1)

x3?x2

f?(x)?0

f(x)單調遞減

x2?x1

f(x2)?f(x1)

x3?x2

x2?x1

f(x2)?f(x1)

x3?x2不解決決問題．

命題：xn?1?f(xn)，若f(x)單調遞增，且x2?x1（x2?x1），則?xn?單調遞增（單調遞減）．

例

求下列數列極限：

（1）設A?0，x1?0，xn?1?12(xn?Axn（98，華中科大，10分）)；（2）設x1?0，xn?1?3?3xn3?xn；（04，武大）

（3）設x0?a，x1?b，xn?12xn?1?xn?22Axn12（n?2,3,?）．（2000,浙大）

解：（1）首先注意xn?1?另一方面，因為

(xn?)??2xn?Axn?A，所以?xn?為有下界數列．

xn?1?xn?12(xn?Axn)?xn?12xn(A?xn)?0．

1?A（或

xn?1xn?12(1?Ax2n)??A?22?1）

故?xn?為單調遞減數列．因而limxn存在，且記為a．

n??

由極限的四則運算，在xn?1?12Aa)．并注意到xn?12(xn?Axn)兩端同時取極限n??，得a?(a?A?0，解得a?3(1?xn)3?xnA．

（2）注意到0?xn?1?另一方面，由

3?3xn3?xn??3，于是?xn?為有界數列．

xn?1?xn?3?3xn3?xn?xn?3?xn23?xn?3?3xn?1??3???3?x?n?1???3?3xn?13?3?xn?12?2(3?xn?1)(3?xn?1)(4?2xn?1)2

?3?xn?1(3?xn?1)(2?xn?1)22

3?xn?1知xn?1?xnxn?xn?1?(3?xn?1)(2?xn?1)3?xn?13?xn?12?12?xn?1?0．

即xn?1?xn與xn?xn?1保持同號，因此?xn?為單調數列，所以limxn存在（記為a）．

n??

由極限的四則運算，在xn?1?3?3xn3?xn兩端同時取極限n??，得a?3?3a3?a．并注意到0?xn?3，解得a?（3）由于xn?1?xn?3．

xn?xn?12?xn??xn?xn?12???x2?x1(?2)n?1?x1?x0(?2)1n?b?a(?2)n, n?1n?1又xn??m?0(xm?1?xm)?x0?xn?(b?a)?1m1?(??a?(b?a)1?(?m?0(?2)21)n?a,)2 14

1?(?1所以

limxn?(b?a)limn??n??1?(?21)n?a?)2(b?a)3?a?2b?a3．

2評注１ 求遞歸數列的極限，主要利用單調有界必有極限的原理，用歸納法或已知的一些基本結果說明數列的單調、有界性．在說明遞歸數列單調性時，可用函數的單調性．下面給出一個重要的結論：設xn?1?f(xn)（n?1,2,?）xn?I，若f(x)在區間I上單調遞增，且x2?x1（或x2?x1），則數列?xn?單調遞增（或單調遞減）．

評注2 第三小題的方法較為典型，根據所給的xn?1,xn,xn?1之間的關系，得到xn?1?xn與xn?xn?1的等式，再利用錯位相減的思想，將數列通項xn寫成級數的表達式．

例 設a1,b1為任意正數，且a1?b1，設an?則?an?，?bn?收斂，且極限相同． 證明：由an?2an?1bn?1an?1?bn?1?2an?1bn?12an?1bn?12an?1bn?1an?1?bn?1，bn?，an?1bn?1（n?2,3,?）

?an?1bn?1?bn，知

bn?an?1bn?1?bn?1bn?1?bn?1．

則0?bn?b1，即?bn?為單調有界數列．

又0?an?bn?b1，且 an?an?1?2an?1bn?1an?1?bn?1?an?1?2an?1bn?1?an?1?an?1bn?1an?1?bn?12?an?1(bn?1?an?1)an?1?bn?1?0，所以?an?亦為單調有界數列．

由單調有界必有極限定理，liman與limbn存在，且分別記為a與b．在n??n??an?2an?1bn?1an?1?bn?1與bn?an?1bn?1兩端同時取極限n??，得a?2aba?b與b?ab．

考慮到a1,b1為任意正數且0?a1?an?bn?b1． 即得a?b?0． 例（1）設x1?2，xn?1?2?1xn，求limxn；

n?? 15（2）設x1?0，x2?2，且3xn?1?xn?2xn?1?0（n?2,3,?），求limxn．

n??解：（1）假設limxn存在且等于a，由極限的四則運算，在xn?1?2?n??1xn兩端同時取極限n??，得a?2?1a，即a?1?2．

2．又xn?2，故a?1?下面只須驗證數列?xn?a?趨于零（n??）．由于

xn?a?1??1?1?1????2????a??2??x?a?????x1?a，n??xn??a?xna4?4??n0?xn?1n?1?而lim??x1?a?0，由夾逼定理得limxn?a?1?n??n???4?2．

（2）由3xn?1?xn?2xn?1?0，知

3xn?1?2xn?3xn?2xn?1?3xn?1?2xn?2???3x2?2x1?6，則

xn?1??23xn?2．

65假設limxn存在且等于a，由極限的四則運算，得a?n??．

下面只須驗證數列?xn??6523n?1?6?．由于 ?趨于零（n??）

5?n?1xn???xn?12?6??2??2????xn?1????????3?5?5?3?66???2??x1?????5???3?n?1?65．

?2?顯然lim??n???3??65?0，由夾逼定理得limxn?n??65．

評注１ 兩例題中均采用了“先求出結果后驗證”的方法，當我們不能直接用單調有界必有極限定理時，可以先假設limxn?a，由遞歸方程求出a，然后設法證明數列?xn?a?趨于

n??零．

評注２ 對數列?xn?，若滿足xn?a?kxn?1?a（n?2,3,?），其中0?k?1，則必有limxn?a．這一結論在驗證極限存在或求解遞歸數列的極限時非常有用．

n??評注３ 本例的第二小題還可用Cauchy收斂原理驗證它們極限的存在性．

設a1>0，an?1＝an＋

證

（1）要證lim21an，證明limn??an2n＝1（04，上海交大）

an2an2n2n??＝1，只要證lim2n??2n?1，即只要證liman?1?ann??(2n?2)?2n1an?1，即證lim(an?1?an)?2

2n??（2）因an?1＝an＋a2n?12n，故an?1?an?1an?0，an?1an?1?1a2n

?a?(an?1?an)(an?1?an)?1a2nan?1?anan?1?1a2n?1?2?1a2n因此只要證limn???0，即只要證liman??n??

（3）由an?1?an?1an?0知，{an}單調增加，假如{an}有上界，則{an}1an必有極限a，由an?1＝an＋

知，a＝a＋，因此?0，矛盾.aa11這表明{an}單調增加、沒有上界，因此liman??.（證完）

n??

４ 利用序列的Cauchy收斂準則 例（1）設x1?x2（0?x?1），xn?x2?xn?122，求limxn；

n??（2）設x1?y1?1，xn?1?xn?2yn，yn?1?xn?yn，求limx2122xnyn2n??；

14解：（1）由x1?（0?x?1），得x1?x2．假設xk?12212，則xk?．有

xk?1??xk212?x?xk?12

由歸納法可得

xn?于是

xn?p?xn?x2xn?p?122．

?2?xxn?1?? ????22??? 17

?xn?p?1?xn?1xn?p?1?xn?1212n?1?12xn?p?1?xn?1

???xp?1?x1?12n?1． ?0（n??）

x2xn?122由Cauchy收斂準則知：limxn存在并記為a，由極限的四則運算，在xn?n???兩端同時取極限n??，得a2?2a?x?0． 注意到xn?（2）設an?12，故limxn?a??1?1?x．

n??xnyn，顯然an?1.xn?2ynxn?yn11?an由于an?1?xn?1yn?1??1?,則

an?1?an?11?an?11?an?1

?an?an?1?1?an??1?an?1??14an?an?1???14n?1a2?a1.于是an?p?an?an?p?an?p?1?an?p?1?an?p?2???an?1?an

?an?p?an?p?1?an?p?1?an?p?2???an?1?an

1?1

????41n?p?2???p11?4a?a ??a?a?2211n?1n?1144?1?4

?14n?1?13a2?a1?0(n??).由Cauchy收斂準則知：limxn存在并記為a.n??由極限的四則運算，在an?1?1?xnyn11?an2兩端同時取極限n??，得a?2．

注意到an?1，故limn???liman?n??2．

評注1 Cauchy收斂準則之所以重要就在于它不需要借助數列以外的任何數,只須根據數列各項之間的相互關系就能判斷該數列的斂散性.本例兩小題都運用了Cauchy收斂準則,但細 18 節上稍有不同.其實第一小題可用第二小題的方法,只是在第一小題中數列?xn?有界,因此有xp?1?x1?xp?1?x1?1.保證了定義中的N僅與?有關.評注2 “對?p?N有lim?xn?p?xn??0”這種說法與Cauchy收斂準則并不一致．這里

n??要求對每個固定的p，可找到既與?又與p的關的Ｎ，當n?N，有xn?p?xn??．而Cauchy收斂準則要求所找到的Ｎ只能與任意的?有關．

５ 利用Stolz定理計算數列極限

例 求下列極限

?13?23???n3n?? ?（1）lim?3n???4?n??

lim（2）假設liman?a,證明：n??a1?2a2?...?nann2n???a2（00，大連理工，10）（04，上海交大）

證明：Stolz公式 lima1?2a2?...?nann2n???lim(a1?2a2?...?nan?(n?1)an?1)?(a1?2a2?...?nan)(n?1)?n22n???lim(n?1)an?12n?11?1232

n???a21n n?1n???lnn（3）limn??2????n（4）lim

n??（5）limna2n（a?1）

n??６ 關于否定命題的證明（書上一些典型例題需背）

limxn?a

n???xn?發散

例

證明：xn?1?12?13???1nan?1an發散．

例 設an?0（n?1,2,?），且liman?0，若存在極限limn??n??（北大，?l，則l?1．20）

７ 雜例(1)lim11?2?12?3???1n(n?1)

n??

(2)（04，武大）lim(n??1a?2a2?...?nan),(a?1)1n 1?()1naa??lim()?n2n??1a?1a(a?1)1?a

22n(3)lim(1?x)(1?x)?(1?x)(x?1);n??

2(4)設a1?3,an?1?an?an（n?1,2,?），求：

?111l?lim?????n???1?a1?a21?an1???． ??

第二篇：第一講 數列極限(數學分析)

第一講 數列極限

一、上、下確界

1、定義：

1）設S?R，若?M?R:?x?S,x?M，則稱M是數集S的一個上界，這時稱S上有界；若?L?R:?x?S,x?L，則稱L是數集S的一個下界，這時稱S下有界；當S既有上界又有下界時就稱S為有界數集。

2）設S?R，若?M?R:?x?S,x?M，且???0,?x?S:x?M??，則稱M是數集S的上確界，記M?supS；若?L?R:?x?S,x?L，且???0,?x?S:x?L??，則稱L是數集S的下確界，記L?infS。

2、性質：

1）（確界原理）設S?R，S??，若S有上界，則S有上確界；若S有下界，則S有下確界。

2）當S無上界時，記supS???；當S無下界時，記infS???。

3）sup(A?B)?max{supA,supB};inf(A?B)?min{infA,infB}。

4）supS??inf(?S);infS??sup(?S)。

5）sup(A?B)?supA?supB;inf(A?B)?infA?infB。

6）sup(A?B)?supA?infB。（武大93）

7）設f(x),g(x)是D上的有界函數，則

inff(D)?infg(D)?inf{f(x)?g(x)}?supf(D)?infg(D)x?D

?sup{f(x)?g(x)}?supf(D)?supg(D)

x?D3、應用研究

1）設{xn}為一個正無窮大數列，E為{xn}的一切項組成的數集，試證必存在自然數p，使得xp?infE。（武大94）

二、數列極限

1、定義：

1）liman?a????0,?N?N(?):n?N,|an?a|??，稱{an}為收斂數列； n??

2）liman?????M?0,?N:n?N,an?M，稱{an}為??數列； n??

3）liman?????M?0,?N:n?N,an??M，稱{an}為??數列； n??

4）liman????M?0,?N:n?N,|an|?M，稱{an}為?數列；

n??

5）liman?0，稱{an}為無窮小數列；

n??

2、性質

1）唯一性：若liman?a,liman?b?a?b。

n??

n??

2）有界性：若{an}為收斂數列，則{an}為有界數列。3）保號性：liman?a?0??N,n?N,an?0.n??

4）保不等式性：若liman?a,limbn?b,an?bn(n?N0)?a?b.n??

n??

5）迫斂性：若an?cn?bn(n?N0),liman?limbn?c?limcn?c.n??

n??

n??

6）四則運算：若liman?a,limbn?b,則

n??

n??

lim(an?bn)?a?b;lim(an?bn)?a?b;lim

n??

n??

bnb

?(a?0)。

n??aan

xn?xn?1xx?xn?

1存在，則limn?limn。

n??n??yn?yn?1ynyn?yn?1

7）Stolz定理：設{yn}為嚴格增的??數列，若lim

n??

證明：（1）Sn?明）

aa?a???ana1a

2（用歸納法證，?,nbk?0,k?1,2,?,n，則minSn?12?maxSn。

b1b2bnb1?b2???bn

acaa?cc

?,b?0,d?0?a(b?d)?b(a?c),(a?c)d?(b?d)c???，bdbb?dd

minSn?1?minSn?

an?1a1???anan?1a1???an?an?1

； ???

bn?1b1???bnbn?1b1???bn?bn?1an?1a1???anan?1a1???an?an?1

。???

bn?1b1???bnbn?1b1???bn?bn?1

maxSn?1?maxSn?

（2）設lim

n??

xn?xn?1x?xx?x??

?r????0,?k,n?k:|nn?1?r|?，由（1）得|nk?r|?，又

yn?yn?1yn?yn?12yn?yk2

xk?

y

rky?xx

?n?rk，又|因為y?nyk

xnx?rykyx?xkx

?r?k?(1?kn?r)，所以|n?r?|ynynynyn?ykynlim

n

xk?rykx?ryk?x

?0??N?k,n?N:|k|?，從而|n?r|??(n?N)

n??ynyn2yn3、極限存在條件：

1）（Cauchy收斂準則）{an}收斂的充要條件是???0,?N:n,m?N?|an?am|??；

2）（單調有界收斂原理）若{an}單調增上有界，則{an}收斂，且liman?supan；若{an}單調減下有界，n??

n

則{an}收斂，且liman?infan；

n??

n

3）（致密性定理）有界數列必有收斂子列。4）{an}收斂的充要條件是limsup(am?ak)?0

n??m.k?n4、子列：n1?n2??,{ank}稱為{an}的子列： 1）{an}收斂的充要條件是{an}的任何子列都收斂；

2）liman存在?lima2n,lima2n?1都存在，且lima2n?lima2n?1；

n??

n??

n??

n??

n??

3）liman?A????0,滿足an?A??至多有限項，滿足an?A??有無窮多項，稱A為{an}的上極

n??

限；liman?B????0,滿足an?B??至多有限項，滿足an?A??有無窮多項，稱B為{an}的下極

n??

限；liman存在?liman?liman。

n??

n??

n??

（1）liman?limsupxk;liman?limsupxk；

n??

n??k?n

n??

n??k?n

（2）an?bn(n?n0)?liman?limbnan?bn；

n??

n??

n??

n??

（3）liman??lim(?an)；

n??

n??

（4）n??

an?bn?an?bn)?an?limbn

n??

n??

n??

n??

?lim(an?bn)?liman?limbn

n??

n??

n??

三、應用研究

11????lnn，證明liman存在。

n??2n?

1n?1dn?111nxdx

b?1??????ln,n???ln(1證：令n

??nn2n?12n?1x1、設an?1?從而liman．

n??

nd1?1x)???, ?an?1?an,bn?1?bn，nnn

ccxn,n?1,2,?，證明limxn存在并求其值。２、c?[?3,0),x1?,xn?1??

n??22

2c|c||c|2cxnc?|c|2,?xn??|c|,?xn?1????0，證明：顯然xn?，x1?0。若xn?0，則|xn|?

224222

x2k?1?x2k?1??l

xi2k?

121222

(x2k?x2),x?x?(x2k?1?x2k?22k?22kk?1)?x2k?1?x2k?1,x2k?2?x2k22，從而

k??

cx2cx2cb2ca2nn?

1?maxk?b,，由xl2n?1?i?,x2n??,n?1,2,?得a??,b??，1?k??22222222

從而a?b?

(b?a2),(a?b)(a?b?2)?0，2

ca22

若a?b?2?0，由b??，得a?2a?4?c?0，則c??3，總之有a?b??1，即limxn??1.n??223、yn?1?yn(2?yn),0?y0?1，求證： limyn?1。（武大00）

n??

證明：若y0?yn?1，則1?yn?1?yn?y0，?f(x)?x(2?x)?1(0?x?1)，?y0?y1?y0(2?y0)?1，從而limyn(?a)存在，在yn?1?yn(2?yn)取極限，得a?a(2?a),0?y0?a?1，所以a?1。

n??

4、設a1?3,a2?3?述極限。（武大99）證明：由an?1?3?

4,a?3?,?，如果數列{an}收斂，計算其極限，并證明數列{an} 收斂于上

333?3

11111，a2n?1?a2n?1?4(?),a2n?2?a2n?4(?)，可歸納證得：ana2na2n?2a2n?1a2n?

1n??

n??

n??

n??

a2n,liam3?an?5,a2n?1?a2n?1,a2n?2?a2n,從而lim2n?1都存在，令lima2n?a,lima2n?1?b，由

a2n?1?3?

1,aa2n

n2?

?23?

1a2n?，取極限得a?3?

11a?b,b?3?,3?a,b?5,?a?b??a?b，baab

所以數列{an} 收斂，且liman?4

n??

5、設數列{an}有一子列{ank}收斂，且{ank}?{a2n}及{ank}?{a2n?1}都有無窮個元，而{a2n}及{a2n?1}都為單調數列，問{an}上否收斂？為什么？（武大98）證明：1）單調數列若有收斂子列，則本身收斂：

2）由1）知{a2n}及{a2n?1}都收斂，又因為lima2n?limank?lima2n?1，故{an}收斂。

n??

k??

n??

6、設an?0，且an?（武大97）???，證明數列{an}中存在一子序列{ank}是收斂的子序列。

?

7、設an?a(n??)，令an?max{an,0},a?max{a,0}，證明an（武大96）?a?(n??)。

?

?

8、設{an}無上界，證明存在子序列{ank}，使得ank???(k???)。（武大95）9、設a?0,x1?

xn?1?n?1,2,?,證明極限limxn存在并求極限.（北大02）

n??

xn?2?a，當x1?a時，{xn}單調增；當x1?a時，{xn}單調減，從而極限limxn存

n??

在，令limxn?

x，在xn?1?

n??

x2?2?x?x?2?x??1，xn?2?a得

limxn?2。

n??

a2n10、求極限lim.（北大01）

n??1?a2n

a2na2na2n1222n

a?1?(a)?0?lim?0lim?解：當a?1時，0?，；當時，；當a?12n2n2nn??1?an??1?a1?a

2a2n

1?lim?1。時，lim

n??1?a2nn??1

1?2n

a

1??f(a?)??11、設f(x)在點a右導，f(a)?0，求極限lim??.（北大01）n??

?f(a)???

解：

12、a?0).（北大98）

nn13、證明：（1）

11?n??n?1n

（用b?a[(n?1)b?na],b?a?0）(1?)?為遞減數列：?

n??

1?ln(1?)?,n?1,2????（華東師大00）n?1nn

（2）

14、設R中數列{an}，{bn}滿足an?1?bn?qan,n?1,2?,其中0?q?1,證明：

（1）若{bn}有界，則{an}有界；

（2）若{bn}收斂，則{an}收斂。（清華01）

證明：（1）設|bn|?M,|a1|?M，由于an?1?bn?qan?bn?qbn?1?qan?1?從而|an?1|?

?

n?

1kn

(?q)b?(?q)a1，n?kk?0

?k?0qkM?qnM?

n?1

M。1?q

（2）設limbn?b，|an?1?

n??

bn?1?

|?|?k?0(?q)kbn?k?(?q)na1??k?0(?q)kb| 1?q

?

?|?k?0(?q)k(bn?k?b)?(?q)n(a1?b)|?|?k?n?1(?q)kb|

n?1

?|?k?0(?q)(bn?k?b)|?|?k?m?1(?q)(bn?k

k

k

mn?1

qn

?b)?(?q)(a1?b)|?|b|

1?q

n

?|?k?n?m(?q)

n

n?k

qmqn

(bk?b)|?2M?|b|

1?q1?q

?1。x?1x15、（1）用???語言證明：lim

（2）設函數f在點a可導，且f(a)?0。求：

f(a?)

n。lim

n??f(a)

n

（3）求極限

1p?2p???np

lim，其中p?0。（清華00）

n??n1?p16、求極限lim[n(e?1)]（清華99）

n??

1n

n17、設liman?a，證明 lim

n??

a1?2a2???nana

?。（上海交大04）

n??n2

2證明 由Stolz公式lim

a1?2a2???nan(n?1)an?1a

?lim?。

n??n??(n?1)2?n2n2218、設xn?1?

3(1?xn),(x1?0為已知)求limxn.（南京大學00）

n??3?xn

19、求limsin(。（浙大01）

n??

20、試證：單調數列{xn}收斂到a的充要條件是存在子列{xnk}收斂到a。（武漢所00）

第三篇：數列極限例題

三、數列的極限

(?1)n?1}當n??時的變化趨勢.觀察數列{1?n問題:

當n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:

(?1)n?1當n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義

如果對于任意給定的正數?(不論它多么小), 總存在正整數N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數a是數列xn的極限, 或者稱數列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數列沒有極限, 就說數列是發散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內, 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數N，常常對任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當n?N時, 就有

n?1見下，以后不再重復說明或解釋，對函數極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴格寫法應該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當n?N時一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結: 用定義證數列極限存在時, 關鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第四篇：數列經典例題

11．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3??7,a4?a6??6,則當Sn取最小值時，n

等于_________．

20．(本小題滿分14分)

22已知數列{an}是首項為1的正項數列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求證：?i?1nai?2(1an?1?1)．

S13等于2．等差數列

()

A．168 ?an?中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4,記Sn?a1?a2?????an,則B．156 C．152 D．78

21．(本小題滿分14分)

設數列?an?滿足a1?1,an?1?1?1． an

(1)寫出這個數列的前5項；

(2)求這個數列的一個通項公式．

9．在等比數列?an?中，a2?4,a5?

20．(本小題滿分14分)1，則公比q＝___________． 2

已知數列{an}為公差大于0的等差數列，Sn為數列{an}的前n項和，且滿足S4?16，a2a3?15．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若bn?1，求數列{bn}的前n項和Tn； an?an?1

(3)對于大于1的自然數n，求證：(1?

20．(本小題滿分14分)1112n?1)(1?)?(1?)?a2a3an2

已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn?1?an(n?N)，各項為正數的數列{bn}中，對于一切n?N，有**?k?1n1k?k?1?nb1?bn?1，且b1?1,b2?2,b3?3．

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；

(2)設數列{anbn}的前n項和為Tn，求證：Tn?2．

3．已知?an?為等比數列，Sn是它的前n項和，若a2?a3?2a1,且a4與2a7的等差中項為,則S5?()4

A．35

20．(本小題滿分14分)

B．33

C．31

D．29

2n

已知數列?an?滿足a1?3，且an?an?1?2(n?N,n?2),記數列bn?，Sn

anan?1

n?1

*

為數列?bn?的前n項和．(1)求a2，b1的值；(2)求數列?an?的通項公式；(3)求證：Sn?

1． 3

20．(本小題滿分14分)

設Sn為數列{an}的前n項和，Sn?kn2?n,n?N*，其中k是常數．(1)用k表示a1及an，并證明數列{an}是等差數列；(2)若對于任意的m?N*,am,a2m,a4m成等比數列，求數列{

an的前n項和Tn． 2n

*

4．已知數列?an?為等差數列，且a2?a7?a12?24，Sn為數列?an?的前n項和，n?N，則S13的值為 A．100 B．99 21．(本小題滿分14分)

C．104

D．102

*y?log1x的圖象上．

已知點P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,P(an,bn)(n?N)都在函數

(1)若數列{bn}是等差數列，求證數列{an}是等比數列；

(2)若數列{an}的前《項和是Sn?1?2，過點Pn,Pn?1的直線與兩坐標軸所圍二角 形面積為cn，求最小的實數t使cn?t對n?N恒成立；

(3)若數列{bn}為山(2)中{an}得到的數列，在bk與bk?1之間插入3k?1(k?N*)個3，得一新數列{dn}，問是杏存在這樣的正整數w，使數列{dn}的前m項的和Sm?2008，*

?n

如果存在，求出m的值，如果不存在，請說明理由

9．已知數列{an}的前n項和為Sn,且S1?1?an(n?N*).(1)求數列{an}的通項公式；

(2)

設bn?,cn?

log1an

記Tn?c1?c2??cn,證明:Tn?1.19．(本小題滿分14分)在數列{an}中，已知a1?1,.an?an?1?an?2?

(1)求數列{an}的通項公式；(2)若bn?log2,an,?a2?a1(n?N*,n?2)．

11??b3b4b4b5

?

?m對于任意的n?N*，且n?3恒成bnbn?1

立，求m的取值范圍．

17．(本小題滿分12分)

設

函

數

f(x)?loaxg（a為常數且a?0,a?1)，已知數列

f(x1),f(x2),?f(xn),?是公差為2的等差數列，且x1?a2．

(Ⅰ)求數列{xn}的通項公式；(Ⅱ)當a?

11時，求證：x1?x2???xn?． 23

20．(14分)已知數列?an?是各項均不為0的等差數列，公差為d，Sn為其前n項和，且滿足

an2?S2n?1,n?N*．數列?bn?滿足bn?

和．,n?N*，Tn為數列?bn?的前n項

an?an?1

(1)求數列?an?的通項公式an和數列?bn?的前n項和Tn；

(2)若對任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，求實數?的取值范圍；(3)是否存在正整數m,n(1?m?n)，使得T

1,Tm,Tn成等比數列？若存在，求出所有

m,n的值；若不存在，請說明理由．

n

5．設?an?1?2

2?an?,n?N*，an＞0，令bn?lgan則數列?bn?為()A．公差為正數的等差數列 B．公差為負數的等差數列

C．公比為正數的等比數列 D．公比為負數的等比數列

19．(本題滿分14分)在數列?an?中，a1?1,a2?

1(n?1)an，且an?1?,(n?2)． 4n?an

(Ⅰ)求a3,a4，猜想an的表達式，并加以證明；(Ⅱ)

設bn?，求證：對任意的自然數n?N*，都

有

b1?b2??bn?

19．(本小題滿分14分)已知數列?an?是等差數列，a3?5，a5?9．數列?bn?的前n項和

為Sn，且Sn?

1?bn

n????． ?2

(1)求數列?an?和?bn?的通項公式；

(2)若cn?an?bn，求數列?cn?的前n項和?n． 13．設Sn是等差數列?an?的前n項和．若

S31

?，則S73

___________．

19．(本小題滿分14分)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn?n2．數列{bn}為等比數列，且b1?1，b4?8．

(Ⅰ)求數列{an}，{bn}的通項公式；

(Ⅱ)若數列{cn}滿足cn?abn，求數列{cn}的前n項和Tn，并證明Tn?1．

21．(本小題共14分)已知數列?an?中，a1?2，對于任意的p,q?N，有ap?q?ap?a q，?

(1)求數列?an?的通項公式；(2)數列?bn?滿足：an?

bb1bb

?22?33?44?2?12?12?12?1

?(?1)n?1

bn，2n?1

(n?N?)，求數列?bn?的通項公式；

(3)設Cn?3n??bn(n?N?)，是否存在實數?，當n?N時，Cn?1?Cn恒成立，若存在，求實數?的取值范圍，若不存在，請說明理由．

?

第五篇：函數的極限及函數的連續性典型例題

函數的極限及函數的連續性典型例題

一、重點難點分析：

①

此定理非常重要，利用它證明函數是否存在極限。② 要掌握常見的幾種函數式變形求極限。③ 函數f(x)在x=x0處連續的充要條件是在x=x0處左右連續。

。④ 計算函數極限的方法，若在x=x0處連續，則

⑤ 若函數在[a,b]上連續，則它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例題

例1．求下列極限

①

②

③

④

解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2這個因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．討論函數的連續性。

解析：函數的定義域為(-∞,+∞)，由初等函數的連續性知，在非分界點處函數是連續的，又

∴

由

從而f(x)在點x=-1處不連續。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上連續，x=-1為函數的不連續點。，∴ f(x)在x=1處連續。，例4．已知函數

試討論a,b為何值時，f(x)在x=0處連續。,(a,b為常數)。

解析：∵

且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函數極限

①

②

解析：①。

②。

例6．設

解析：∵

要使存在，只需，問常數k為何值時，有存在？。，∴ 2k=1，故 時，存在。

例7．求函數

在x=-1處左右極限，并說明在x=-1處是否有極限？

解析：由∵，∴ f(x)在x=-1處極限不存在。，三、訓練題：

1．已知，則

2．的值是_______。

3.已知，則=______。

4．已知

5．已知，2a+b=0，求a與b的值。，求a的值。

參考答案：1.3

2.3.4.a=2, b=-45.a=0