第一篇：九年級(下)——二次函數全章教案-新人教[整理]】

1課題 課題課題 課題： ：：

：26.1二次函數 二次函數二次函數 二次函數 教學目標：

1、從實際情景中讓學生經歷探索分析和建立兩個變量之間的二次函數關系的過程，進一步體驗如何用數學的方法去描述變量之間的數量關系。

2、理解二次函數的概念，掌握二次函數的形式。

3、會建立簡單的二次函數的模型，并能根據實際問題確定自變量的取值范圍。

4、會用待定系數法求二次函數的解析式。教學重點：二次函數的概念和解析式

教學難點：本節“合作學習”涉及的實際問題有的較為復雜，要求學生有較強的概括 能力。教學設計：

一、創設情境，導入新課

問題

1、現有一根12m長的繩子，用它圍成一個矩形，如何圍法，才使舉行的面積最 大？小明同學認為當圍成的矩形是正方形時，它的面積最大，他說的有道理嗎？ 問題

2、很多同學都喜歡打籃球，你知道嗎：投籃時，籃球運動的路線是什么曲線？ 怎樣計算籃球達到最高點時的高度？

這些問題都可以通過學習俄二次函數的數學模型來解決，今天我們學習“二次函數”（板書課題）

二、合作學習，探索新知

請用適當的函數解析式表示下列問題中情景中的兩個變量y與x之間的關系：（1）面積y(cm2)與圓的半徑 x(Cm)

(2)王先生存人銀行2萬元,先存一個一年定期，一年后銀行將本息自動轉存為又一個 一年定期,設一年定期的年存款利率為文 x 兩年后王先生共得本息y元;(3)擬建中的一個溫室的平面圖如圖,如果溫室外圍是一個矩形，周長為12Om , 室內通 道的尺寸如圖,設一條邊長為 x(cm), 種植面積為 y(m2)

（一）教師組織合作學習活動：

1、先個體探求，嘗試寫出y與x之間的函數解析式。1 1 1 3 x 22、上述三個問題先易后難，在個體探求的基礎上，小組進行合作交流，共同探討。（1）y =πx2（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000(3)y =(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112

（二）上述三個函數解析式具有哪些共同特征？ 讓學生充分發表意見，提出各自看法。

教師歸納總結：上述三個函數解析式經化簡后都具y=ax2+bx+c(a,b,c是常數, a≠0)的 形式.板書 板書板書 板書： ：：

：我們把形如

我們把形如我們把形如

我們把形如y=ax2+bx+c(其中 其中其中

其中a,b,C是常數 是常數是常數 是常數，，a≠ ≠≠

≠0)的函數叫做二次函數 的函數叫做二次函數的函數叫做二次函數 的函數叫做二次函數(quadratic funcion)稱 稱稱

稱a為二次項系數

為二次項系數為二次項系數 為二次項系數，，b為一次項系數

為一次項系數為一次項系數 為一次項系數，，c為常數項

為常數項為常數項 為常數項，，請講出上述三個函數解析式中的二次項系數、一次項系數和常數項

（二）做一做

1、下列函數中，哪些是二次函數？(1)2x y=(2)21 x y?=(3)1 22??=xxy（4）)1(xxy?=（5）)1)(1()1(2?+??=xxxy

2、分別說出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項：（1）12+ =xy（2）12732?+=xxy（3）)1(2xxy?=

3、若函數m mxmy??=2)1(2為二次函數，則m的值為。

三、例題示范，了解規律 例

1、已知二次函數 q pxxy++=2當x=1時，函數值是4；當x=2時，函數值是-5。求這個二次函數的解析式。

此題難度較小，但卻反映了求二次函數解析式的一般方法，可讓學生一邊說，教師一 邊板書示范，強調書寫格式和思考方法。練習：已知二次函數c bxaxy++=2，當x=2時，函數值是3；當x=-2時，函數 值是2。求這個二次函數的解析式。

例

2、如圖，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去4個全等的直角三角形（圖中 陰影部分）。設AE=BF=CG=DH=x(cm),四邊形EFGH的面積為y(cm2), 求：

（1）y關于x 的函數解析式和自變量x的取值范圍。

（2）當x分別為0.25，0.5，1.5，1.75時，對應的四邊形EFGH的面積，并列表表 示。3 方法：

（1）學生獨立分析思考，嘗試寫出y關于x的函數解析式，教師巡回輔導，適時點 撥。

（2）對于第一個問題可以用多種方法解答，比如：

求差法：四邊形EFGH的面積=正方形ABCD的面積-直角三角形AEH的面積DE4倍。直接法：先證明四邊形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2(3)對于自變量的取值范圍，要求學生要根據實際問題中自變量的實際意義來確定。（4）對于第（2）小題，在求解并列表表示后，重點讓學生看清x與y 之間數值的對 應關系和內在的規律性：隨著x的取值的增大，y的值先減后增；y的值具有對稱性。練習：

用20米的籬笆圍一個矩形的花圃（如圖），設連墻的一邊為x,矩形的面積為y,求：(1)寫出y關于x的函數關系式.(2)當x=3時,矩形的面積為多少? a 4 ac4b2? ?? ?

四、歸納小結，反思提高 本節課你有什么收獲？

五、布置作業 課本作業題

26.2二次函數的圖像

二次函數的圖像二次函數的圖像 二次函數的圖像（（（（1））））A B E F C G D H x

4教學目標

教學目標教學目標 教學目標：

1、經歷描點法畫函數圖像的過程；

2、學會觀察、歸納、概括函數圖像的特征；

3、掌握型二次函數圖像的特征；

4、經歷從特殊到一般的認識過程，學會合情推理。教學重點

教學重點教學重點 教學重點： ：： ： 2ax y=型二次函數圖像的描繪和圖像特征的歸納 教學難點

教學難點教學難點 教學難點： ：： ：

選擇適當的自變量的值和相應的函數值來畫函數圖像，該過程較為復雜。教學設計

教學設計教學設計 教學設計： ：： ：

一、回顧知識

前面我們在學習正比例函數、一次函數和反比例函數時時如何進一步研究這些函數 的？ 先（用描點法畫出函數的圖像，再結合圖像研究性質。）

引入：我們仿照前面研究函數的方法來研究二次函數，先從最特殊的形式即2ax y=入

手。因此本節課要討論二次函數2ax y=（0≠a）的圖像。板書課題：二次函數2ax y=（0≠a）圖像

二、探索圖像

1、用描點法畫出二次函數 2x y=和2xy?=圖像（1）列表 x ?-2 2 1 1?-1 2 1 ? 0 2 1 1 2 1 1 2 ? 2x y= ? 4 4 1 2 1 4 1 0 4 1 2 1 4 1 2 4 ? 2x y?= ?-4-4 1 2-1-4 1 0-4 1-1-4 1 2-4 ?

引導學生觀察上表，思考一下問題： ①無論x取何值，對于2x y=來說，y的值有什么特征？對于2xy?=來說，又有什 么特征？ ②當x取? ?1, 2 1 ±±等互為相反數時，對應的y的值有什么特征？

（2）描點（邊描點，邊總結點的位置特征，與上表中觀察的結果聯系起來）.（3）連線，用平滑曲線按照x由小到大的順序連接起來，從而分別得到2x y=和 52x y?=的圖像。

2、練習：在同一直角坐標系中畫出二次函數22 xy= 和22xy?=的圖像。

學生畫圖像，教師巡視并輔導學困生。（利用實物投影儀進行講評）

3、二次函數2ax y=（0≠a）的圖像

由上面的四個函數圖像概括出：（1）二次函數的2ax y=圖像形如物體拋射時所經過的路線，我們把它叫做拋物 線，（2）這條拋物線關于y軸對稱，y軸就是拋物線的對稱軸。

（3）對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點。注意：頂點不是與y軸的交點。（4）當o a?時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線上的最低點，圖像在x軸的上 方(除頂點外)；當o a?時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線上的最高點圖 像在x軸的 下方(除頂點外)。

（最好是用幾何畫板演示，讓學生加深理解與記憶）

三、課堂練習觀察二次函數2x y=和2xy?=的圖像(1)填空： 拋物線 2x y= 2xy?= 頂點坐標

對稱軸

位 置

開口方向

(2)在同一坐標系內，拋物線2x y=和拋物線2xy?=的位置有什么關系？如果在同一 個坐標系內畫二次函數2ax y=和2axy?=的圖像怎樣畫更簡便？(拋物線2x y=與拋物線2xy?=關于x軸對稱，只要畫出2axy=與2axy?=中的 一條拋物線，另一條可利用關于x軸對稱來畫)

四、例題講解

例題：已知二次函數2ax y=（0≠a）的圖像經過點（-2，-3）。

（1）求a 的值，并寫出這個二次函數的解析式。

（2）說出這個二次函數圖像的頂點坐標、對稱軸、開口方向和圖像的位置。6練習：（1）課本第31頁課內練習第2題。

(2)已知拋物線y=ax2經過點A（-2，-8）。

（1）求此拋物線的函數解析式；

（2）判斷點B（-1，-4）是否在此拋物線上。

（3）求出此拋物線上縱坐標為-6的點的坐標。

五、談收獲 1.二次函數y=ax2(a≠0)的圖像是一條拋物線.2.圖象關于y軸對稱,頂點是坐標原點

3.當a>0時,拋物線的開口向上,頂點是拋物線上的最低點;當a<0時,拋物線的開口向下, 頂點是拋物線的最高點

六、作業：見作業本。

課題 課題課題 課題： ：：

：26.2二次函數的圖像

二次函數的圖像二次函數的圖像 二次函數的圖像（（（（2））））教學目標：

1、經歷二次函數圖像平移的過程；理解函數圖像平移的意義。

2、了解2ax y=，2)(mxay+=，kmxay++=2)(三類二次函數圖像之間的關系。73、會從圖像的平移變換的角度認識kmxay++=2)(型二次函數的圖像特征。教學重點：從圖像的平移變換的角度認識k mxay++=2)(型二次函數的圖像特征。

教學難點：對于平移變換的理解和確定，學生較難理解。教學設計：

一、知識回顧 二次函數2ax y=的圖像和特征：

1、名稱 ；

2、頂點坐標 ；

3、對稱軸

4、當o a?時，拋物線的開口向，頂點是拋物線上的最 點，圖像在x軸的頂點外)；當o a?時，拋物線的開口向，頂點是拋物線上的最 點圖像在x軸

；除

(的(除頂點外)。

二、合作學習

在同一坐標系中畫出函數圖像22 1 xy=，,)2(2 12+ =xy2)2(2 1 ?=xy的圖像。

（1）請比較這三個函數圖像有什么共同特征？（2）頂點和對稱軸有什么關系？

（3）圖像之間的位置能否通過適當的變換得到？（4）由此，你發現了什么？

三、探究二次函數2ax y=和2)(mxay+=圖像之間的關系

1、結合學生所畫圖像，引導學生觀察,)2(2 12+ =xy與22 1 xy=的圖像位置關系，直觀得出22 1 xy=的圖像? →?向左平移兩個單位,)2(2 12+ =xy的圖像。

教師可以采取以下措施：①借助幾何畫板演示幾個對應點的位置關系，如：（0，0）? →?向左平移兩個單位（-2，0）（2，2）? →?向左平移兩個單位（0，2）；（-2，2）? →?向左平移兩個單位（-4，2）

②也可以把這些對應點在圖像上用彩色粉筆標出，并用帶箭頭的線段表示平移過程。

2、用同樣的方法得出22 1 xy=的圖像? →?向右平移兩個單位2)2(2 1 ?=xy的圖像。

3、請你總結二次函數y=a(x+ m)2的圖象和性質.82ax y=（0≠a）的圖像個單位時向右平移當個單位向左平移 時當m 0mm 0m??? →?2)2(2 1 ?=xy的圖像。函數2)(mxay+=的圖像的頂點坐標是（-m,0）,對稱軸是直線x=-m

4、做一做（1）、拋物線 開口方向 對稱軸 頂點坐標 y =2(x+3)2

y =-3(x-1)2

y =-4(x-3)2（2）、填空：

①、由拋物線y=2x2向平移 個單位可得到y= 2(x+1)2 ②、函數 y=-5(x-4)2的圖象。可以由拋物線 向平移 4 個單位而得 到的。

3、對于二次函數2)4(3 1 ??=xy，請回答下列問題： ①把函數23 1 xy?=的圖像作怎樣的平移變換，就能得到函數2)4(3 1 ??=xy的圖 像？

②說出函數2)4(3 1 ??=xy的圖像的頂點坐標和對稱軸。

第3題的解答作如下啟發：這里的m是什么數？大于零還是小于零？應當把23 1 xy?=的圖像向左平移還是向右平移？在此同時用平移的方法畫出函數2)4(3 1 ??=xy的大致圖像（事先畫好函數23 1 xy?=的圖像），借助圖像有學生回 答問題。

五、探究二次函數k mxay++=2)(和2axy=圖像之間的關系

1、在上面的平面直角坐標系中畫出二次函數3)2(2 12+ +=xy的圖像。

首先引導學生觀察比較,)2(2 12+ =xy與3)2(2 12+ +=xy的圖像關系，直觀得出：,)2(2 12+ =xy的圖像?→?個單位向上平移33)2(2 12+ +=xy的圖像。（結合多媒體演 示）

再引導學生剛才得到的22 1 xy=的圖像與,)2(2 12+ =xy的圖像之間的位置關系，由 9此得出：只要把拋物線22 1 xy=先向左平移 2個單位，在向上平移3個單位，就可得 到函數3)2(2 12+ +=xy的圖像。

2、做一做：請填寫下表：

函數解析式 圖像的對稱軸 圖像的頂點坐標 22 1 xy= ,)2(2 12+ =xy 3)2(2 12+ +=xy

3、總結k mxay++=2)(的圖像和2axy=圖像的關系 2axy=（0≠a）的圖像個單位時向右平移當個單位向左平移 時當m 0mm 0m??? →?2)2(2 1 ?=xy的圖像個單位時向下平移當個單位向上平移 時當m 0km 0k??? →?kmxay++=2)(的圖像。kmxay++=2)(的圖像的對稱軸是直線x=-m，頂點坐標是（-m，k）。口訣：（m、k）正負左右上下移（m左加右減 k上加下減）

4、練習：課本第34頁課內練習地1、2題

六、談收獲：

1、函數k mxay++=2)(的圖像和函數2axy=圖像之間的關系。

2、函數k mxay++=2)(的圖像在開口方向、頂點坐標和對稱軸等方面的性質。

七、布置作業

課本第35頁作業題 預習題：對于函數1 22+??=xxy，請回答下列問題：（1）對于函數1 22+??=xxy的圖像可以由什么拋物線，經怎樣平移得到的？ 10（2）函數圖像的對稱軸、頂點坐標各是什么？

課題 課題課題 課題： ：：

：26.2二次函數的圖像

二次函數的圖像二次函數的圖像 二次函數的圖像（（（（3））））教學目標：

1、了解二次函數圖像的特點。11 2、掌握一般二次函數cbxaxy++=2的圖像與2axy=的圖像之間的關系。

3、會確定圖像的開口方向，會利用公式求頂點坐標和對稱軸。教學重點：二次函數的圖像特征

教學難點：例2的解題思路與解題技巧。教學設計：

一、回顧知識

1、二次函數k mxay++=2)(的圖像和2axy=的圖像之間的關系。

2、講評上節課的選作題 對于函數1 22+??=xxy，請回答下列問題：（1）對于函數1 22+??=xxy的圖像可以由什么拋物線，經怎樣平移得到的？（2）函數圖像的對稱軸、頂點坐標各是什么？ 思路：把1 22+??=xxy化為kmxay++=2)(的形式。=[ ][]2)1(2)1(2)12()12(2222+??=?+?=?++?=?+?xxxxxx 在2)1(2+??=xy中，m、k分別是什么？從而可以確定由什么函數的圖像經怎樣 的平移得到的？

二、探索二次函數c bxaxy++=2的圖像特征

1、問題：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象及圖象的形狀、開口方向、位 置又是怎樣的？學生有難度時可啟發：通過變形能否將y=ax2+bx+c轉化為y = a(x+m)2 +k的形式 ？ c bxaxy++=2 =a bac a b xa a c a b a b x a b xa a c x a b xa 4 4)2()2()2()(2 22222? ++= ? ? ? ? ? ? +?++=++ 由此可見函數c bxaxy++=2的圖像與函數2axy=的圖像的形狀、開口方向均相 同，只是位置不同，可以通過平移得到。

練習：課本第37頁課內練習第2題（課本的例2刪掉不講）

2、二次函數c bxaxy++=2的圖像特征（1）二次函數 c bxaxy++=2(a≠0)的圖象是一條拋物線； 221yxx=??+ 12（2）對稱軸是直線x=a b 2 ?，頂點坐標是為（a b 2 ?，a bac 4 42?）(3)當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線上的最低點。當a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線上的最高點。

三、鞏固知識

1、例

1、求拋物線2 5 3 2 12? +?=xxy的對稱軸和頂點坐標。

有由學生自己完成。師生點評后指出：求拋物線的對稱軸和頂點坐標可以采用配方法 或者是用頂點坐標公式。

2、做一做課本第36頁的做一做和第37頁的課內練習第1題

3、（補充例題）例2已知關于x的二次函數的圖像的頂點坐標為（-1，2），且圖像過 點（1，-3）。

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）求這個二次函數的圖像與坐標軸的交點坐標。(此小題供血有余力的學生解答)分析與啟發：（1）在已知拋物線的頂點坐標的情況下，將所求的解析式設為什么比較 簡便？

4、練習：（1）課本第37頁課內練習第3題。

（2）探究活動：一座拱橋的示意圖如圖（圖在書上第37頁），當水面寬12m時，橋 洞頂部離水面4m。已知橋洞的拱形是拋物線，要求該拋物線的函數解析式，你認為 首先要做的工作是什么?如果以水平方向為x軸，取以下三個不同的點為坐標原點：

1、點A

2、點B

3、拋物線的頂點C 所得的函數解析式相同嗎？請試一試。哪一種取法求得的函數解析式最簡單？

四、小結

1、函數c bxaxy++=2的圖像與函數2axy=的圖像之間的關系。

2、函數c bxaxy++=2的圖像在對稱軸、頂點坐標等方面的特征。

3、函數的解析式類型： 一般式：c bxaxy++=2 頂點式：k mxay++=2)（五、布置作業 課 課課 課題 題題 題： ：：

：2.3二次函數的性質

二次函數的性質二次函數的性質 二次函數的性質（（（（1））））教學目標：

1.從具體函數的圖象中認識二次函數的基本性質.2.了解二次函數與二次方程的相互關系.133.探索二次函數的變化規律,掌握函數的最大值(或最小值)及函數的增減性的概念,會 求二次函數的最值,并能根據性質判斷函數在某一范圍內的增減性 教學重點：

二次函數的最大值,最小值及增減性的理解和求法.教學難點：二次函數的性質的應用.教學過程： 復習引入

二次函數: y=ax2 +bx + c(a ≠ 0)的圖象是一條拋物線,它的開口由什么決定呢? 補充: 當

a的絕對值相等時,其形狀完全相同,當a的絕對值越大,則開口越小,反之成 立.二,新課教學: 1.探索填空: 根據下邊已畫好拋物線

y=-2x2的頂點坐標是 , 對稱軸是，在 側，即x_____0時, y隨著x的增大而增大；在 側，即x_____0時, y隨著x的增大而減小.當x= 時，函數y最大值是____.當x____0時,y<0.2.探索填空:：據上邊已畫好的函數圖象填空： 拋物線y= 2x2的頂點坐標 是 , 對稱軸

是，在 側，即x_____0時, y隨著x的增大而減少；在 側，即x_____0時, y隨著x的增大而增大.當x= 時，函數y最小值是____.當x____0時,y>0 3.歸納: 二次函數

y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(1).頂點坐標與對稱軸(2).位置與開口方向(3).增減性與最值

當a ﹥0時，在對稱軸的左側，y隨著x的增大而減小；在對稱軸的右側，y隨著x 的增大而增大；當 時，函數y有最小值。當a ﹤0時，在對稱軸的左側，y隨著x的增大而增大；在對稱軸的右側，y隨著x的增大而減小。0

y=-2x2 0 y= 2x2 y x a 2 b x? ?? ?= == = a2 b x? ?? ?= == =a 4 ac4b2? ?? ?a4 ac4b2? ?? ? 14當

時，函數y有最大值

4.探索二次函數與一元二次方程

二次函數y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的圖象如圖所示.(1).每個圖象與x軸有幾個交點？

(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根?驗證一下一元二次方程x2-2x+2=0 有根嗎?(3).二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么關系? 歸納:(3).二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況: ①有兩個交點, ②有一個交點, ③沒有交點.當二次函數y=ax2+bx+c 的圖象和x軸有交點時, 交點的橫坐標就是當y=0時自 變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.當b2-4ac ﹥0時，拋物線與x軸有兩個交點，交點的橫坐標是一元二次方程0=ax2+bx+c 的兩個根x1與

x2；當b2-4ac=0時，拋物線與x軸有且只有一個公共點；當b2-4ac﹤0 時，拋物線與x軸沒有交點。舉例: 求二次函數圖象

y=x2-3x+2與x軸的交點A、B的坐標。結論1：方程x2-3x+2=0 的解就是拋物線y=x2-3x+2與x軸的兩個交點的橫坐標。因此，拋物線與一元二次方程是有密切聯系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0 的兩個根是x1、x2，則拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩 個交點坐標分別是A（x1，0），B（x2,0）

5.例題教學:例1: 已知函數

⑴寫出函數圖像的頂點、圖像與坐標軸的交點，以及圖像與y軸的交點關于圖象對稱 軸的對稱點。然后畫出函數圖像的草圖；

(2)自變量x在什么范圍內時，y隨著x的增大而增大？何時y隨著x的增大而減少； 并求出函數的最大值或最小值。歸納:二次函數五點法的畫法 三.鞏固練習: 請完成課本練習： p42.1,2 2 15 x7 2 1 yx2+ ++ +? ?? ?? ?? ?= == = 16增減性。

3、能根據二次函數的解析式畫出函數的圖像，并能從圖像上觀察出函數的一些性質。教學重點：二次函數的解析式和利用函數的圖像觀察性質 教學難點：利用圖像觀察性質 教學設計：

一、復習

1、拋物線5)4(22?+?=xy的頂點坐標是，對稱軸是，在

側，即x_____0時，y隨著x的增大而增大； 在 側，即x_____0 時, y隨著x的增大而減小；當x= 時，函數y最 值是____。

2、拋物線6)3(22+?=xy的頂點坐標是，對稱軸是，在

側，即x_____0時，y隨著x的增大而增大； 在 側，即x_____0 時, y隨著x的增大而減小；當x= 時，函數y最 值是____。

二、例題講解

例

1、根據下列條件求二次函數的解析式：（1）函數圖像經過點A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）(2)函數圖像的頂點坐標是（2，4）且經過點（0，1）

（3）函數圖像的對稱軸是直線x=3,且圖像經過點（1，0）和（5，0）

說明：本題給出求拋物線解析式的三種解法，關鍵是看題目所給條件。一般來說：任 意給定拋物線上的三個點的坐標，均可設一般式去求；若給定頂點坐標（或對稱軸或 最值）及另一個點坐標，則可設頂點式較為簡單；若給出拋物線與x軸的兩個交點坐 標，則用分解式較為快捷。

例2 已知函數y= x2-2x-3 ,（１）把它寫成k mxay++=2)(的形式；并說明它是由怎樣的拋物線經過怎樣平移得到的？

（2）寫出函數圖象的對稱軸、頂點坐標、開口方向、最值；（3）求出圖象與坐標軸的交點坐標；（4）畫出函數圖象的草圖；

(5)設圖像交x軸于A、B兩點，交y 軸于P點，求△APB的面積；（6）根據圖象草圖，說出 x取哪些值時，① y=0;② y<0;③ y>0.說明：（1）對于解決函數和幾何的綜合題時要充分利用圖形，做到線段和坐標的互相 轉化；

（2）利用函數圖像判定函數值何時為正，何時為負，同樣也要充分利用圖像，要使 y<0;，其對應的圖像應在x軸的下方，自變量x就有相應的取值范圍。

17例

3、二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則： a 0;b 0;c 0;ac b42? 0。

說明：二次函數y=ax2+bx+c(a ≠0)的圖像與系數a、b、c、acb42?的關系 ： 系數的符號 圖像特征 a的符號 a>0.拋物線開口向 a<0 拋物線開口向 b的符號 b>0.拋物線對稱軸在y 軸的 側 b=0 拋物線對稱軸是 軸 b<0 拋物線對稱軸在y 軸的 側 c的符號 c>0.拋物線與y軸交于 C=0 拋物線與y軸交于 c<0 拋物線與y軸交于 ac b42?的符號 acb42?>0.拋物線與x 軸有 個交點 ac b42?=0 拋物線與x 軸有 個交點 ac b42?<0 拋物線與x 軸有 個交點

三、小結本節課你學到了什么？

四、布置作業：課本作業題第5、6題

補充作業題：已知二次函數的圖像如圖所示，下列結論： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正確的結論的個數是（）A 1個 B 2個 C 3個 D 4個

課題 課題課題 課題： ：：

：26.4二次函數的應用

二次函數的應用二次函數的應用 二次函數的應用（（（（1））））教學目標：

1、經歷數學建模的基本過程。

2、會運用二次函數求實際問題中的最大值或最小值。

3、體會二次函數是一類最優化問題的重要數學模型，感受數學的應用價值。x-1 1 y y x o 18教學重點和難點：

重點：二次函數在最優化問題中的應用。

難點：例1是從現實問題中建立二次函數模型，學生較難理解。教學設計：

一、創設情境、提出問題

出示引例（將作業題第3題作為引例）給你長8m的鋁合金條，設問： ①你能用它制成一矩形窗框嗎？ ②怎樣設計，窗框的透光面積最大？ ③如何驗證？

二、觀察分析，研究問題

演示動畫，引導學生觀察、思考、發現：當矩形的一邊變化時，另一邊和面積也隨之 改變。深入探究如設矩形的一邊長為x米，則另一邊長為(4-x)米，再設面積為ym2, 則它們的函數關系式為x xy42+?= ? ? ? ?ox x? ? ∵4 0 4 0??x∴

并當x =2時（屬于4 0??x范圍）即當設計為正方形時，面積最大=4(m2)引導學生總結，確定問題的解決方法：在一些涉及到變量的最大值或最小值的應用問 題中，可以考慮利用二次函數最值方面的性質去解決。步驟：

第一步設自變量；

第二步建立函數的解析式； 第三步確定自變量的取值范圍；

第四步根據頂點坐標公式或配方法求出最大值或最小值（在自變量的取值范圍內）。

三、例練應用，解決問題

在上面的矩形中加上一條與寬平行的線段，出示圖形 設問：用長為8m的鋁合金條制成如圖形狀的矩形窗框，問窗框的寬和高各是多少米時，窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？ 引導學生分析，板書解題過程。

變式（即課本例1）：現在用長為8米的鋁合金條制成如圖所示的窗框（把矩形的窗框 改為上部分是由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形），那么如何設計使窗框的 透光面

積最大？（結果精確到0.01米）19 練習：課本作業題第4題

四、知識整理，形成系統

這節課學習了用什么知識解決哪類問題？

解決問題的一般步驟是什么？應注意哪些問題？ 學到了哪些思考問題的方法？

五、布置作業：作業本

課題 課題課題 課題： ：：

：26.4二次函數的應用

二次函數的應用二次函數的應用 二次函數的應用(2)教學目標：

201、繼續經歷利用二次函數解決實際最值問題的過程。

2、會綜合運用二次函數和其他數學知識解決如有關距離等函數最值問題。

3、發展應用數學解決問題的能力，體會數學與生活的密切聯系和數學的應用價值。教學重點和難點：

重點：利用二次函數的知識對現實問題進行數學地分析，即用數學的方式表示問題以 及用數學的方法解決問題。

難點：例2將現實問題數學化，情景比較復雜。教學過程：

一、復習：

1、利用二次函數的性質解決許多生活和生產實際中的最大和最小值的問題，它的一 般方法是：

(1)列出二次函數的解析式，列解析式時，要根據自變量的實際意義，確定自變量 的取值范圍。

(2)在自變量取值范圍內，運用公式或配方法求出二次函數的最大值和最小值。

2、上節課我們討論了用二次函數的性質求面積的最值問題。出示上節課的引例的動 態

圖形（在周長為8米的矩形中）（多媒體動態顯示）

設問：（1）對角線（L）與邊長（x）有什何關系？ 2 22)4(xxl?+=)40(9622??xxxl+?=（2）對角線（L）是否也有最值？如果有怎樣求？

L與x 并不是二次函數關系，而被開方數卻可看成是關于x 的二次函數，并且有 最小值。引導學生回憶算術平方根的性質：被開方數越大（小）則它的算術平方根也 越大（小）。指出：當被開方數9 622+?xx取最小值時，對角線也為最小值。

二、例題講解

例題2：B船位于A船正東26km處，現在A、B兩船同時出發，A船發每小時 12km的速度朝正北方向行駛，B船發每小時5km的速度向正西方向行駛，何時兩船 相距最近？最近距離是多少？ 21 多媒體動態演示，提出思考問題：（1）兩船的距離隨著什么的變化而變化？(2)經過t小時后，兩船的行程是多少？ 兩船的距離如何用t來表示？ 設經過t小時后AB兩船分別到達A’，B’，兩船之間距離為A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 = 169t2-260t+676。（這里估計學生會聯想剛才解決類似的問題）因此只要求出被開方式169t2-260t+676 的最小值，就可以求出兩船之間的距離s的最 小值。

解:設經過t時后，A，B AB兩船分別到達A’，B’，兩船之間距離為 S=A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t2-260t+676 = 169（t-10 13）2+576（t>0）當t= 10 13 時，被開方式169（t-10 13）2+576 有最小值576。所以當t= 10 13 時，S最小值= 576 =24（km）答：經過 10 13 時，兩船之間的距離最近，最近距離為24km 練習：直角三角形的兩條直角邊的和為2，求斜邊的最小值。

三、課堂小結

應用二次函數解決實際問題的一般步驟

四、布置作業 見作業本

課題 課題課題 課題： ：：

：26.4二次函數的應用

二次函數的應用二次函數的應用 二次函數的應用(3)教學目標：

1、繼續經歷利用二次函數解決實際最值問題的過程。

2、會綜合運用二次函數和其他數學知識解決如有關距離等函數最值問題。

3、發展應用數學解決問題的能力，體會數學與生活的密切聯系和數學的應用價值。教學重點和難點：

重點：利用二次函數的知識對現實問題進行數學地分析，即用數學的方式表示問題以 及用數學的方法解決問題。

難點：例3將現實問題數學化，情景比較復雜。教學過程：

例3某飲料經營部每天的固定成本為200元,某銷售的飲料每瓶進價為5元。銷售單價(元)6 7 8 9 10 11 12 日均銷售量(瓶)480 440 400 360 320 280 240(1)若記銷售單價比每瓶進價多x元時，日均毛利潤(毛利潤＝售價－進價－固定 成本)為y元，求y關于x的函數解析式和自變量的取值范圍；

(2)若要使日均毛利潤達到最大，銷售單價應定為多少元(精確到0.1元)？最大日 均毛利潤為多少？

練習：P47課內練習

0

第二篇：九年級數學下二次函數教案

教學課題：二次函數（1）

教案背景

這節課是在學完正、反比例、一次函數，認識了一元二次方程之后的二次函數的第一節課。本章內容，既是對之前所學函數知識的一個補充，對函數知識系統的一個完善，也是以后學習高等函數知識的一個基礎。因此，本章的內容在學生的知識系統中起著一個承上啟下的作用。而本節課又是本章的第一節課，是本章內容的一個開端，對整章內容的學習起著非常重要的作用。從課本的體系來看，這節課明顯是要讓學生明白什么是二次函數，能區別二次函數與其他函數的不同，能深刻理解二次函數的一般形式，并能初步理解實際問題中對定義域的限制。

教材分析

二次函數是一種常見的函數，應用非常廣泛，它是客觀地反映現實世界中變量之間的數量關系和變化規律的一種非常重要的數學模型。許多實際問題往往可以歸結為二次函數加以研究.在本節課之前，學生已經系統的學習過了正比例函數、反比例函數和一次函數等幾例特殊函數。學生對兩個變量之間的函數關系已經有一個基礎的認識。本節課通過實例引入二次函數的概念，并學習求一些簡單的實際問題中二次函數的解析式和它的定義域.在教學中要重視二次函數概念的形成和建構，在概念的學習過程中，讓學生體驗從問題出發到列二次函數解析式的過程，體驗用函數思想去描述、研究變量之間變化規律的意義.這節課又是學生初中階段研究的最后一個具體的函數，也是最重要的，在歷年來的中考題中占有較大比例。同時，二次函數和以前學過的一元二次方程、以后學習的一元二次不等式有著密切的聯系。進一步學習二次函數將為它們的解法提供新的方法和途徑，并使學生更為深刻的理解“數形結合”的重要意義。

教學目標

1、在實際問題情境中讓學生經歷、分析和探索建立兩個變量之間的二次函數關系的過程，進一步體驗如何用數學的方法去描述變量之間的數量關系。

2、理解二次函數的概念掌握二次函數的形式。

3、會建立簡單的二次函數的模型，并能根據實際問題確定自變量的取值范圍。

4、會用待定系數法求二次函數的解析式。

教學重難點

1、本節教學的重點是二次函數的概念及解析式。

2、本節“合作學習”涉及的實際問題情境比較復雜，要求學生有較強的概括能力，是本節教學的難點。

教學過程

Ⅰ．創設問題情境，引入新課

[師]對于“函數”這個詞我們并不陌生，大家還記得我們學過哪些函數嗎?

[生]學過正比例函數，一次函數，反比例函數．

[師]那函數的定義是什么，大家還記得嗎?

[生]記得，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量．

[師]能把學過的函數回憶一下嗎?

[生]可以，一次函數y=kx+b．(其中k、b是常數，且k≠0)

正比例函數y＝kx(k是不為0的常數)．

反比例函數y=k(A是不為0的常數)． x

[師]很好，從上面的幾種函數來看，每一種函數都有一般的形式．那么二次函數的一般形式究竟是什么呢?本節課我們將揭開它神秘的面紗．

Ⅱ．合作學習，探索新知

請用適當的函數解析式表示下列問題情境中的兩個y與x之間的關系。

(1)圓的面積y(cm2)與圓的半徑x(cm)；

(2)王先生存入銀行2萬元，先存一個一年定期，一年后銀行將本息自動轉存為又一個一年定期，設一年定期的年存款利率為x，兩年后王先生共得本息y元；

(3)擬建中的一個溫室的平面圖如圖1，如果溫室外圍是一個矩形，周長為120m,室內通道的尺寸如圖，設一條邊長為x(m)，種植面積為y(m2)

（一）教師組織合作學習活動

1、先個體探求，嘗試寫出與之間的函數解析式。

2、上述三個問題先易后難，在個體探求的基礎上，小組進行合作交流，共同探討第（2）特別是第（3）題的函數解析式，老師巡回指導，并參與到小組活動中去。

3、請小組代表上黑板寫出三個問題的函數解析式樣并進行化簡。

（二）老師問：上述三個函數解析式具有哪些共同的特征？

讓學生充分發表意見，提出各自看法。

2教師歸納總結：上述三個函數解析式樣并進行化簡后都具有y＝ax+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)的形式。

2（板書）一般地，形如y＝ax+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)的函數叫做x的二次函數(quadratic

function)．

師：請同學依次說出上述三個解析式中的二次項系數、一次項系數和常數項。

（三）學生完成“做一做”

P27：

1、2

在評價學生作業時，對于第1小題，老師強調二次函數解析式中（1）是整式，（2）二次項

2系數a≠0，對于第2題（3）老師提醒：先化簡，寫成y＝ax+bx+c形式后，再判斷各項系

數和常數項。

三、例題示范，了解規律

例1：如圖2，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分），設AE=BF=CG=DH=x(cm),四邊形EFGH的面積為y(cm2),求：

1、y關于x的函數解析式和自變量的取值范圍；

2、當x分別為0.25,0.5,1,1.5,1.75時，對誤碼的四邊形EFGH的面積，并列表表示。

（一）學生獨立分析思考，嘗試寫出y關于x的函數解析式，教學巡回輔導，適

時點撥。

（二）引導學生加以分析總結：

1、求差法

2、直接法

3、自變量的取值范圍。

2例2：已知二次函數y＝ax+px+q,當x=1時，函數值是4，當x=2時，函數值是-5，求這個

二次函數的解析式。

此例題難度較小，但卻反映求二次函數解析式的一般方法，可讓學生一邊說，老師一邊板書示范，強調書寫格式和思考方法，結束后讓學生完成強化。

練習：“課內練習”第2題。

Ⅳ．課時小結

本節課我們學習了如下內容：

1.經歷探索和表示二次函數關系的過程．猜想并歸納二次函數的定義及一般形式．

2．二次函數系數、一次項系數和常數項的概念。

3、如何求二次函數的解析式。

Ⅴ．課后作業

課本“作業題”

Ⅵ．活動與探究

2m2-m若y＝(m+m)x是二次函數，求m的值．

教學反思

整節課的流程可以這樣概括：學生感興趣的簡單實際問題——引出學過的一次函數——復習學過的所有函數形式——設問：有沒有新的函數形式呢？——探索新的問題——形成關系式——是函數嗎？——是學過的函數嗎？——探索出新的函數形式——概括新函數形式的特點——將特點公式化——形成二次函數定義——有練習鞏固定義特點——返回實際問題討論實際問題對自變量的限制——提出新的問題，深入討論——課堂的小結，這樣設計一氣呵成，感覺上無拖沓生硬之處，最關鍵的是我認為這符合學生的基本認知規律，是容易讓

學生理解和接受的。

對于練習的設計，仍然采取了不重復的原則性，盡量做到每題針對一個問題，并進行及時的小結，也遵循了從開放到封閉的原則，達到了良好的效果。

對于最后討論題的設計和提出，是我在進行了整個一章的單元備課后發現，我們其實對二次函數的最值問題是不講的，但是不講并不代表一點都不會涉及到，其中用到的思想方法還是相當重要的，在圖象的觀察中也具有了重要的地位，再加上這個問題在進行了前面的實際問題的解答之后是呼之欲出的：多種樹——想提高產量——多種幾棵好呢？，所以我設計了這個探索性的問題：假如你是果園的主人，你準備多種幾棵？注意這里我并沒有提出最大最小值的問題，但是所有的學生都能理解到，這是數學的魅力。這個問題的提出是整節課的一個高潮和精華，是學生學完二次函數定義之后，綜合利用函數的基本知識，代數式的知識和一元二次方程的知識進行的思考，因而他們的想法和說法，不論對錯，不論全面還是有所偏頗，其中都涉及到了重要的數學思想方法，而這些恰恰是非常重要的。事實證明學生的思維真的是非常活躍的，你要你給了足夠的空間，他們總能從各方各面進行思考和解釋，我也從中看到了他們智慧的火花，這是很令人欣慰的。

第三篇：期末復習教案-二次函數(北師大版 九年級下)

二次函數復習學案

【【知識梳理】

1.定義：一般地，如果，（是常數，的二次函數.2.二次函數

用配方法可化成：的形式，其中，那么

叫做

.3.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當相等，拋物線的開口大小、形狀相同.②平行于軸（或重合）的直線記作

.特別地，軸記作直線

.時，開口 ；當

時，開口 ；

4.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.5.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.的形式，（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為得到頂點為(,)，對稱軸是直線

.（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.6.拋物線

中，的作用

中的完全一樣.的對稱軸是直（1）決定開口方向及開口大小，這與（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在 1

軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在與

軸右側.（3）的大小決定拋物線 當①軸.時，∴拋物線,與

軸交點的位置.與

軸有且只有一個交點（0，）：,與

軸交于負半，拋物線經過原點;②軸交于正半軸；③ 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在7.用待定系數法求二次函數的解析式（1）一般式：（2）頂點式：

軸右側，則..已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式..已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.、，通常選用交點式：（3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標

.12.直線與拋物線的交點（1）（2）與(,軸與拋物線軸平行的直線).得交點為(0,).與拋物線

有且只有一個交點（3）拋物線與軸的交點 二次函數次方程程的根的判別式判定：

①有兩個交點

拋物線與軸相交；

拋物線與軸相切； 的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方 ②有一個交點（頂點在軸上）③沒有交點

拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相 2

等，設縱坐標為，則橫坐標是（5）一次函數的兩個實數根.的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組與與的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時

與

只有一個交點；③方程組無解時有兩個交點;②方程組只有一組解時沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線，由于、是方程的兩個根，故

與軸兩交點為

【能力訓練】

1．二次函數y=－x＋6x－5，當 時，2.拋物線A．

B．

2，且隨的增大而減小。的值為（）D．

． 的頂點坐標在第三象限，則

C．3．拋物線y=x2－2x＋3的對稱軸是直線（）

A．x =2

B．x =－2 C．x =－1 D．x =1

4． 二次函數y=x2+2x－7的函數值是8，那么對應的x的值是（）

A．3

B．5

C．－3和5 D．3和－5

5．拋物線y=x2－x的頂點坐標是（）

6．二次函數大小關系是（）的圖象，如圖1－2－40所示，根據圖象可得a、b、c與0的 3

A．a＞0，b＜0，c＜0

B．a＞0，b＞0，c＞0

C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0

7．小敏在今年的校運動會跳遠比賽中跳出了滿意一跳，函數h=3．5 t－4．9 t2(t的單位s；h中的單位：m）可以描述他跳躍時重心高度的變化．如圖，則他起跳后到重心最高時所用的時間是（）

A．0．71s

B．0.70s C．0.63s

D．0．36s 8．已知拋物線的解析式為y=－（x—2）2＋l，則拋物線的頂點坐標是（）

A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）

9．若二次函數y=x2－x與y=－x2+k的圖象的頂點重合，則下列結論不正確的是（）

A．這兩個函數圖象有相同的對稱軸

B．這兩個函數圖象的開口方向相反

C．方程－x2+k=0沒有實數根

D．二次函數y=－x2＋k的最大值為

10．拋物線y=x2 +2x－3與x軸的交點的個數有（）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

11．拋物線y=（x—l）2 +2的對稱軸是（）

A．直線x=－1 B．直線x=1 C．直線x=2 D．直線x=2 12．已知二次函數的圖象如圖所示，則在“①

a＜0，②b＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正確的判斷是（）

A、①②③④

B、④

C、①②③

D、①④ 13．已知二次函數

(a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數值相等；③4a+b=0；④當y=－2時，x的值只能取0．其中正確的個數是（）

A．l個

B．2個

C．3個

D．4個

14．如圖，拋物線的頂點P的坐標是（1，－3），則此拋物線對應的二次函數有（）

A．最大值1

B．最小值－3

C．最大值－3

D．最小值1

15．用列表法畫二次函數的圖象時先列一個表，當表中對自變量x的值

以相等間隔的值增加時，函數y所對應的值依次為：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一個值不正確，這個不正確的值是（）

A．506

B．380

C．274

D．182

16．將二次函數y=x2－4x+ 6化為 y=(x—h)2+k的形式：y=___________

17．把二次函數y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________

18．若二次函數y=x2－4x+c的圖象與x軸沒有交點，其中c為整數，則c=__ _________________（只要求寫一個）．

19．拋物線y=(x－1)2+3的頂點坐標是____________．

20．二次函數y=x2－2x－3與x軸兩交點之間的距離為_________.21.已知拋物線y=ax+bx+c經過A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三點，（1）

求拋物線的解析式和頂點M的坐標，并在給定的直角坐標系中畫出這條拋物線。（2）

若點（x0,y0）在拋物線上，且0≤x0≤4,試寫出y0的取值范圍。

22．華聯商場以每件30元購進一種商品，試銷中發現每天的銷售量銷售價（元）滿足一次函數y=162－3x；（1）寫出商場每天的銷售利潤為多少？

23．某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市后，公司經歷了從虧損到盈利的過程．下面的二次函數圖像（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間t（月）之間的關系（即前t個月的利潤總和s與t之間的關系）．

根據圖像提供的信息，解答下列問題：

（1）求累積利潤s（萬元）與時間t（月）之間的函數關系式；

（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；

（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？

（元）與每件的銷售價（元）的函數關系式；

（2）如果商場要想獲得最大利潤，每件商品的銷售價定為多少為最合適？最大銷售利潤

（件）與每件的

24．如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面AB的寬是20米，如果水位上升3米時，水面CD的寬為10米，（1）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式；

（2）現有一輛載有救援物質的貨車從甲地出發，要經過此橋開往乙地，已知甲地到此橋千米，（橋長忽略不計）貨車以每小時40千米的速度開往乙地，當行駛到1小時時，米的速度持續上漲，（貨車接到忽然接到緊急通知，前方連降大雨，造成水位以每小時通知時水位在CD處），當水位達到橋拱最高點O時，禁止車輛通行；試問：汽車按原來速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由；若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應超過多少千米？

25.已知直線y＝－2x＋b(b≠0)與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為y＝x－(b＋10)x＋c.⑴若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線y＝－2x＋b上，試確定這條拋物線的解析式；

⑵過點B作直線BC⊥AB交x軸于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線y＝－2x＋b的解析式.26．已知拋物線y=(1-m)x+4x-3開口向下，與x軸交于A(x1,0)和B(x2,0)兩點，其中xl

22的直角坐標系中畫出這條拋物線；

27．如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，A(0, 6)，D(4，6)，且AB=2.（1）求點B的坐標；

（2）求經過A、B、D三點的拋物線的解析式；

（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得S△PBD=S梯形ABCD。若存在，請求出該點坐標，若不存在，請說明理由.

第四篇：《二次函數 》教案

命題人：劉英明 審題人：曹金滿 課型：新授課

《二次函數 》教案

學習重點：通過具體問題引入二次函數的概念，在解決問題的過程中體會二次函數的意義．

學習難點：理解二次函數的概念，掌握二次函數的形式.一、知識回顧：

1.若在一個變化過程中有兩個變量和，如果對于的每一個值，都有唯一的值與它對應，那么就說是的，叫做.2.形如 的函數是一次函數，當時，它是正比例函數；

形如 的函數是反比例函數.二、探究新知：

1.用16m長的籬笆圍成長方形圈養小兔，圈的面積與長方形的長之間的函數關系式為.2.支球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽．寫出比賽的場次數與球隊數之間的關系式_______________________．

3.用一根長為40的鐵絲圍成一個半徑為的扇形，求扇形的面積與它的半徑之間的函數關系式是.4.觀察上述函數函數關系有哪些共同之處？

5.歸納：一般地，形如，（）的函數為二次函數。其中是自變量，是__________，是___________，是_____________．

6.方法：①等號右邊是整式； ②自變量最高次數為2； ③二次項系數不等于0.三、舉例應用：

例1.當 值時，函數二次函數；

當 值時，函數為一次函數；

例2.下列函數中，哪些是二次函數？

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

例3.填出下列二次函數的二次項系數、一次項系數、常數項

四、鞏固練習：

1.下列函數中哪些是二次函數？

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)．

2.若函數為二次函數，則的值為.3.分別說出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項：

(1)(2)(3)

4.已知函數，(1)當為何值時，這個函數是二次函數？

(2)當為何值時，這個函數是一次函數？

五、課堂小結：

談談今天你的收獲.六、課后作業：

數學同步練習冊.隨堂檢測

一、選擇題：

1.若是二次函數，則的值為（）

A.±2 B.﹣2 C.2 D.0

2.下列函數中是二次函數的是()

A.B.C.D.3.一定條件下,若物體運動的路段(米)與時間(秒)之間的關系為,則當秒時,該物體所經過的路程為（）

A.28米 B.48米 C.68米 D.88米

二、填空題：

4.觀察：①；②；③；④；⑤；⑥．這6個式子中二次函數有（只填序號）.5.是二次函數，則的值為______________．

6.若物體運動的路段（米）與時間（秒）之間的關系為，則當秒時，該物體所經過的路程為.7.把函數化成的形式是.8.二次函數．當時，則這個二次函數解析式為 ．

9.是二次函數,則的值為_________________.三、解答題：

10.取哪些值時，函數是以為自變量的二次函數？

11.已知與成正比例,并且當時,.求與之間的函數關系式.12.一個長方形的長是寬的2倍，寫出這個長方形的面積與寬之間的函數關系式.13.某種商品的價格是2元，準備連續兩次降價.如果每次降價的百分率都是，經過兩次降

價后的價格（單位：元）隨每次降價的百分率的變化而變化，與之間的關系可以用怎樣的函數來表示：

14.為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖）．若設綠化帶的BC邊長為m，綠化帶的面積為．求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

第五篇：二次函數教案

二次函數教案

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20.1二次函數

一、教學目標：

．知識與技能：

通過對多個實際問題的分析，讓學生感受二次函數作為刻畫現實世界有效模型的意義；通過觀察和分析，學生歸納出二次函數的概念并能夠根據函數特征識別二次函數.2．數學思考：

學生能對具體情境中的數學信息作出合理的解釋，能用二次函數來描述和刻畫現實事物間的函數關系.3．解決問題：

體驗數學與日常生活密切相關，讓學生認識到許多問題可以用數學方法解決，體驗實際問題“數學化”的過程.4．情感與態度：

通過觀察、歸納、猜想、驗證等教學活動，給學生創造成功機會，使他們愛學、樂學、學會，同時培養學生勇于探索，積極合作精神以及公平競爭的意識.二、教學重點、難點：

教學重點：認識二次函數，經歷探索函數關系、歸納二次函數概念的過程.教學難點：根據函數解析式的結構特征，歸納出二次函數的概念.三、教學方法和教學手段：

在確定二次函數的概念和尋求生活實例中的二次函數關系式的過程中，引導學生觀察、比較、分析和概括，以小組討論的形式，進行合作探究．

在教學手段方面，選擇了多媒體輔助教學的方式．

四、教學過程：

師生活動

設計意圖

、問題感知，情境切入.教師展示實際問題：

“第18屆世界杯足球賽”是今年夏天最“熱”的一個話題，綠蔭場上運動員揮汗如雨，綠蔭場外教練員運籌帷幄.足球運動是一項對運動員狀態（包括體能、速度和技術意識）要求很高的項目，一般情況下，足球運動員的狀態會隨著時間的變化而變化：比賽開始后，球員慢慢進入狀態，中間有一段時間球員保持較為理想的狀態，隨后球員的狀態慢慢下降.經實驗分析可知：球員的狀態綜合指數y隨時間t的變化規律有如下關系：

（1）比賽開始后第10分鐘時與比賽開始后第50分鐘時比較，什么時間球員的狀態更好？

（2）比賽開始后多少分鐘時，球員的狀態最好，這樣的最好狀態能持續多少分鐘？

通過學生之間的討論，很容易得出第（1）問的答案：比賽開始后第10分鐘時，y=140；比賽開始后第50分鐘時，y=220；所以，比賽開始后第50分鐘時球員的狀態更好.當學生開始進行第（2）問的解答時，遇到了不同的困難：

（1）不知道如何討論當50t90時，y的變化范圍？

（2）通過模仿一次函數的性質，學生求出了函數y=

中，y的變化范圍是.卻無法說出這樣做的數學依據是什么？

所有的困難都指向一個焦點問題：

y=

是個什么樣的函數？它具有什么樣的獨特性質？

因此，學生產生了研究函數y= 的興趣，教師趁勢提出今天的學習內容.以“世界杯足球賽”這樣貼近學生生活實際的問題為背景，力求更好地激發學生的求知欲，使之成為主動、積極的探索者，并在解決實際問題的過程中體驗成功的快樂，同時為新課的引出和學習奠定了基礎.這是一道結合實際的自編題，其中的數據于自己做的社會調查.足球運動是一項集體運動項目，對運動員的配合意識要求很高，所以運動員上場后30分鐘左右才進入最佳狀態，中場休息后狀態仍能保持到最佳，50分鐘后由于體能的下降影響了狀態的發揮.2、講解新課，提煉知識.（1）對比、分析

教師舉出生活中的其它實例，感受二次函數的意義，進一步深化對二次函數概念的認識.①如圖，正方形中圓的半徑是4cm，陰影部分的面積Q和正方形的邊長a的函數關系式是____________________．

②某種藥品現價每盒26元，計劃兩年內每年的降價率都為p，那么，兩年后這種藥品每盒的價格m（元）和年降價率p的函數關系式是____________________．

答案：m=262

（2）類比、遷移

教師順勢提問：對y=、Q=a2-

16、m=262這三個函數你能用一個一般形式來表示嗎？

教師參與到學生的分組討論中去，合作交流，注意及時抓住學生智慧火花的閃現進行引導.教師鼓勵學生用不同字母表示，只要把握概念的實質即可，必要時可提示學生，類比一次函數的知識.（3）二次函數的認識

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（說明：括號內的條件，在第步之后再補寫）的函數叫做二次函數，其中a、b分別是二次項系數、一次項系數，c是常數項.（4）加深理解

二次函數的定義給出后，教師引導學生分別討論“a、b、c的取值范圍”.學生就問題自由發言，教師充分引導學生發表自己的看法，只要合理，都應肯定.最后師生達到共識：

①a不能為0，因為當a=0時，右邊不再是x的二次式；

②b、c都能為0，因為當b=0、c=0或b、c都為0時，右邊仍是x的二次式.教師對所得出的常量范圍，進行概念補寫.通過兩個實例的分析，讓學生通過自己列解析式，來思考所列解析式的結構特征，為概括二次函數的定義打下基礎.引導學生側重從解析式的特征思考，透過“引用不同字母”的表層現象，看到解析式的“結構一致”的本質.敞開思想，廣泛議論，實現對二次函數本質的認識.充分肯定學生的探究結果，使其樹立“我也能發現數學”的信心.教師的提問意在引起學生的思維沖突，使之產生探究的欲望.遵循學生認知發展及知識系統的形成過程，由一般到特殊逐步為概念的理解鋪平道路.3、分層實踐，能力升級.[快速搶答]

下面各函數中，哪些是二次函數？

（1）①y=2x2

②y=－x2+3

③y=（x≠0）

④y=15x-1

⑤y=2+2

⑥y=3x2-2x-5

⑦y=-x（x2+4）

⑧y=

答：①、②、⑤、⑥是二次函數

（2）請寫出這些二次函數中a、b、a

b

c

①y=2x2

0

c的值.0

②y=－x2+3

－

0

⑤y=2+2

=x2+2x+3

⑥y=3x2-2x-5

特別強調：只有把解析式⑤整理成一般形式，才能正確判斷解析式中的a、b、c.1.[輕松完成]：矩形的周長為20cm，它的面積S（cm2）和它的一邊長a（cm）的函數關系式是怎樣的？并求出此函數的定義域.答案：S=a=-a2+10a，其中函數的定義域為：0

（1）寫出即時速度Vt與時間t的函數關系式；

（2）寫出平均速度與時間t的函數

關系式；（提示：本題中，平均速度）

（3）寫出滾動的距離S（單位：米）與滾動的時間t（單位：秒）之間的關系式.（提示：本題中，距離S=平均速度時間t）

（4）請判斷以上三個函數的類型，如果是二次函數，寫出解析式中的a、b、c.答案：

（1）Vt=1.5t；

（2）

=

= ；

（3）S=

t=

；

（4）函數Vt=1.5t和

=是一次函數，函數S=

是二次函數，解析式中的a=，b=0，c=0.3.[請你幫個忙]：某果園有100棵橘子樹，每一棵樹平均結600個橘子.現準備多種一些橘子樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹與樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橘子.那么，如何表示增種的橘子樹的數量x（棵）與橘子總產量y（個）之間的函數關系式呢？判斷這個函數的類型，如果是二次函數，寫出解析式中的a、b、c.答案：

解析式中的a=-5，b=100，c=60000.4.你出題大家做如圖，正方形ABcD的邊長是5，E是AB上的一個動點，G是AD的延長線上一點，且BE=DG，GF∥AB，EF

∥

AD，_____________________________________________?

請同學們以小組為單位嘗試編一道實際函數問題，列出的函數關系是可以是二次函數，也可以是一次函數.估計學生可能想到：

①矩形AEGF的面積y與BE的長x

之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

②矩形AEmD的面積y與BE的

長x之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

③矩形BEmc的面積y與BE的長x之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

④矩形DmFG的面積y與BE的長x之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

⑤其它類型：六邊形ABcmFG的周長y與BE的長x之間的函數關系；矩形AEGF的周長y與BE的長x之間的函數關系；……

這是一道概念辨析題，目的是讓學生正確識別二次函數，同時認識二次函數解析式中a、b、c的意義.通過求函數的定義域，讓學生體會實際問題中的二次函數的特點。

通過這道題的安排，讓學生體會到了二次函數應用的廣泛性。同時，學生在列解析式的過程中，從對比的角度全面了解判定二次函數的方法，進一步了解不同函數的差異，從而對函數的本質有更深入了解。

這道實際問題的解決，培養了學生的觀察能力和歸納能力，更重要的是讓學生體驗了實際問題“數學化”的過程.興趣是學習的動力源泉，學生在參與編題的過程中，培養了與人合作的精神和創新意識，通過學生多層次、多角度地解決問題的方式，使原本枯燥的數學課堂逐漸被開放、熱烈，富于創造性的課堂氣氛所代替，成為激發學生潛力的最佳土壤.4、展示交流，總結新知.（1）學生自己總結，并在班上交流

本節課——

我學會了……

使我感觸最深的……

我感到最困難的是……

我最值得學習的同學是……

（2）結合學生所述，教師給予指導：

①正確理解“二次函數”定義，關注和定義有關的注意問題.②生活中處處有數學的影子，只要留心觀察身邊的事物，開動腦筋，就能用數學知識解決許多的生活實際問題.課堂小結以教師提問、學生自由討論的形式進行，借此促進師生心靈的交流，學生對自己清醒的認識和總結，必然促進其自主學習，獲得可持續發展的動力.5、布置作業、鞏固知識.（1）閱讀教材相應內容，完成課后習題第45--46頁第1、2題.（2）實踐題：

推測植物的生長與溫度的關系

科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節：科學家把一種珍奇植物分別放在不同溫度的環境中，經過一定時間后，測試出這種植物的增長情況（如下表）

溫度t/℃

植物高度

增長量L/mm

由這些數據，科學家推測出植物的增加量L與溫度t的函數關系，并由它推測出最適合這種植物增長的溫度.你能想出科學家是怎樣推測的嗎？請在直角坐標系里畫出這個函數的大致圖象，根據圖象寫出你的分析.必做題促進知識的鞏固，實踐題供學有余力的學生完成，進一步培養發散思維及社會實踐能力.設置貼近學生生活的實際問題情境，并要求學生嘗試畫出二次函數的圖象來解決實際問題，激發學生探究新知的欲望，為以后的教學埋下伏筆.五、教案設計說明:

．注意聯系實際，滲透用教學的意識，力求呈現“問題情景——建立數學模型——解釋、應用與拓展”的過程，讓“人人學有價值的數學”.教學中以實際問題主線貫穿整個教學，強調具體問題的分析、抽象，滲透數學建模思想.注重問題的實際意義，選用貼近學生生活和具有時代氣息的例題、習題，激發學生的興趣，使學生體會二次函數在現實世界中的作用.2．給學生提供探索和交流的空間，數學活動力求避免單純的依賴模仿與記憶，而是一個生動活潑、主動和富有個性的過程.圍繞本節課所學知識，設置有現實意義的、具有挑戰性的開放型問題，激發學生積極思考，引導學生自主探索與合作交流，既能在探索中獲取知識，又能不斷豐富數學活動的經驗，學會探索，學會學習，提高解決問題的能力，發展創新意識和實踐能力.3．談化概念的形式記憶，關注概念的實際背景與形成過程，采用直觀導入、動手操作的方法，借助直觀形象，讓學生能夠理解概念，并初步學會應用.4．內容設計有彈性，真正實現“不同的人在數學上得到不同的發展”.關注學生群體的差異，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，所設置的問題既能使所有學生參與，又有一定的拓展、探索余地和廣闊的思維空間，使全體學生在獲得必要發展的前提下，不同的學生獲得不同的體驗。