第一篇：云南省昆明市藝卓高級中學八年級數學下冊《6.5 三角形內角和定理的證明》教學設計 北師大版

三角形內角和定理的證明

一、內容及其分析

1、教學內容：三角形的內角和。

2、內容分析：

本節課要學的內容是《三角形內角和定理的證明》，指得是利用平行線的相關知識來推導三角形內角和定理的證明及簡單應用。理解它關鍵是探求證明思路及寫出證明過程。學生在以前的幾何學習中，已經學習過平行線的判定定理與平行線的性質定理以及它們的嚴格證明，也熟悉三角形內角和定理的內容，而本節課是建立在學生掌握了平行線的性質及嚴格的證明等知識的基礎上展開的。通過上一節課的學習，學生對于簡單幾何證明是比較熟悉的，他們已經具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，本節課安排《三角形內角和定理的證明》旨在利用平行線的相關知識來推導出新的定理以及靈活運用新的定理解決相關問題。三角形的有關知識是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內容，它不僅是最基本的直線型平面圖形，而且幾乎是研究所有其它圖形的工具和基礎。而三角形內角和定理又是三角形中最為基礎的知識，也是學生最為熟悉且能與小學、中學知識相關聯的知識，看似簡單，但如果處理不好，會導致學生有厭煩心理。教學的重點是三角形內角和定理的證明及應用。

二、目標及其分析

（一）教學目標

（1）掌握三角形內角和定理的證明及簡單應用。（2）靈活運用三角形內角和定理解決相關問題。

（二）內容分析

1.掌握三角形內角和定理的證明，是指不僅從內容上知道，還要明白其來歷；能夠結合相關條件，由已知的公理和定理證明，并寫出每一步的因果關系。

2.靈活運用三角形內角和定理解決相關問題，就是是指結合具體事例，從它們的表示形式上、結合其圖像或性質，運用數學符號和數學語言條理清晰地寫出證明過程或解答過程。

三、問題診斷分析

在本節課的教學中，學生可能遇到的問題是三角形內角和定理的應用，主要有兩個方面：計算角度的大小，判斷三角形的形狀；證明角的相等關系。原因是在應用過程中，同學必須記住一些常見的基本圖形特點和相關定理。要解決這一問題，關鍵是理解定理的推理過程，在證明題時每一步都注明用到的公理或定理，加強練習，從而克服可能遇到的困難。

四、教學過程

0問題1：我們知道三角形的內角和等于180，還記得這個結論的探索過程嗎？ 根據前面給出的公理和定理，你能用嚴謹的推理來論證三角形內角和定理？ 看哪個同學想的方法最多？

設計意圖：用平行線的判定定理及性質定理來推導出新的定理，讓學生再次體會幾何證明的嚴密性和數學的嚴謹，培養學生的邏輯推理能力。

師生活動：添輔助線不是盲目的，而是為了證明某一結論，需要引用某個定義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時就需要添輔助線創造條件，以達到證明的目的。方法一：過A點作DE∥BC

∵DE∥BC

∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C（兩直線平行，內錯角相等）∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°

∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°(等量代換)方法二：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA．

∵CE∥BA

∴∠B＝∠ECD（兩直線平行，同位角相等）∠A＝∠ACE（兩直線平行，內錯角相等）∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD=180°

∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代換)

例1：已知：△ABC中，∠C＝∠B＝2∠A。

(1)求∠B的度數；

(2)若BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數。

變式練習：1.△ABC中可以有3個銳角嗎？3個直角呢？2個直角呢？若有1個直角另外兩角有什么特點？

2．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝？ 3．∠A＝50°，∠B＝∠C，則△ABC中∠B＝？

4．三角形的三個內角中，只能有____個直角或____個鈍角。5．任何一個三角形中，至少有____個銳角；至多有____個銳角。6．三角形中三角之比為1∶2∶3，則三個角各為多少度？

設計意圖：通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對三角形內角和定理的概念是否清楚，能否靈活運用三角形內角和定理，以便教師能及時地進行查缺補漏．

師生活動：同學獨立完成，請部分同學上黑板做，無論對錯，要求同學言必有據。五.課堂小結

證明三角形內角和定理有哪幾種方法？輔助線的作法技巧；三角形內角和定理的簡單應用。

第二篇：云南省昆明市藝卓高級中學八年級數學上冊《2.3 立方根》教學設計 北師大版

立方根

一、教學內容與分析：

（一）內容：探索立方根的概念、計算和簡單性質．

（二）分析：本節的重點是立方根的概念及計算．主要是通過對立方根與平方根的比較與歸類，探索立方根的概念、計算和簡單性質．（如知道一個數的立方根的意義，會用根號表示一個數的立方根，掌握立方根運算，掌握求一個數的立方根的方法和技巧）

二、教學目標與分析：

（一）目標：

1、了解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根．

2．會用立方運算求一個數的立方根，了解開立方與立方互為逆運算． 3．了解立方根的性質． 4．區分立方根與平方根的不同．

（二）分析：．經歷對立方根的探究過程，在探究中學會解決立方根的一些基本方法和策略．在學習了平方根的基礎上，用類比的方法學習立方根的有關知識。

三、教學支持條件分析：

四、問題診斷分析：本節中學生可能出現的問題是平方根與立方根的區別。所以在教學中應強調一個數總有立方根，但未必總有平方根，只有非負數才有平方根。

五、教學過程：

（一）復習引入、類比學習提問：

（1）什么叫一個數a的平方根？如何用符號表示數a（a≥0）的平方根?（2）正數的平方根有幾個？它們之間的關系是什么？負數有沒有平方根？0的平方根是什么？

（3）平方和開平方運算有何關系？

（4）算術平方根和平方根有何區別和聯系？

強調：一個正數的平方根有兩個，且互為相反數；一個負數沒有平方根；0的平方根是0.（5）為了前面場景的問題中，需要引出一個新的運算，你將如何定義這個新運算？ 1．一般地，如果一個數x的平方等于a，即x=a，那么這個數x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.32．一般地，如果一個數x的立方等于a，即x=a,那么這個數x就叫做a的立方根（cube root, 也 叫做三次方根）．如：2是8的立方根，－3是－27的立方根，0是0的立方根．

（三）初步探究

1、做一做：怎樣求下列括號內的數？各題中已知什么數？求什么數？

（）＝－（）＝0.001 ；（2）（1）

2、議一議：（1）正數有幾個立方根？（2）0有幾個立方根

33273（）＝0.；（3）

641

（3）負數呢？

（1）每個數a都只有一個立方根，記為“3a”，讀作“三次根號a”．例如x=7時，x是7

3的立方根，即37=x；與數的平方根的表示比較，數的立方根中根號前沒有“±”符號，但根指數3不能省略．

（2）正數的立方根是正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數．

（3）求一個數a的立方根的運算叫做開立方(extrction of cubic root), 其中a叫做被開方數．開立方與立方互為逆運算．

（三）鞏固練習

例1求下列各數的立方根：

（1）－27；（2）383 ；（3）3 ；（4）0.216 ；（5）－5.1258（－3）＝－27，所以－27的立方根是－3，即3－27＝－3； 解：（1）因為82828?2?（2）因為???，所以的立方根是，即3＝；

12551255?5?125（）＝（3）因為333232733333＝3，所以3的立方根是，即33＝； 888282（0.6）＝0.216，所以0.216的立方根是0.6，即30.216（4）因為＝0.6；

（5）－5的立方根是3－5.例2 求下列各式的值：

（1）3?8;（2）30.064;（3）?338；（4）1253?9?．

33解：（1）3?8=3??2???2；（2）30.064=3?0.4??0.4；

28?2?（3）?3=?3????；（4）

5125?5?

（四）環節：深入探究

想一想：

（1）3a表示a的立方根，那么

3?9?=9．

33?a?等于什么？

333a3呢？

（2）3－a與－3a有何關系？

六、課時小結：

1、提問通過本節課的學習你學到了哪些知識？歸納、總結學生的回答，得出下列內容： 1．了解立方根的概念，會用三次根號表示一個數的立方根，能用立方運算求一個數的立方根．

2．在學習中應注意以下5點：

（1）符號3a中根指數“3”不能省略；

（2）對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負數都有一個立方根；

（3）平方根和立方根的區別：正數有兩個平方根，但只有一個立方根；

負數沒有平方根，但卻有一個立方根；

（4）靈活運用公式：(3a)=a, 3a3?a，3－a=－3a；（5）立方與開立方也互為逆運算．我們也可以用立方運算求一個數的立方根，或檢驗一個數是不是另一個數的立方根．

七、目標檢測：

1、求下列各數的立方根：30.125；3?64；

2、課本P46隨堂練習

364；353； ?316?3.－

第三篇：云南省昆明市藝卓高級中學八年級數學下冊《2.3 運用公式法》教學設計 北師大版

運用公式法

一、教學內容與分析

1、教學內容：運用平方差公式分解因式

2、內容分析：本節是因式分解的第3小節，占兩個課時，這是第一課時，它主要讓學生經歷通過整式乘法的平方差公式的逆向運用得出因式分解的平方差公式的過程，發展學生的觀察能力和逆向思維能力，讓學生進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系．學生在上幾節課的基礎上，已經基本了解整式乘法運算與因式分解之間的互逆關系，在七年級的整式的乘法運算的學習過程中，學生已經學習了平方差公式，這為今天的深入學習提供了必要的基礎。初學者往往不會根據一個多項式的特點靈活的選擇一個公式，所以分兩個課時在處理公式法分解因式。

二、目標與分析

1、教學目標：會用平方差公式進行因式分解

2、目標分析：（1）學生在學習了用提取公因式法進行因式分解的基礎上，本節課又安排了用公式法進行因式分解，旨在讓學生能熟練地應對各種形式的多項式的因式分解，為下一章分式的運算以及今后的方程、函數等知識的學習奠定一個良好的基礎。

（2）在引導學生逆用乘法公式的過程中，培養學生逆向思維的意識，同時讓學生了解換元的思想方法．

三、問題診斷分析

可能有些學生平方差公式掌握得不是很好，造成用平方差公式分解的時候出現錯誤，或者是濫用公式。教師要注意讓學生認清平方差公式使用的形式。另外學生理解當公式中的a和b為多項式的時候可能會有困難。

四、教學過程分析 第一環節 練一練 問題1：填空：（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ． 根據上面式子填空：

22（1）9m–4n= ；

22（2）16x–y= ；

2（3）x–9= ；

2（4）1–4x= ．

設計意圖：學生通過觀察、對比，把整式乘法中的平方差公式進行逆向運用，發展學生的觀察能力與逆向思維能力．

師生活動：由于學生對乘法公式中的平方差公式比較熟悉，所以第一題很快可以回答，但是第二題會出現困難，所以教師要學生通過觀察與對比，得出第一組式子與第二組式子之間的對應關系，然后完成填空。第二環節 想一想

問題2：觀察上述第二組式子的左邊有什么共同特征？把它們寫成乘積形式以后又有什么共同特征？

22結論：a–b=（a+b）（a–b）

設計意圖：引導學生從第一環節的感性認識上升到理性認識，通過自己的歸納能找到因式分解中平1

方差公式的特征．

師生活動：學生對平方差公式的正確使用掌握的比較快，但用語言敘述第二組式子的左右兩邊的共同特征有一定的困難，必須在老師的指導下才能完成，可以讓學生發言后教師再加以糾正。

第四環節 議一議

問題4：將下列各式因式分解：

223（1）9（x–y）–（x+y）（2）2x–8x 設計意圖：

22（1）讓學生理解在平方差公式a–b=（a+b）（a–b）中的a與b不僅可以表示單項式，也可以表示多項式，向學生滲透換元的思想方法；

（2）使學生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式． 師生活動：在教師的引導下，首先把多項式的兩項寫成二次冪的形式，把底數說出來，在教師引導下學生能逐步理解平方差公式中的a與b不僅可以表示單項式，也可以表示多項式，最后讓學生回答結果。

第五環節 反饋練習

1、判斷正誤：（1）x+y=（x+y）(x–y)()22（2）–x+y=–（x+y）(x–y)()22（3）x–y=（x+y）(x–y)()22（4）–x–y=–（x+y）(x–y)()

2、把下列各式因式分解：

222（1）4–m（2）9m–4n

22222（3）ab－m（4）(m－a)－(n＋b)

443（5）–16x＋81y（6）3xy–12xy

3、如圖，在一塊邊長為a的正方形紙片的四角，各剪去一個邊長為b的正方形．用a 與b表示

剩余部分的面積，并求當a=3.6，b=0.8時的面積．

a設計意圖：通過學生的反饋練習，使教師能全面 了解學生對平方差公式的特征是否清楚，對平方差

公式分解因式的運用是否得當，因式分解的步驟是否真正了解，以便教b師能及時地進行查缺補漏．

師生活動：給出一定時間后請學生回答，在回答問題時要學生說出將多項式寫成哪兩個冪的形式，或者讓學生上臺板演。在實際應用中，可能部分學生對于第3題因式分解的實際應用不能理解，他們沒有采用因式分解的方法，利用計算器硬生生地計算出來，教師要指出這種方法的不當。第六環節 學生反思，課堂小結

從今天的課程中，你學到了哪些知識？ 掌握了哪些方法？ 學生可能認識到了以下事實：

（1）有公因式（包括負號）則先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式與因式分解的平方差公式是互逆關系；（3）平方差公式中的a與b既可以是單項式，又可以是多項式； 只要學生能夠用自己的話說出即可，沒有說出的教師加以補充。

第四篇：八年級數學下冊《 三角形內角和定理的證明》教案 北師大版

第六課時 6.5 三角形內角和定理的證明

教學目標

1、知識與技能目標

（1）掌握三角形內角和定理的證明及簡單應用。（2）靈活運用三角形內角和定理解決相關問題。

2、過程與方法

用多種方法證明三角形定理，培養一題多解的能力

1、情感與態度目標

對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用． 教學重點：掌握定理證明的方法 教學難點:添加輔助線 教學準備：多媒體課件 教學過程：

第一環節：情境引入

活動內容：（1）用折紙的方法驗證三角形內角和定理．

實驗1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折線與對邊平行（圖6－38（1））然后把另外兩角相向對折，使其頂點與已折角的頂點相嵌合（圖（2）、（3）），最后得圖（4）所示的結果

（1）（2）（3）（4）

試用自己的語言說明這一結論的證明思路。想一想，還有其它折法嗎？（2）實驗2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。

第二環節：探索新知 活動內容：

① 用嚴謹的證明來論證三角形內角和定理． ② 看哪個同學想的方法最多？

A D A

E

E B B C

C

D

方法一：過A點作DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（兩直線平行，內錯角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)方法二：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA．

∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等）∠A=∠ACE（兩直線平行，內錯角相等）∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)第三環節：反饋練習活動內容：

（1）△ABC中可以有3個銳角嗎？ 3個直角呢？ 2個直角呢？若有1個直角另外兩角有什么特點？

（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？（3）∠A=50°，∠B=∠C，則△ABC中∠B=？

（4）三角形的三個內角中，只能有____個直角或____個鈍角．（5）任何一個三角形中，至少有____個銳角；至多有____個銳角．（6）三角形中三角之比為1∶2∶3，則三個角各為多少度？（7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。

(a)求∠B的度數；

(b)若BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數？

第四環節：課堂小結 活動內容：

① 證明三角形內角和定理有哪幾種方法？ ② 輔助線的作法技巧.③ 三角形內角和定理的簡單應用.第五環節：布置作業

1、第239頁隨堂練習；第241頁習題6.6第1，2，3題

2、創新設計 板書設計：大屏幕 教學反思

第五篇：《三角形內角和定理的證明》教學設計

冀教版七年級下冊數學

9.2《三角形內角和外角》

——三角形內角和定理證明教學設計

一．教材分析：

(一)教材的地位和作用：

這節內容是在前面學生對“三角形內角和是180°”這個結論有了一定直觀認識的基礎上編排的，以往對這個結論也曾進行過簡單的說理，這里則以嚴格的步驟演繹證明，旨在讓學生從實踐操作轉移到理性思維上來，使學生初步掌握證明的要求和格式，促使學生養成嚴謹的數學思維方法，發展學生的證明素養。

三角形內角和定理從數量角度揭示三角形三內角之間的關系，是三角形的一個重要性質，既是今后幾何推理的重要依據，又是計算角度的重要方法。教材從學生實踐操作到證明過程的呈現訓練了學生的抽象思維能力和邏輯推理能力；其中輔助線的作法學生第一次接觸，它集中了條件、構造了新圖形、形了成新關系，實現了未知與已知的轉化，起到了解決問題的橋梁作用。

(二)教學目標：

1.知識與技能目標：掌握三角形內角和定理的證明，初步學會作輔助線證明的基本方法，培養學生觀察、猜想、和推理論證能力。

2.過程與方法目標：

（1）對比過去折紙、撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。

（2）通過一題多證、一題多變體會思維的多向性。

（3）引導學生應用運動變化的觀點認識數學。

3.情感與態度目標：通過一題多證激發學生勇于探索的精神，感悟邏輯推理的價值。

（三）教學重難點：

1.重點：探索證明三角形內角和定理的不同方法

2.難點：應用運動變化的觀點認識數學，從拼圖過程中發現并正確引入輔助線是本節課的關鍵。

二．教學方法：引導發現法、嘗試探究法。

三．教學過程：

一、創設情景、提出問題：

在小學，我們已經知道三角形內角和是180°，那它是怎么來的呢？你能給出說理嗎？

二、探究新知

（一）動手操作、探索解法：

畫出一個三角形，并將它的內角剪下，做拼角實驗

歸納：可以搬一個角用“兩直線平行，同旁內角互補”來說理，也可以搬兩個角、三個角用“平角定義”說明。引導學生合理添加輔助線，為書寫證明過程做好鋪墊。

（二）議一議，開闊思野：

1.‘搬三個角’的特點：把角‘搬’到一起，讓頂點重合、兩條邊形成一條直線，以便利用平角定義。

在證明三角形內角和定理時，可以把三個角集中到三角形的某一個頂點嗎？引導學生思考。

已知：如圖，△ABC

求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：過A點作DE∥BC

C D A E

∵DE∥BC

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°

∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)

那么是否可以把三個角集中到三角形的一邊上呢？集中在內部任意一點上呢？外部呢？引導學生開闊思維，大膽探索證明方法。

2.應指出輔助線通常畫為虛線,并在證明前交代說明。添加輔助線不是盲目的，而是證明需要引用某個定義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時就需要添輔助線創造條件，以達到證明的目的。

已知：如圖，△ABC

求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA．∵CE∥BA

∴∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠A=∠ACE（兩直線平行，內錯角相等）

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)

四．教學反思 ：C D

本課以撕紙法驗證得出“三角形內角和是180°”后，啟發學生還可利用添加輔助線的方法去證明三角形內角和定理。

課堂教學充分發揮課件輔助教學的作用，將知識形象化、生動化、具體化。重視數學思想方法的引導，并及時指導歸納總結。

為了突出重點、突破難點，我對教材做了少量的補充和擴展，利用多媒體直觀形象、節省時間的特點，動畫演示再現學生拼圖過程、解題過程，引導學生從動態角度直觀地思考問題，幫助學生理解運動變化的觀點。