第一篇：2012屆高考數學一輪復習教案：4.4 兩角和與差、二倍角的公式(三)

4.4 兩角和與差、二倍角的公式

（三）●知識梳理 1.化簡要求

（1）能求出值的應求出值.（2）使三角函數種數、項數盡量少；分母盡量不含三角函數；被開方式盡量不含三角函數.2.化簡常用方法

（1）活用公式（包括正用、逆用、變形用）.（2）切割化弦、異名化同名、異角化同角等.3.常用技巧

（1）注意特殊角的三角函數與特殊值的互化.（2）注意利用代數上的一些恒等變形法則和分數的基本性質.（3）注意利用角與角之間的隱含關系.（4）注意利用“1”的恒等變形.●點擊雙基

3+sinαsinβ的一組α、β的值是 213π3πππA.α=，β=

B.α=，β=

124231.滿足cosαcosβ=C.α=ππ，β=

D.α=

ππ，β= 36解析：由已知得cos（α+β）=答案：A 2.已知tanα和tan（A.b=a+c

C.c=b+a

3，代入檢驗得A.2π－α）是方程ax2+bx+c=0的兩個根，則a、b、c的關系是

4B.2b=a+c D.c=ab

πb?btan??tan（??）??，??π?4a解析：?∴tan=a=1.cπc4?tan?tan1?（??）?，?a4a?∴－bc=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.aasinxcosx的值域為

1?sinx?cosx答案：C 3.f（x）=A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B.［C.（?2?12?1，－1）∪（－1，］ 22?3?13?1，）22第1頁（共7頁）

D.［?2?12?1，］ 22π）∈［－2，－1）∪（－1，2］，4解析：令t=sinx+cosx=2sin（x+t2?1?2?12?1t?1則f（x）=2=∈［，－1）∪（－1，］.1?t222答案：B 4.已知cosα－cosβ=

11，sinα－sinβ=，則cos（α－β）=_______.2311，（sinα－sinβ）2=.491359.∴cos（α－β）=.3672解析：（cosα－cosβ）2=兩式相加，得2－2cos（α－β）=答案：59 72●典例剖析 【例1】 求證：sin（2???）sin?－2cos（α+β）=.sin?sin?剖析：先轉換命題，只需證sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的關系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可證得結論.證明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα =sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.兩邊同除以sinα得 sin（2???）sin?－2cos（α+β）=.sin?sin?評述：證明三角恒等式，可先從兩邊的角入手——變角，將表達式中出現了較多的相異的角朝著我們選定的目標轉化，然后分析兩邊的函數名稱——變名，將表達式中較多的函數種類盡量減少，這是三角恒等變形的兩個基本策略.【例2】 P是以F1、F2為焦點的橢圓上一點，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求證：橢圓的離心率為e=2cosα－1.剖析：依據橢圓的定義2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=在△PF1F2中解此三角即可得證.證明：在△PF1F2中，由正弦定理知

2c.2a|PF1||PF2||F1F2|==.sin2?sin?sin（π?3?）第2頁（共7頁）

由比例的性質得|F1F2||PF1|?|PF2|= sin3?sin2??sin?|F1F2|sin?cos2??cos?sin2?sin3??e===

|PF1|?|PF2|sin2??sin?sin??2sin?cos2?sin?（2cos2???）?2sin??cos2?=

sin（1?2cos?）4cos2??1==2cosα－1.2cos???評述：恰當地利用比例的性質有事半功倍之效.深化拓展

求cot10°－4cos10°的值.分析：給出非特殊角，怎樣化為特殊角或非特殊角，互相抵消、約分求出值.提示：cot10°－4cos10° =cos10?cos10??2sin20?－4cos10°=

sin10?sin10?31cos20??sin20??2sin20?cos（30??20?）?2sin20?2==2

sin10?sin10?33cos20??sin20?3sin（30??20?）2=2==3.sin10?sin10?答案：3.●闖關訓練

夯實基礎

1.（2003年高考新課程卷）已知x∈（－A.7 24π4，0），cosx=，則tan2x等于 2B.－

4C.24 7

D.－

7解析：∵cosx=4π33，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.525432tanx2=－3×16=－24.∴tan2x==

2771?tan2x1?916?答案：D 2.（2004年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，則下列不等關系中必定成立的是

A.tanC.sin?2＜cot＜cos?2

B.tanD.sin

?2＞cot＞cos

?2 ?2?2?2?2第3頁（共7頁）

解析：由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，則tan

?2－cot

?2sin??2－2cos?=cos2=－2cos?＞0.?sin?sin2∴tan?2＞cot?2.答案：B 3.下列四個命題中的假命題是

A.存在這樣的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在無窮多個α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ C.對于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

D.不存在這樣的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

解析：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得 sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.答案：B 4.函數y=5sinx+cos2x的最大值是_______.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－

5233）+.48∴sinx=1時，ymax=4.答案：4 5.求周長為定值L（L＞0）的直角三角形的面積的最大值.L解法一：a+b+a2?b2=L≥2ab+2ab.∴ab≤.2?2∴S=

L（2?2）L23?222111ab≤（）2=·［］=L.242222?2解法二：設a=csinθ，b=ccosθ.∵a+b+c=L，∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c=

L1?sin??cos?.sin?cos?L212∴S=csinθcosθ=.22（21?sin??cos?）設sinθ+cosθ=t∈（1，2］，t2?12L2L2L23?222t?1L222則S=·=·=（1－）≤（1－）=L.22（4444t?1t?11?t）2?16.（2004年湖南，17）已知sin（2sin2α+tanα－cotα－1的值.ππ1ππ+2α）·sin（－2α）=，α∈（，），求44442第4頁（共7頁）

解：由sin（α）=ππππ1π+2α）·sin（－2α）=sin（+2α）·cos（+2α）=sin（+4444422111cos4α=，得cos4α=.242ππ5π，），所以α=.4212又α∈（sin2??cos2??2cos2?于是2sinα+tanα－cotα－1=－cos2α+=－cos2α+

sin?cos?sin2?5π5π=－（cos2α+2cot2α）=－（cos+2cot）

662=－（－35－23）=22培養能力

3.7.求證：1?sin???2sin21?tan??2.?2=1?tan22（sin?cos）cos?sin1?sin?2222，證明：左邊===

????cos?cos2?sin2cos?sin2222????sin1?cos?2??2=coscos?2?sin?sin??2，右邊=sin1?cos?222?2∵左邊=右邊，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC中，sinA+cosA=

2，AC=2，AB=3，求tanA的值2和△ABC的面積.分析：本題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力.21，∴cos（A－45°）=.22又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=∴tanA=tan（45°+60°）=

1?31?3=－2－3.∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=∴S△ABC=1AC·ABsinA 2第5頁（共7頁）

2?6.4

=2?631·2·3·=（2+6）.4242，2解法二：∵sinA+cosA=∴（sinA+cosA）2=

①

11.∴2sinAcosA=－.223，2∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=∴sinA－cosA=①+②得sinA=①－②得cosA=6.②

2?6.42?6.4∴tanA=

42?6sinA=·=－2－3.4cosA2?6（以下同解法一）

探究創新

9.銳角x、y滿足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠

π，求tany的最大值.2解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany=

sinxcosxtanxtanx2cosxsinxcosx===≤=，4sinx?cscx1?sinx2sin2x?cos2x1?2tan2x22tanx2時取等號.22.4當且僅當tanx=∴tany的最大值為●思悟小結

1.證明三角恒等式的基本思路，是根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右歸

一、變更命題等方法，使等式兩端的“異”化為“同”.2.條件等式的證明，通過認真觀察，發現已知條件和待證等式之間的關系，選擇適當的途徑把條件用上去.常用方法有代入法、消去法、綜合法（即從已知條件出發，以待證式為目標進行代數或三角恒等變形，逐步推出待證式）、分析法等.3.三角函數的應用主要是借用三角函數的值域求最值，這首先應將原函數通過降冪、輔助角公式等化成y=Asin（ωx+?）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通過換元轉化成二次函數，然后再求之.●教師下載中心 教學點睛

1.三角恒等式的證明實際上就是三角函數式的化簡過程.2.有條件的三角函數求值有兩個關鍵：①三角函數各關系式及常用公式的熟練應用.②條

第6頁（共7頁）

件的合理應用：注意條件的整體功能，注意將條件適當簡化、整理或重新改造組合，使其與所計算的式子更加吻合.3.注意方程思想的應用.拓展題例

【例1】 試證：tan?（1?sin?）?sin?tan??sin?=.tan?（1?sin?）?sin?tan?sin?sin?（1?sin?）?sin?證明：左邊=cos?

sin?（1?sin?）?sin?cos?1?sin??cos?=??sin??cos?2sin2sin?2coscos?2?2cos2?2sin2??2=

cos?=

?2?222=cot?，?2sin2sin??sin?1?cos?cos?右邊==

sin?sin??sin?cos?2cos2?2=2sin?2cos?2=cot?2，∴原等式成立.【例2】 已知α、β∈（0，β的值.解：∵4tan

π??），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1－tan2.求α+4221.2?2=1－tan2

?2，∴2·tanα=1，tanα=∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=2tanα=1.∴α+β=

π.4評述：角的變換是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.第7頁（共7頁）

第二篇：高三數學教案：兩角和與差二倍角公式(一)

兩角和與差二倍角公式(一)

一、基礎知識精講

（一）兩角和與差公式

sin??????sin?cos??cos?sin? cos??????cos?cos??sin?sin? tan??????tan??tan?1?tan?tan?

（二）倍角公式

sin2??2sin?cos?

cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin? tan22222?注：倍角公式揭示了具有倍數關系的兩個角的三角函數的運算規律，可實現函數式的降冪的變化。1?tan??2tan?2

注：（1）兩角和與差的三角函數公式能夠解答的三類基本題型：求值題，化簡題，證明題。

（2）對公式會“正用”，“逆用”，“變形使用”。

（3）掌握“角的演變”規律，如2?????????????,?????????（4）將公式和其它知識銜接起來使用。

二、例題應用(一)公式正用 例

1、求值

?1?sin555（=?2?46）

?2?cot????5???（=3?2）12???例2(P53)設cos??????1???2?????,0???,求cos?????.??,sin???,???222?9?2?3分析：觀察已知角和所求角，可作出

???2????????????????，然后利用余弦的倍角

2??2??公式求解。

?????????,?????解：因為????,0???,所以???

2242422 所以sin?????????2?459，cos???5?，????3?2??????????????75所以cos? ??cos????????????2??227?2?????故cos??????2cos2?(二),公式逆用

239????? ?.?1??729?2?0

0

0 P(53)(雙基)sin163sin223+sin253sin313

例3

已知tan??????tan??tan?tan??tan?????0

?34,且cos??????0,求sin???3??

分析：涉及???與?及?的正切和差與積，通常用正切公式的變形公式。

tan??????tan??????1?tan??tan??tan??tan?????34解：原式=

?tan??

35又cos??0,所以?為第三象限角，所以sin???3????sin??(三).用用邊角關系的公式解三角形

例

4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C對邊a,b,c

證明:a?bc222?sin(A?B)sinC

(四)綜合

例

5、(P53例3)??????(0,?2),sin??sin??sin?

cos??cos??cos?,求???

三、課堂小結

在運用公式時，要注意公式成立的條件，熟練掌握公式的順用、逆用、變形用，還要注意各種的做題技巧。

四、作業：

第三篇：兩角和與差的正弦公式教案

兩角和、差正弦公式

一、教學目標

1.知識技能目標：理解兩角和、差的正弦公式的推導過程，熟記兩角和與差的正弦公式，運用兩角和與差的正弦公式，解決相關數學問題。2.過程方法與目標：培養學生嚴密而準確的數學表達能力；培養學生逆向思維和發散思維能力；培養學生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學習能力。

3.情感態度價值觀：通過觀察、對比體會數學的對稱美和諧美，培養學生良好的數學表達和思考的能力，學會從已有知識出發主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態度。

二、教學重、難點

1.教學重點：兩角和、差正弦公式的推導過程及運用； 2.教學難點：兩角和與差正弦公式的靈活運用.三、教學過程

（一）導入：

回顧兩角和與差的余弦公式：

cos??????cos?cos??sin?sin?；cos??????cos?cos??sin?sin?．

推導：

??????????????sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin??2???2??2???2??sin?cos??cos?sin?．

sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?特例：sin(???)?cos? 23???)??cos? sin（（二）例題講解

例

1、利用和（差）公式求sin75?和sin15?的值。

232162*?*??222244sin75ｏ＝sin(45o+30o)=sin45ocos30o+cos45osin30o?sin15o?sin(45o?30o)?sin45ocos30o?cos45osin30o?另：sin15o?sin(90o?75o)?cos75o

232162*?*??222244例

2、已知sin??2?3?,??(0,),cos???,??(,?),求sin(???)與sin(???)3242的值。（又若?,?是第二象限角時）

52?2???? ?sin??,???0,? ?cos??1?sin2??1????3332????73?3???? ?cos???,???,?? ?sin??1?cos2??1?????44?4??2?222?3?57?6?35 ?sin(???)?sin?cos??cos?sin??*????*?3?4?3412

2?3?576?35 sin(???)?sin?cos??cos?sin??*????*??3?4?3412例

3、不查表求下列各式的值：

25112511?cos??cos?sin?126126（1）sin7ocos37o?sin37ocos7o（2）2sin解：sin(7o?37o)??sin30o??解：sin(2511?2 ???)?sin?12642（3）sin(?3??)?sin(?3??)

????cos??cossin??sincos??cossin?33333131 ?cos??sin??cos??sin?

2222?3cos?sin

2cos10o?sin20o（4）

sin70o

2cos10o－sin（30o?10o)?sin70o2cos10o??sin30ocos10o?cos30osin10o??sin70 0132cos10o?cos10o?sin10o22? osin7033cos10o?sin10o2?2sin70o（3??31cos10o?sin10o)22osin70 sin70o

3sin?10o?60o??3例

4、求證:cos??3sin??2sin(?6??)

?????)?2(sincos??cossin?)66613證明：?2(cos??sin?)

22?cos??3sin?2sin(11tan?,sin(???)?,則23tan?=__________5_______ 例

五、已知sin(???)?sin?tan?cos?sin?cos? ??sin?tan?cos?sin?cos?

（三）課堂練習：

35,cosB?,則sin(A?B)513的值為(A)在?ABC中，cosA?

56165616?? A、65 B、65 C、65 D、65

四、小結：本節我們學習了兩角和與差正弦公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發現規律，學會靈活運用.五、板書設計： 1.兩角和正弦公式

sin??????sin?cos??cos?sin? 2.兩角差正弦公式

sin??????sin?cos??cos?sin?

推導過程

例題

練習

第四篇：學案4 兩角和與差的三角函數及倍角公式

學案4 兩角和、差及倍角公式

（一）【考綱解讀】

1.掌握兩角和與差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它們的內在聯系； 2.能運用上述公式進行簡單的恒等變換.【基礎回顧】 1.和、差角公式：

sin(???)?______________________； cos(???)?______________________； tan(???)?______________________.2.二倍角公式：

sin2??______________________；

cos2??_______________?_______________?_______________； tan2??______________________.3.降冪公式：

sin2??_________________； cos2??_________________.4.輔助角公式：

asinx?bcosx?______________,(其中sin??______，cos??______).5.三倍角公式：

sin3??_________________； cos3??_________________.【基礎練習】

1.（04重慶）sin163?sin223??sin253?sin313??_____.2.（05北京）在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC是___三角形.3.（06全國）若f(sinx)?3?cos2x，則f(cosx)?_________.4.(06陜西)等式sin??????sin2?成立是?,?,?成等差數列的____條件.【典型例題】 例1.（1）化簡下列各式: ?1111?3?????cos2????，2??????； 22222????cos2??sin2?（2）.??????2cot????cos2?????4??4?

例2.例3.例4.已知?,?是銳角，且sin??若?,???3??12?????3??，??,sin???????,sin?????,求cos????.54?134????4?，cos??cos??0，求cos(???)的值.已知sin??sin??1510，求???.,sin??510

第五篇：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式教案

兩角和與差的余弦、正弦、正切

教學目標

知識目標：兩角和的正切公式；兩角差的正切公式 能力目標：掌握T（α＋β），T（α－β)的推導及特征；能用它們進行有關求值、化簡

情感態度：提高學生簡單的推理能力；培養學生的應用意識；提高學生的數學素質 教學重點

兩角和與差的正切公式的推導及特征 教學難點

靈活應用公式進行化簡、求值.教學過程

Ⅰ.復習回顧

首先，我們來回顧一下前面所推導兩角和與差的余弦、正弦公式.(學生作答，老師板書)sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））

要準確把握上述各公式的結構特征.Ⅱ.講授新課

一、推導公式

［師］上述公式結合同角三角函數的基本關系式，我們不難得出： 當cos（α＋β）≠0時

tan（α＋β）＝sin(???)sin?cos??cos?sin? ?cos(???)cos?cos??sin?asin?如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我們可以 將分子、分母都除以cosαcosβ，從而得到： tan（α＋β）＝tan??tan?

1?tan?tan?不難發現，這一式子描述了兩角α與β的和的正切與這兩角的正切的關系.同理可得：tan（α－β）＝tan??tan?

1?tan?tan?或將上式中的β用－β代替，也可得到此式.這一式子又描述了兩角α與β的差的正切與這兩角的正切的關系.所以，我們將這兩式分別稱為兩角和的正切公式、兩角差的正切公式，簡記為T（α＋β），T（α－β）.但要注意：運用公式T（α±β）時必須限定α、β、α±β都不等于因為tan（?＋kπ）不存在.2?＋kπ（k∈Z）.2二、例題講解

［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.解：tan75°＝tan（45°＋30°）＝tan45??tan30?

1?tan45?tan30? 3?13＝=2+3 31?3tan15°＝tan（45°－30°）

3tan45??tan30?3?2?3 ＝＝1?tan45?tan30?31?31?［例2］求下列各式的值（1）tan71??tan26?

1?tan71?tan26?1?tan275?（2）

tan75?(1)分析：觀察題目結構，聯想學過的公式，不難看出可用兩角差的正切公式.解：tan71??tan26?

1?tan71?tan26?＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1(2)分析：雖不可直接使用兩角和的正切公式，但經過變形可使用之求解.解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝1?tan275?1?tan275?得：＝22

tan75?2tan75?2tan75?

1?tan275?＝221＝2cot150° tan150?＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－23 ［例3］利用和角公式計算1?tan15?的值.1?tan15?tan45??tan15?

1?tan45?tan15?分析：因為tan45°＝1，所以原式可看成這樣,我們可以運用正切的和角公式，把原式化為tan（45°＋15°）,從而求得原式的值.解：∵tan45°＝1 ∴1?tan15?tan45??tan15??

1?tan15?1?tan45?tan15?＝tan（45°＋15°)＝tan60° ＝3

課后作業

課本P41習題4.6 4，6