第一篇：2012屆高考數學一輪復習 10.5 二項式定理教案

10.5 二項式定理

●知識梳理

1.二項展開式的通項公式是解決與二項式定理有關問題的基礎.2.二項展開式的性質是解題的關鍵.3.利用二項式展開式可以證明整除性問題，討論項的有關性質，證明組合數恒等式，進行近似計算等.●點擊雙基

9291.已知（1－3x）=a0+a1x+a2x+…+a9x，則｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于

999A.B.4

C.D.1 解析：x的奇數次方的系數都是負值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知條件中只需賦值x=－1即可.答案：B 2.（2004年江蘇，7）（2x+x）的展開式中x的系數是 A.6

42B.12

C.24

D.48 解析：（2x+x）=x（1+2x），在（1+2x）中，x的系數為C24·2=24.答案：C 3.（2004年全國Ⅰ，5）（2x－A.14

1x）的展開式中常數項是

C.42

B.－14

D.－42

r7?r）=C72·

r解析：設（2x－1xr）的展開式中的第r+1項是Tr?1=C7（2x）7?r（－

1xr??3(7?x)r2（－1）·x，當－r61+3（7－r）=0，即r=6時，它為常數項，∴C67（－1）·2=14.232?13答案：A 4.（2004年湖北，文14）已知（x+x

5）的展開式中各項系數的和是128，則展開式

n中x的系數是_____________.（以數字作答）

解析：∵（x+x32?13）的展開式中各項系數和為128，nn∴令x=1，即得所有項系數和為2=128.r∴n=7.設該二項展開式中的r+1項為Tr?1=C7（x）7?r·（x32?13r）=C7·xr63?11r6，令63?11r5=5即r=3時，x項的系數為C37=35.6答案：35

5.若（x+1）=x+…+ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11.nn32*答案：11 ●典例剖析

【例1】 如果在（x+理項.解：展開式中前三項的系數分別為1，由題意得2×

124x）的展開式中，前三項系數成等差數列，求展開式中的有

nnn(n?1)，28n(n?1)n=1+，得n=8.281·xr216?3r4設第r+

1r項為有理項，Tr?1=C8·，則r是4的倍數，所以r=0，4，8.351x，T9=.28256x評述：求展開式中某一特定的項的問題常用通項公式，用待定系數法確定r.13【例2】 求式子（｜x｜+－2）的展開式中的常數項.|x|11113解法一：（｜x｜+－2）=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到|x||x||x||x|13常數項的情況有：①三個括號中全取－2，得（－2）；②一個括號取｜x｜，一個括號取，|x|有理項為T1=x，T5=41一個括號取－2，得C13C2（－2）=－12，∴常數項為（－2）+（－12）=－20.解法二：（|x|+31136－2）=（|x|－）.|x||x|設第r+1項為常數項，r則Tr?1=C6·（－1）·（r1r6r）·|x|6?r=（－1）·C6·|x|6?2r，得6－2r=0，r=3.|x|∴T3+1=（－1）·C36=－20.3思考討論

（1）求（1+x+x+x）（1－x）的展開式中x的系數； 23

444－4）的展開式中的常數項； x34503（3）求（1+x）+（1+x）+…+（1+x）的展開式中x的系數.（2）求（x+1?x4746444解：（1）原式=（1－x）=（1－x）（1－x），展開式中x的系數為（－1）C6－

1?x1=14.1.一串裝飾彩燈由燈泡串聯而成，每串有20個燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數為

20A.20 B.2C.2D.2－1 220解析：C120+C20+…+C20=2－1.20答案：D 2.（2004年福建，文9）已知（x－則展開式中各項系數的和是

A.2B.3r解析：Tr?1=C8·x8－r－1

a8）展開式中常數項為1120，其中實數a是常數，x

C.1或3

r8－2r8

D.1或2

8r·（－ax）=（－a）C8·xr.令8－2r=0，∴r=4.4∴（－a）C8=1120.∴a=±2.4當a=2時，令x=1，則（1－2）=1.88當a=－2時，令x=－1，則（－1－2）=3.答案：C 3.（2004年全國Ⅳ，13）（x－

1x）展開式中x的系數為_____________.85

r解析：設展開式的第r+1項為Tr?1=C8x8－r·（－

1xr）=（－1）C8xrr8?3r2.令8－3r522=5得r=2時，x的系數為（－1）·C8=28.21xxr答案：28 4.（2004年湖南，理15）若（x+

323）的展開式中的常數項為84，則n=_____________.93n?r2n解析：Tr?1=Crn（x）3

n－r·（x?）=Crn·x.9r=0，∴2n=3r.2∴n必為3的倍數，r為偶數.令3n－

6試驗可知n=9，r=6時，Crn=C9=84.答案：9 5.已知（xlgx+1）展開式中，末三項的二項式系數和等于22，二項式系數最大項為20000，n求x的值.?2n?1n解：由題意Cnn＋Cn＋Cn=22，10即C2n＋Cn＋Cn=22，∴n=6.∴第4項的二項式系數最大.lgx∴C3）=20000，即x6（x3

3lgx=1000.∴x=10或x=1.10培養能力

652116.若（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.65211解：（1）（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.令x=1，得 a0+a1+a2+…+a11=－26，又a0=1，6所以a1+a2+…+a11=－2－1=－65.（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+…－a11=0.①+②得a0+a2+…+a10=

①

②

（－2+0）=－32.2評述：在解決此類奇數項系數的和、偶數項系數的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或－1.mn127.在二項式（ax+bx）（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數項恰是常數項.（1）求它是第幾項；（2）求r解：（1）設Tr?1=C12（ax）

ma的范圍.br·（bx）=C12anr12－rrm（12－r）+nr12－rbx為常數項，則有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5項.（2）∵第5項又是系數最大的項，43C12ab≥C12ab，84

②

①

∴有 45C12ab≥C12ab.8475

12?11?10?98412?11?1093

ab≥ab，4?3?23?2a99∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.44ba88a9由②得≥，∴≤≤.5b4b5由①得8.在二項式（x+124x）的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項.n分析：根據題意列出前三項系數關系式，先確定n，再分別求出相應的有理項.解：前三項系數為C0n，11121220Cn，Cn，由已知C1=C+Cn，即n－9n+8=0，nn244解得n=8或n=1（舍去）.rTr?1=C8（x）（2x）8－r4－rr=C8·

4?14.·xr23r∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，44∴r=0，r=4，r=8.∴展開式中x的有理項為T1=x，T5=評述：展開式中有理項的特點是字母x的指數4－探究創新

9.有點難度喲！

351x，T9= x－2.82563r3r∈Z即可，而不需要指數4－∈N.441n*）<3（n≥2，n∈N）.n1121n1n1112n23證明：（1+）=C0+C× +C（）+…+C（）=1+1+C×+C×+…+Cnnnnnnnn23nnnnnnn?(n?1)???2?11111n(n?1)1n(n?1)(n?2)1×n=2+×+×+…+×<2++ n232!3!n!2!3!nnnn求證：2<（1+

11[1?()n?1]1111111n12++…+<2++2+3+…+n?1=2+2=3－（）n?1<3.顯然（1+）=1+1+C2n×14!n!2222n21?21n1113n+C×+…+C×>2.所以2<（1+）<3.nnn23nnnn●思悟小結

n?r1.在使用通項公式Tr?1=Crb時，要注意： nar（1）通項公式是表示第r＋1項，而不是第r項.（2）展開式中第r+1項的二項式系數Crn與第r+1項的系數不同.（3）通項公式中含有a，b，n，r，Tr?1五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數，r是非負整數且r≤n.2.證明組合恒等式常用賦值法.●教師下載中心 教學點睛

1.要正確理解二項式定理，準確地寫出二項式的展開式.2.要注意區分項的系數與項的二項式系數.3.要注意二項式定理在近似計算及證明整除性中的應用.4.通項公式及其應用是二項式定理的基本問題，要熟練掌握.拓展題例

10343【例題】 求（a－2b－3c）的展開式中含abc項的系數.10解：（a－2b－3c）=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），從10個括號中任取3

個括號，從中取a；再從剩余7個括號中任取4個括號，從中取－2b；最后從剩余的3個括號

343434中取－3c，得含abc的項為C10aC7·（－2b）C33（－3c）=C10C7C32（－3）abc.所以343

334334含abc項的系數為－C10C7×16×27.343

第二篇：2014高考數學全面突破 二項式定理

11.3二項式定理

考情分析

1．能用計數原理證明二項式定理．

2．會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．

基礎知識

1．二項式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(a＋b)n的二項展開式．

其中的系數Crn(r＝0,1，?，n)

n－rrn－rr式中的Crb叫二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項Tr＋1＝Crb.nana

2．二項展開式形式上的特點

(1)項數為(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為(3)字母an逐項減1直到零；字母b冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.－11(4)二項式的系數從Cn，一直到Cnn3．二項式系數的性質 －(1).(2)增減性與最大值： 二項式系數Ckn，當n＋1k＜2時，二項式系數逐漸增大．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的；

n當n是偶數時，中間一項C2取得最大值；

n－1n＋1當n是奇數時，中間兩項C2，C2取得最大值．

012nn(3)各二項式系數和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Crn＋?＋Cn＝2；

24135n－1C0.n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝

2注意事項

n－rr1.運用二項式定理一定要牢記通項Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相na

同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項

展開式的二項式系數與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前者只指Cr而后n，者是字母外的部分．前者只與n和r有關，恒為正，后者還與a，b有關，可正可負．

2.二項式定理可利用數學歸納法證明，也可根據次數，項數和系數利用排列組合的知識推導二項式定理．因此二項式定理是排列組合知識的發展和延續．

3.(1)通項的應用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數等．

(2)展開式的應用：利用展開式①可證明與二項式系數有關的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計算等．

4.(1)對稱性；

(2)增減性；

(3)各項二項式系數的和； 以上性質可通過觀察楊輝三角進行歸納總結．

題型一 二項展開式中的特定項或特定項的系數

13【例1】已知(3x－)n的展開式中各項系數之和為256，則展開式中第7x

項的系數是()

B.2

4D.252 A.－24C.－252

答案：D

解析：令x＝1可得各項系數之和為2n＝256，則n＝8，故展開式中第7項的26系數為C68×3×(－1)＝252.?a?【變式1】若?x－?6展開式的常數項為60，則常數a的值為________． x??

?a?6－r6－3r解析 二項式?x6展開式的通項公式是Tr＋1＝Cr(a)rx－2r＝Cr(－6x6xx??

2a)r，當r＝2時，Tr＋1為常數項，即常數項是C26a，根據已知C6a＝60，解得a

＝4.答案 4

題型二 二項式定理中的賦值

【例2】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋?＋a10(1－x)10，則a8＝

()

A.180

C.－

5答案：A

10－r解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通項公式為：Tr＋1＝Cr(－1)r(1－x)r，a8102B.90 D.5

是r＝8時，第9項的系數．

28所以a8＝C8102(－1)＝180.故選A.【變式2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.－1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.2

－1＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1 093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.題型三 二項式的和與積

2【例3】二項式(x＋x)(1－x)4的展開式中x的系數是________．

答案：

32解析：利用分步計數原理與組合數公式，符合題目要求的項有x(－x)4和

x·14，求和后可得3x，即展開式中x的系數為3.?2【變式3】x?x－x7的展開式中，x4的系數是________(用數字作答)． ??

?27?2737解析 原問題等價于求?x－x的展開式中x的系數，?x－x的通項Tr＋1＝Cr7x????

－r?2r7－2r?－x＝(－2)rCr，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系數為(－2)2C27x7＝84，即??

x???x－2x7?的展開式中x4的系數為84.答案 84

重難點突破

【例4】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，－1－37得a1＋a3＋a5＋a7＝2＝－1094.(3)(①＋②)÷2，－1＋37得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|

＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)． ∴由(2)、(3)即可得其值為2187.① ②

第三篇：2011屆高三數學精品復習之排列組合及二項式定理

2011屆高三數學精品復習之排列組合及二項式定理

1.熟悉排列數、組合數的計算公式；了解排列數、組合數的一些性質：①(n?1)!?(n?1)n!，由此可得：nn!?(n?1)!?n!，n11，為相應的數列求和創造了條件； ??(n?1)!n!(n?1)!

mn?mrrrrr?1mm?1m②Cn；③Cn?Cn?Cn?1?Cn?1，由此得：Cr?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1；

34?35?4?320?19???3?????=___________ 11?21?2?31?2?3??18

2?13?24?35?420?19n(n?1)??????解析：原式=；記an?，數列{an}的前1?21?21?21?21?22[舉例] 1?19項和即為所求。記數列{an}的前n項和為Sn；該數列的求和辦法有很多種，但都比較煩瑣，這里介紹用組合數性質求解：注意到an?n(n?1)2=Cn?1，2[來源學*科*網Z*X*X*K]

22223223222=C3=C4= S19=C2?C3?C4???C20?C4???C20?C3?C4???C20

3?=C21=1330；

[鞏固1]設x?N且x?10，則(20?x)(21?x)?(29?x)等于（）

1020?x910（A）A20?x（B）A29?x（C）A29?x（D）A29?x*

[鞏固2] 已知(1?

則n=____ x)n的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數成等差數列，2．解排列組合應用題首先要明確需要完成的事件是什么；其次要辨析完成該事件的過程：分類相加（每一類方法都能獨立地完成這件事），分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各個步驟都完成了，才能完成事件）；較為復雜的事件往往既要分類，又要分步（每一類辦法又都需分步實施）；分類討論是研究排列組合問題的重要思想方法之一，分類時要選定討論對象、確保不重不漏。

[舉例] 設集合I={1,2,3,4,5}，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中的最大數，則不同的選擇方法共有：（）種

A．50種B．49種C．48種D．47種

解析：本題要完成的事件是：構造集合I的兩個非空子集；要求：B中最小的數大于A中的最大數；顯然B中的最小數不可能是1，以下分類：① B中的最小數是2，B中可以有{2，3，4，5}中的1個元素、2個元素、3個元素或4個元素，所有可能的情況有：0123=8種，此時A只有{1}這1種；集合A、B都確定了，才算完成事件，C3?C3?C3?C

3∴完成事件有8×1=8中方法；② B中的最小數是3，B中可以有{3，4，5}中的1個元素、0122個元素或3個元素，所有可能的情況有：C2=4種，此時A中可以有{1，2}中?C2?C

212的有1個元素或2個元素，有C2=3種，∴完成事件有4×3=12種方法；③ B中的最?C2

小數是4，B中可以有{4，5}中的1個元素或2個元素，所有可能的情況有2種，此時A中

123可以有{1，2，3}中的有1個元素、2個元素或3個元素，有C3=7種，∴完成事?C3?C

3件有2×7=14種方法；④ B中的最小數是5，只有{5}這1種，此時A中可以有{1，2，3，12344}中的有1個元素、2個元素、3個元素或4個元素，有C4=15種，∴完?C4?C4?C

4成事件有1×15=15種方法；故完成事件的方法總數為：8+12+14+15=49，選B。

[鞏固]從集合{O，P，Q，R，S}與{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任選2個元素排成一排(字母和數字均不能重復)．每排中字母O，Q和數字0至多只能出現一個的不同排法種數是_________．(用數字作答)．

3．對“按某種要求將n個元素排到m個位置”的問題，首先要確定研究的“抓手”：抓住元素還是抓住位置研究；再按特殊元素（特殊位置）優先的原則進行。

[舉例] 從5位同學中選派4位同學在星期四到星期日參加公益活動，每人一天，其中甲不能安排在星期六，乙不能安排在星期天，則不同的選派方法共有種。

解析：本題要完成的事件是：從5個不同的元素中選出4個元素，并按要求排在四個不同的位置。本題不宜抓住元素研究，因為每一個元素都不一定被選到，而每一個位置上都一定要有一個元素，故應該抓住位置研究。先看星期六（特殊位置，優先）：不能安排甲，可以安排乙（特殊元素，優先）或除甲乙之外的一個同學，①安排乙：其它位置可任意安排，有

[來源學&科&網Z&X&X&K]

3種，②不安排乙：可以安排其他三位同學，星期日可以安排甲或另外兩個同學，星期

四、A

4112112五可任意安排，有C3C3A3 種，故不同的選派方法共有：A4+C3C3A3=78種。

3[鞏固]四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。（1）恰有兩個空盒的放法有種；（2）甲球只能放入2號或3好盒，而乙球不能放入4號盒的不同放法有種。

4．解決排列組合問題還要遵循“先選后排”、“正難則反”（即去雜法）等原則；[來源:學。科。網Z。X。X。K]

[舉例]某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數字固定，從“???????0000”到“???????9999”共10000個號碼．公司規定：凡卡號的后四位帶有數字“4”或“7”的一律作為“優惠卡”，則這組號碼中“優惠卡”的個數為（）（福建文科第12題）Ａ．2000Ｂ．4096Ｃ．5904Ｄ．8320

解析：直接考慮帶有數字“4”或“7”的情況太多，逐一討論非常麻煩；考慮事件的反面：后四位不帶有數字“4”或“7”的，有84個，故“優惠卡”的個數為104-84=5904。

[鞏固]四位同學乘坐一列有6節車廂的動車組，則他們至少有兩人在同一節車廂的的情況共有種？(用數字作答)．

5．熟悉幾個排列組合問題的基本模型：①部分元素“相鄰”（捆綁法），②部分元素“不相鄰”（用要求“不相鄰”的元素插空），③部分元素有順序（n個元素全排，其中m個元素

m要求按給定順序排列的方法數為Cn(n?m)!=

nnCnkC(nk?1)nC(nk?2)n?Cnn!），④平均分組（kn個元素平均分成k組m!的方法數為k!），⑤相同元素分組（用“擋板法”）等。

[舉例1]某校安排6個班到3個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有種。

解析：先將6個班分成3組，在將3個組分到3個工廠。6個班分成3組，從每組的人數看

22C62C4C2有3類：①4，1，1，有C種；②3，2，1，有CC種，③2，2，2，有種； 3!

46362

322C62C4C23故不同的安排方法共有：（C+CC+）×A3=540種。3!4

63623

[舉例2]某文藝小分隊到一個敬老院演出，原定6個節目，后應老人們的要求決定增加3個節目，但原來六個節目的順序不變，且新增的3個既不在開頭也不在結尾，則這臺演出共有 種不同的演出順序。

解析：思路一：著眼于“位置”。從9個“位置”中選出6個，安排原來的6個節目，且第41和第9兩個位置必須選，而他們的順序是既定的，無需排列，所以有C7種方法，剩下的3433個位置安排新增的3個節目，有A3種方法；故所有不同的演出順序有：C7=210種。A3

思路二：在原有6個節目的基礎上“插空”。原來6個節目形成7個“空”，但前后兩“空”

3不能安排，共有3類情況：①新增的3個節目互不相鄰，有A5種方法；②新增的3個節目

223恰有兩個相鄰，有A3種方法，故所有不同的A5種方法；③新增的3個節目相鄰，有5A3

3223演出順序有：A5+A3=210種。A5+5A3

[鞏固1]記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）（07高考北京理科第5題）

Ａ．1440種Ｂ．960種Ｃ．720種Ｄ．480種

[鞏固2]學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績xi∈{89，90，91，92，93}（i=1，2，3，4）且滿足x1?x2?x3?x4，則這四為同學考試成績所有可能的情況有

[鞏固3]現有10個市級“三好生”名額分配給高三八個班級，每班至少1個，則有種不同的分配方案。

6．“抽象化歸”是解決排列組合問題的“太極拳”，“逐一列舉”是解決排列組合問題的“撒手锏”；有時，畫“樹狀圖”能使“逐一列舉”變得更加簡明、直觀。

[舉例1]已知兩個實數集合A={a1,a2,?,a100},B={b1,b2, ?,b50},若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤?≤f(a100),這樣的映射共有(用符號作答)。解析：本題直接考慮集合A中每一個元素在B中的象的情況非常困難。注意到集合B中每個元素都有原象，即A中有50“組”元素分別與B中的50個元素對應；現將集合A中的100個元素按原有的順序分成50組，每組至少一個元素；將集合B中的元素按從小到大的順序

///排列為B={b1,b2, ?,b50}；∵f(a1)≤f(a2)≤?≤f(a100)，∴A中的“第1組”元素的象為

///b1，“第2組”元素的象為b2，?，“第50組”元素的象為b50，此處沒有排列的問題，即只要A中元素的分組確定了，映射也就隨之確定了；而A中元素的分組可視為在由這100

4949個元素所形成的99個“空”中插上49塊“擋板”，所以有C99種分法，即映射共有C99個。

[舉例2]一個同心圓形花壇分為兩個部分，如右圖，中間小圓部分

種植草坪，周圍的圓環分成5等份為a1,a2,a3,a4,a5,種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，則不同的種植的方法為種。

解析：本題解法甚多，這里介紹畫“樹狀圖”列舉法。a1 a2 在右圖中，區域a1種紅花，a2種黃花時共有5種不同的種植方法；而區域a2種藍花與種黃花情況相同，區

域a1種藍花、黃花與種紅花情況相同；故所有不同的種植的方法為：3×2×5=30種 黃[鞏固1]顯示屏有一排7個小孔，每個小孔可顯示0或

1，若每次顯示其中3個孔，但相鄰的兩孔不能同時顯 紅示，則該顯示屏能顯示信號的種數共有（）種

A．10B．48C．60D．80 藍 a3 紅4 黃 藍黃 5 藍 黃 藍 黃 藍

[鞏固2] 函數f:{1,2,3}?{1,2,3}滿足f(f(x))= f(x)，則這樣的函數個數共有（）

(A)1個(B)4個(C)8個(D)10個 [來源學+科+網]

7．二項式定理的核心是展開式的通項，Tr+1=Cnab(通項是展開式的第r+1項), r=0,1,2…n，二項展開式共有n+1項。展開式的通項中根式宜用分數指數表示。審題是要注意所求的是“項”還是“第幾項”還是“項的系數”。rn-rr

1??[舉例](1?2x)?x??的展開式中常數項為．（07高考全國Ⅱ卷理科第13題）x??28

181r)的展開式中常數項以及含x-2的項；Tr?1?C8rx8?r(?)r=C8(?1)rx8?2r xx

18-4由8-2r=0得r=4, 由8-2r=-2得r=5；即(x?)的展開式中常數項為C8，含x 2的項為 x解析：先求(x?

1??C(?1)x；∴(1?2x)?x??的展開式中常數項為C84-2C85=?

42x??

n?3[鞏固] 若?3x的展開式中含有常數項,則最小的正整數n等于。?585?228

(07高考安徽理科第12題)

[遷移]f(x)=(x+1)n，且f ′(x)展成關于x的多項式后x2的系數為60，則n=（）

A．7B．6C．5D．4

n8．注意辨析“系數”與“二項式系數”的區別；二項式系數和=2，其中奇數項的二項式系

n-1數和=偶數項的二項式系數和=2，二項式系數先增后減，并關于中間項“對稱”，二項展開

式中，中間項二項式系數最大；求二項展開式中系數絕對值最大的項，用“夾逼法”。

[舉例]若(2?x)n展開式中奇數二項式系數和為8192，則展開式中系數最大的項為。解析：2n?1r14?r=8192得n=14，則Tr?C142(?x)r，由于(2?x)14展開式中各項系數正負相間，故先求其展開式中系數絕對值最大的項，記為第r+1項，于是有：

r14?rr?115?rr14?rr?113?rC142?C142①，C142?C142②；由①②解得：4≤r≤5；

4104又r=5時系數為負，∴r=4，即展開式中系數最大的項為C142x。[來源:學§科§網Z§X§X§K] [來源:Z_xx_k.Com]

[鞏固]若(x?1n)展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為（）x

（07高考重慶理科第4題）

A．10B．20C．30D．120

23n9.研究多項式的“系數和”一般用“賦值法”。若多項式f(x)=a0+a1x+a2x+a3x+……anx，則展開式中所有項的系數和=f(1)，其中奇數項的系數和=

=f(1)?f(?1)，偶數項的系數和2

[舉例]設(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=.解析：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0①

令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32②由①②解得：a0 +a2 +a4 +a6=16，a1+ a3+ a5+a7=-16，在令x=0得a0=1，∴a2 +a4 +a6=15，∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-31。

[舉例2]已知(1＋x)+(1＋x)2+(1＋x)3+??+（1＋x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+??+anxn，若a1+a2+??＋an-1＝29-n,則正整數n＝____________

解析：只有（1＋x）n 的展開式中才有含xn 的項，它的系數為1，令x=0得a0=n，23nn+1n+1令x=1得a0+a1+a2+……＋an-1+an=2+2+2+??+2=2-2,∴a1+a2+……＋an-1=2-2-1-n

∴2n+1-3-n=29-n得n=4.[來源:Zxxk.Com][來源學科網ZXXK]f(1)?f(?1)；展開式中的常數項=f(0)。2

[鞏固1]設(x2?1)(2x?1)9?a0?a1(x?2)?a2(x?2)2?

則a0?a1?a2?Ａ．?2?a11(x?2)11，（07高考江西文科第5題）?a11的值為（）Ｂ．?1Ｃ．1Ｄ．2[來源學科網ZXXK]

[鞏固2]已知(1?x)2?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，則

(a0?a2?a4)(a1?a3?a5)的值等于安徽文科第12題)

[遷移]設(1?3x)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x?a6x，則集合 623456

?a1,a2,a3,a4,a5,a6?含2 個元素的所有子集的元素總和為()

A640B630C320D31

5[來源:學_科_網Z_X_X_K]

[來源:學科網]

[來源:學科網]

答案

1、[鞏固1]D；[鞏固2] 14或23；

2、[鞏固]8424 ；

3、[鞏固]84，96；

4、[鞏固]936，5、[鞏固1] B，[鞏固2] 15，[鞏固3]問題相當于：將10個相同的球放入8個盒子中，每盒至少一

2球，用“擋板法”，有C9=36種；

6、[鞏固1]D，[鞏固2]D；

7、[鞏固]7；[遷移]B；

8、[鞏

固] B；

9、[鞏固1] A；[鞏固2] ?256；[遷移]D。

第四篇：高三復習課《二項式定理》說課稿

高三第一階段復習，也稱“知識篇”。在這一階段，學生重溫高

一、高二所學課程，全面復習鞏固各個知識點，熟練掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，對學過的知識產生全新認識。在高

一、高二時，是以知識點為主線索，依次傳授講解的，由于后面的相關知識還沒有學到，不能進行縱向聯系，所以，學的知識往往是零碎和散亂，而在第一輪復習時，以章節為單位，將那些零碎的、散亂的知識點串聯起來，并將他們系統化、綜合化，把各個知識點融會貫通。對于普通高中的學生，第一輪復習更為重要，我們希望能做高考試題中一些基礎題目，必須側重基礎，加強復習的針對性，講求實效。

一、內容分析說明

1、本小節內容是初中學習的多項式乘法的繼續，它所研究的二項式的乘方的展開式，與數學的其他部分有密切的聯系：

（1）二項展開式與多項式乘法有聯系，本小節復習可對多項式的變形起到復習深化作用。

（2）二項式定理與概率理論中的二項分布有內在聯系，利用二項式定理可得到一些組合數的恒等式，因此，本小節復習可加深知識間縱橫聯系，形成知識網絡。

（3）二項式定理是解決某些整除性、近似計算等問題的一種方法。

2、高考中二項式定理的試題幾乎年年有，多數試題的難度與課本習題相當，是容易題和中等難度的試題，考察的題型穩定，通常以選擇題或填空題出現，有時也與應用題結合在一起求某些數、式的近似值。

第五篇：二項式定理二項式定理的應用教案（范文模版）

排列、組合、二項式定理·二項式定理的應用·教案

教學目標

1．利用二項式定理及二項式系數的性質解決某些關于組合數的恒等式的證明；近似計算；求余數或證明某些整除或余數的問題等．

2．滲透類比與聯想的思想方法，能運用這個思想處理問題． 3．培養學生運算能力，分析能力和綜合能力． 教學重點與難點

數學是一門工具，學數學的目的就是為了應用．怎樣建立起要解決的問題與數學知識之間的聯系（如一個近似計算問題與二項式定理有沒有聯系，怎樣聯系），是這節課的難點，也是重點所在．

教學過程設計

師：我們已經學習了二項式定理及二項式系數，請大家用6分時間完成以下三道題：

（1）在（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數是多少？（2）求（1+x-x2）6展開式中含x5的項．

（全體學生參加筆試練習）

6分鐘后，用投影儀公布以上三題的解答：

（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系數是（1+x）

（2）原式=[1+（x-x2）]6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6．

其中含x5的項為：20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5．

師：解（1），（2）兩題運用了變換和化歸思想，第（2）題把三項式化為二項式，創造了使用二項式定理的條件．

第（3）題的解法是根據恒等式的概念，a，b取任何數時，等式都成立．根據習題結構特征選擇a，b的取值．這種用概念解題的思想經常使用．

下面我們看二項式定理的一些應用．

師：請同學們想一想，例1怎樣解？

生甲：從結構上觀察，則與練習的第（3）題有相似之處，只是組合數的系數成等比數列，是否根據二項式定理令a=1，b=3，即可得到證明．

師：請同學們根據生甲所講，寫出證明．（找一位同學板演）

證明：在（a+b）n的展開式中令a=1，b=3得：

師：顯然，適當選取a，b之值是解這一類題的關鍵，再看練習題． 練習

生乙：這題與例1類比有共同點，仍是組合數的運算，不同點是缺

我考慮如能用二項式定理解，應對原題做以下變換：

師：分析得很透徹．這種敢想、會想精神是每位同學都要培養的．首先是敢字，不要一見題目有些生疏就采取放棄態度；要敢于分析，才能善于分析，將來才敢于創新，善于創新．

請大家把解題過程寫在筆記本上．（教師請一名同學板演）

在（a＋b）6的展開式中令a=1，b=3，得

師：解題過程從“在（a+b）6的展開式中令 a=1，b=3”寫起就可以了．希望同學們再接再勵，完成下個練習．

練習

師：大家議論一下，這道題能用二項式定理來解嗎？

生丙：初步觀察，與上節課我們學刁的：“在（a＋b）n的展開式

解決．我們注意到組合數代數和的值為余弦值或正弦值，又注意到正項

?）或r=4m＋1（m=0，1，2，?），負項出現在r=4m＋2（m=0，1，2，?）或r=4m＋3（m=0，1，2，?），而虛數單位i有以下性質：

i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（m∈Z）． 于是想在（a＋b）n的展開式中令a=1，b=i．

師：分析得有道理，請同學們按生丙同學的意見進行演算．（教師找一位同學板演）

證明：設i是虛數單位，在（a＋b）n的展開式中令a=1，b=i中得：

另一方面，又有

由此得到

根據復數相等定義，有

師：認真分析習題的結構，運用類比與聯想的思想方法，可以幫助我們找到解題的思路，下面我們研究二項式定理在數字計算方面的應用．

例2 計算：1.9975（精確到0.001）．

生丁：這道題若用二項式定理計算，必須把1.997看作1+0.997，這樣，1.9975=（1+0.997）5．

師：計算簡單嗎？

生戊：把1.9975化為（2-0.003）5，再展開，由于精確到0.001，不必各項都計算．

師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計算一下．（教師找一位同學板演）解：1.9975=（2-0.003）5

=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003＋?

由于|T6|＜|T5|＜|T4|≈1.08×10-6，則|T4|＋T5＋T6|＜0.000004． 所以1.9975≈32-0.24+0.000 72≈31.761． 師：1996年全國高考有這樣一道應用題：（用投影儀示出，老師讀題）

某地現有耕地10 000公頃，規劃10年后糧食單產比現在增加22％，人均糧食占有量比現在提高10％．如果人口年增長率為1％，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

稍候，教師問：

誰想出解法了，請講一講．

生己：設該地區現有人口為P人，糧食單產為M噸/公頃，耕地平均每年至多只能減少x公頃．

十年后耕地畝數：104-10x，十年后總產量：M×（1+22％）（104-10x）． 十年后人口：P×（1＋1％）10，依題意可以得到不等式

師：實際計算時，會遇到（1＋0.01）10的計算問題，請全體同學在筆記本上迅速計算出來．

（教師請一同學板演）

師：真迅速啊！請同學們課下把這道高考題完成．（答案：按規劃該地區耕地平均每年至多只能減少4公頃）現在，我們再討論一個新的問題．

例3 如果今天是星期一，那么對于任意自然數n，經過23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期幾？

生庚：先將此題轉化為數學問題，即本題實際上尋求對于任意自然數n，23n+3+7n＋5被7除的余數．

受近似計算題目啟發，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，這樣可以運用

數，7n也是7的倍數，最后余數是1加上5，是6了． 師：請同學們在筆記本上完成此題的解答（教師請一名同學板演）

解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

則 23n+3＋7n＋5被7除所得余數為6 所以對于任意自然數n，經過23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．

師：請每位同學在筆記本上完成這樣一個習題：7777-1能被19整除嗎？（教師在教室內巡視，3分鐘后找學生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 師：請生辛談談他怎樣想到這個解法的？ 生辛：這是個冪的計算問題，可以用二項式定理解決．如果把7777改成（19＋58）77，顯然展開式中最后一項5877仍然不易判斷是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76與77只差1，故欲證7777-1被19整除，只需證（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

師：二項式定理解決的是乘方運算問題，因此冪的問題可以考慮二項式定理．下面我們解一些綜合運用的習題

例4 求證：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）． 師：仍然由同學先談談自己的想法．

生壬：我覺得這道題仍可以用二項式定理解，為了把左式與右式發生聯系，將3換成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三項；

這樣，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：根據題設條件有n∈N，且n≥2．用數學歸納法應當可以證明． 師：由于觀察習題時思維起點不同，得到了習題不同解法，生×同學從乘方運算這點考慮，想到二項式定理，生×同學從題設條件n∈N考慮，想到數學歸納法．大家要養成習慣，每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問題更全面．

用二項式定理證明，生×同學已經講清楚了證明過程，大家課下在筆記本上整理好，現在請同學們在筆記本上完成數學歸納法的證明．

（教師請一名同學板演）

證明：①當n=2時，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，顯然9＞8．故不等式成立． ②假設n=k（k∈N且k≥2）時，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），則當n=k＋1時，由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，則 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．

所以 左式＞有式．故當n=k＋1時，不等式也成立． 由①，②不等式對n≥2，n∈N都成立．

師：為了培養綜合能力，同學們在筆記本再演算一道習題： 設n∈N且n＞1，求證：

（證明過程中可以運用公式：對n個正數a1，a2，?，an，總有

（教師在教室巡視，過2分鐘找一名同學到黑板板演第（1）小題，再過3分鐘找另一名同學板演第（2）小題）

師：哪位同學談一談此題應怎樣分析？

生寅：第（1）小題左式與右式沒有直接聯系，應把它們分別轉化，列前n項的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到證明． 第（2）小題左式與右式也沒有直接聯系．根據題目給出的公式要

師：根據式子的結構想有關知識和思考方法是分析問題的一種重要方法，要在解題實踐中掌握．

本節課討論了二項式定理主要應用，包括組合數的計算、近似計算、整除和求余數的計算以及與其他數學知識的綜合應用．當然，二項式定理的運用不止這些，凡是涉及到乘方運算（指數是自然數或轉化為自然數）都可能用到二項式定理．認真分析習題的結構，類比、聯想、轉化是重要的找到解題途徑的思考方法，希望引起同學們的重視．

作業 1．課本習題：P253習題三十一：6，7，10； 2．課本習題：P256復習參考題九：15（2）． 3．補充題：

課堂教學設計說明

1．開始練習起著承上啟下的作用．這三題既復習了二項式定理及其性質，又考查了數學基本思想，如等價變換、未知轉化已知，取特殊值，利于本節課進行，又培養了學生預習復習的學習習慣．

2．只有學生自己動手、動腦、動口才能真正把知識學到手，才能培養思維能力、計算能力、表達能力、分析問題解決問題能力．因此課堂教學一定以學生為主體，體現主體參與．

3．學生的回答不會像教案寫的那樣標準，教師要因勢利導，幫助學生提高分析能力．