第一篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：5.4 解斜三角形

5.4 解斜三角形

●知識梳理

1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

abc==.sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）2.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2－2bccosA；

① b2=c2+a2－2cacosB；

② c2=a2+b2－2abcosC.③ 在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.由①②③可得

b2?c2?a2cosA=；

2bcc2?a2?b2cosB=；

2caa2?b2?c2cosC=.2ab利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.特別提示

兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的實例.另外，解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”.●點擊雙基

1.（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是 A.等腰直角三角形

B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等邊三角形 a2?c2?b2解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.ac答案：C 2.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是

A.sinA+cosA=

15B.AB·BC＞0

D.b=3，c=33，B=30° C.tanA+tanB+tanC＞0 解析：由sinA+cosA=

124得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.525第1頁（共8頁）

由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，∴cos〈BA，BC〉＜0.∴B為鈍角.由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0.∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.由

3bcπ2π=，得sinC=，∴C=或.2sinBsinC33答案：C 3.（2004年全國Ⅳ，理11）△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為A.C.1?3 22?3 23，那么b等于 2

B.1+3 D.2+3

3，2解析：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面積為且∠B=30°，故由S△ABC=

1113acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦2242a2?c2?b24b2?12?b2b2?43定理，得cosB====，解得b2=4+23.又b為邊長，2ac2?642∴b=1+3.答案：B 4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______.b2?c2?a21π解析：由已知得（b+c）－a=3bc，∴b+c－a=bc.∴=.∴∠A=.2bc23π答案：

3222

25.在銳角△ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_______.a2?b2?c2解析：若c是最大邊，則cosC＞0.∴＞0，∴c＜5.又c＞b－a=1，2ab∴1＜c＜5.答案：（1，5）

●典例剖析

【例1】 △ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）?sin2A－sin2B=sinBsinC?1?cos2A1?cos2B－=sinBsin（A+B）22?1（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）?sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），2因為A、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只

第2頁（共8頁）

能有A－B=B，即A=2B.評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.思考討論

（1）該題若用余弦定理如何解決?

b2?c2?a2（b2?c2）?b（b?c）c?b解：利用余弦定理，由a=b（b+c），得cosA===，2bc2bc2b

222a2?c2?b22（b?c）cc?bcos2B=2cosB－1=2（）－1=－1=.22ac2b2b（b?c）c所以cosA=cos2B.因為A、B是△ABC的內(nèi)角，所以A=2B.（2）該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個符合條件的三角形，利用幾何知識解決? 2解：由題設(shè)a2=b（b+c），得

ab= b?ca

①，作出△ABC，延長CA到D，使AD=AB=c，連結(jié)BD.①式表示的即是△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.BCAC=，所以DCBC 又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.因為∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，所以A=2B.評述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.【例2】（2004年全國Ⅱ，17）已知銳角△ABC中，sin（A+B）=

31，sin（A－B）=.55（1）求證：tanA=2tanB；

（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.（1）證明：∵sin（A+B）=

31，sin（A－B）=，5532??sinAcosB?cosAsinB?sinAcosB???tanA??55???∴?=2.11tanB?sinAcosB?cosAsinB??cosAsinB???55??∴tanA=2tanB.（2）解：即π33＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.∴tan（A+B）=－，254tanA?tanB3=－.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得1?tanAtanB4第3頁（共8頁）

tanB=2?62?6（負值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+6.223CDCDCD設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+6，tanAtanB2?6所以AB邊上的高為2+6.評述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計算能力.【例3】（2004年春季北京）在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB的值.c剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可b2bsinB用余弦定理.由b=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.cc解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.2b2?c2?a2bc1在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，absinBb2sin60?3∵b=ac，∠A=60°，∴=sin60°=.?cac211解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB.222∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.3bsinB=sinA=.2c評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用∴正弦定理.●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實基礎(chǔ)

1.（2004年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A.充分而不必要條件

C.充分必要條件

1”的 2B.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

11；sinA＞?30°＜A＜150°22解析：在△ABC中，A＞30°?0＜sinA＜1sinA＞?A＞30°.答案：B 2.如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為

第4頁（共8頁）

A.75°

B.60°

C.50°

D.45°

解析：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，設(shè)為α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，∴DF=CF?sin（140???）.sin40?CFDF=.sin40?sin（140???）∵CF為定值，∴當α=50°時，DF最大.答案：C 3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=則∠C的度數(shù)是_______.解析：由S=答案：45°

4.在△ABC中，若∠C=60°，則

ab=_______.?b?ca?c111π（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.42441（a2+b2－c2），4a2?ac?b2?bcab解析：= ?b?ca?c（b?c）（a?c）=.ab?ac?bc?c2∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入（*）式得a2?b2?ac?bcab?ac?bc?c2a2?b2?ac?bc

（*）

=1.答案：1 5.在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是 A.b=20，A=45°，C=80°

B.a=30，c=28，B=60° C.a=14，b=16，A=45°

D.a=12，c=15，A=120° 解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得有兩值.答案：C 培養(yǎng)能力

6.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.a2?c2?b2a2?c2?ac1ac11解：∵b=ac，∴cosB===（+）－≥.2ac2ac2ca22π∴0＜B≤，3242sinBsinA=，所以sinB=.因而B

716141?sin2BsinB?cosB21?sin2B（sinB?cosB）πππ7πy===sinB+cosB=2sin（B+）.∵＜B+≤，sinB?cosBsinB?cosB44412∴2π＜sin（B+）≤1.故1＜y≤2.24第5頁（共8頁）

7.已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為2.（1）求∠C；

（2）求△ABC面積的最大值.解：（1）由22（sinA－sinC）=（a－b）·sinB得22（2

a24R2－

c24R2）=（a－b）

b.2Ra2?b2?c21又∵R=2，∴a－c=ab－b.∴a+b－c=ab.∴cosC==.2ab2又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=

311absinC=×ab

222=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A =333sin2A－sin2Acos2A+

2223.233.2AB的AC=3sin（2A－30°）+∴當2A=120°，即A=60°時，Smax=8.在△ABC中，BC=a，頂點A在平行于BC且與BC相距為a的直線上滑動，求取值范圍.解：令A(yù)B=kx，AC=x（k＞0，x＞0），則總有sinB=理得sinB=cosA=

aa，sinC=（圖略），且由正弦定kxxxsinA，所以a2=kx2·sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得ak2x2?x2?kx2sinA2kx2=

111（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤12?22=5.所2kk以k2－5k+1≤0，所以所以

5?15?1≤k≤.225?15?1AB的取值范圍為［，］.22AC探究創(chuàng)新

9.某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點到市中心O點后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠處才能使|AB|最短?并求其最短距離.（不要求作近似計算）

第6頁（共8頁）

解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.因為AO為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.則|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=（2+2）ab，當且僅當a=b時，“=”成立.又O到AB的距離為10，設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.所以a=b=10，sin（45???）10，sin?ab===1010· sin?sin（45???）100

sin??sin（45???）

22sin?（cos??sin?）22100=

22sin2??（1?cos2?）44400400=≥，2sin（2??45?）?22?2當且僅當α=22°30′時，“=”成立.所以|AB|2≥400（2?2）=400（2+1）2，2?2100當且僅當a=b，α=22°30′時，“=”成立.所以當a=b=1022?2）=10（時，|AB|最短，其最短距離為20（2+1），即當sin22?30?22?2）AB分別在OA、OB上離O點10（km處，能使|AB|最短，最短距離為20（2－1）.●思悟小結(jié)

1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin

A?BCA?BCA?BC=cos，cos=sin，tan=cot.2222222.∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊.并常用正弦（余弦）定理實施邊角轉(zhuǎn)化.5.用正（余）弦定理解三角形問題可適當應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長.6.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時，需明確向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補.●教師下載中心 教學(xué)點睛

1.一方面要讓學(xué)生體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要讓學(xué)生體會解三角形是重要的測量手段，通過數(shù)值計算進一步提高使用計算器的技能技巧和解決實際問題的能力.第7頁（共8頁）

2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.拓展題例

【例1】 已知A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，y=cotA+

2sinA.cosA?cos（B?C）（1）若任意交換兩個角的位置，y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值.?2sin?π?（B?C）解：（1）∵y=cotA+

??coscos?π?（B?C）（B?C）=cot A+=cot A+2sin（B?C）

?cos（B?C）?cos（B?C）sinBcosC?cosBsinC

sinBsinC=cotA+cotB+cotC，∴任意交換兩個角的位置，y的值不變化.（2）∵cos（B－C）≤1，A2sinA2+2tanA=1（cotA+3tanA）≥3tanA?cotA=3.∴y≥cotA+=

A221?cosA22222tan21?tan2故當A=B=C=π時，ymin=3.3評述：本題的第（1）問是一道結(jié)論開放型題，y的表達式的表面不對稱性顯示了問題的有趣之處.第（2）問實際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥3.【例2】 在△ABC中，sinA=

sinB?sinC，判斷這個三角形的形狀.cosB?cosC分析：判斷一個三角形的形狀，可由三個內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定.采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得

b?c2222a=2，所以b（a－b）+c（a－c）=bc（b+c）.所以（b+c）22222c?a?ba?b?c?2ca2aba2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.評述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵.若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosA=0.第8頁（共8頁）

第二篇：高一數(shù)學(xué) 解斜三角形的應(yīng)用教案

湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：解斜三角形的應(yīng)用

教材：解斜三角形的應(yīng)用

目的：要求學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思想，結(jié)合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知識解決實踐中的有關(guān)問題。

過程：

一、提出課題：解斜三角形的應(yīng)用

二、例一(課本P132 例一)略

例二[變題] 假定自動卸貨汽車裝有一車貨物，貨物與車箱的底部的滑動摩擦系數(shù)為0.3，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95米，AB與水平線之間的夾角為6米，求貨物開始下滑時AC的長。

解：

設(shè)車箱傾斜角為，貨物重量為mg f??N??mgcos?

當?mgcos??mgsin?即??tan?時貨物下滑

20’，AC長為1.40

??tan? 0.3?tan?

??arctan0.3?16?42'

16?42'?6?20'?23?02'

在△ABC中: BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC

22? ?1.95?1.40?2?1.95?1.40?cos2302'?10.787 BC?3.28

例三(課本P133 例二)略 例四 我艦在敵島A南50

西相距12 nmile的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北10

西的方向以10nmile/h的速度航行，問：我艦需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小時追上敵艦？ 解：在△ABC中：AB=12 AC=10×2=20

BAC=40

+80

=120

BC2?AB2?AC2?2AB?ACcos?BAC

1?122?202?2?12?20?(?)?784 BC=28

2即追擊速度為14mile/h 又：∵△ABC中，由正弦定理：

ACBC? sinBsinA∴sinB?ACsinA5353? ∴B?arcsin

BC1414?∴我艦航行方向為北(50?arcsin53)東 1

4三、作業(yè)：P134 練習(xí)1、2習(xí)題5.10 1—4

第三篇：解斜三角形之余弦定理 教案

解斜三角形之余弦定理

一、教學(xué)類型： 新知課

二、教學(xué)目的：

1、2、掌握余弦定理的推導(dǎo)過程（向量法）； 會解斜三角形。

三、教學(xué)重點：余弦定理的推導(dǎo)

教學(xué)難點：余弦定理在解三角形中的應(yīng)用

四、教具: 黑板

五、教學(xué)過程：

（一）引入新課：

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC ,是三角形的邊與其角的正弦之間的關(guān)系，它的應(yīng)用范圍是什么呢？

1、2、已知兩角，一邊，求其他兩邊，一角;已知兩邊及一邊的對角，求另一邊的對角。

現(xiàn)在我提出一個問題:已知三邊，如何求三角？

經(jīng)過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，就可以回答這個問題了。下面我們來研究這個問題：

（二）講解新課 這一節(jié)課，我們繼續(xù)沿用向量法研究，仍然用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想。

如圖所示，在直角三角形中，b2=a2+c2，在斜三角形中，它們又有什么關(guān)系呢？

AC=AB+BC |AC|2=AC·AC=(AB+BC)(AB+BC)=|AB|2+2BC·AB+|BC|2

=|AB|2+2|BC|·|AB|COS(180°-B)+|BC|2 =|AB|2-2|BC|·|AB|COSB+|BC|2

b2 = c22bccosA c 2 = b 2 + a2-2abcosC 他們是不是也成立呢？這個留作思考題，不過答案是肯定的。這三個式子就是今天所要學(xué)習(xí)的余弦定理：

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊

與它們夾角的余弦的兩倍。

將上述定理中的三個式子稍作變形，即得

cosA=﹙b 2 + c 2-a 2﹚／2bc cosB=﹙c2 + a2-b2﹚／2ac cosC=﹙ b 2 + a2-c 2﹚／2ab 我們來看余弦定理的應(yīng)用范圍：

1、2、已知兩邊及夾角，求第三邊極其他兩角： 已知三邊，求三角。

六、舉例子：

在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A,B,C(精確到1°)。解：已知三邊，求三角。

cosA=﹙b 2 + c 2-a 2﹚／2bc =（10 2+6 2-7 2）／2×10×6 =0.725 查表，得 A≈44° cosC=﹙ b 2 + a2-c 2﹚／2ab =（7 2+10 2-6 2）／2×10×7 =0.8071 查表，得 B≈36° B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°

七、布置作業(yè)：

1、2、余弦定理的其他兩種形式的證明； 課本131頁：3.﹙3﹚（4）4.(2)

八、教學(xué)后記

第四篇：2010高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)7 解三角形練習(xí)題

億庫教育網(wǎng)

http://www.tmdps.cn 2010高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)解三角形練習(xí)題

一、選擇題1.在△ABC中，若C?90,a?6,B?30，則c?b等于（）A.B.?1

C.2D.?23002.若A為△ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（）A.sinA

B.cosA

C.tanA

D.1tanA3.在△ABC中，角A,B均為銳角，且cosA?sinB,則△ABC的形狀是（）A.直角三角形

B.銳角三角形 C.鈍角三角形

D.等腰三角形

04.等腰三角形一腰上的高是3，這條高與底邊的夾角為60，則底邊長為（）A.B.3

C.3

D.2325.在△ABC中，若b?2asinB，則A等于（）000000A.30或60

B.45或60

C.120或60

D.30或150 6.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）A.90

B.120

C.13D.150 000000

二、填空題

1.在Rt△ABC中，C?90，則sinAsinB的最大值是_______________.2.在△ABC中，若a?b?bc?c,則A?_________.3.在△ABC中，若b?2,B?30,C?135,則a?_________.4.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC?7∶8∶13，則C?_____________.5.在△ABC中，AB?0022206?2,C?300，則AC?BC的最大值是________.三、解答題

1． 在△ABC中，若acosA?bcosB?ccosC,則△ABC的形狀是什么？

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2.在△ABC中，求證：

3.在銳角△ABC中，求證：sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC.4.在△ABC中，設(shè)a?c?2b,A?C?

abcosBcosA??c(?)baba?3,求sinB的值.億庫教育網(wǎng)

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參考答案

一、選擇題

b1.C ?tan300,b?atan300?23,c?2b?44,c?b?23 a2.A 0?A??,sinA?0 3.C cosA?sin(4.D 作出圖形

5.D b?2asinB,sinB?2sinAsinB,sinA??2?A)?sinB,?2?A,B都是銳角，則

?2?A?B,A?B??2,C??2

1,A?300或1500 252?82?7216.B 設(shè)中間角為?，則cos???,??600,1800?600?1200為所求

2?5?8

2二、填空題

1111.sinAsinB?sinAcosA?sin2A?

222b2?c2?a212.120

cosA???A,?2bc20 01023.6?2 A?150,0abbsinA6?2?,a??4sinA?4sin150?4? sinAsinBsinB44.120

a∶b∶c?sinA∶sinB∶sinC?7∶8∶13，a2?b2?c21??,C?1200 令a?7k,b?8k,c?13k cosC?2ab2ACBCABAC?BCAB ??,?,AC?BCsinBsinAsinCsinB?sinAsinCA?BA?B ?2(6?2)(sinA?sinB)?4(6?2)sincos22A?B?4cos?4,(AC?BC)max?4

2三、解答題

5.4

1.解：acosA?bcosB?ccosC,sinAcosA?sinBcosB?sinCcosC

sin2A?sin2B?sin2C,2sin(A?B)cos(A?B)?2sinCcosC cos(A?B)??cos(A?B),2cosAcosB?0

cosA?0或cosB?0，得A??2或B??2

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http://www.tmdps.cn 所以△ABC是直角三角形.a2?c2?b2b2?c2?a22.證明：將cosB?，cosA?代入右邊

2ac2bca2?c2?b2b2?c2?a22a2?2b2

得右邊?c(?)?2abc2abc2aba2?b2ab????左邊，abba

∴abcosBcosA??c(?)baba3.證明：∵△ABC是銳角三角形，∴A?B?

∴sinA?sin(?2,即

?2?A??2?B?0

?B)，即sinA?cosB；同理sinB?cosC；sinC?cosA

2∴sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

A?CAC?BB4.解：∵a?c?2b,∴sinA?sinC?2sinB，即2，nsicos4nsic?os2222∴sin?B1A?C3B13B??cos?，而0??,∴cos?，22242422BB313cos?2???2244∴sinB?2sin

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第五篇：XX屆高考數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)教案

XX屆高考數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)教案

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立體幾何總復(fù)習(xí)

一、基本符號表示..點A在線m上：Am；

2.點A在面上：A

；

3.直線m在面內(nèi)：m

；

4.直線m與面交于點A：m

=A；

5.面與面相交于直線m：=m；

二、點A到面的距離.（第一步：作面的垂線）

①作法：過點A作Ao

于o，連結(jié)線段Ao,即所求。

②求法：

（一）直接法；

（二）等體法（等積法包括：等體積法和等面積法）；

（三）換點法。

如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點。

（II）求點A到平面PBc的距離.（例2）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（III）求點B到平面PcD的距離。

（例3）如圖，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中點。（I）求點B到平面的距離.三、兩條異面直線m與n所成角.①作法：平移，讓它們相交.（若mn,則可證出mn所在的平面）

②求法：常用到余弦定理.③兩條異面直線所成角的范圍：

；任意兩

條異面直線所成角的范圍：

.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大小；

四、線m與面所成角.（第一步：作面的垂線）

①作法：在線m上任取一點P（異于A），作Po

于o,連結(jié)Ao，則Ao為斜線PA在面內(nèi)的攝影，m與面所成的角。

②求法：一般根據(jù)直角三角形來解。

③線面角的范圍：

.已知正四棱柱中，AB＝2。（II）求直線與側(cè)面所成的角的正切值.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（III）求與平面所成角的最大值． 五、二面角（注：若所求的二面角為直二面角，一般轉(zhuǎn)化為求它的補角—銳角）.（一）定義法：

①作法：在棱c上取一“好”點P，在兩個半平面內(nèi)分別作c的垂線（射線）m、n,則角即二面角—c—的平面角。

②求法：一般根據(jù)余弦定理。

（二）三垂線法：（第一步：作面的垂線）

①作法：在面或面內(nèi)找一合適的點A,作Ao

于o，過A作ABc于B，則Bo為斜線AB在面內(nèi)的射影，為二面角—c—的平面角。

三垂線法的步驟：

1、作面的垂線；

2、作棱的垂線，并連結(jié)另一邊（平面角的頂點在棱上）；

3、計算。

②求法：一般根據(jù)直角三角形來解。

③二面角的取值范圍：

.如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點。

（III）求二面角的正切值。

（例2）已知正四棱柱中，AB＝2。（III）求二面角的正切值。

（例3）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（II）求二面角D—Pc—A的大小；

（例4）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（III）求二面角B—PA—c的余弦值.（例5）如圖，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中點。（II）求二面角的大小。

六、三垂線定理.（第一步：作面的垂線）

.定理：PA為斜線，Po

于o，oA為射影，m，AomPAm.2.逆定理：PA為斜線，Po

于o，oA為射影，m，PAm

Aom.已知正四棱柱中，AB＝2。（I）求證：.七、線面平行（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

（例1）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（I）求證：Bc//平面PAD.八、線面垂直（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

（例1）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（I）求證：Bc⊥平面PAc；

（例2）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（II）若E、F分別為PB、AD的中點，求證：EF⊥平面PBc.九、面面平行（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

十、面面垂直（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點。

（I）求證：平面PcB⊥平面mAB.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（I）求證：平面平面；

十一、有關(guān)對角線..平行四邊形：

對角線平分.2.菱形：

對角線垂直且平分.3.矩形：

對角線相等且平分.4.正方形：

對角線相等且垂直且平分.十二、平移的方法..三角形（或梯形）的中位線：

且等于底邊（上下兩底之和）的一半.2.平行四邊形：對邊

且相等.3.等比例線段：

十三、重要輔助線的添加方法..見到中點，考慮：①中位線；②

；③

.2.見到平行四邊形（菱形、矩形、正方形同理），考慮：①連結(jié)對角線；②對邊平行且相等.十四、求三角形面積的通用方法.十五、三棱錐的任何一個面都可以作為底面，方便使用等體法.十六、立體幾何解題策略（附加：在做立體幾何大題時，后以文經(jīng)常用到前一問的結(jié)論，平時注意）..由已知想性質(zhì)；

2.由結(jié)論想判定；

3.由需要做輔助線或輔助平面.十七、有關(guān)棱柱.棱柱——————————直棱柱—————————正棱柱..兩底面平行；

+1.側(cè)棱垂直于底面

+1.底面是正多邊形

2.側(cè)棱平行

十八、有關(guān)棱錐.棱錐——————————正棱錐..一面一點一連；

+1.底面是正多邊形；

2.頂點在底面的射影正好是底面正多邊形的中心.