第一篇：XX屆高考數學第一輪不等式的證明專項復習教案_1

XX屆高考數學第一輪不等式的證明專項

復習教案

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6.3不等式的證明

（二）●知識梳理

.用綜合法證明不等式：利用不等式的性質和已證明過的不等式以及函數的單調性導出待證不等式的方法叫綜合法，概括為“由因導果”.2.用分析法證明不等式：從待證不等式出發，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調性證明不等式.5.構造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式.6.數形結合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示

不等式證明方法多，證法靈活，其中比較法、分析法、綜合法是基本方法，要熟練掌握，其他方法作為輔助，這些方法之間不能截然分開，要綜合運用各種方法.●點擊雙基

.（XX年春季北京，8）若不等式（－1）na＜2+對任意n∈N*恒成立，則實數a的取值范圍是

A.［－2，）

B.（－2，）

c.［－3，）

D.（－3，）

解析：當n為正偶數時，a＜2－，2－為增函數，∴a＜2－=.當n為正奇數時，－a＜2+，a＞－2－.而－2－為增函數，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）.答案：A

2.（XX年南京市質檢題）若＜＜0，則下列結論不正確的是

A.a2＜b2

B.ab＜b2

c.+＞2

D.|a|+|b|＞|a+b|

解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正確.答案：A

3.分析法是從要證的不等式出發，尋求使它成立的 A.充分條件

B.必要條件

c.充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案：A

4.（理）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，則am與bm的大小關系是____________.解析：若d=0或q=1，則am=bm.若d≠0，畫出an=a1+（n－1）d與bn=b1?qn－1的圖象，易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），則an+1與bn+1的大小關系是____________.解析：an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+1

5.若a＞b＞c，則+_______.（填“＞”“=”“＜”）

解析：a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］

≥2?2=4.∴+≥＞.答案：＞

●典例剖析

【例1】設實數x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.求證：loga（ax＋ay）＜loga2＋.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故從左向右變形時應消去x、y.證明：∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2＝2.∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.∴loga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.評述：本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立，只要證ax＋ay≥2?a即可．

【例2】已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求證：

（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若用“a+b+c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實質，解決問題.證明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1，∴要證原不等式成立，即證［（a+b+c）+a］?［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］?［（a+b+c）－b］?［（a+b+c）－c］.也就是證［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］?［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2＞0，（b+c）+（c+a）≥2＞0，（c+a）+（a+b）≥2＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得證.【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.求證：－1＜.證法一：要證－1＜，即證a＜（+1）n.令a－1=t＞0，則a=t+1.也就是證t+1＜（1+）n.∵（1+）n=1+c

+…+c（）n＞1+t，即－1＜成立.證法二：設a=xn，x＞1.于是只要證＞x－1，即證＞n.聯想到等比數列前n項和1+x+…+xn－1=，①

倒序xn－1+xn－2+…+1=.②

①+②得2?=（1+xn－1）+（x+xn－2）+…+（xn－1+1）

＞2+2+…+2＞2n.∴＞n.思考討論

本不等式是與自然數有關的命題，用數學歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.●闖關訓練

夯實基礎

.已知a、b是不相等的正數，x=，y=，則x、y的關系是

A.x＞y

B.y＞x

c.x＞y

D.不能確定

解析：∵x2=（+）2=（a+b+2），y2=a+b=（a+b+a+b）＞（a+b+2）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B

2.對實數a和x而言，不等式x3+13a2x＞5ax2+9a3成立的充要條件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）

=x3－5ax2+13a2x－9a3

=（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）2+5a2］＞0.∵當x≠2a≠0時，有（x－2a）2+5a2＞0.由題意故只需x－a＞0即x＞a，以上過程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求證：＜a.證明：要證＜a，只需證b2－ac＜3a2，即證b2+a（a+b）＜3a2，即證（a－b）（2a+b）＞0，即證（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）?（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.證法一：（綜合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2＝0.展開得ab+bc+ca=－，∴ab+bc+ca≤0.證法二：（分析法）要證ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需證ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即證a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，亦即證［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．

而這是顯然的，由于以上相應各步均可逆，∴原不等式成立.證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培養能力

5.設a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求證：－＜c＜0.證明：∵a2+b2+c2=1，∴（a+b）2－2ab+c2=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c2－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x2+（c－1）x+c2－c=0的兩個根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，則

6.已知=1，求證：方程ax2+bx+c=0有實數根.證明：由=1，∴b=.∴b2=（+c）2=+2ac+2c2=4ac+（－c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有實數根.7.設a、b、c均為實數，求證：++≥++.證明：∵a、b、c均為實數，∴（＋）≥≥，當a=b時等號成立；

（＋）≥≥，當b=c時等號成立；

（＋）≥≥．

三個不等式相加即得++≥++，當且僅當a=b=c時等號成立.探究創新

8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求證：a、b、c、d中至少有一個是負數.證明：假設a、b、c、d都是非負數，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.這與ac+bd＞1矛盾.所以假設不成立，即a、b、c、d中至少有一個負數.●思悟小結

.綜合法就是“由因導果”，從已知不等式出發，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證的結論.2.分析法就是“執果索因”，從所證不等式出發，不斷用充分條件替換前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡，兩法結合在證明不等式中經常遇到.4.構造函數利用單調性證不等式或構造方程利用“Δ≥0”證不等式，充分體現相關知識間的聯系.●教師下載中心

教學點睛

.在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應學生習慣的思維規律.有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現兩頭往中間靠以達到證題目的.2.由于高考試題不會出現單一的不等式的證明題，常常與函數、數列、三角、方程綜合在一起，所以在教學中，不等式的證明除常用的三種方法外，還需介紹其他方法，如函數的單調性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數學歸納法等.拓展題例

【例1】已知a、b為正數，求證：

（1）若+1＞，則對于任何大于1的正數x，恒有ax+＞b成立；

（2）若對于任何大于1的正數x，恒有ax+＞b成立，則+1＞.分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.證明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.∵+1＞b（b＞0），∴（+1）2＞b2.（2）∵ax+＞b對于大于1的實數x恒成立，即x＞1時，［ax+］min＞b，而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，當且僅當a（x－1）=，即x=1+＞1時取等號.故［ax+］min=（+1）2.則（+1）2＞b，即+1＞b.評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】求證：≤+.剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=（x≥0）的單調性.證明：令f（x）=（x≥0），易證f（x）在［0，+∞）上單調遞增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即≤=≤.思考討論

.本題用分析法直接去證可以嗎?2.本題當|a+b|=0時，不等式成立；

當|a+b|≠0時，原不等式即為≤.再利用|a+b|≤|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下!

第二篇：XX屆高考數學第一輪不等式專項復習教案

XX屆高考數學第一輪不等式專項復習教

案

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件www.tmdps.cn 第六章不等式

●網絡體系總覽

●考點目標定位

.理解不等式的性質及應用.2.掌握兩個（不擴展到三個）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單地應用.3.掌握比較法、分析法、綜合法證明簡單的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●復習方略指南

本章內容在高考中，以考查不等式的性質、證明、解法和最值方面的應用為重點，多數是與函數、方程、三角、數列、幾何綜合在一起被考查，單獨考查不等式的問題較少，尤其是不等式的證明題.借助不等式的性質及證明，主要考查函數方程思想、等價轉化思想、數形結合思想及分類討論思想等數學思想方法.含參數不等式的解法與討論，不等式與函數、數列、三角等內容的綜合問題，仍將是今后高考命題的熱點.本章內容理論性強，知識覆蓋面廣，因此復習中應注意：

.復習不等式的性質時，要克服“想當然”和“顯然成立”的思維定勢，要以比較準則和實數的運算法則為依據.2.不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外，還有反證法、換元法、判別式法、構造法、幾何法，這些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧賓奪主.3.解（證）某些不等式時，要把函數的定義域、值域和單調性結合起來.4.注意重要不等式和常用思想方法在解題中的作用.5.利用平均值定理解決問題時，要注意滿足定理成立的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.對于含有絕對值的不等式（問題），要緊緊抓住絕對值的定義實質，充分利用絕對值的幾何意義.7.要強化不等式的應用意識，同時要注意到不等式與函數方程的對比與聯系.6.1不等式的性質

●知識梳理

.比較準則：a－b＞0a＞b；

a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.2.基本性質：（1）a＞bb＜a.（2）a＞b，b＞ca＞c.（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.（5）a＞b＞0

＞（n∈N，n＞1）；a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.3.要注意不等式性質成立的條件.例如，重要結論：a＞b，ab＞0

＜，不能弱化條件得a＞b

＜，也不能強化條件得a＞b＞0

＜.4.要正確處理帶等號的情況.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，當且僅當a=b且b=c時，才會有a=c.5.性質（3）的推論以及性質（4）的推論可以推廣到兩個以上的同向不等式.6.性質（5）中的指數n可以推廣到任意正數的情形.特別提示

不等式的性質從形式上可分兩類：一類是“”型；另一類是“”型.要注意二者的區別.●點擊雙基

.若a＜b＜0，則下列不等式不能成立的是

A.＞

B.2a＞2b

c.|a|＞|b|

D.（）a＞（）b

解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a?＜b?，即＞成立；

由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.又（）x是減函數，所以（）a＞（）b成立.故不成立的是B.答案：B

2.（XX年春季北京，7）已知三個不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均為實數），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結論組成一個命題，可組成的正確命題的個數是

A.0

B.1

c.2

D.3

解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出－＞0.bc－ad＞0，兩端同除以ab，得－＞0.同樣由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.ab＞0.答案：D

3.設α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范圍是

A.（0，）

B.（－，）

c.（0，π）

D.（－，π）

解析：由題設得0＜2α＜π，0≤≤.∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.答案：D

4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，則，，的由大到小的順序是____________.解析：特殊值法即可

答案：＞＞＞

5.設a=2－，b=－2，c=5－2，則a、b、c之間的大小關系為____________.解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0.b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a

●典例剖析

【例1】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范圍.剖析：∵a+b，a－b的范圍已知，∴要求2a+3b的取值范圍，只需將2a+3b用已知量a+b，a－b表示出來.可設2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系數法求出x、y.解：設2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴解得

∴－＜（a+b）＜，－2＜－（a－b）＜－1.∴－＜（a+b）－（a－b）＜，即－＜2a+3b＜.評述：解此題常見錯誤是：－1＜a+b＜3，①

2＜a－b＜4.②

①+②得1＜2a＜7.③

由②得－4＜b－a＜－2.④

①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.⑤

③+⑤得－＜2a+3b＜.思考討論

.評述中解法錯在何處?

2.該類問題用線性規劃能解嗎?并試著解決如下問題：

已知函數f（x）=ax2－c，滿足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值.答案：20－1

【例2】（XX年福建，3）命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要條件；命題q：函數y=的定義域是（－∞，－1］∪［3，+∞），則

A.“p或q”為假

B.“p且q”為真

c.p真q假

D.p假q真

剖析：只需弄清命題p、q的真假即可.解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命題p為假.又函數y=的定義域為|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.∴x≤－1或x≥3.∴q為真.答案：D

【例3】比較1+logx3與2logx2（x＞0且x≠1）的大小.剖析：由于要比較的兩個數都是對數，我們聯系到對數的性質，以及對數函數的單調性.解：（1+logx3）－2logx2=logx.當或即0＜x＜1或x＞時，有logx＞0，1+logx3＞2logx2.當①或②時，logx＜0.解①得無解，解②得1＜x＜，即當1＜x＜時，有logx＜0，1+logx3＜2logx2.當x=1，即x=時，有logx=0.∴1+logx3=2logx2.綜上所述，當0＜x＜1或x＞時，1+logx3＞2logx2；

當1＜x＜時，1+logx3＜2logx2；

當x=時，1+logx3=2logx2.評述：作差看符號是比較兩數大小的常用方法，在分類討論時，要做到不重復、不遺漏.深化拓展

函數f（x）=x2+（b－1）x+c的圖象與x軸交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.當t＜x1時，比較t2+bt+c與x1的大小.提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.把t2+bt+c與x1作差即可.答案：t2+bt+c＞x1.●闖關訓練

夯實基礎

.（XX年遼寧，2）對于0＜a＜1，給出下列四個不等式：

①loga（1+a）＜loga（1+）；②loga（1+a）＞loga（1+）；③a1+a＜a1；④a1+a＞a.其中成立的是

A.①③

B.①④

c.②③

D.②④

解析：∵0＜a＜1，∴a＜，從而1+a＜1+.∴loga（1+a）＞loga（1+）.又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.故②與④成立.答案：D

2.若p=a+（a＞2），q=2，則

A.p＞q

B.p＜q

c.p≥q

D.p≤q

解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.答案：A

3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，c=，D=則A、B、c、D按從小到大的順序排列起來是____________.解析：取特殊值a=－，計算可得A=，B=，c=，D=.∴D＜B＜A＜c.答案：D＜B＜A＜c

4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：（－3，3）

5.已知a＞2，b＞2，試比較a+b與ab的大小.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.6.設A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，當x∈R+，n∈N時，求證：A≥B.證明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x）

=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）.由x∈R+，x－n＞0，得

當x≥1時，x－1≥0，x2n－1－1≥0；

當x＜1時，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1與x2n－1－1同號.∴A－B≥0.∴A≥B.培養能力

7.設0＜x＜1，a＞0且a≠，試比較|log3a（1－x）3|與|log3a（1+x）3|的大小.解：∵0＜x＜1，∴①當3a＞1，即a＞時，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|

=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）.∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.②當0＜3a＜1，即0＜a＜時，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］

=3log3a（1－x2）＞0.綜上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.8.設a1≈，令a2=1+.（1）證明介于a1、a2之間；

（2）求a1、a2中哪一個更接近于；

（3）你能設計一個比a2更接近于的一個a3嗎？并說明理由.（1）證明：（－a1）（－a2）=（－a1）?（－1－）=＜0.∴介于a1、a2之間.（2）解：|－a2|=|－1－|=||

=|－a1|＜|－a1|.∴a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，則a3比a2更接近于.由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.探究創新

9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比較（1+x）n與1+nx的大小.解：設f（x）=（1+x）n－（1+nx），則（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.由（x）=0得x=0.當x∈（－1，0）時，（x）＜0，f（x）在（－1，0）上遞減.當x∈（0，+∞）時，（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增.∴x=0時，f（x）最小，最小值為0，即f（x）≥0.∴（1+x）n≥1+nx.評述：理科學生也可以用數學歸納法證明.●思悟小結

.不等式的性質是解、證不等式的基礎，對任意兩實數a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，這是比較兩數（式）大小的理論根據，也是學習不等式的基石.2.一定要在理解的基礎上記準、記熟不等式的性質，并注意解題中靈活、準確地加以應用.3.對兩個（或兩個以上）不等式同加（或同乘）時一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.對于含參問題的大小比較要注意分類討論.●教師下載中心

教學點睛

.加強化歸意識，把比較大小問題轉化為實數的運算.2.通過復習要強化不等式“運算”的條件.如a＞b、c＞d在什么條件下才能推出ac＞bd.3.強化函數的性質在大小比較中的重要作用，加強知識間的聯系.拓展題例

【例1】已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.（1）比較m+n與0的大小；

（2）比較f（）與f（）的大小.剖析：本題關鍵是如何去掉絕對值號，然后再判斷差的符號.解：（1）∵f（m）=f（n），∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.∴log22（m+1）=log22（n+1）.∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，log2（m+1）（n+1）?log2=0.∵m＜n，∴≠1.∴log2（m+1）（n+1）=0.∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.當m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）時，由函數y=f（x）的單調性知x∈（－1，0］時，f（x）為減函數，x∈［0，+∞）時，f（x）為增函數，f（m）≠f（n）.∴－1＜m＜0，n＞0.∴m?n＜0.∴m+n=－mn＞0.（2）f（）=|log2|=－log2=log2，f（）=|log2|=log2.－==－＞0.∴f（）＞f（）.【例2】某家庭準備利用假期到某地旅游，有甲、乙兩家旅行社提供兩種優惠方案，甲旅行社的方案是：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集體票，可按七五折優惠.如果甲、乙兩家旅行社的原價相同，請問該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算？

解：設該家庭除戶主外，還有x人參加旅游，甲、乙兩旅行社收費總金額分別為y1和y2.一張全票價格為a元，那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.∴當x＞1.25時，y1＜y2；

當x＜1.25時，y1＞y2.又因x為正整數，所以當x=1，即兩口之家應選擇乙旅行社；

當x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭應選擇甲旅行社.課

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第三篇：高考第一輪復習數學：不等式的證明

不等式的證明

（一）●知識梳理

1.均值定理：a+b≥2ab； ab≤（a?b2）2（a、b∈R+），當且僅當a=b時取等號.2.比較法：a－b＞0?a＞b，a－b＜0?a＜b.3.作商法：a＞0，b＞0，ab＞1?a＞b.特別提示

1.比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法.作差后需要判斷差的符號，作差變形的方向常常是因式分解后，把差寫成積的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用條件，若●點擊雙基

1.若a、b是正數，則

a?b2ab＞1不能推出a＞b.這里要注意a、b兩數的符號.、ab、2aba?b、a2?b22這四個數的大小順序是

A.ab≤a?b22≤2aba?b≤

a2?b22

B.a2?b2≤ab≤

a?b2≤

2aba?b2

C.2aba?b≤ab≤a?b22≤

a2?b2

D.ab≤a?b2≤

a?b22≤

2aba?b

解析：可設a=1，b=2，則a?b2=43232，ab=2，2aba?ba2=，1?4252?b2===2.5.答案：C

2.設0＜x＜1，則a=2x，b=1+x，c=A.a

解析：∵0＜x＜1，B.b

11?x中最大的一個是 C.c

D.不能確定

∴1+x＞2x=4x＞2x.∴只需比較1+x與∵1+x－∴1+x＜11?x11?x11?x2的大小.=－

x2=.1?x?11?x1?x＜0，答案：C 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常數，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

必要條件 解析：當a＞0，b2－4ac＜0時，ax2+bx+c＞0.反之，ax+bx+c＞0對x∈R成立不能推出a＞0，b－4ac＜0.反例：a=b=0，c=2.故選A.答案：A 4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），給出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序號都填上）解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c.∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立.∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c.故④成立，⑤不成立.答案：①②④

（文）若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+1a

222

552

2≥2.其中一定成立的是__________.解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a；

②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）；

③a+b－ab－ab=a（a－b）+b（b－a）=（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）.∵（a－b）≥0，a+ab+b≥0，但a+b符號不確定，∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正確； ④a∈R時，a+答案：①② 1a22

255322

332

2≥2不正確.5.船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的平均速度v1和在靜水中的速度v2的大小關系為____________.解析：設甲地至乙地的距離為s，船在靜水中的速度為v2，水流速度為v（v2＞v＞0），則船在流水中在甲乙間來回行駛一次的時間

t=sv2?v+sv2?v=v2v22v2s2?v22，平均速度v1=22st2=

?vv2.∵v1－v2=∴v1＜v2.v2?vv22－v2=－

v2v2＜0，答案：v1＜v2 ●典例剖析

【例1】 設a＞0，b＞0，求證：（a21b）2（b?111a）2≥a2+b2.剖析：不等式兩端都是多項式的形式，故可用比差法證明或比商法證明.證法一：左邊－右邊＝

（a）?（b）ab（a?b）（a?ab?b）?ab（a?b）（a?2ab?b）（a?ab（a?b）33－（a＋b）

＝

＝＝

b）（aba?b）2≥0.ab∴原不等式成立.證法二：左邊＞0，右邊＞0，左邊右邊＝（a?b）（a?ab（a?ab?b）b）＝

a?ab?bab≥

2ab?abab＝1.∴原不等式成立.評述：用比較法證不等式，一般要經歷作差（或商）、變形、判斷三個步驟.變形的主要手段是通分、因式分解或配方.在變形過程中，也可利用基本不等式放縮，如證法二.下面的例3則是公式法與配方法的綜合應用.【例2】 已知a、b、x、y∈R且求證：xx?a+

1a＞

1b，x＞y.＞yy?b.剖析：觀察待證不等式的特征，用比較法或分析法較適合.證法一：（作差比較法）

∵又xx?a1a－1byy?b（x?a）（y?b）=

bx?ay，＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴bx?ay（x?a）（y?b）＞0，即

xx?a＞

yy?b.證法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R，∴要證+

xx?a＞

yy?b，只需證明x（y+b）＞y（x+a），即證xb＞ya.而由1a＞1b＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya顯然成立.故原不等式成立.思考討論

該例若用函數的單調性應如何構造函數? 解法一：令f（x）=再令g（x）=∵1axx?a，易證f（x）在（0，+∞）上為增函數，從而

xx?a＞

yy?b.mm?x，易證g（x）在（0，+∞）上單調遞減.+＞1b，a、b∈R.∴a＜b.mm?a∴g（a）＞g（b），即＞

mm?b，命題得證.xy解法二：原不等式即為

axa?1＞

byb?1，為此構造函數f（x）=

xx?1，x∈（0，+∞）.xa易證f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，而xy＞

yb，∴axa?1＞byb?1，即

xx?a＞

yy?b.【例3】 某食品廠定期購買面粉.已知該廠每天需用面粉6 t，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元.（1）求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少?（2）若提供面粉的公司規定：當一次購買面粉不少于210 t時，其價格可享受9折優惠（即原價的90%），問該廠是否考慮利用此優惠條件?請說明理由.解：（1）設該廠應每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x t，由題意知，面粉的保管等其他費用為3［6x+6（x－1）+?+6×2+6×1］=9x（x+1）.設平均每天所支付的總費用為y1元，則y1=900x1x［9x（x+1）+900］+6×1800 =+9x+10809≥

2900x?9x+10809 =10989.當且僅當9x=900x，即x=10時取等號，即該廠應每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少.（2）若廠家利用此優惠條件，則至少每隔35天，購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y2元，則

y2==1x［9x（x+1）+900］+6×1800×0.90 +9x+9729（x≥35）.100x900x令f（x）=x+（x≥35），x2＞x1≥35，則 f（x1）－f（x2）=（x1+=

100x1）－（x2+

100x2）

（x2?x1）（100?x1x2）x1x2

∵x2＞x1≥35，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0.∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）=x+100x，當x≥35時為增函數.∴當x=35時，f（x）有最小值，此時y2＜10989.∴該廠應該接受此優惠條件.●闖關訓練 夯實基礎

1.設x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，則 A.x+y≤22+2

B.x+y≥22+2 D.x+y≥（2+1）

2C.x+y≤（2+1）解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤（由xy－（x+y）=1得（∴x+y≥2+22.答案：B

x?y2x?y2）.2）2－（x+y）≥1.2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關系是 A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能確定

解析：M－N=x+y+1－（x+y+xy）==121222［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］ ［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0.答案：A 3.設a＞0，b＞0，a+解析：a+

22b22b2=1，則a1?b2的最大值是____________.?12b2b22=1?a+

=

32.a2∴a1?b2=2·a·答案：324?12?b22?12332=2·2=.≤2·

a?b24.若記號“※”表示求兩個實數a和b的算術平均數的運算，即a※b=，則兩邊均含有運算符號“※”和“+”，且對于任意3個實數a、b、c都能成立的一個等式可以是____________.解析：∵a※b=a?b2b?a2，b※a=，∴a※b+c=b※a+c.答案：a※b+c=b※a+c.思考：對于運算“※”分配律成立嗎? 即a※（b+c）=a※b+a※c.答案：不成立

5.當m＞n時，求證：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

證明：∵（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＝m3－3m2n＋3mn2－n3＝（m－n）3，3又m＞n，∴m－n＞0.∴（m－n）＞0，即（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＞0.故m－mn－3mn＞2mn－6mn＋n．

6.已知a＞1，λ＞0，求證：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）.證明：loga（a+λ）－log（a+λ）（a+2λ）=lg（a??）lga2322223－lg（a?2?）lg（a??）

=lg（a??）?lga?lg（a?2?）lga?lg（a??）

∵a＞1，λ＞0，∴lga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）.∴lga·lg（a+2λ）＜［（=［lg（a2lga?lg（a?2?）2lg（a??）22）］?2a?）2］＜［

2］=lg（a+λ）.∴lg（a??）?lga?lg（a?2?）lgalg（a??）2＞0.∴loga（a+λ）＞log（a+λ）（a+2λ）.培養能力

7.已知x＞0，y＞0，若不等式x+y≤mx?y恒成立，求實數m的最小值.分析：∵x+y≤mx?y恒成立，x?x?yx?x?yyy∴m≥恒成立.∴m的最小值就是的最大值.解：∵x+y≤mx?y恒成立，x?x?yy∴m≥恒成立.∵x＞0，y＞0，∴x?y≥（x?2x?x?2yyy）2=

x?2y.∴x?x?yy≤=2.∴m的最小值為2.評述：分離參數法是求參數的范圍問題常用的方法，化歸是解這類問題常用的手段.8.有點難度喲！

求證：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分別表示a、b邊上的高，則必有a+ha＞b+hb.證明：設S表示△ABC的面積，則 S=12aha=12bhb=12absinC.∴ha=bsinC，hb=asinC.∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC =（a－b）（1－sinC）.∵C≠π2，∴1－sinC＞0.∴（a－b）（1－sinC）＞0.∴a+ha＞b+hb.探究創新

9.設二次函數f（x）=ax+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的兩根x1、x2滿足1＜x1＜x2＜1a2.（1）當x∈（0，x1）時，證明x＜f（x）＜x1；（2）設函數f（x）的圖象關于直線x=x0對稱，求證x0＜證明：（1）令F（x）=f（x）－x，∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.當x∈（0，x1）時，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0.又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）.又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，∵0＜x＜x1＜x2＜1ax12.，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.綜上，可知x＜f（x）＜x1.（2）由題意知x0=－

b2a.∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，∴x1+x2=－∴x0=－b2ab?1a.=.ax1?ax2?12a=a（x1?x2）?12aax12ax12.又∵ax2＜1，∴x0＜=●思悟小結

1.比較法有兩種形式：一是作差，二是作商.用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法.它的依據是不等式的基本性質.2.步驟是：作差（商）→變形→判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差，就判斷與0的大小關系，為了便于判斷，往往把形式變為積或完全平方式.若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關系.3.有時要先對不等式作等價變形再進行證明，有時幾種證明方法綜合使用.4.在應用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”.若忽略了某個條件，就會出現錯誤.●教師下載中心 教學點睛

1.在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數還是負數來證明不等式，其應用非常廣泛，一定要熟練掌握.2.對于公式a+b≥2ab，ab≤（a?b2）2要講清它們的作用和使用條件及內在聯系，兩個公式也體現了ab和a+b的轉化關系.拓展題例

【例1】設a、b∈R，關于x的方程x2＋ax＋b＝0的實根為α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求證：｜α｜＜1，｜β｜＜1.證法一：∵α＋β＝－a，αβ＝b，∴｜α＋β｜＋｜αβ｜＝｜a｜＋｜b｜＜1.∴｜α｜－｜β｜＋｜α｜｜β｜＜1，（｜α｜－1）（｜β｜＋1）＜0.∴｜α｜＜1.同理，｜β｜＜1.證法二：設f（x）=x＋ax＋b，則有

f（1）＝1＋a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞1－1＝0，f（－1）＝1－a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞0.∵0≤｜a｜＜1，∴－1＜a＜1.∴－122＜－a2＜12.∴方程f（x）＝0的兩實根在（－1，1）內，即｜α｜＜1，｜β｜＜1.評述：證法一先利用韋達定理，再用絕對值不等式的性質恰好能分解因式；證法二考慮根的分布，證兩根在（－1，1）內.【例2】 是否存在常數C，使得不等式數x、y恒成立?試證明你的結論.解：當x=y時，可由不等式得出C=下面分兩個方面證明.先證≥2xy.再證xx?2yx2x?y23x2x?y+

yx?2y≤C≤

xx?2y+

y2x?y對任意正

.+yx?2y≤

23，此不等式?3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）?x2+y2+y2x?y≥

23，22此不等式?3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）?2xy≤x+y.綜上，可知存在常數C=

23，使對任何正數x、y不等式恒成立.6.3 不等式的證明

（二）●知識梳理

1.用綜合法證明不等式：利用不等式的性質和已證明過的不等式以及函數的單調性導出待證不等式的方法叫綜合法，概括為“由因導果”.2.用分析法證明不等式：從待證不等式出發，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件 的方法叫分析法，概括為“執果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調性證明不等式.5.構造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式.6.數形結合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示

不等式證明方法多，證法靈活，其中比較法、分析法、綜合法是基本方法，要熟練掌握，其他方法作為輔助，這些方法之間不能截然分開，要綜合運用各種方法.●點擊雙基

1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）a＜2+數a的取值范圍是

A.［－2，C.［－3，3232n

（?1）nn?1對任意n∈N恒成立，則實

*））

B.（－2，D.（－3，3232））

解析：當n為正偶數時，a＜2－1n，2－121n為增函數，∴a＜2－=32.1n當n為正奇數時，－a＜2+而－2－1n，a＞－2－

1n1n.為增函數，－2－

32＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，答案：A）.2.（2003年南京市質檢題）若＜

a11b＜0，則下列結論不正確的是 ．．．

B.ab＜b D.|a|+|b|＞|a+b|

2A.a＜b C.ba2

21b

+ab＞2

1a解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正確.答案：A 3.分析法是從要證的不等式出發，尋求使它成立的 A.充分條件

C.充要條件

答案：A

B.必要條件

D.既不充分又不必要條件

4.（理）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，則am與bm的大小關系是____________.解析：若d=0或q=1，則am=bm.若d≠0，畫出an=a1+（n－1）d與bn=b1·q

y n－

1的圖象，O1m n x 易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，?），則an+1與bn+1的大小關系是____________.解析：an+1=a1?a2n?121a?b1a?b≥a1a2n?1=b1b2n?1=bn+1.答案：an+1≥bn+1 5.若a＞b＞c，則

+

1b?c1b?c_______

3a?c.（填“＞”“=”“＜”）

1a?b解析：a＞b＞c，（1+）（a－c）=（+

1b?c）［（a－b）+（b－c）］

≥2（a?b）（b?c）1·2（a?b）（b?c）=4.3a?c∴a?b+1b?c≥

4a?c＞.答案：＞ ●典例剖析

【例1】 設實數x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.求證：loga（ax＋ay）＜loga2＋

18.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故從左向右變形時應消去x、y.xy證明：∵a＞0，a＞0，∴ax＋ay≥2ax?y＝2ax?x.∵x－x2＝xy

214－（x－112）2≤

114，0＜a＜1，∴a＋a≥2a4＝2a8.1∴loga（a＋a）＜loga2a8＝loga2＋xy

18.1評述：本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立，只要證a＋a≥2·a8即可． 【例2】 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1.求證：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若用“a+b+c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實質，解決

+

xy

問題.證明：∵a、b、c∈R且a+b+c=1，∴要證原不等式成立，即證［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.也就是證［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2（a?b）（b?c）＞0，（b+c）+（c+a）≥2（b?c）（c?a）＞0，（c+a）+（a+b）≥2（c?a）（a?b）＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得證.【例3】 已知a＞1，n≥2，n∈N*.求證：na－1＜a?1n+

.a?1n證法一：要證na－1＜即證a＜（a?1n，+1）.n令a－1=t＞0，則a=t+1.也就是證t+1＜（1+∵（1+tntntn）n.+?+Cnn（tn）n=1+C1na?1nn）n＞1+t，即na－1＜成立.證法二：設a=xn，x＞1.于是只要證即證xnx?1n＞x－1，n－1?1x?1n－1＞n.聯想到等比數列前n項和1+x+?+xn－

2=

xn?1x?1，① ② 倒序x+x+?+1=nxn?1x?1.①+②得2·x?1x?1=（1+xn－1）+（x+xn－2）+?+（xn－1+1）

＞2xn?1+2xn?1+?+2xn?1＞2n.∴xn?1x?1＞n.思考討論

本不等式是與自然數有關的命題，用數學歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.●闖關訓練 夯實基礎

1.已知a、b是不相等的正數，x=

a?2b，y=a?b，則x、y的關系是

A.x＞y 解析：∵x2=y2=a+b=12 B.y＞x

2C.x＞2y

D.不能確定

（a+b）2=

12（a+b+2ab），（a+b+a+b）＞

（a+b+2ab）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B 2.對實數a和x而言，不等式x+13ax＞5ax+9a成立的充要條件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）=x3－5ax2+13a2x－9a3 =（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）+5a］＞0.∵當x≠2a≠0時，有（x－2a）2+5a2＞0.由題意故只需x－a＞0即x＞a，以上過程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求證：b2?ac＜3a.22證明：要證b2?ac＜3a，只需證b－ac＜3a，22

3即證b2+a（a+b）＜3a2，即證（a－b）（2a+b）＞0，即證（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）·（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.證法一：（綜合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）＝0.展開得ab+bc+ca=－∴ab+bc+ca≤0.證法二：（分析法）要證ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需證ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即證a+b+c+ab+bc+ca≥0，亦即證122222

a2?b2?c22，［（a+b）＋（b＋c）＋（c＋a）］≥0．

而這是顯然的，由于以上相應各步均可逆，∴原不等式成立.證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a－b－ab＝－［（a＋22

b2）＋

3b42］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培養能力

5.設a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求證：－＜c＜0.31證明：∵a+b+c=1，22∴（a+b）－2ab+c=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x+（c－1）x+c－c=0的兩個根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，則

?Δ?0?1?1?c?c???c?0?3?2??f（c）?0.222222

6.已知2b?2ca=1，求證：方程ax2+bx+c=0有實數根.a?2c2證明：由2b?2ca=1，∴b=.∴b=（2a2+2c）=

2a22+2ac+2c2=4ac+（a2－2c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有實數根.7.設a、b、c均為實數，求證：證明：∵a、b、c均為實數，∴12121212a+

12b+

12c≥

1b?c+

1c?a+

1a?b.（12b12c12a＋12c12b）≥

12bc12ab≥≥≥

11a?b，當a=b時等號成立；

（（＋＋）≥）≥

b?c1c?a，當b=c時等號成立； ． ≥

1b?c12a12ca三個不等式相加即得探究創新

12a+

12b+

12c+

1c?a+

1a?b，當且僅當a=b=c時等號成立.8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求證：a、b、c、d中至少有一個是負數.證明：假設a、b、c、d都是非負數，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.這與ac+bd＞1矛盾.所以假設不成立，即a、b、c、d中至少有一個負數.●思悟小結

1.綜合法就是“由因導果”，從已知不等式出發，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證的結論.2.分析法就是“執果索因”，從所證不等式出發，不斷用充分條件替換前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡，兩法結合在證明不等式中經常遇到.4.構造函數利用單調性證不等式或構造方程利用“Δ≥0”證不等式，充分體現相關知識間的聯系.●教師下載中心 教學點睛

1.在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應學生習慣的思維規律.有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現兩頭往中間靠以達到證題目的.2.由于高考試題不會出現單一的不等式的證明題，常常與函數、數列、三角、方程綜合在一起，所以在教學中，不等式的證明除常用的三種方法外，還需介紹其他方法，如函數的單調性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數學歸納法等.拓展題例

【例1】 已知a、b為正數，求證：

（1）若a+1＞b，則對于任何大于1的正數x，恒有ax+（2）若對于任何大于1的正數x，恒有ax+

xx?1xx?1＞b成立；

＞b成立，則a+1＞b.分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.證明：（1）ax+xx?1=a（x－1）+

1x?1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2.∵a+1＞b（b＞0），22∴（a+1）＞b.（2）∵ax+而ax+xx?1xx?1＞b對于大于1的實數x恒成立，即x＞1時，［ax+

1x?1xx?1］min＞b，=a（x－1）+

1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2，1a當且僅當a（x－1）=故［ax+xx?1x?1，即x=1+＞1時取等號.］min=（a+1）2.則（a+1）2＞b，即a+1＞b.評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】 求證：|a?b|1?|a?b|≤

|a|1?|a|+

|b|1?|b|.x剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=證明：令f（x）=

x1?x1?x（x≥0）的單調性.（x≥0），易證f（x）在［0，+∞）上單調遞增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即|a?b|1?|a?b|≤|a|?|b|1?|a|?|b|=

|a|1?|a|?|b|?|b|1?|a|?|b|≤

|a|1?|a|?|b|1?|b|.思考討論

1.本題用分析法直接去證可以嗎? 2.本題當|a+b|=0時，不等式成立； 當|a+b|≠0時，原不等式即為

1?11|a?b|≤

|a|1?|a|?|b|1?|b|.再利用|a+b|≤|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下!

第四篇：XX屆高考數學知識點不等式證明——比較法復習教案

XX屆高考數學知識點不等式證明——比

較法復習教案

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m【§5.3不等式證明——比較法】班級姓名學號

例1．a、b、c≥0，求證a3+b3+c3≥3abc.例2．a、b、c是△ABc的三邊，求證a2+b2+c2<2.例3．已知m、n∈N，求證：.例4．若x∈（0，1）,a>0且a≠1，求證：|loga|>loga|.【備用題】

x,y,z∈R，A、B、c是△ABc三內角，求證：x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosc

【基礎訓練】

．設m=，則m、N的大小關系是

（）

A．m>N

B．m=N

c．m

D．不確定

2．設正數a、b、c、d滿足a+d=b－c，且|a－d|<|b－c|，則ad和bc的大小關系是

（）

A．ad=bc

B．ad

c．ad>bc

D．不確定

3．已知a,b∈R+，則與的大小關系是

（）

A．x>y

B．x≥y

c．x≤y

D．不確定

4．設a,b∈R+，且a+b=2，則的最小值是_________________.5．對任意銳角θ，都有，恒成立，則的最大值是_________________.6．若a>b>c>1，P=，是P與Q中的較小者是____________.【拓展練習】

用比較法證明下列不等式

．x,y∈R，x≠y，求證：x4+y4>x3y+xy3.2．x∈R，求證：1+2x2≥2x3+x2.3．x∈R，x≠－1，求證：.4．b>a>0，求證：.5．x,y,z∈R，求證：x2+y2+xy+7z2≥2xz+5yz.6．x>0,n∈N，求證：xn+x－n≥xn－1+x1－n.7．a>0,b>0,m、n∈N，m>n，求證：2≥（am－n+bm－n）.8．a、b、c∈R+，求證：≥2.9

．

a>b>c>0,a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.0．a、b∈R+，①求證：之間

②問這二個數哪一個更接近于.www.5y

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m

求

證

：

第五篇：XX屆高考英語第一輪總復習教案（精選）

XX屆高考英語第一輪總復習教案

課

件www.tmdps.cn 高考英語一輪重點復習

module8

Unit1&Unit2

一、重點單詞

.happenv.發生

happeningn.事件;偶然發生的事情

歸納:happentodo…碰巧

happentosb.（某人）發生什么事了

ithappenedthat…碰巧

Ifanythinghappenstohim,pleaseletmeknow.萬一他有什么不測,請告訴我.IthappenedthatIhadnomoneyon/about/withme.碰巧我身上沒帶錢.=Ihappenedtohavenomoneyon/about/withme.辨析：happen,occur,takeplace,comeabout

happen一般用語，強調事情發生的偶然性

occur較正式,既可以指自然發生，也可以指有意安排

takeplace指有計劃,事先安排的進行的含義

comeabout注重事情發生的原因，常與how連用

考點例題：）whendidtheaccident_____________________?

2）It_____________________tomethathemightagreewiththeidea.3）Theconcertwill_______________________nextSunday.4）Howdidthequarrel________________________?

5）

改

錯

：chinahashappened/takenplacegreatchangessince1978._____________________________________________________________

（Greatchangeshavehappened/takenplaceinchinasince1978.）

注意：happen,occur,takeplace和comeabout都是不及物動詞,無被動語態

2.populationn.人口

（1）對人口提問用what,不用howmany,howmuch。

這個城市有多少人口？______________is

thepopulationofthecity?

（2）population作主語時用單數，但前有分數，小數，百分數時，謂語動詞用復數。

中國人口比美國人口多。

Thepopulationofchina____________largerthan_____________ofAmerica.80%的人口是農民。

80%ofthepopulation_______________farmers.（3）人口的增加或減少用grow（increase）和fall（decrease）;人口的多少用large和small。

Therehasbeenarapidincreaseinpopulationinthecityinthelastfewyears.近幾年該城市人口增長很快。

拓展：populationexplosion人口爆炸

alarge/smallpopulation人口多/少

聯系記憶：themajorityof后可用單數名詞,也可用復數名詞,謂語動詞的數與of后面的名詞相一致。

Themajorityofpeople___________________peacetowar.Themajorityofthedamage__________________easytorepair.3.suffervi.受痛苦；受損害vt.遭受；忍受

Inthe16thcentury,afterthearrivalofEuropeans,thenativepeoplesufferedgreatly.辨析：suffer與sufferfrom

suffer（vt.）和sufferfrom的區別：suffer指一般的損害、痛

苦

等

等,其

賓

語

為pain,loss,grief,insult,punishment,wrong,hardship,injustice,discouragement,disappointment,setback（挫折），但sufferfrom表示遭受戰爭，自然災害帶來的苦難及患病之意

suffertheresult/heavylosses/injuries承受結果/遭受大損失/負傷

sufferfromheadache/illness/war/theflood遭受頭痛/疾病的困擾/戰爭/洪水

4.followv.跟著，接著，跟蹤

Thelittlegirlfollowshermotheraroundallday.這個小姑娘整天跟著她母親。

（1）followv.沿……而行；順著

Followtheroaduntilyoucometothehotel.順著這條路一直走到旅館。

（2）followv.明白；懂

Ididn’tquitefollowyou,wouldyouexplainitagain?我沒太聽明白，你能解析一下嗎?

（3）followv.聽從；服從

Ifyouhadfollowedthedoctor

’sadvice,youwouldnotstayinbed.如果你聽從了醫生的建議的話，今天你就不會躺在床上了.拓展：asfollow如下

followinga.隨后的n.下一個

follower

n.追隨者

followinone’sfootsteps步某人的后塵，以……為榜樣

考點例題：）Thepresidentcameinthehallwithmanyreporters______________.（follow）

2）Thatyoungteacher_______________bystudentsismissZhang.（follow）

5.remain的用法:

remain用作不及物動詞，意為“剩下、留下、呆在”，相當于stay。如：

whentheothershadgone,joanremained（=stayed）tocleantheroom.別人走了，瓊留下來清掃房間

區別：stay通常指在某地呆一段時間而不離開，或暫時住在某地，尤指賓客逗留，而remain指別人已經走了，而某人仍在原地。

Hestayedatthehotelforthreedays.onlyafewleavesremained（=werestill）onthetree.樹上只剩下幾片葉子了。

TheSmithsremainedthereallthroughtheyear.史密斯一家人在那里呆了整整一年。

Thesoldierswereorderedtoremainwheretheywere.士兵們接到命令呆在原地。

注意：“呆在那里”可以說remain/staythere，但“呆在家里”只能說stay（at）home.remain作連系動詞，意為“一直保持，仍然處于某種狀態中”，后可接多種成分作表語。）接名詞作表語

Peterbecameamanagerbutjohnremainedaworker.2）接形容詞作表語

whatevergreatprogressyouhavemade,youshouldremainmodest.3）接過去分詞作表語，表示主語所處的狀態或已經發生的被動動作。如：

Theyneverremainedsatisfiedwiththeirsuccesses.（表主語所處的狀態）

Theyremainedlockedintheroom.（已經發生的被動動作）

4）接現在分詞作表語，表示正在進行的動作。如:

Theguestscamein,butsheremainedsittingatthedeskreading.（正在進行的主動動作）

Theyremainedlistening.5）接不定式作表語，表示將來的動作。如:

Thisremainstobeproved.這有待證實。（將來被動動作）

考點例題：

Havingatripabroadiscertainlygoodfortheoldcouple,butitremains______whethertheywillenjoyit.A.tosee

B.tobeseen

c.seeing

D.seen

二、重點短語

.Itislikelythat…=Itispossible/probablythat…有可能

However,itislikelythatNativeAmericanswerelivingincaliforniaatleastfifteenthousandyearsago.可能性：likely（主語可以是人/物/it）

possible（可能性較小，主語是it）

probable

（可能性較大，主語是it）

拓展：sb./sth.islikelytodosth.某人/某物有可能做某事

Itislikely/probable/possiblethat...有可能

Itispossibleforsb.todosth....有可能做……

考點例題：Ishe__________________towin?他有可能獲勝嗎？

It

’s___________,thoughnotprobable,thathewillcometomorrow.他明天可能來，但也不一定準來。

It’s____________________thathewentthere.他很可能去那兒了!

Thiswaymakesit___________________foryoutocatchupwithothers.這種方法使你有可能趕上別人.2.diefromthediseases死于疾病

Inaddition,manydiedfromthediseasesbroughtbyEuropeans.dieofcancer/hunger/sorrow/thirst/oldage死于癌癥／饑餓／悲痛／干旱／衰老

diefromawound/overwork/anunknowncause死于外傷／過度勞累／不明原因

考點例題：）manyofthem____________starvation.2）Thesoldier_______________awoundinthebreast.A.diedof

B.diedfrom

c.diedto

D.diedwith

3.fightfor

“為事業，自由，真理，權利等而斗爭（戰斗）”

fightagainst（可用with）theenemy

“為反對……而斗爭”；接人和國家名詞，意思是“與……戰斗”

fightwithsb.也可表示與某人并肩作戰

fightawar/battle打一場戰爭

翻譯：他們正為自由而戰。

________________________________________________________________________

4.agreat/goodmany

alargenumberof

scoresof

dozensof

修飾

可數

名詞

復數

agood/greatdealof

alarge/greatamountof

largeamountsof

修飾

不可

數名

詞

alotof=lotsof

plentyof

alarge/greatquantityof=quantitiesof

asupplyof

=suppliesof

可數名詞復數/不可數名詞

考點例題：）IimagineifonedayIhad___________money,Iwouldgotravelingaroundtheworld.A.alargenumberof

B.agoodmany

c.alargeamountof

D.aplentyof

2）Everyyearwehavetoplant_________treesandflowersalongtheriver.A.agooddealof

B.quantitiesof

c.agoodmanyof

D.numbersof

三.重點句型 Thefactisthattheyarenaturalclonesofeachother.（作表語）

Thefactthatsheseemedtodevelopnormallywasveryencouraging.（作同位語）

ThencamethedisturbingnewsthatDollyhadbecomeseriouslyill.（作同位語）

However,scientistsstillwonderwhethercloningwillhelporharmusandwhereitisleadingus.（作賓語）

拓展：同位語從句theAppositiveclause

（1）同位語從句的定義

在復合句中用作同位語的從句稱為同位語從句。同位語從句是名詞性從句的一種。它在句中起同位語的作用。它一般

放

在fact,news,idea,truth,hope,problem,information,belief,thought,doubt,promise,question等名詞的后面,對前面的名詞作進一步的解釋,說明前面名詞的具體含義。引導同位語從句的詞有連詞how,when,where,whether,what等。

e.g.Thehopethathemayrecoverisnotgoneyet.Theproblemwhetherweshouldcontinuetodotheexperimenthasbeensolved.Ihavenoideawhenhewillcomeback.注意：同位語從句有時被別的詞把它和名詞隔開：

ThestorygoesthatwilliamTellkilledthekingwithanarrow.wordcamethattheirteamhadwon.（2）同位語從句的表現形式:

①由that引導

Thefactthatyouhaven

’

that,連接副詞tenoughtimetodotheworkissimplyunbelievable.②由whether引導

Thequestionwhetherweneedmoretimetodotheworkhasnotbeendiscussed.③由when引導

Ihavenoideawhentheywillgo.（3）有時可用namely（即）,thatistosay（也就是說）,inotherwords（換句話說）,thatis（那就是）,forexample等引出同位語,說明其前面的名詞或代詞。有時同位語直接跟在名詞或代詞的后面。

Hetoldusthegoodnews,namely,themuseumisopentoall.ThereisonlyonewayofimprovingyourEnglish,thatis,topracticemore.（4）同位語從句與定語從句的區別：

同位語從句與定語從句在使用中常常混淆，我們可以從以下幾個方面區別它們：

①同位語從句說明的名詞大都是抽象名詞；定語從句所修飾、限定的名詞或代詞有抽象的也有不抽象的weexpressthehopethattheywillcometovisitchinaagain.（同位語從句）

Thosewhowanttogopleasesigntheirnameshere.（定語從句）

②同位語從句所說明的名詞與從句沒有邏輯關系；

定語從句所限定的名詞是從句邏輯上的主語、賓語、表語、定語、狀語等。

Thenewsthattheywonthematchistrue.（同位語從句，news和從句沒有邏輯關系）

Thenewsthatyoutoldusyesterdayistrue.（定語從句，news是told的邏輯賓語）

考點例題：用適當的連接代詞或連接副詞填空。）Ican’tdecide____________________bookIshouldbuy.2）chinaisnolonger_________________itusedtobe.3）Iamveryinterestedin____________

heimprovedhisEnglishinsuchashorttime.4）_______________weneedismoremoney.5）Thetruth________________theearthturnsaroundthesunisknowntous.6）______________and_______________wewillmeethasnotbeendecidedyet.【模擬試題】

（一）根據所給漢語完成句子。

.In1089theycametoShenzhenandstartedto_____________________（新生活）.2.Thereare______________________（很多原因）whyshouldn’tdoit.3.It____________________（她突然想到）thatshecouldturntojohnforhelp.4.Thephotoswillshowyou_____________________________（我們村子是個什么樣子）.5.wehaven

’tsettledtheproblemsof________________________.（她有沒有必要去國外學習）

6.Don

’tputofftilltomorrow_____________________________.（今天能做的事情）7.SincemrZhang______________

（遭受）cancerforseveralyears,hehastobringmedicinetowhereverhegoes.8.Doyouknowwho_____________

（可

能）winthecompetition?

（二）把下面兩個句子連成一個含同位語從句的復合句。

.TwofifthsofallgirlsinAmericaareonadiet./Thefactworriestheirparentsandteachersalot.2.TheQueenofEnglandwasonafour-dayvisitinchina./weheardthenewslastnight.3.Teenagersshouldn

’tspendtoomuchtimeonline./manychineseparentsholdtheview.4.Timetravelispossible./wehavenoscientificprooffortheidea.5.Studentsshouldbegivenmorefreetime./Thesuggestioniswelcomedbymanypeople.（三）完形填空

whenoneasksstudentsthequestion“wholikesgrammar?”,perhapsfewdaretoraisetheirlands.Inmany

thisunderstandableinBritain.yet, ,thestudyofgrammarisoneofthefastestgrowingareasofresearchinuniversitiesallovertheworld.moresoisthefactthatmanystudentswhodonotlikegrammarinschoolchoose

astheirsubjectofstudyintheuniversity.Theratherstrangestateofaffairs

anexplanation.onthewhole,studentsconsiderthestudyofgrammaruninteresting,andgrammaris

taughtinmostBritainmiddleschools.However,language,whichwouldbeimpossiblewithoutgrammar,isanimportantpartofhumansociety.,itisthefoundationonwhichsocietybuildsitself.Anditisourabilitytouselanguagethatmakesitpossibleforustoget

knowourthoughtsandaims，tocommunicate.Alargepartofourabilityevento

0

dependsonlanguage.

（

）1.A.reasons

B.ways

c.subjects

D.ideas

（

）2.A.strangely

B.suddenly

c.completely

D.excitingly

（

）3.A.Ever

B.Even

c.what’s

D.Indeed

（

）4.A.education

B.grammar

c.language

D.anything

（

）5.A.makes

B.asks

c.needs

D.suggests

（

）6.A.poorly

B.carefully

c.successfully

D.attentively

（）7.A.But

B.Infact

c.Asaresult

D.ontheotherhand

（

）8.A.ourselves

B.yourselves

c.others

D.othercountries

（

）9.A.tothepoint

B.toourjoy

c.inpublic

D.inotherwords

（

）10.A.talk

B.think

c.review

D.consider

【試題答案】

（一）1.makeanewlife

2.agreat/goodmanyreasons

3.suddenlyoccurredtoher

4.whatourvillagelookslike

5.whetheritisnecessaryforhertostudyabroad

6.whatyoucandotoday

7.hassufferedfrom

8.islikelyto

（二）1.ThefactthattwofifthsofallgirlsinAmericaareonadietworriestheirparentsandteachersalot.2.weheardthenewslastnightthattheQueenofEnglandwasonafour-dayvisitinchina.3.manychineseparentsholdtheviewthatteenagersshouldn’tspendtoomuchtimeonline.4.wehavenoscientificprooffortheideathattimetravelispossible.5.Thesuggestionthatstudentsshouldbegivenmorefreetimeiswelcomedbymanypeople.（三）答案及解析

.選Binmanyways在很多方面

2.選Astrangely奇怪地，此處表示“不可思議地”，因為雖然在英國很少有人喜歡語法，但是研究語法卻是全世界發展最快的領域之一，真是不可思議。

3.選B根據more可以確定答案。

4.選B本文主題詞grammar。

5.選c這種相當奇怪的狀況需要一種解釋。而makeanexplanation表示“作解釋”。

6.選Apoorly不好；很差，與上句的uninteresting相呼應。

7.選B實際上，語言是社會賴以構成的基礎asaresult結果ontheotherhand另一方面。

8.選c這是一個強調句

9.選Dinotherwords換句話說，用來解釋上句的意思，tocommunicate與letothersknowourthoughtsandaims的意思相似。

0.選B。

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