第一篇：北師大版八年級下冊數學第一章 三角形的證明第3節《線段的垂直平分線》教學設計

3．線段的垂直平分線(一)

一、學生知識狀況分析

學生對于掌握定理以及定理的證明并不存在多大得困難，這是因為在七年級學習《生活中的軸對稱》中學生已經有了一定的基礎。

二、教學任務分析

在七年級學生已經對線段的垂直平分線有了初步的認識，本節課將進一步深入探索線段垂直平分線的性質和判定。同時，滲透證明一個圖形上的每個點都具有某種性質的方法：只需在圖形上任取一點作為代表。本節課目標位： 1.證明線段垂直平分線的性質定里和判定定理．

2．經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明能力．豐富對幾何圖形的認識。

3.通過小組活動，學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果 教學重點、難點

重點是運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質定理及其逆命題。難點是垂直平分線的性質定理在實際問題中的運用。

三、教學過程分析

本節課設計了七個教學環節：第一環節：創設情境，引入新課；第二環節：性質探索與證明；第三環節：逆向思維，探索判定；第四環節：鞏固應用

；第五環節：隨堂練習；第六環節：課時小結第七環節：課后作業。第一環節：創設情境，引入新課

教師用多媒體演示：

如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什么位置? 其中“到兩個倉庫的距離相等”，要強調這幾個字在題中有很重要的作用．

線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸．我們用折紙的方法，根據折疊過程

/ 4

中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質就能完成．

進一步提問：“你能用公理或學過的定理證明這一結論嗎?” 第二環節：性質探索與證明

教師鼓勵學生思考，想辦法來解決此問題。

通過討論和思考，引導學生分析并寫出已知、求證的內容。

已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點． 求證：PA=PB．

分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等． 證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)．

； ∴PA=PB(全等三角形的對應邊相等)． 教師用多媒體完整演示證明過程．

第三環節：逆向思維，探索判定

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎? 這個命題不是“如果……那么……”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結論，將原命題寫成“如果……那么……”的形式，逆命題就容易寫出．鼓勵學生找出原命題的條件和結論。

原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”．結論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”．

此時，逆命題就很容易寫出來．“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上．”

寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．

引導學生分析證明過程，有如下四種證法：

證法一：

/ 4

MPACNB

已知：線段AB，點P是平面內一點且PA=PB． 求證：P點在AB的垂直平分線上．

證明：過點P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC=BC，即P點在AB的垂直平分線上．

證法二：取AB的中點C，過PC作直線． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P點在AB的垂直平分線上． 證法三：過P點作∠APB的角平分線． ∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P點在線段AB的垂直平分線上． 證法四：過P作線段AB的垂直平分線PC． ∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分線上．

從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理． 第四環節：鞏固應用

在做完性質定理和判定定理的證明以后，引導學生進行總結：（1）線段的垂直平分線可以看成是到線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

（2）到一條線段兩個端點的距離相等個點在這條線段的垂直平分線上．因

/ 4

PACBP12ACBP12ACB

此只需做出這樣的兩個點即可做出線段的垂直平分線。

例題：

已知：如圖，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 內一點，且 OB = OC.求證：直線 AO 垂直平分線段BC。． 證明：∵ AB = AC，∴ 點 A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點 O 在線段 BC 的垂直平分線上.∴ 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點確定一條直線）.學生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導學生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程。第五環節：隨堂練習

課本P23；習題1.7：第1、2題 第六環節：課堂小結

通過這節課的學習你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？ 第七環節：課后作業

習題l.7 第3、4題

四、教學反思

在這一節中，我們作為老師要善于引導學生從問題出發，根據觀察、實驗的結果，先得出猜想，然后再進行證明，要求學生掌握證明的基本要求和方法，注意數學壓想方法的強化和滲透．

/ 4

第二篇：2020-2021學年北師大版八年級下冊數學：1.3.1線段的垂直平分線學案

年級

八

班級

學生姓名

科目

數學

使用時間

課題1.3線段的垂直平分線第1

課時編制

審核

審批簽（章）

【學習目標】

1.經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力；

2.能夠證明線段垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論.【知識鏈接】

復習回顧線段的垂直平分線的尺規作圖和性質.【導學過程】

（1）自主學習、預習導學指導

自學指導

自學檢測及課堂展示

閱讀課本22--23頁的內容完成右邊的問題：

定理

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.定理

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.1、已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂線，垂足為D，交BC于E，BE=5，求AE、AC的長以及∠AEC的度數.2、如圖（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，則點D在__________

上.（2)合作展示、探究提升

如右圖，P是∠AOB的平分線OM上任意一點，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，連結EF.求證：OP垂直平分EF.【達標檢測】

1、如下圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5

cm，BC=4cm，那么△DBC的周長是（）

A.6

cm

B.7

cm

C.8

cm

D.9

cm2、如圖，∠A=90°，BD是∠ABC的平分線，DE是BC的垂直平分線，則∠C=_____.3、已知如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC，求證：AO⊥BC.4、如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，求△ABC的周長。

5、如圖在△ABC中，AD是∠BAC平分線,AD的垂直平分線分別交AB、BC延長線于F、E

求證：（1）∠EAD=∠EDA

;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B6、如圖，在公路的同側有兩個工廠，為了便

于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊修建一

高

速

公

路

A

B

L

所醫院，使得兩個工廠的工人都沒有意見，問醫

院的院址應選在何處？作圖說明。

【總結反饋】

自評：

師評：

第三篇：2020-2021學年八年級數學北師大版下冊1.3線段的垂直平分線課堂練習學案

線段的垂直平分線

例1：如圖，直線L⊥AB，垂足是C，AC=CB，點P在L上，求證：PA=PB

練習：如圖，直線MN垂直平分AB，交點為O，點P1，P2，P3

在直線MN上，則有：P1A=，P2B=

P3C=，OA=

▲：線段垂直平分線上的（任意）點到這條線段的兩個

端點的相等。

幾何語言：

∵

∴

課堂練習：

1、如圖，已知直線CD是線段AB的垂直平分線，且直線CD與線段AB相交于點O，有以下四個結論：①AB⊥CD，②AB=CD，③AB平分CD，④CD平分AB，其中正確的結論有（）

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個

第1題

第2題

第3題

2、如圖，直線CD垂直平分線段AB，且垂足為M，則圖中相等的線段有（）

A、1對

B、2對

C、3對

D、4對

3、如圖，已知線段AB的兩個端點A、B正好關于直線CD對稱，且線段AB與直線CD相較于點O，若AO=4cm，AC=6cm，則△ABC的周長為。

4、如圖，AB=AC，MB=MC。直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？

5、如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，問：

（1）AB、AC，CE的長度有什么關系？

（2）AB＋BD與DE有什么關系？

3、已知，D是直角斜邊AC的中點，于D交BC于E，求：的度數。

4、如右圖所示，△ABC中，BC＝10，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D，BE＝6，求△BCE的周長。

5、如圖，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝

10cm，AB的垂直平分線ED交AC于D點，求：△BCD的周長。

E

D

C

B

A6、△ABC中，DE是AC的垂直平分線，垂足為E,交AB于點D，AE=5cm，△CBD的周長為24cm，求△ABC的周長。

課后作業：

1、如圖，AD是△ABC的對稱軸，若BC=5，那么DC=，∠ADC=∠

=

°

第1題

第2題

第3題

2、如圖，BC的垂直平分線交AB于點D，若AB=6cm，AC=5cm

（1）DE所在的直線是△的對稱軸

（2）△ADC的周長是

cm。

3、如圖，在△ABC中，AB的中垂線交BC于點E，若BE=2，則A、E兩點的距離是（）

A、4

B、2

C、3

D、0.54、如圖，AB垂直平分CD，若AC=1.6，BC=2.3，則四邊形ACBD的周長是（）

A、3.9

B、7.8

C、4

D、4.6

第4題

第5題

第6題

5、如圖，若CA=CB，DA=DB，則直線CD一定是線段AB的，6、如圖所示，△ABC與△DEF關于直線L成軸對稱，則直線L不是以下哪條線段的垂直平分線？（）

（A）、AD

（B）、CE

（C）、BF

（D）、GH7、如圖，線段AB與A＇B＇關于直線L對稱，⑴、連接AA＇交直線l于點O，再連接OB、OB＇。

⑵、把紙沿直線L對折，重合的線段有：。

⑶、因為△OAB和△OA＇B＇關于直線L,所以△OAB

△OA＇B＇，∠ABO=∠，∠AA＇B=∠

A

C

B

D

E

8．如圖所示,Rt△ABC中，∠C=90°,AB的垂直平分線DE交BC于D，交AB于點E．當∠B=30°時，圖中不一定相等的線段有（）

A．AC=AE=BE

B．AD=BD

C．CD=DE

D．AC=BD10、在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜邊AB，分別交AB、BC于D、E，若

∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度數．

11、如圖，AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求△BCD的周長。

12、如圖，△ABC中，AB=BC，∠B=36°，BC的垂直平分線DE交AB于D，垂足為E，請你猜想：AC，BD，CD有何關系？AD＋AC與BC有什么關系？并加以說明。

第四篇：1.3 線段的垂直平分線教案(八年級下冊)

1.3線段的垂直平分線（教案）

教學目標

(一)教學知識點

1．經歷探索、猜測過程，能夠運用公理和所學過的定理證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理．

2．能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線．(二)思維訓練要求

1．經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力． 2．體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神． 3．學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果．(三)情感與價值觀要求

1．能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲．

2．在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心． 教學重點

1．能夠證明線段的垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論． 2．能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線．

教學難點 寫出線段垂直平分線的性質定理的逆命題并證明它． 教具準備 多媒體演示、直尺、圓規

教學過程

Ⅰ．創設現實情境，引入新課 教師用多媒體演示：

如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應

建在什么位置？

[生]碼頭應建在線段AB的垂直平分線與在A，B一側的河岸邊的交點上．

[師]同學們認同他的看法嗎？ [生]是的

[師]認為對的說說你的理由是什么呢？

[生]（回憶定理）我們以前曾學過線段垂直平分線的一個性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質就能完成．

[師]（邊說邊用折紙的方法再現定理）這位同學分析得很好，我們在七年級時研究過線段的性質，線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸．我們曾經像這樣利用折紙的方法得到“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”這一簡單事實，但是用這種觀察的方式是很難說服別人的，你能用公理或學過的定理來證明這一結論嗎？

教師演示線段垂直平分線的性質：

定理

線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等． Ⅱ．講述新課

[第一部分] 線段垂直平分線的性質定理

[師]我們從折紙的過程中得到了線段垂直平分線的性質定理，大家知道這是

１

不夠的，還必須利用公理及已學過的定理推理、證明它．那么如何證明呢？

[師]（引導）

問題一：①要證“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”，可線段垂直平分線上的點有無數多個，需一個一個依次證明嗎？

（強調）我們只需在線段垂直平分線上任取一點代表即可，因為線段垂直平分線上的點都具有相同的性質．（開始讓學生有這樣的數學思想）

②你能根據定理畫圖并寫出已知和求證嗎？ ③誰能幫老師分析一下證明思路？ [生]（思考回答）

[師生共析] 已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的點．

求證：PA＝PB．

分析：要想證明PA＝PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等． 證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的對應邊相等)．

[第二部分] 線段垂直平分線的判定定理

教師用多媒體完整演示證明過程．同時，用多媒體呈現： 想一想

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？ [師]（引導、并提問兩學生）

問題二：①這個命題是否屬于“如果??那么??”的形式？

②你能分析原命題的條件和結論，將原命題寫成“如果??那么??”的形式嗎？

③最后再把它的逆命題寫出來 [生A]（思考分析）原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”．結論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”．

[師]有了這位同學的精彩分析，逆命題就很容易寫出來．

[生B]如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上．

[師]很好，能否把它描述得更簡捷呢？

[生B]到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上． [師]good!當我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．請同學們類比原命題自己獨立寫出已知、求證．

（給學生思考空間）

已知：線段AB，點P是平面內一點且PA＝PB． 求證：P點在AB的垂直平分線上．（分組討論，鼓勵學生多想證明方法，并派代表上黑板寫寫本組的證明過程）

２

[師]看學生的具體情況，做適當的引導

證法一：

證明：過點P作已知線段AB的垂線PC． ∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P點在AB的垂直平分線上．

證法二：

證明：取AB的中點C，過PC作直線． ∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P點在AB的垂直平分線上．

證法三：

證明：過P點作∠APB的角平分線． ∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

∴P點在線段AB的垂直平分線上

．

[師]先肯定學生的思考，再對證明過程嚴謹的小組加以表揚，不足的加以點評和糾正。

[師]從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理．到現在我們已經學習了線段垂直平分線的性質定理和判定定理，下面小試牛刀 教師多媒體演示：

P26隨堂練習（搶答）：

如圖：已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點，如果EC=7cm，那么ED=_____cm，如果∠ECD＝60°,那么∠EDC＝___°

３

（讓學生說出理由）

[第三部分] 用尺規作線段垂直平分線

答對了上面的題，咱們來輕松一下，一起來欣賞一組美麗的數學圖。

教師多媒體演示： 做一做

用尺規作線段的垂直平分線．

[師]（邊演示圖邊講講作圖有關的數學史）大家知道這些圖是用什么工具作出來的嗎？

（資料：古希臘以來，平面幾何中的作圖工具習慣上限用直尺和圓規兩種.其中，直尺假定直而且長，但上面無任何刻度，圓規則假定其兩腿足夠長并能開閉自如.作圖工具的這種限制，最先大概是恩諾皮德斯(Oenopides，約公元前465年)提出的，以后又經過柏拉圖(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉圖非常重視數學，強調學習幾何對訓練邏輯思維能力的特殊作用，主張對作圖工具要有限制，反對使用其他機械工具作圖.之后，歐幾里得(Euclid，約公元前330—275)又把它總結在《幾何原本》一書中。于是，限用尺規進行作圖就成為古希臘幾何學的金科玉律。）

[師]其實同學們也能用圓規、直尺畫出優美的圖形，下面咱們就一起來學用尺規作線段的垂直平分線。

（分析：要作出線段的垂直平分線，根據垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．）

類似于證明題要寫出已知、求證和證明，作圖題也要根據條件寫出已知、求作和作法，下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據．

[教師示范，請學生同時練習] 已知：線段AB(如圖)．

求作：線段AB的垂直平分線．

1作法：1．分別以點A和B為圓心，以大于AB

2的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．

2．作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

[師]根據上面作法中的步驟，請你說明CD為什么是AB的垂直平分線嗎？請與同伴進行交流．

[生]從作法的第一步可知

４

AC＝BC，AD＝BD．

∴C、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)． ∴CD就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)．

[師]我們曾用刻度尺找線段的中點，當我們學習了線段垂直平分線的作法時，一旦垂直平分線作出，線段與線段垂直平分線的交點就是線段AB的中點，所以我們也用這種方法作線段的中點．

Ⅲ．隨堂練習

解決引例（假如要把碼頭的具體位置準確的畫出來，你會畫了嗎？）看時間是否允許，可讓學生完成P27試一試，同桌之間相互檢查批改，加深理解。

Ⅳ．課時小結

本節課我們先推理證明了線段的垂直平分線的性質定理和判定定理，并學會用尺規作線段的垂直平分線．

Ⅴ．課后作業 第1、3題 Ⅵ．板書設計

1.3 線段的垂直平分線

一、線段垂直平分線的性質定理．

二、線段垂直平分線的判定定理．

三、用尺規作線段的垂直平分線．

５

第五篇：線段垂直平分線幾何語言(數學八年級上冊)

1.線段垂直平分線的性質定理：

線段垂直平分線上的點與這條線段兩端點的距離相等

幾何語言∵PO是線段AB的垂直平分線，點P在PO上（已知）

∴ PA=PB（線段垂直平分線上的點和這條線段兩端點的距離相等）2.線段垂直平分線的逆定理：與一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 AO

幾何語言∵ PA=PB（已知）

∴點P在AB的垂直平分線上（和一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）

B