第一篇：高二數(shù)學(xué) 數(shù)列教案15 蘇教版

第十五教時(shí)

教材：等差、等比數(shù)列的綜合練習(xí)

目的：通過(guò)復(fù)習(xí)要求學(xué)生對(duì)等差、等比數(shù)列有更深刻的理解，逐漸形成熟練技巧。過(guò)程：

一、小結(jié)：等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、中項(xiàng)公式、性質(zhì)、求和公式。

二、處理《教學(xué)與測(cè)試》P81第39課習(xí)題課（1）

1．基礎(chǔ)訓(xùn)練題

2．例一 由Sn求an 用定義法判定?an?成AP 例二 關(guān)鍵是首先要判定d?0或d?0

三、處理《教學(xué)與測(cè)試》P89第43課 等差數(shù)列與等比數(shù)列

1．例一 “設(shè)”— 利用中項(xiàng)公式 — 求解 2．例二 “設(shè)”的技巧，然后依題意列式，再求解

3．例三 已知數(shù)列?an?中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn?1?4an?2，a1?1 1? 設(shè)bn?an?1?2an，求證數(shù)列?bn?是等比數(shù)列； 2? 設(shè)cn?an，求證數(shù)列?cn?是等差數(shù)列。2n證：1? ∵a1?1 ∴a1?a2?S2?4a1?1?a2?5，b1?a2?2a1?

3∵Sn?1?4an?2 Sn?2?4an?1?2 兩式相減得：an?2?4an?1?an

即：an?2?2an?1?2(an?1?2an)∵bn?an?1?2an

∴bn?1?2bn 即?bn?是公比為2的等比數(shù)列 bn?3?2n?1 2? ∵cn?anan?1anan?1?2anbnc?c???? ∴ n?1nnn?1nn?1n?122222n?1 將bn?3?2代入：cn?1?cn?3 ∴?cn?成AP

4四、1、P90“思考題”在△ABC中，三邊a,b,c成等差數(shù)列，a,b,c也成等差數(shù)列，求證△ABC為正三角形。

證：由題設(shè)，2b?a?c且2b?a?c ∴4b?a?c?2ac

∴a?c?2ac 即(a?c)2?0 從而a?c ∴b?a?c（獲證）

2、“備用題” 三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三個(gè)數(shù)減去32，則成等差數(shù)列，若再將這等差數(shù)列的第二個(gè)數(shù)減去4，則又成等比數(shù)列，求原來(lái)三個(gè)數(shù)。

解：設(shè)原來(lái)三個(gè)數(shù)為a,aq,aq2 則必有 2aq?a?(aq2?32)①(aq?4)2?a(aq2?32)②

4a?25代入②得：a?2或a? 從而q?5或13 a9226338, ∴原來(lái)三個(gè)數(shù)為2,10,50或, 999 由①： q?

五、作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》P81-82 練習(xí)題 3、4、5、6、7

P90 5、6、7、8

第二篇：高二數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)反思

高二數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)反思

身為一名優(yōu)秀的人民教師，我們的工作之一就是教學(xué)，對(duì)學(xué)到的教學(xué)新方法，我們可以記錄在教學(xué)反思中，教學(xué)反思應(yīng)該怎么寫(xiě)呢？以下是小編整理的高二數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)反思，希望能夠幫助到大家。

一、教學(xué)內(nèi)容以貼近學(xué)生生活實(shí)際的具體情境為載體，學(xué)習(xí)生活中的數(shù)學(xué)。

如在棋盤(pán)中用數(shù)對(duì)表示棋子的位置、從學(xué)生非常熟悉的五子棋對(duì)弈情境引入;利用座位這一真實(shí)的情境學(xué)習(xí)排和列;應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，拓展延伸，要求學(xué)生利用數(shù)對(duì)的相關(guān)知識(shí)解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又用于生活的教學(xué)理念，從而使學(xué)生體會(huì)到我們生活的周圍存在著大量的數(shù)學(xué)知識(shí)與問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的生成。

二、有效設(shè)計(jì)教學(xué)進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程。

本節(jié)課中，注重了向?qū)W生充分展現(xiàn)知識(shí)形成的過(guò)程，無(wú)論是通過(guò)將“小紅坐在從左數(shù)第4列從前數(shù)第3行”簡(jiǎn)化成用數(shù)對(duì)來(lái)表示，還是把人物圖簡(jiǎn)化成點(diǎn)子圖再到方格圖，都力圖讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的形成過(guò)程，從而加深學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解;而且在這個(gè)充滿探索和自主體驗(yàn)的過(guò)程中，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法和如何用數(shù)學(xué)方法去解決問(wèn)題，獲得自我成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

三、創(chuàng)設(shè)了良好的課堂學(xué)習(xí)氛圍，活動(dòng)形式多樣有趣。

課標(biāo)中指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，游戲的設(shè)置，向?qū)W生提供了充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)的興趣，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，達(dá)到了從玩中學(xué)的教學(xué)設(shè)想。

高二復(fù)習(xí)課以其龐大的容量讓奮戰(zhàn)在一線的老師們吃盡苦頭，每位老師都有課時(shí)拮據(jù)的感嘆!而資料中涉及的知識(shí)和原有內(nèi)容沖突時(shí)，學(xué)生無(wú)所適從，參與探究獲得知識(shí)的機(jī)會(huì)偏少，老師傳授總顯得相當(dāng)匆忙，課堂更多成了教師的`表演與獨(dú)白，每當(dāng)我反省學(xué)生究竟學(xué)會(huì)了那些東西時(shí)，總會(huì)汗顏;課程是按時(shí)完成了，但其有效性有多少?

該讓學(xué)生更主動(dòng)積極地參與課堂教學(xué)，在探究中體驗(yàn)知識(shí)的聯(lián)系，那怕一節(jié)課只學(xué)會(huì)一兩種題型的解決策略，也比滿堂灌，最終什么都沒(méi)學(xué)到強(qiáng)多了。而資料中涉及的知識(shí)和原有內(nèi)容沖突時(shí)，學(xué)生更是無(wú)所適從，如何把資料和課本更好結(jié)合，則是我們每一位教師必須重視的。

在《數(shù)列求和》的內(nèi)容中我最初設(shè)計(jì)了兩課時(shí)，講分組求和法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法，并引申出求通項(xiàng)公式的迭加(乘)法，乘比錯(cuò)位相減法，并補(bǔ)充求通項(xiàng)公式的待定系數(shù)法。

當(dāng)我重新審視教學(xué)設(shè)計(jì)和資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)資料中的裂項(xiàng)法和拆項(xiàng)法與我前面所講的有沖突，如何能減小沖突，且多留時(shí)間給學(xué)生思考，取得更好的效果，于是決定改變資料教學(xué)內(nèi)容，裂項(xiàng)法是重要的求和方法，不僅滲透了化歸的重要思想，而且也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，從最簡(jiǎn)單的題目入手，循序漸進(jìn)，或者會(huì)有不可估計(jì)的收獲吧。

數(shù)列整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，很多知識(shí)都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過(guò)去學(xué)過(guò)的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，尤其是加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，并從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)來(lái)研究數(shù)列問(wèn)題，使對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)更深入一步;而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容作了鋪墊。同時(shí)數(shù)列還有著非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。數(shù)列還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的好題材，自始至終貫穿著觀察、分析、歸納、類比、遞推、運(yùn)算、概括、猜想應(yīng)用等能力的培養(yǎng)，不僅如此，數(shù)列還是對(duì)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算、推理等基本訓(xùn)練、綜合訓(xùn)練的重要題材。因此學(xué)好數(shù)列有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

本堂課的教學(xué)，在提出問(wèn)題與解決問(wèn)題、獨(dú)立思考與合作交流等的有機(jī)結(jié)合中，有序和諧、民主平等地展開(kāi)。在教學(xué)設(shè)計(jì)中通過(guò)豐富的實(shí)例引入概念，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，經(jīng)歷觀察歸納、探索交流、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的過(guò)程，收獲新知和方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)過(guò)程中通過(guò)環(huán)環(huán)相扣、設(shè)置得當(dāng)?shù)膯?wèn)題鏈，激活學(xué)生的思維、喚起學(xué)生的熱情、完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生整堂課始終處在一種積極的學(xué)習(xí)狀態(tài)中：看得專心、聽(tīng)得認(rèn)真、做得投入、說(shuō)得流暢、合作得愉快。

另外，本節(jié)課在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思上也做了一定工作，反思可以說(shuō)是學(xué)生認(rèn)知水平從低級(jí)到高級(jí)發(fā)展的一個(gè)主要環(huán)節(jié)，所謂反思也是解決問(wèn)題后自問(wèn)幾個(gè)為什么，為下次解決問(wèn)題獲得有用的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，從而引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想方法，以達(dá)到優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生思維升華，由此達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力之目的。

本節(jié)課設(shè)計(jì)在實(shí)施過(guò)程中要避免用問(wèn)題牽著學(xué)生走，而是設(shè)置情境，讓問(wèn)題呼之欲出，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題。這一點(diǎn)在采用“問(wèn)題導(dǎo)引，自主探究”這一方式的教學(xué)中都應(yīng)注意。

第三篇：數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義——數(shù)列

第五章 數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識(shí)

定義1 數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列兩種，數(shù)列{an}的一般形式通常記作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。

定理1 若Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則S1=a1, 當(dāng)n>1時(shí)，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定義2 等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則{an}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.定理2 等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn=n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，22則an+am=ap+aq；5）對(duì)任意正整數(shù)p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個(gè)不為零，則{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有

an?1?q，則{an}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。ana1(1?qn)定理3 等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1q；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q?1時(shí)，Sn=；當(dāng)

1?qn-1q=1時(shí)，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數(shù)列，即b2=ac(b?0)，則b叫做a, c的等比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。

定義4 極限，給定數(shù)列{an}和實(shí)數(shù)A，若對(duì)任意的?>0，存在M，對(duì)任意的n>M(n∈N),都有|an-A|

a1（由極限的定義可得）。1?q定理3 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對(duì)n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

競(jìng)賽常用定理 定理4 第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)對(duì)一切n≤k的自然數(shù)n都成立時(shí)（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

定理5 對(duì)于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個(gè)根為α,β:(1)若α?β，則xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若α=β，則，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。

二、方法與例題 1．不完全歸納法。

這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。

例1 試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=

例3 設(shè)0

2迭代法。

數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對(duì)任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+

11,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通項(xiàng)an.21，求證：對(duì)任意n∈N+,有an>1.an或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。

例4 數(shù)列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q?0，求證：存在常數(shù)c，使得22nan?1?pan?1·an+qan?cq?0.2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an?1，求證：an都是整數(shù)，n∈N+.3．?dāng)?shù)列求和法。

數(shù)列求和法主要有倒寫(xiě)相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn?

例8 已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列?

4．特征方程法。

例9 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.1(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n?2100111+…+.?n(n?1)(n?2)1?2?32?3?4?an?的前n項(xiàng)和，求證：Sn<2。n??2?

例10 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng)an.5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。

例11 正數(shù)列a0,a1,…,an,…滿足anan?2?

2xn?2例12

已知數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通項(xiàng)。

2xnan?1an?2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項(xiàng)。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1． 數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，xn=_________.2.數(shù)列{xn}滿足x1=

2xn1，xn+1=,則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.3xn?223.數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=

1xn?1+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.24.等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n=_________.5.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.6.數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則S100=_________.7.數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若

x3xnx1x2?????，并且x1+x2+…+ xn=8，則x1=_________.x1?1x2?3x3?5xn?2n?1Sna2n?，則limn=_________.n??b3n?1Tnn9.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若

2007n2?n?110.若n!=n(n-1)…2·1, 則?(?1)=_________.n!n?1n11．若{an}是無(wú)窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求??1??的通項(xiàng)。a?n?n12．已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{ab}是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

四、高考水平訓(xùn)練題

?1x??2??1．已知函數(shù)f(x)=?2x?1??x?1??則a2006=_____________.1???x??2??7?1?+

??x?1?，若數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=f(an)(n∈N)，3?2?(x?1)2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an=??1?(n?1)(n?2).3.若an=n2+?n, 且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)?的取值范圍是__________.4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=an=_____________.1, 前n項(xiàng)和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則23n1?5.已知limn?1，則a的取值范圍是______________.n??3?(a?1)n36．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________個(gè)a1值，使{an}成等差數(shù)列；存在________個(gè)a1值，使{an}成等比數(shù)列。7．已知an?n?401n?402(n ∈N+)，則在數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是____________.8．有4個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)分別為_(kāi)___________.9.設(shè){an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對(duì)于所有自然數(shù)n, an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，則an=____________.10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有__________項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù).11．已知數(shù)列{an}中，an?0，求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是

11111??????（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan?1a1an?112．已知數(shù)列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn?1(n≥2), 當(dāng)a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時(shí)，21?an?1an；（3）求數(shù)列l(wèi)imbn.n??an?1（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=13．是否存在常數(shù)a, b, c，使題設(shè)等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n?1)

2(an+bn+c)12對(duì)于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有_________個(gè)。2．設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=1, xn=

4xn?1?2，則通項(xiàng)xn=__________.2xn?1?7253.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3, an>0，且3an?an?1，則通項(xiàng)an=__________.4.已知數(shù)列a0, a1, a2, …, an, …滿足關(guān)系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，則?ai?0n1i=__________.5.等比數(shù)列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=__________.6.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)100，這樣的數(shù)列至多有__________項(xiàng).7.數(shù)列{an}滿足a1=2, a2=6, 且

an?2?an=2，則

an?1?1lima1?a2???ann2n???________.8.數(shù)列{an} 稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a0=0, {an+1-qan}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時(shí)，項(xiàng)數(shù)最多有__________項(xiàng).?an?9．設(shè)h∈N+，數(shù)列{an}定義為：a0=1, an+1=?2?a?h?n在大于0的整數(shù)n，使得an=1？

an為偶數(shù)an為奇數(shù)。問(wèn)：對(duì)于怎樣的h，存10．設(shè){ak}k≥1為一非負(fù)整數(shù)列，且對(duì)任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個(gè)連續(xù)項(xiàng)為0；（2）求出一個(gè)滿足以上條件，且其存在無(wú)限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列。

11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan?23anan?2?1?1?1.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)an為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1, 2,….2．設(shè)a1, a2,…, an表示整數(shù)1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。試問(wèn)f(2007)能否被3整除？

3．設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且

??an?1?7an?6bn?3, ???bn?1?8an?7bn?4,n?0,1,2,?.求證：an(n=0,1,2,…)是完全平方數(shù)。

4．無(wú)窮正實(shí)數(shù)數(shù)列{xn}具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1

x1x2xn均成立；

22x0xnx12?????1<4對(duì)任一n均成立。（2）尋求這樣的一個(gè)數(shù)列使不等式

x1x2xn5．設(shè)x1,x2,…,xn是各項(xiàng)都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.試問(wèn)這樣的序列最多有多少項(xiàng)？

2(1?2an?2)an1?16．設(shè)a1=a2=，且當(dāng)n=3,4,5,…時(shí)，an=, 222an?1?4an?2an?1?an?23(ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(ⅱ)求證：

1?2是整數(shù)的平方。an7．整數(shù)列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對(duì)每個(gè)正整數(shù)n, un+1un-1=kuu，這里k是某個(gè)固定的正整數(shù)。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求證：存在無(wú)窮有界數(shù)列{xn}，使得對(duì)任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1.m?k9.已知n個(gè)正整數(shù)a0,a1,…，an和實(shí)數(shù)q，其中0

第四篇：數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義——數(shù)列

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第五章 數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識(shí)

定義1 數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列兩種，數(shù)列{an}的一般形式通常記作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。

定理1 若Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則S1=a1, 當(dāng)n>1時(shí)，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定義2 等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則{an}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.定理2 等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn=n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，22則an+am=ap+aq；5）對(duì)任意正整數(shù)p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個(gè)不為零，則{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有

an?1 ?q，則{an}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。

ana1(1?qn)定理3 等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1q；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q?1時(shí)，Sn=；當(dāng)

1?qn-1q=1時(shí)，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數(shù)列，即b2=ac(b?0)，則b叫做a, c的等比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。

定義4 極限，給定數(shù)列{an}和實(shí)數(shù)A，若對(duì)任意的?>0，存在M，對(duì)任意的n>M(n∈N),都有|an-A|

a1（由極限的定義可得）。1?q定理3 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對(duì)n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

競(jìng)賽常用定理

歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn 高考資源網(wǎng)（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家

定理4 第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)對(duì)一切n≤k的自然數(shù)n都成立時(shí)（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

定理5 對(duì)于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個(gè)根為α,β:(1)若α?β，則xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若α=β，則，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。

二、方法與例題 1．不完全歸納法。

這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。

例1 試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=

例3 設(shè)0

2迭代法。

數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對(duì)任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn 1,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通項(xiàng)an.21，求證：對(duì)任意n∈N+,有an>1.an高考資源網(wǎng)（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家

n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。

例4 數(shù)列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q?0，求證：存在常數(shù)c，使得2n2an?1?pan?1·an+qan?cq?0.例5 已知a1=0, an+1=5an+24an?1，求證：an都是整數(shù)，n∈N+.3．?dāng)?shù)列求和法。

數(shù)列求和法主要有倒寫(xiě)相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn?

例8 已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列?

4．特征方程法。

例9 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn 21(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n?2100111?.+…+1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)?an?的前n項(xiàng)和，求證：Sn<2。n??2?高考資源網(wǎng)（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家

例10 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng)an.5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。

例11 正數(shù)列a0,a1,…,an,…滿足anan?2?an?1an?2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項(xiàng)。

2xn?2例12

已知數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通項(xiàng)。

2xn

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1． 數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，xn=_________.2.數(shù)列{xn}滿足x1=

2xn1，xn+1=,則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.23xn?21xn?1+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.23.數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=4.等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n=_________.5.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.6.數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則S100=_________.7.數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn 高考資源網(wǎng)（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家

8.若

x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，則x1=_________.?????x1?1x2?3x3?5xn?2n?1Sna2n，則limn=_________.?n??b3n?1Tnn9.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若

2007n2?n?110.若n!=n(n-1)…2·1, 則?(?1)=_________.n!n?1n11．若{an}是無(wú)窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求??1??的通項(xiàng)。a?n?n12．已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{ab}是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

四、高考水平訓(xùn)練題

?1x??2??1．已知函數(shù)f(x)=?2x?1??x?1??a2006=_____________.1???x??2??7?1??x?1，若數(shù)列{a}滿足a=，an+1=f(an)(n∈N+)，則??n

13?2?(x?1)2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an=??1?(n?1).(n?2)3.若an=n2+?n, 且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)?的取值范圍是__________.4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=an=_____________.1, 前n項(xiàng)和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則23n15.已知limn?1，則a的取值范圍是______________.?nn??33?(a?1)6．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________個(gè)a1值，使{an}成等差數(shù)列；存在________個(gè)a1值，使{an}成等比數(shù)列。

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7．已知an?n?401n?402(n ∈N+)，則在數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是____________.8．有4個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)分別為_(kāi)___________.9.設(shè){an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對(duì)于所有自然數(shù)n, an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，則an=____________.10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有__________項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù).11．已知數(shù)列{an}中，an?0，求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是

11111（n≥2）①恒成立。??????a1a2a2a3a3a4anan?1a1an?112．已知數(shù)列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn?1(n≥2), 當(dāng)a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時(shí)，21?an?1an；（3）求數(shù)列l(wèi)imbn.n??an?1（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=13．是否存在常數(shù)a, b, c，使題設(shè)等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n?1)

2(an+bn+c)12對(duì)于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有_________個(gè)。2．設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=1, xn=

4xn?1?2，則通項(xiàng)xn=__________.2xn?1?7253.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3, an>0，且3an?an?1，則通項(xiàng)an=__________.4.已知數(shù)列a0, a1, a2, …, an, …滿足關(guān)系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，則1=__________.?i?0ai5.等比數(shù)列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=__________.6.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)100，這樣的歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn n高考資源網(wǎng)（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家

數(shù)列至多有__________項(xiàng).7.數(shù)列{an}滿足a1=2, a2=6, 且

an?2?an=2，則

an?1?1limn??a1?a2???ann2?________.8.數(shù)列{an} 稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a0=0, {an+1-qan}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時(shí)，項(xiàng)數(shù)最多有__________項(xiàng).?an?9．設(shè)h∈N+，數(shù)列{an}定義為：a0=1, an+1=?2?a?h?n大于0的整數(shù)n，使得an=1？

an為偶數(shù)an為奇數(shù)。問(wèn)：對(duì)于怎樣的h，存在10．設(shè){ak}k≥1為一非負(fù)整數(shù)列，且對(duì)任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個(gè)連續(xù)項(xiàng)為0；（2）求出一個(gè)滿足以上條件，且其存在無(wú)限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列。

11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan?23anan?2?1?1?1.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)an為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1, 2,….2．設(shè)a1, a2,…, an表示整數(shù)1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。試問(wèn)f(2007)能否被3整除？

3．設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且

??an?1?7an?6bn?3, ???bn?1?8an?7bn?4,n?0,1,2,?.求證：an(n=0,1,2,…)是完全平方數(shù)。

4．無(wú)窮正實(shí)數(shù)數(shù)列{xn}具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1

22x0xnx12（1）求證：對(duì)具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個(gè)n≥1，使?????1≥3.999

x1x2xn均成立；

22x0xnx12（2）尋求這樣的一個(gè)數(shù)列使不等式?????1<4對(duì)任一n均成立。

x1x2xn5．設(shè)x1,x2,…,xn是各項(xiàng)都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.試問(wèn)這樣的序列最多有多少項(xiàng)？

2(1?2an?2)an1?16．設(shè)a1=a2=，且當(dāng)n=3,4,5,…時(shí)，an=, 2232an?1?4an?2an?1?an?2(ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(ⅱ)求證：

1?2是整數(shù)的平方。an7．整數(shù)列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對(duì)每個(gè)正整數(shù)n, un+1un-1=kuu，這里k是某個(gè)固定的正整數(shù)。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求證：存在無(wú)窮有界數(shù)列{xn}，使得對(duì)任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1.m?k9.已知n個(gè)正整數(shù)a0,a1,…，an和實(shí)數(shù)q，其中0

第五篇：高一數(shù)學(xué) 數(shù)列求和教案

湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：數(shù)列求和

教材：數(shù)列求和

目的：小結(jié)數(shù)列求和的常用方法，尤其是要求學(xué)生初步掌握用拆項(xiàng)法、裂項(xiàng)法和錯(cuò)位法求一些特殊的數(shù)列。

過(guò)程：

一、提出課題：數(shù)列求和——特殊數(shù)列求和

常用數(shù)列的前n項(xiàng)和：1?2?3????n?n(n?1)21?3?5????(2n?1)?n2

n(n?1)(2n?1)

6n(n?1)213?23?33????n3?[]

212?22?32????n2?

二、拆項(xiàng)法：

例

一、（《教學(xué)與測(cè)試》P91 例二）

1111?4,2?7,3?10,??,n?1?(3n?2),??的前n項(xiàng)和。aaaa1 解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，則 an?n?1?(3n?2)

a111?Sn?(1??2????n?1)?[1?4?7????(3n?2)]

aaa求數(shù)列1?1,(1?3n?2)n3n2?n?當(dāng)a?1時(shí)，Sn?n?

221n(1?3n?2)nan?1(3n?1)na

當(dāng)a?1時(shí)，Sn? ??n?n?1122a?a1?a1?

三、裂項(xiàng)法：

例

二、求數(shù)列6666，,??，??前n項(xiàng)和 1?22?33?4n(n?1)?11?6(?)

n(n?1)nn?1解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為bn，則bn?

11111?Sn?b1?b2????bn?6[(1?)?(?)????(?)]223nn?1?6(1?16n)?n?1n?1 例

三、求數(shù)列111，??，??前n項(xiàng)和 1?21?2?31?2????(n?1)1211??2(?)

1?2????(n?1)(n?1)(n?2)n?1n?211111111n?)?(?)????(?)]?2(?)? 2334n?1n?22n?2n?2 解：?an? ?Sn?2[（四、錯(cuò)位法：

1}前n項(xiàng)和 n21111 解：Sn?1??2??3???????n?n ①

2482111111Sn?1??2??3????(n?1)?n?n?n?1 ② 248162211(1?n)1111112?n 兩式相減：Sn???????n?n?n?1?212248222n?11?21n1n?Sn?2(1?n?n?1)?2?n?1?n

2222例

四、求數(shù)列{n?例

五、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn?(求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

解：取n =1，則a1?(an?12)(n?N*)，2a1?12)?a1?1 2又： Sn?n(a1?an)n(a1?an)a?12?(n)

可得：222?an??1(n?N*)?an?2n?1

?Sn?1?3?5????(2n?1)?n2

五、作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》P91—92 第44課 練習(xí)3，4，5，6，7 補(bǔ)充：1.求數(shù)列?1,4,?7,10,??,(?1)(3n?2),??前n項(xiàng)和

n??3n?1n為奇數(shù)?2(Sn??)

3n?n為偶數(shù)?22n?32n?1 2.求數(shù)列{n?3}前n項(xiàng)和(8?n?3)3.求和：(1002?992)?(982?972)????(22?12)(5050)4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求數(shù)列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n?1)(n?5))

3n

1)，……前n項(xiàng)和

a?0時(shí)，Sn?n a?1時(shí)，Sn?n(n?1)2

n(n?1)a?an?1a?1、0時(shí)，Sn?(1?a)2