第一篇：數學模型

數學建模的心得體會

學完數學建模，使我感觸良多：它所教給我們的不單是一些數學方面的知識，更多的其實是綜合能力的培養、鍛煉與提高。它培養了我們全面、多角度考慮問題的能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得以到很好的鍛煉和提高。

首先我想簡單介紹下數學模型： 一．數學模型的定義

現在數學模型還沒有一個統一的準確的定義，因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義。“數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。”具體來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數學及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。

二．建立數學模型的方法和步驟 第一、模型準備

首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。

第二、模型假設

根據對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。

第三、模型構成

根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其它數學結構。這時，我們便會進入一個廣闊的應用數學天地，這里在高數、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許多許多，真是泱泱大國，別有洞天。不過我們應當牢記，建立數學模型是為了讓更多的人明了并能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。

第四、模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟件包能力便舉足輕重。

第五、模型分析

對模型解答進行數學上的分析。“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，能否對模型結果作出細致精當的分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進行誤差分析，數據穩定性分析。

數學模型主要是將現實對象的信息加以翻譯，歸納的產物。通過對數學模型的假設、求解、驗證，得到數學上的解答，再經過翻譯回到現實對象，給出分析、決策的結果。其實，數學建模對我們來說并不陌生，在我們的日常生活和工作中，經常會用到有關建模的概念。例如，我們平時出遠門，會考慮一下出行的路線，以達到既快速又經濟的目的；一些廠長經理為了獲得更大的利潤，往往會策劃出一個合理安排生產和銷售的最優方案??這些問題和建模都有著很大的聯系。而在學習數學建模以前，我們面對這些問題時，解決它的方法往往是一種習慣性的思維方式，只知道該這樣做，卻不很清楚為什么會這樣做，現在，我們這種陳舊的思考方式己經被數學建模中培養出的多角度、層次分明、從本質上區分問題的新穎多維的思考方式所替代。這種凝聚了許多優秀方法為一體的思考方式一旦被你把握，它就轉化成了你自身的素質，不僅在你以后的學習工作中繼續發揮作用，也為你的成長道路印下了閃亮的一頁。

數學建模所要解決的問題決不是單一學科問題，它除了要求我們有扎實的數學知識外，還需要我們不停地去學習和查閱資料，除了我們要學習許多數學分支問題外，還要了解工廠生產、經濟投資、保險事業等方面的知識，這些知識決不是任何專業中都能涉獵得到的。它能極大地拓寬和豐富我們的內涵，讓我們感到了知識的重要性，也領悟到了“學習是不斷發現真理的過程”這句話的真諦所在，這些知識必將為我們將來的學習工作打下堅實的基礎。從現在我們的學習來看，我們都是直接受益者。毫不夸張的說，建模過程挖掘了我們的潛能，使我們對自己的能力有了新的認識，特別是自學能力得到了極大的提高，而且思想的交鋒也迸發出了智慧的火花，從而增加了繼續深入學習數學的主動性和積極性。再次，數學建模也培養了我們的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住問題的本質所在。我們只有先對實際問題進行概括歸納，同時在允許的情況下盡量忽略各種次要因素，緊緊抓住問題的本質方面，使問題盡可能簡單化，這樣才能解決問題。數學建模還能增強我們的抽象能力以及想象力。對實際問題再進行“翻譯”，即進行抽象，要用我們熟悉的數學語言、數學符號和數學公式將它們準確的表達出來。

通過學習數學建模，對我的收益不遜于以前所學的文化知識，使我終生難忘。而且，我覺得數學建模活動本身就是教學方法改革的一種探索，它打破常規的那種老師臺上講，學生聽，一味鉆研課本的傳統模式，而采取提出問題，課堂討論，帶著問題去學習、不固定于基本教材，不拘泥于某種方法，激發學生的多種思維，增強其學習主動性，培養學生獨立思考，積極思維的特性，這樣有利于學生根據自己的特點把握所學知識，形成自己的學習機制，逐步培養很強的自學能力和分析、解決新問題的能力。這對于我們以后所從事的教育工作也是一個很好的啟發。

第二篇：數學模型論文[推薦]

數學模型論文（數學模型論文范文）：研究數學模型提高企業競爭力 摘要:在對研究數學模型提升企業競爭力的發展歷程進行概述的基礎上，探討了煤炭企業該如何研究數學模型提高競爭力。關鍵詞:氫數學模型;企業管理;提高企業競爭力

Stduy on Mathematical Models to ImproveEnterprise's Competence Abstract:The article is aimed to probe on how coal companies to study mathematical in anattempt to improve competence based on the developing course of enterprise's competenceenhanced by studying mathematical models Keywords:mathematical models;enterprise management;promotion of enterprise's competence 【引言】

科學技術是第一生產力。一方面先進的生產技術是一個動態的技術，它隨著人類的發明創造在不斷地向前發展，特別是當今在以計算機技術、網絡技術、多媒體技術為核心的信息技術的推動下，其發展之迅速更是日新月異；另一方面，在知識經濟時代，知識信息就是財富，誰及時地了解并掌握先進的生產技術，誰就能在成本控制與技術創新上占據優勢，進而在激烈的競爭中取勝。所以最新的科學技術是一個會變化發展的，受到所有人追蹤的技術。本文介紹了在高技術本質上是數學技術意義下的數學模型技術，并探討了煤炭企業如何研究、應用她。

1研究數學模型提升企業競爭力概述

世界上成功的企業無一不是在成本上進行控制與技術上進行創新的成功中發展壯大起來的。因此，當今煤炭產業要發展，煤炭企業要壯大，煤炭人一定要追蹤并善于緊跟當今世界科技發展步伐。通過文獻信息檢索發現：提高企業管理者信息素質，研究數學模型，對企業生產經營活動的每個環節建立數學模型，借助計算機求解、分析這些數學模型，并根據求解、分析的結果，對企業生產經營活動的每個環節進行優化和調整，是一種當今正在興起的、能有效提高企業競爭力的、先進的企業管理技術。

數學模型是一種用數學方法對事物進行定量分析、研究的技術。它雖然古老并在人類發展史上不斷顯示出巨大威力。但由于運用數學模型研究事物要求研究者必須具有相關的專業知識（如要運用數學，物理，化學，經濟、財會管理等知識才能建立數學模型），并且還要進行復雜的數學計算與邏輯推理，所以一直以來數學模型都只是作為少數科學家們（物理學家、天文學家、力學家等人）的神秘武器。數學模型做為一種技術真正得到推廣是在高等教育和計算機技術得到普以后的事情。首先，高等教育的發展普及使得社會的新成員或多或少有了建立數學模型的能力。其次，隨著計算機的發明和計算機技術的發展，一方面，人們發現可以用計算機來完成數學計算和邏輯推理工作，從而使得一些復雜的、以前靠人工不可能完成的計算與推理工作，現在都可以用計算機來完成，這樣就形成了一種把計算機技術與數學技術結合起來的“高技術”，這是一種普遍的、可以實現的新技術———數學模型技術；另一方面，微型計算機不僅性能越來越好，應用軟件越來越豐富，操作變得越來越容易，而且價格也是越來越便宜，使得計算機應用走進了千家萬戶，人人都有了使用計算機的條件，為人們研究數學模型技術奠定了基礎。

隨著信息技術的發展，信息高速公路使全球經濟一體化，各個企業、公司之間的競爭日益激烈，殘酷的競爭迫使著人們不得不對企業經營管理進行深入地研究。馬克思曾經說過“：任何一門科學只有充分利用了數學才能夠達到完美的境界”。遵循這一思路，人們在企業經營管理的研究中開始引進數學思想和方法，嘗試對企業生產經營的各個環節建立數學模型，通過研究這些數學模型來對這些環節進行定量的分析和研究。例如人們結合各自企業的實際創建了種種數學模型，有工廠升級方案的優化模型[1]，加工流水線設計模型，設備的維修更換模型，應急設施的選址問題模型[2]，革新技術的推廣模型，Van Meegeren的藝術偽造品模型[3]，生產庫存問題模型，供求平衡狀態下使利潤最大的最優價格模型[6]，生產計劃模型，運輸模型，排班問題模型，分配問題模型，投入產出模型，利潤分段生產計劃模型，生產和庫存計劃模型，技術改造模型，互不相容產品存放問題模型[4]等等。依據對這些數學模型進行研究的結果，人們對企業生產經營的相應環節進行優化和調整，實現了經營管理決策最優化和最大程度地節約成本減少開支的巨大成功。任何成功的技術，必定會被納入教育內容傳播開去。今天，運用數學模型研究事物正在成為一種潮流，數學模型技術已經為越來越多的大學所傳授，并迅速地應用到各行各業中。

2煤炭企業如何研究數學模型

針對上述數學模型技術發展形勢，筆者以為，煤炭企業應該緊跟研究數學模型提高企業競爭力的潮流，在企業管理中重視研究數學模型，用數學模型分析企業生產經營活動的每個環節，并據此對每個環節進行優化和調整，實現最大程度地節約成本和減少開支，增強企業競爭力。具體地說就是要：

2.1培養人們的信息素質

信息素質又稱“信息文化”、“信息素養”，指全球信息化需要人們具備的一種基本能力，即人們在工作中運用信息技術解決問題的能力。人類社會已經進入信息時代，對于信息時代的理解不能只限于利用電子郵件、QQ聊天、電話、短信等通信工具方便了人們之間的聯系，而應該認識到信息時代還包括人們可以方便、快捷地獲取、處理、發布信息。具有信息素質的人能夠判斷什么時候需要信息，并且懂得如何去獲取信息，如何去評價和有效利用獲得的信息。信息素質可以概括為信息意識、信息能力、信息道德3個方面。信息意識，是人們對信息需求的自我意識，主要表現在人們從信息的角度去感受、理解和評價自然界、社會中的各種現象、行為，判斷、洞察有用信息的能力。包括人們對信息的敏銳感受和理解，對信息在工作、學習、科研等各個領域重要性的領悟。是人對各種信息的自覺心理反應，是人們掌握信息、應用信息的自覺性的內在要求，是對客觀事物中有價值的信息特殊、敏銳的感受力、判斷力，并力圖獲取和加以利用的強烈愿望。信息能力包括信息獲取、加工處理和利用能力等。一個人信息能

力的大小在很大程度上決定著他的社會活動能力和工作能力。信息道德是指整個信息活動中的道德，即在整個信息活動中，信息加工者、傳遞者、使用者相互之間各種行為規范的總和。進入信息時代，首先要重視自己信息意識的培養，使自己具有敏銳的觀察力，快速的發掘能力，能迅速有效地從龐雜散亂的事物中捕捉并掌握有價值的信息，即善于從他人看來是微不足道、毫無價值的信息中發現信息的意義和價值所在。這樣我們不僅懂得信息的重要性，而且會因為管理企業的需要積極主動地去搜集企業管理方面的最新技術。其次，要重視自己信息能力的培養，增強自己的信息能力。主要是學習運用計算機網絡技術從各種數字圖書館、各種文獻數據庫及Internet檢索文獻信息的方法，使自己能在需要時快速、準確、完整地獲取到所需的信息，并能熟練地應用有關信息技術，充分加工利用這些信息。再次，要重視自己的信息道德培養。在搜集與利用當今企業管理最新技術活動過程中自覺遵循法律法規，尊重他人的學術成果，尊重知識產權、合理使用文獻信息，自覺抵制違法信息及信息行為。

2.2明確研究方法

數學模型技術研究是一種科學研究，必須重視連續性和繼承性。今天人類沒有涉獵的領域是極少的，數學模型技術有其發生和發展的過程，任何一個研究者，在進行數學模型技術研究時，都必須首先占有大量的數學模型技術文獻，對數學模型技術的歷史、現狀和未來充分了解，以前人已經取得的成果為基礎，進行新的研究。如果有人已做過某數學模型技術的研究人，就可以不開展此項目研究了，而直接

利用別人的研究成果。這樣通過文獻檢索而直接獲得研究成果，不僅節約了科研經費，也避免了重復勞動和贏得了保貴的時間。如果有人正在進行某數學模型技術的研究，也要搞清楚，當前有哪些機構或個人在研究此數學模型技術，他們研究的進展如何。這樣就可以從前人的研究中吸取營養，繼承前人的研究成果、經驗教訓、避免重復他人的勞動和少走彎路，使自己的研究工作在立項時就建立在一個較高的起點上，不僅可以確保我們的數學模型研究工作始終處于領先地位，而且可以保證我們的數學模型研究成果是有價值的，還可以開拓更新的、更高層次的、更廣闊的數學模型研究領域。例如，20世紀世界上的重大發明日本一項也沒有，但是日本卻在綜合別人成果的基礎上創造出了世界一流的新技術、新產品。日本科學家認為“綜合就是創造”。當然，綜合是要獲取別人的研究成果的，日本的成功是建立在充分占有科研成果的基礎上的。筆者認為，日本科學家們這種科研方法值得學習，在利用文獻信息檢索技術獲取數學模型技術知識信息的基礎上進行綜合創造，是一條很好的煤炭企業研究數學模型提升競爭力渠道。

2.3努力掌握數學模型技術

對生產經營的各個環節建立數學模型，運用計算機求解這些數學模型，根據求解結果調整優化生產，這就是企業管理中的數學模型技術。只要我國煤炭企業培養信息素質把握市場技術與產品信息，運用數學模型技術指導生產經營，就可以提高競爭力。

3在企業管理中應用數學模型技術實例

如上所述，煤炭企業可以在生產計劃制訂、組織生產、材料采購、庫存管理、產品銷售等生產經營環節進行數學模型研究。下面僅舉一例來說明在企業管理中運用數學模型的方法。例1廣告模型[5]某工廠準備在電視上做廣告，電視臺的收費標準為：時間Ⅰ：星期一至星期日18：30到22：30以外的時間每30 s收費200元；時間Ⅱ：星期一至星期五18：30到22：30熱門時間每30 s收費350元；時間Ⅲ：星期六及星期日18：30到22：30熱門時間每30 s收費500元。該工廠計劃用72 000元在電視臺做1個月（30 d）每天30 s的廣告。電視臺規定：每周在時間Ⅱ和時間Ⅲ內播出的次數之和不能超過時間Ⅰ內播出次數的一半，而工廠希望時間Ⅲ內播出的次數不少于4次，也就是平均1周要至少1次。據估計，在時間Ⅰ內收視率為100萬人次，在時間Ⅱ和時間Ⅲ的收視率分別為時間Ⅰ內的3倍和5倍，問應如何安排播放次數，才能使收視率最高？[解]第一步，建立模型。（1）該問題所要確定的量是在3種時間內播出的次數，這就是決策變量，設xi表示時間i播出的次數（i=1，2，3）。（2）該問題要受到如下條件的限制：①全月播放的總次數是30次，即x1+x2+x3=30；②在時間Ⅱ和時間Ⅲ內播出的次數之和不能超過時間Ⅰ內播出次數的一半，即：x2+x3≤(1/2)x1或x1-2x2-2x3≥0；③在時間Ⅲ內播出的次數不少于4次，即x3≥4；④每種時間內播出的次數不能為負數，即x1，x2，x3≥0；⑤廣告費用不能超支，即200x1+350x2+500x3≤72 000；（3）該問題的目的是收視率最高，所以收視率是目標函數，即z=x1+3x2+5x3

因此，該問題的數學模型為：

第二步，求解模型

用Exce“l規劃求解”工具求解，結果如下（具體求解方法見文[8]）：x1=20,x2=0,x3=10,z=70。可見，當在時間Ⅰ播出廣告20次，在時間Ⅱ不播出廣告，在時間Ⅲ播出廣告10次時，既滿足要求，又能使收視率達到最高達到7 000萬人次。

參考文獻：

[1]吳建國.數學建模案例精編[J].北京：中國水利水電出版社，2005.[2]周義倉，等.數學建模實驗[M].西安：西安交通大學出版社，1999.[3]（美）W.F.LUCAS.微分方程模型[M].長沙：國防科技大學出版社，1998.[4]王冬琳.數學建模及實驗[M].北京：國防工業出版社，2004.[5]朱喜安.初等數量分析[M].北京：中國財政經濟出版社，2006.[6]胡運權.運籌學習題集[M].北京：清華大學出版社，2002.[7]葉藝林.文獻信息檢索教程[M].成都：西南交大出版社，2009.[8]葉藝林.用“規劃求解”工具求解線性規劃[J].景德鎮高專學報，2006（4）.

第三篇：數學模型心得體會

這學期，我進行了數學建模實訓的設計，我覺得他與其他科的不同是與現實聯系密切，而且能引導我們把以前學得到的枯燥的數學知識應用到實際問題中去，用建模的思想、方法來解決實際問題，很神奇，而且也接觸了一些計算機軟件，使問題求解很快就出了答案。

數學模型既順應時代發展的潮流，也符合教育改革的要求。對于數學教育而言，既應該讓學生掌握準確快捷的計算方法和嚴密的邏輯推理，也需要培養學生用數學工具分析解決實際問題的意識和能力，傳統的數學教學體系和內容無疑偏重于前者，而開設數學建模課程則是加強后者的一種嘗試，數學建模的初衷是為了幫助大家提升分析問題，解決問題的能力。

在學習了數學模型后，它所教給我們的不單是一些數學方面的知識，比如說一些數學計算軟件，學習建模的同時，借用各種建模軟件解決問題是必不可少的Matlab，Lingo，等都是非常方便的。數學模型是數學學習的新的方式，他為我們提供了自主學習的空間，有助于我們體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生化和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；而且數學模型還對我們有綜合能力的培養、鍛煉與提高。它培養了我們全面、多角度考慮問題的能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好地鍛煉和提高。而且我認為數學模型帶給我的是發散性思維，各種研究方法和手段。教會我凡事要有自己的創新，自己的嚴密思維，不能局限于俗套。

在本次實訓中我的指導老師給予了我很大的幫助，是他帶領著我去研究去探索，去一步一步的接近最正確的答案，發現真理，我非常感謝我的指導老師，他教會了我探索精神，讓我懂得了在困難面前絕不能放棄。

總之，通過這次數學建模的實訓，不僅使我們加深了對書本知識的理解，學習了lingo軟件的使用，熟知了編寫報告的規范要求，培養了我們解決問題，吸取經驗，團隊合作的精神。我相信這些收獲會伴隨我們學習、工作和生活，我們將帶著一顆不畏懼困難，勇敢面對困難，積極尋找解決困難的心去面對明天，尋找更美好的未來！

第四篇：數學模型心得體會

數學建模的心得體會

姓名：張秋月 專業：數學與應用數學

班級：1102班 學號：2011254010223

這學期，我學習了數學建模這門課，我覺得他與其他科的不同是與現實聯系密切，而且能引導我們把以前學得到的枯燥的數學知識應用到實際問題中去，用建模的思想、方法來解決實際問題，很神奇，而且也接觸了一些計算機軟件，使問題求解很快就出了答案。

在學習的過程中，我獲得了很多知識，對我有非常大的提高。同時我有了一些感想和體會。

本來在學習數學的過程中就遇到過很多困難，感覺很枯燥，很難學，概念抽象、邏輯嚴密等等，所以我的學習積極性慢慢就降低了，而且不知道學了要怎么用，不知道現實生活中哪里到。通過學習了數學模型中的好多模型后，我發現數學應用的廣泛性。數學模型是一種模擬，使用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，他或能解釋默寫客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模。不論是用數學方法在科技和生產領域解決哪類實際問題，還是與其他學科相結合形成的交叉學科，首要的和關鍵的一步是建立研究對象的數學模型，并加以計算求解。數學建模和計算機技術在知識經濟的作用可謂是如虎添翼。

數學建模屬于一門應用數學，學習這門課要求我們學會如何將實際問題經過分析、簡化轉化為個數學問題，然后用適用的數學方法去解決。數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力地數學手段。在學習中，我知道了數學建模的過程，其過程如下：

（1）模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數學語言來描述問題。

（2）模型假設：根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確地語言提出一些恰當的假設。（3）模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻畫各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構。

（4）模型求解：利用或取得的數據資料，對模型的所有參數做出計算。

（5）模型分析：對所得的結果進行數學上的分析。

（6）模型檢驗：將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次進行建模過程。數學模型既順應時代發展的潮流，也符合教育改革的要求。對于數學教育而言，既應該讓學生掌握準確快捷的計算方法和嚴密的邏輯推理，也需要培養學生用數學工具分析解決實際問題的意識和能力，傳統的數學教學體系和內容無疑偏重于前者，而開設數學建模課程則是加強后者的一種嘗試，數學建模的初衷是為了幫助大家提升分析問題，解決問題的能力。我認為學習數學模型的意義有如下幾點：一 學習數學模型我們可以參加數學建模競賽，而數學建模競賽是為了促進數學建模的發展而應運而生的，它可以培養大家的競賽能力、抗壓能力、問題設計能力、搜索資料的能力、計算機運用能力、論文寫作與修改完善能力、語言表達能力、創新能力等科學綜合素養，它讓大家從傳統的知識培養轉變到能力的培養，讓我們的思想追求有了質的變化！這也是我們現代教育所追求的；二 學習數學可以提升我的邏輯思維能力和運算等抽象能力，但好多人覺得數學和實際遙不可及，可是呢，數學建模則成為了解決這種現象的殺手锏，因為數學建模就是為了培養大家的分析問題和分解決問題的能力。

在學習了數學模型后，它所教給我們的不單是一些數學方面的知識，比如說一些數學計算軟件，學習建模的同時，借用各種建模軟件解決問題是必不可少的Matlab，Lingo，等都是非常方便的。數學模型是數學學習的新的方式，他為我們提供了自主學習的空間，有助于我們體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生化和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；而且數學模型還對我們有綜合能力的培養、鍛煉與提高。它培養了我們全面、多角度考慮問題的能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好地鍛煉和提高。而且我認為數學模型帶給我的是發散性思維，各種研究方法和手段。教會我凡事要有自己的創新，自己的嚴密思維，不能局限于俗套。總之學習數學模型有利于激發我們的學習數學的興趣，豐富我們學習數學探索的情感體驗；有利于我們自覺體驗、鞏固所學的的數學知識。還鍛煉了我們的耐心和意志力。

第五篇：數學模型總結

【數學建模】數學模型總結

四類基本模型 優化模型

1.1 數學規劃模型

線性規劃、整數線性規劃、非線性規劃、多目標規劃、動態規劃。

1.2 微分方程組模型

阻滯增長模型、SARS傳播模型。

1.3 圖論與網絡優化問題

最短路徑問題、網絡最大流問題、最小費用最大流問題、最小生成樹問題(MST)、旅行商問題(TSP)、圖的著色問題。

1.4 概率模型

決策模型、隨機存儲模型、隨機人口模型、報童問題、Markov鏈模型。

1.5 組合優化經典問題 ? 多維背包問題(MKP)背包問題：n個物品，對物品i，體積為wi，背包容量為W。如何將盡可能多的物品裝入背包。

多維背包問題：n個物品，對物品i，價值為pi，體積為wi，背包容量為W。如何選取物品裝入背包，是背包中物品的總價值最大。

多維背包問題在實際中的應用有：資源分配、貨物裝載和存儲分配等問題。該問題屬于NP難問題。

? 二維指派問題(QAP)工作指派問題：n個工作可以由n個工人分別完成。工人i完成工作j的時間為dij。如何安排使總工作時間最小。

二維指派問題（常以機器布局問題為例）：n臺機器要布置在n個地方，機器i與k之間的物流量為fik，位置j與l之間的距離為djl，如何布置使費用最小。二維指派問題在實際中的應用有：校園建筑物的布局、醫院科室的安排、成組技術中加工中心的組成問題等。

? 旅行商問題(TSP)

旅行商問題：有n個城市，城市i與j之間的距離為dij，找一條經過n個城市的巡回（每個城市經過且只經過一次，最后回到出發點），使得總路程最小。

? 車輛路徑問題(VRP)

車輛路徑問題（也稱車輛計劃）：已知n個客戶的位置坐標和貨物需求，在 【數學建模】數學模型總結

可供使用車輛數量及運載能力條件的約束下，每輛車都從起點出發，完成若干客戶點的運送任務后再回到起點，要求以最少的車輛數、最小的車輛總行程完成貨物的派送任務。

TSP問題是VRP問題的特例。

? 車間作業調度問題(JSP)車間調度問題：存在j個工作和m臺機器，每個工作由一系列操作組成，操作的執行次序遵循嚴格的串行順序，在特定的時間每個操作需要一臺特定的機器完成，每臺機器在同一時刻不能同時完成不同的工作，同一時刻同一工作的各個操作不能并發執行。如何求得從第一個操作開始到最后一個操作結束的最小時間間隔。分類模型

判別分析是在已知研究對象分成若干類型并已經取得各種類型的一批已知樣本的觀測數據，在此基礎上根據某些準則建立判別式，然后對未知類型的樣品進行判別分析。

聚類分析則是給定的一批樣品，要劃分的類型實現并不知道，正需要通過局內分析來給以確定類型的。

2.1 判別分析 ? 距離判別法

基本思想：首先根據已知分類的數據，分別計算各類的重心即分組(類)的均值，判別準則是對任給的一次觀測，若它與第i類的重心距離最近，就認為它來自第i類。

至于距離的測定，可以根據實際需要采用歐氏距離、馬氏距離、明科夫距離等。

? Fisher判別法

基本思想：從兩個總體中抽取具有p個指標的樣品觀測數據，借助方差分析的思想構造一個判別函數或稱判別式y??cixi。其中系數ci確定的原則是使兩

i?1p組間的區別最大，而使每個組內部的離差最小。

對于一個新的樣品，將它的p個指標值代人判別式中求出 y 值，然后與判別臨界值(或稱分界點(后面給出)進行比較，就可以判別它應屬于哪一個總體。在兩個總體先驗概率相等的假設下，判別臨界值一般取：

ny?n2yy0?1n1?n2(1)(2)

最后，用F統計量來檢驗判別效果，若F?F?則認為判別有效，否則判別無效。

以上描述的是兩總體判別，至于多總體判別方法則需要加以擴展。Fisher判別法隨著總體數的增加，建立的判別式也增加，因而計算比較復雜。

? Bayes判別法 【數學建模】數學模型總結

基本思想：假定對所研究的對象有一定的認識，即假設k個總體中，第i個總體Gi的先驗概率為qi，概率密度函數為fi(x)。利用bayes公式計算觀測樣品Xqjfj(x)來自第j個總體的后驗概率p(Gj/X)?k，當p(Gh/X)?m(pG/j)Xaxj?2，1,?k?qifi(x)i?1時，將樣本X判為總體Gh。

? 逐步判別法

基本思想與逐步回歸法類似，采用“有進有出”的算法，逐步引入變量，每次引入一個變量進入判別式，則同時考慮在較早引入判別式的某些作用不顯著的變量剔除出去。

2.2 聚類分析

聚類分析是一種無監督的分類方法，即不預先指定類別。根據分類對象不同，聚類分析可以分為樣本聚類（Q型）和變量聚類（R型）。樣本聚類是針對觀測樣本進行分類，而變量聚類則是試圖找出彼此獨立且有代表性的自變量，而又不丟失大部分信息。變量聚類是一種降維的方法。

? 系統聚類法（分層聚類法）

基本思想：開始將每個樣本自成一類；然后求兩兩之間的距離，將距離最近的兩類合成一類；如此重復，直到所有樣本都合為一類為止。

適用范圍：既適用于樣本聚類，也適用于變量聚類。并且距離分類準則和距離計算方法都有多種，可以依據具體情形選擇。

? 快速聚類法（K-均值聚類法）

基本思想：按照指定分類數目n，選擇n個初始聚類中心Zi(i?1,2,?,n)；計算每個觀測量（樣本）到各個聚類中心的距離，按照就近原則將其分別分到放入各類中；重新計算聚類中心，繼續以上步驟；滿足停止條件時（如最大迭代次數等）則停止。

使用范圍：要求用戶給定分類數目n，只適用于樣本聚類（Q型），不適用于變量聚類（R型）。

? 兩步聚類法（智能聚類方法）

基本思想：先進行預聚類，然后再進行正式聚類。

適用范圍：屬于智能聚類方法，用于解決海量數據或者具有復雜類別結構的聚類分析問題。可以同時處理離散和連續變量，自動選擇聚類數，可以處理超大樣本量的數據。

? 模糊聚類分析

? 與遺傳算法、神經網絡或灰色理論聯合的聚類方法

2.3 神經網絡分類方法 評價模型

【數學建模】數學模型總結

3.1 層次分析法(AHP)基本思想：是定性與定量相結合的多準則決策、評價方法。將決策的有關元素分解成目標層、準則層和方案層，并通過人們的判斷對決策方案的優劣進行排序，在此基礎上進行定性和定量分析。它把人的思維過程層次化、數量化，并用數學為分析、決策、評價、預報和控制提供定量的依據。

基本步驟：構建層次結構模型；構建成對比較矩陣；層次單排序及一致性檢驗（即判斷主觀構建的成對比較矩陣在整體上是否有較好的一致性）；層次總排序及一致性檢驗（檢驗層次之間的一致性）。

優點：它完全依靠主觀評價做出方案的優劣排序，所需數據量少，決策花費的時間很短。從整體上看，AHP在復雜決策過程中引入定量分析，并充分利用決策者在兩兩比較中給出的偏好信息進行分析與決策支持，既有效地吸收了定性分析的結果，又發揮了定量分析的優勢，從而使決策過程具有很強的條理性和科學性，特別適合在社會經濟系統的決策分析中使用。

缺點：用AHP進行決策主觀成分很大。當決策者的判斷過多地受其主觀偏好影響，而產生某種對客觀規律的歪曲時，AHP的結果顯然就靠不住了。

適用范圍：尤其適合于人的定性判斷起重要作用的、對決策結果難于直接準確計量的場合。要使AHP的決策結論盡可能符合客觀規律，決策者必須對所面臨的問題有比較深入和全面的認識。另外，當遇到因素眾多，規模較大的評價問題時，該模型容易出現問題，它要求評價者對問題的本質、包含的要素及其相互之間的邏輯關系能掌握得十分透徹，否則評價結果就不可靠和準確。

改進方法：

(1)成對比較矩陣可以采用德爾菲法獲得。(2)如果評價指標個數過多（一般超過9個），利用層次分析法所得到的權重就有一定的偏差，繼而組合評價模型的結果就不再可靠。可以根據評價對象的實際情況和特點，利用一定的方法，將各原始指標分層和歸類，使得每層各類中的指標數少于9個。

3.2 灰色綜合評價法（灰色關聯度分析）

基本思想：灰色關聯分析的實質就是，可利用各方案與最優方案之間關聯度大小對評價對象進行比較、排序。關聯度越大，說明比較序列與參考序列變化的態勢越一致，反之，變化態勢則相悖。由此可得出評價結果。

基本步驟：建立原始指標矩陣；確定最優指標序列；進行指標標準化或無量綱化處理；求差序列、最大差和最小差；計算關聯系數；計算關聯度。

優點：是一種評價具有大量未知信息的系統的有效模型，是定性分析和定量分析相結合的綜合評價模型，該模型可以較好地解決評價指標難以準確量化和統計的問題，可以排除人為因素帶來的影響，使評價結果更加客觀準確。整個計算過程簡單，通俗易懂，易于為人們所掌握;數據不必進行歸一化處理，可用原始數據進行直接計算，可靠性強；評價指標體系可以根據具體情況增減；無需大量樣本，只要有代表性的少量樣本即可。

缺點：要求樣本數據且具有時間序列特性；只是對評判對象的優劣做出鑒別，并不反映絕對水平，故基于灰色關聯分析綜合評價具有“相對評價”的全部缺點。

適用范圍：對樣本量沒有嚴格要求，不要求服從任何分布，適合只有少量觀測數據的問題；應用該種方法進行評價時，指標體系及權重分配是一個關鍵的問 【數學建模】數學模型總結

題，選擇的恰當與否直接影響最終評價結果。

改進方法：

(1)采用組合賦權法：根據客觀賦權法和主觀賦權法綜合而得權系數。(2)結合TOPSIS法：不僅關注序列與正理想序列的關聯度??，而且關注序列與負理想序列的關聯度?，依據公式??????????計算最后的關聯度。

3.3 模糊綜合評價法

基本思想：是以模糊數學為基礎，應用模糊關系合成的原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從多個因素對被評價事物隸屬等級（或稱為評語集）狀況進行綜合性評價的一種方法。綜合評判對評判對象的全體，根據所給的條件，給每個對象賦予一個非負實數評判指標，再據此排序擇優。

基本步驟：確定因素集、評語集；構造模糊關系矩陣；確定指標權重；進行模糊合成和做出評價。

優點：:數學模型簡單，容易掌握，對多因素、多層次的復雜問題評判效果較好。模糊評判模型不僅可對評價對象按綜合分值的大小進行評價和排序，而且還可根據模糊評價集上的值按最大隸屬度原則去評定對象所屬的等級，結果包含的信息量豐富。評判逐對進行，對被評對象有唯一的評價值，不受被評價對象所處對象集合的影響。接近于東方人的思維習慣和描述方法，因此它更適用于對社會經濟系統問題進行評價。

缺點：并不能解決評價指標間相關造成的評價信息重復問題，隸屬函數的確定還沒有系統的方法，而且合成的算法也有待進一步探討。其評價過程大量運用了人的主觀判斷，由于各因素權重的確定帶有一定的主觀性，因此，總的來說，模糊綜合評判是一種基于主觀信息的綜合評價方法。

應用范圍：廣泛地應用于經濟管理等領域。綜合評價結果的可靠性和準確性依賴于合理選取因素、因素的權重分配和綜合評價的合成算子等。

改進方法：

(1)采用組合賦權法：根據客觀賦權法和主觀賦權法綜合而得權系數。

3.4 BP神經網絡綜合評價法

基本思想：是一種交互式的評價方法，它可以根據用戶期望的輸出不斷修改指標的權值，直到用戶滿意為止。因此，一般來說，人工神經網絡評價方法得到的結果會更符合實際情況。

優點：神經網絡具有自適應能力，能對多指標綜合評價問題給出一個客觀評價，這對于弱化權重確定中的人為因素是十分有益的。在以前的評價方法中，傳統的權重設計帶有很大的模糊性，同時權重確定中人為因素影響也很大。隨著時間、空間的推移，各指標對其對應問題的影響程度也可能發生變化，確定的初始權重不一定符合實際情況。再者，考慮到整個分析評價是一個復雜的非線性大系統，必須建立權重的學習機制，這些方面正是人工神經網絡的優勢所在。針對綜合評價建模過程中變量選取方法的局限性，采用神經網絡原理可對變量進行貢獻分析，進而剔除影響不顯著和不重要的因素，以建立簡化模型，可以避免主觀因素對變量選取的干擾。【數學建模】數學模型總結

缺點： ANN在應用中遇到的最大問題是不能提供解析表達式，權值不能解釋為一種回歸系數，也不能用來分析因果關系，目前還不能從理論上或從實際出發來解釋ANN的權值的意義。需要大量的訓練樣本，精度不高，應用范圍是有限的。最大的應用障礙是評價算法的復雜性，人們只能借助計算機進行處理，而這方面的商品化軟件還不夠成熟。

適用范圍：神經網絡評價模型具有自適應能力、可容錯性，能夠處理非線性、非局域性的大型復雜系統。在對學習樣本訓練中，無需考慮輸入因子之間的權系數，ANN通過輸入值與期望值之間的誤差比較，沿原連接權自動地進行調節和適應，因此該方法體現了因子之間的相互作用。

改進方法：

(1)采用組合評價法：對用其它評價方法得出的結果，選取一部分作為訓練樣本，一部分作為待測樣本進行檢驗，如此對神經網絡進行訓練，知道滿足要求為止，可得到更好的效果。

3.5 數據包絡法(DEA)3.6 組合評價法 預測模型

定性研究與定量研究的結合，是科學的預測的發展趨勢。在實際預測工作中，應該將定性預測和定量預測結合起來使用，即在對系統做出正確分析的基礎上，根據定量預測得出的量化指標，對系統未來走勢做出判斷。

4.1 回歸分析法

基本思想：根據歷史數據的變化規律，尋找自變量與因變量之間的回歸方程式，確定模型參數，據此預測。回歸問題分為一元和多元回歸、線性和非線性回歸。

特點：技術比較成熟，預測過程簡單；將預測對象的影響因素分解，考察各因素的變化情況，從而估計預測對象未來的數量狀態；回歸模型誤差較大，外推特性差。

適用范圍：回歸分析法一般適用于中期預測。回歸分析法要求樣本量大且要求樣本有較好的分布規律，當預測的長度大于占有的原始數據長度時，采用該方法進行預測在理論上不能保證預測結果的精度。另外，可能出現量化結果與定性分析結果不符的現象，有時難以找到合適的回歸方程類型。

4.2 時間序列分析法

基本思想：把預測對象的歷史數據按一定的時間間隔進行排列，構成一個隨時間變化的統計序列，建立相應的數據隨時間變化的變化模型，并將該模型外推到未來進行預測。

適用范圍：此方法有效的前提是過去的發展模式會延續到未來，因而這種方法對短期預測效果比較好，而不適合作中長期預測。一般來說，若影響預測對象 【數學建模】數學模型總結

變化各因素不發生突變，利用時間序列分析方法能得到較好的預測結果；若這些因素發生突變，時間序列法的預測結果將受到一定的影響。灰色預測法

基本思想：將一切隨機變量看作是在一定范圍內變化的灰色變量，不是從統計規律角度出發進行大樣本分析研究，而是利用數據處理方法(數據生成與還原)，將雜亂無章的原始數據整理成規律性較強的生成數據來加以研究，即灰色系統理論建立的不是原始數據模型，而是生成數據模型。

適用范圍：預測模型是一個指數函數，如果待測量是以某一指數規律發展的，則可望得到較高精度的預測結果。影響模型預測精度及其適應性的關鍵因素，是模型中背景值的構造及預測公式中初值的選取。

4.3 BP神經網絡法

人工神經網絡的理論有表示任意非線性關系和學習等的能力，給解決很多具有復雜的不確定性和時變性的實際問題提供了新思想和新方法。

利用人工神經網絡的學習功能，用大量樣本對神經元網絡進行訓練，調整其連接權值和閉值，然后可以利用已確定的模型進行預測。神經網絡能從數據樣本中自動地學習以前的經驗而無需繁復的查詢和表述過程，并自動地逼近那些最佳刻畫了樣本數據規律的函數，而不論這些函數具有怎樣的形式，且所考慮的系統表現的函數形式越復雜，神經網絡這種特性的作用就越明顯。

誤差反向傳播算法(BP算法)的基本思想是通過網絡誤差的反向傳播，調整和修改網絡的連接權值和閉值，使誤差達到最小，其學習過程包括前向計算和誤差反向傳播。它利用一個簡單的三層人工神經網絡模型，就能實現從輸入到輸出之間任何復雜的非線性映射關系。目前，神經網絡模型已成功地應用于許多領域，諸如經濟預測、財政分析、貸款抵押評估和破產預測等許多經濟領域。

優點：可以在不同程度和層次上模仿人腦神經系統的結構及信息處理和檢索等功能，對大量非結構性、非精確性規律具有極強的自適應功能，具有信息記憶、自主學習、知識推理和優化計算等特點，其自學習和自適應功能是常規算法和專家系統技術所不具備的，同時在一定程度上克服了由于隨機性和非定量因素而難以用數學公式嚴密表達的困難。

缺點：網絡結構確定困難，同時要求有足夠多的歷史數據，樣本選擇困難，算法復雜，容易陷入局部極小點。

4.4 支持向量機法

支持向量機是基于統計學習的機器學習方法，通過尋求結構風險化最小，實現經驗風險和置信范圍的最小，從而達到在統計樣本較少的情況下，亦能獲得良好統計規律的目的。

其中支持向量機是統計學習理論的核心和重點。支持向量機是結構風險最小化原理的近似，它能夠提高學習機的泛化能力，既能夠由有限的訓練樣本得到小的誤差，又能夠保證對獨立的測試集仍保持小的誤差，而且支持向量機算法是一個凸優化問題，因此局部最優解一定是全局最優解，支持向量機就克服了神經網絡收斂速度慢和局部極小點等缺陷。

核函數的選取在SVM方法中是一個較為困難的問題，至今沒有一定的理論方面的指導。【數學建模】數學模型總結

4.5 組合預測法

在實際預測工作中，從信息利用的角度來說，就是任何一種單一預測方法都只利用了部分有用信息，同時也拋棄了其它有用的信息。為了充分發揮各預測模型的優勢，對于同一預測問題，往往可以采用多種預測方法進行預測。不同的預測方法往往能提供不同的有用信息，組合預測將不同預測模型按一定方式進行綜合。根據組合定理，各種預測方法通過組合可以盡可能利用全部的信息，盡可能地提高預測精度，達到改善預測性能的目的。

優化組合預測有兩類概念，一是指將幾種預測方法所得的預測結果，選取適當的權重進行加權平均的一種預測方法，其關鍵是確定各個單項預測方法的加權系數；二是指在幾種預測方法中進行比較，選擇擬合度最佳或標準離差最小的預測模型作為最優模型進行預測。組合預測是在單個預測模型不能完全正確地描述預測量的變化規律時發揮其作用的。