第一篇：AP Calculus中的積分方法總結(jié)

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AP Calculus中的積分方法總結(jié)

AP頻道為大家?guī)鞟P Calculus中的積分方法總結(jié)一文，希望對大家AP備考有所幫助。

1.常見公式

首先第一波是希望大家一定要牢記的公式

每個(gè)都必須背起來!

第二波公式屬于：背不下來，你可以考場上臨時(shí)推導(dǎo)一下嘛!下一篇推送我們在講到具體方法的時(shí)候在三角函數(shù)那一塊會(huì)來和大家討論這些式子如何推導(dǎo)。知道推導(dǎo)方法了以后，我們也可以考場上臨時(shí)求一下。

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2.換元法

一般常見的換元法，就不多說了，看到式子不熟悉的情況下，可以嘗試用換元來做，但是換元如何選擇，選擇的好不好也影響到了這道題能不能做出來，方法是否簡單。

比如下面這個(gè)式子：

如何選擇換元呢?你有以下幾種選擇：

怎么選擇才是最方便的呢?如何選擇換元呢?

總不能考試的時(shí)候慢慢試探吧。

所以希望大家能夠熟練的掌握下一種方法：

湊微分法!

3.湊微分法 三立教育ap.sljy.com

什么時(shí)候使用湊微分的方法?就是當(dāng)你看到積分式子中有這樣的形式可以去湊，并且剩余的部分只和右邊括號里面的式子有關(guān)系，那么就可以用這樣湊微分的方法來計(jì)算。

比如回到我們剛才的式子：

如果稍微做出一些變形后，大家可以看到式子可以被變換成： 三立教育ap.sljy.com

可以把一個(gè)對x積分的式子變成對tanx積分的式子，同時(shí)我們可以觀察到，剩下來的部分都是和tanx有關(guān)的部分，因此就可以把tanx看成是一個(gè)整體來處理。

這里如果用換元法去做的話，其實(shí)是我們把tanx看成了一個(gè)整體進(jìn)行換元。

那么怎么知道這才是正確的換元方法呢?

你得對上面的十個(gè)式子非常熟悉才可以吧!

4.一些特殊形式的規(guī)律

1.多項(xiàng)式分式

如果分母相對來說比較簡單

(什么叫分母簡單呢，就是你把分子全部換成1以后，這樣的分式你會(huì)積分計(jì)算，那就可以判斷成分母較為簡單)

如這樣的一些分母：

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這些分母形式都是可以直接套用公式，或者通過簡單的換元/湊系數(shù)的方法進(jìn)行快速的積分，因此我們把他們歸成簡單的分母。

(1)如果分子的最高次數(shù)大于等于分母的最高次數(shù)

the highest order of the numerator is greater than or equal to the highest order of the denominator

比如這樣的：

分子的最高次數(shù)都要大于等于分母的最高次數(shù)：

我們采取的方法是：拆分子

也就是把分子拆成多項(xiàng)來和分母約分，從而讓最后的分式只保留分子較為簡單的形式：

(2)如果分母相對來說比較簡單，但是分子的次數(shù)較小

這個(gè)時(shí)候我們需要對分母進(jìn)行處理，如果分母出現(xiàn)是二次多項(xiàng)式的形式 三立教育ap.sljy.com

我們可以把分母根據(jù)不同形式分成兩種類型

如果分母是第一種形式，我們把積分式子往arctan(x)的公式上去湊，比如：

如果分母是第二種形式，我們需要進(jìn)行因式分解，比如：

不管分子是簡單的1，還是關(guān)于x的簡單的低次多項(xiàng)式，都可以采取這個(gè)方法。

為了更好的記住多項(xiàng)式分式的做法，大家可以練習(xí)下面這個(gè)多項(xiàng)式系列↓ 三立教育ap.sljy.com

我們根據(jù)上面講的方法進(jìn)行一下歸類

(1)，(4)，(7)，(13)可以直接用公式適當(dāng)變形后直接積分。

(2)，(3)，(5)，(6)，(9)，(12)，(15)都屬于分子最高次數(shù)大于等于分母最高次數(shù)，因此可以用拆分子的方法計(jì)算。

(8)，(11),(14)因?yàn)榉肿佣汲霈F(xiàn)了xdx，剩余部分都是關(guān)于x平方的形式，因此可以用湊微分的方法計(jì)算。

(10)比較特殊，我們可以把分母因式分解后，拆分成兩個(gè)分式分別進(jìn)行計(jì)算。

饒瑩/文

以上就為大家整理的“AP Calculus中的積分方法總結(jié)，更多精彩內(nèi)容

第二篇：多重積分方法總結(jié)

摘要：二重積分和三重積分的概念都有實(shí)際的幾何或物理的背景，定義分為四個(gè)步驟用構(gòu)造的方法給出，最終表現(xiàn)為“黎曼和”的極限．故多重積分具有極限的基本性質(zhì)，如唯一性，線性性質(zhì)等．定義給出了概念的一個(gè)準(zhǔn)確描述方法，進(jìn)而從定義出發(fā)可以從純邏輯上考察概念具有的性質(zhì)以及計(jì)算方法． 關(guān)鍵詞：二重積分 三重積分

英文題目 Summary of multiple integral method Abstract: The double integral and triple integral concepts are have the real geometry or physical background, definition is divided into four steps with the method of structure are given, finally shown as “Riemann and” limit.So has the limits of the integral multiple basic properties, such as uniqueness, linear properties.Definition of the concept of a given accurate description method, and from the definition from pure logic can be reviews the concept has property and calculation method.Keyword: The double integral triple integral 1.引言：重積分的計(jì)算主要是化為多次的積分．這里首先要看被積區(qū)域的形式, 選擇合適的坐標(biāo)系來進(jìn)行處理．二重積分主要給出了直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的計(jì)算方法．我們都可以從以下幾個(gè)方面把握相應(yīng)的具體處理過程：1.被積區(qū)域在幾何直觀上的表現(xiàn)（直觀描述，易于把握）；2.被積分區(qū)域的集合表示（用于下一步確定多次積分的積分次序和相應(yīng)的積分限）；3.化重積分為多次積分． 2.研究問題及成果 2.1．二重積分的計(jì)算 1.在直角坐標(biāo)下：(a)X-型區(qū)域

幾何直觀表現(xiàn)：用平行于y軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)y?y1(x)和y?y2(x)；

被積區(qū)域的集合表示：D?{(x,y)a?x?b,y1(x)?y?y2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??Df(x,y)dxdy??dx?aby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型區(qū)域

幾何直觀表現(xiàn)：用平行于x軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由左右交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)x?x1(x)和x?x2(x)；

被積區(qū)域的集合表示：D?{(x,y)c?y?d,x1(x)?x?x2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??Df(x,y)dxdy??dx?cdx2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在極坐標(biāo)下：

幾何直觀表現(xiàn)：從極點(diǎn)出發(fā)引射線線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交

點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)； r?r1(?)和r?r2(?)（具體如圓域，扇形域和環(huán)域等）被積區(qū)域的集合表示：D?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?)}，注意，如果極點(diǎn)在被積區(qū)域的內(nèi)部，則有特殊形式D?{(r,?)0???2?,0?r?r2(?)}；

直角坐標(biāo)下的二重積分化為極坐標(biāo)下的二重積分，并表示成相應(yīng)的二次積分：

??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd????DD?21d??r2(?)r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．

注：具體處理題目時(shí)，首要要能夠選擇適當(dāng)?shù)奶幚矸椒ǎ⒛軌驅(qū)崿F(xiàn)不同積分次序及直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化．

3.二重積分的換元法：

z?f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，設(shè)有變換

?x?x(u,v)T?,(u,v)?D? ?y?y(u,v)將D?一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)關(guān)于u, v有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且

J??(x,y)?0,(u,v)?D? ?(u,v)則有

??f(x,y)dxdy???f(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD?

二． 三重積分的計(jì)算

三重積分具體的處理過程類似于二重積分，也分為三個(gè)步驟來進(jìn)行處理．

1.在直角坐標(biāo)下：

空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)．從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)函數(shù)z?z1(x,y)和z?z1(x,y)，并把區(qū)域投影到xoy面上從而確定(x,y)的范圍，記為Dxy；

被積區(qū)域的集合表示：V?{(x,y,z)(x,y)?Dxy,z1(x,y)?z?z2(x,y)}, 進(jìn)一步地, Dxy可以表示成X－型區(qū)域或Y－型區(qū)域;三重積分化為三次積分：

???Vf(x,y,z)dV???dxdy?Dxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所謂“二套一”的形

式）

??dx?aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為X－型）

??dy?cdx2(y)x1(y)dx?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為Y－型）

注：類似于以上的處理方法，把空間區(qū)域投影到 yoz面或zox面又可把三重積分轉(zhuǎn)化成不同次序的三次積分．這時(shí)區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)，區(qū)域的集合表示，以及新的三次積分次序如何？可見，三重積分最多可以對應(yīng)六種積分次序．這里還有所謂一套二的處理方法，區(qū)域的直觀表現(xiàn)為：平行于xoy面的截面面積容易求得．作為被積函數(shù)最好與x，y無關(guān)，即可表示為為f(z)．則區(qū)域表示為：

V?{(x,y,z)c?z?d,(x,y)?Dz}, 其中Dz表示垂直于z軸的截面．此時(shí)，三重積分化為：

???f(x,y,z)dV??Vdcdz??f(z)dxdy

（所謂“一套二”的形式）

Dz

??cf(z)SDdz

zd其中SD表示截面Dz的面積，它是關(guān)于z的函數(shù)．

z2.在柱坐標(biāo)下：

柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：

?x?rcos???y?rsin?,(0?r??,0???2?,???z???)?z?z?空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)，從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)函數(shù)z?z1(x,y)和z?z1(x,y)．空間區(qū)域在xoy面上的投影區(qū)域易于用參數(shù)r和?表示范圍（具體如圓域，扇形域和環(huán)域等），并且z?z1(x,y)和z?z1(x,y)也易于進(jìn)一步表示

z成關(guān)于r,?較簡單的函數(shù)形式，比如x2?y2可以看成一個(gè)整體（具體如上、下表面為旋轉(zhuǎn)面的情形）；

被積區(qū)域的集合表示：

V?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?),z1(r,?)?z?z2(r,?)}；

直角坐標(biāo)下的三重積分化為極坐標(biāo)下的三重積分，并表示成相應(yīng)的三次積分：

???f(x,y,z)dV????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dzVV

?2r2(?)z2(r,?)??d???1r1(?)rdr?z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz．

3.在球坐標(biāo)下：

球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：

?x?rsin?cos???y?rsin?sin?,(0?r??,0???2?,0????)?z?cos??空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：從原點(diǎn)出發(fā)引射線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)，從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)球坐標(biāo)函數(shù)r?r1(r,?)和r?r2(r,?);（具體如球心在原點(diǎn)或z軸上的球形域）

被積區(qū)域的集合表示：

V?{(r,?,?)?1????2,?1????2,r1(?,?)?r?r2(?,?)}；

直角坐標(biāo)下的三重積分化為極坐標(biāo)下的三重積分，并表示成相應(yīng)的三次積分：

???Vf(x,y,z)dV????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d?

V=?2?0d??d??0?r2(?,?)r1(?,?)f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．

如球心在原點(diǎn)半徑為a的球形域下：

???Vf(x,y,z)dV??d??d??f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．

0002??a4.三重積分的換元法：

u?f(x,y,z)在閉區(qū)域V上連續(xù)，設(shè)有變換

?x?x(u,v,w)?T:?y?y(u,v,w),(u,v,w)?V? ?z?z(u,v,w)?將V?一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)關(guān)于u, v和w有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且

J??(x,y,z)?0,(u,v)?V?

?(u,v,w)則有

???f(x,y,z)dV????f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重積分的幾何和物理應(yīng)用 1.幾何應(yīng)用

a)二重積分求平面區(qū)域面積；b)二重積分求曲頂柱體體積；c)三重積分求空間區(qū)域的體積；d)二重積分求空間曲面的面積．

求曲面的面積A，對應(yīng)著曲面方程為直角坐標(biāo)系下的二元函數(shù)形式和參數(shù)方程形式分別有以下公式：

i)曲面方程 S:z?f(x,y),(x,y)?D

A???1?fx2?fy2dxdy

D?x?x(u,v)ii)曲面參數(shù)方程S:??y?y(u,v),(u,v)?Duv

?z?z(u,v)?iA???(xui?yuj?zuk)?(xvi?yvj?zvk)dudv???xuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：這里的公式都對函數(shù)有相應(yīng)的微分條件． 2.物理應(yīng)用

包括求質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和引力等應(yīng)用，積分是研究物理問題的重要工具．建立物理量對應(yīng)的積分公式的一般方法是從基本的物理原理出發(fā)，找到所求量對應(yīng)的微元，也就是對應(yīng)積分的被積表達(dá)式了．

3.結(jié)束語：以上對多重積分的計(jì)算方法做了個(gè)小結(jié)，關(guān)鍵要在具體的情況下要找到對應(yīng)的適宜的處理方法．處理重積分計(jì)算時(shí)從幾何形式出發(fā)，則易于直觀把握．注意選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，注意被積區(qū)域的表達(dá)，還要注意函數(shù)關(guān)于區(qū)域的對稱性．這種對稱性包括奇對稱和偶對稱，從而可以簡化計(jì)算過程．

參考文獻(xiàn)

1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析 高等教育出版社 2.陳傳璋 復(fù)旦第二版 數(shù)學(xué)分析 高等教育出版社

第三篇：高數(shù)下冊各類積分方法總結(jié)

綜述：高數(shù)下冊，共有如下幾類積分：二重積分，三重積分，第一類線積分，第二類線積分，第一類面積分，第二類面積分。其中，除線積分外，個(gè)人認(rèn)為，拿到題后，首先應(yīng)用對稱性把運(yùn)算簡化，線積分的對稱性，不太常用，可以參照面積分的對稱性，將積分曲面換成積分曲線即可，恕不贅述。另外要注意線積分和面積分的方向性，線積分以逆時(shí)針為正方向，面積分以坐標(biāo)軸正向?yàn)檎较颉６胤e分 對稱性：

積分區(qū)間D關(guān)于X軸對稱：被積函數(shù)是關(guān)于Y的奇函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關(guān)于Y的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半?yún)^(qū)間上積分的2倍 方法：分別對x、y積分，將其中一個(gè)變量寫成另一個(gè)的表達(dá)形式||極坐標(biāo)換元 三重積分 對稱性：

積分區(qū)間Ω關(guān)于xy面對稱：被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為0；

被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半?yún)^(qū)間上積分的2倍 方法：先重后單||先單后重（極坐標(biāo)）||柱坐標(biāo)||球坐標(biāo)

第一類線積分

x,y,z型：具有關(guān)于參數(shù)t的表達(dá)試，用基本公式，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的積分

x,y型：排除上一種條件的話，通常將y表示為關(guān)于x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的積分

第二類線積分 方法：

1、用曲線的切線的方向角余弦，轉(zhuǎn)化成第一類線積分

2、有參數(shù)t，可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的積分

3、將y表示為關(guān)于x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的積分

4、封閉曲線，通常自己構(gòu)造，可采用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分 另：注意與路徑無關(guān)的積分

第一類面積分 對稱性：

積分曲面關(guān)于XY面對稱：被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為在一半曲面上積分的2倍

計(jì)算方法：常規(guī)的話，只有一種，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y或z的積分。詳見書本上的公式。

第二類面積分 對稱性:

積分曲面關(guān)于XY面對稱：被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則結(jié)果為0：

被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則結(jié)果為在一半曲面上積分的2倍（注意區(qū)別于第一類）計(jì)算方法：

1、用曲面的切線的方向角余弦，轉(zhuǎn)化成第一類面積分

2、轉(zhuǎn)化為二重積分，直接在前面添正負(fù)號即可

3、封閉曲面，可以用高斯公式，轉(zhuǎn)化為三重積分，一般封閉曲面都是人為構(gòu)造的，所以注意減掉構(gòu)造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，轉(zhuǎn)化為第二類線積分，不常用

PS：用函數(shù)表達(dá)式，可以化簡線面積分的被積函數(shù)，另有積分相關(guān)考點(diǎn)，旋度，散度，質(zhì)量，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，求曲面?zhèn)让婷娣e，頂面面積，曲頂柱體體積~~~多多復(fù)習(xí)，牢記公式，一定可以渡過積分這個(gè)難關(guān)~

第四篇：校園無憂網(wǎng)積分方法

積分作用

1、積分可以兌換許多精美禮品，兌換后就可以直接擁有！

2、提醒：積分也可能被扣除哦，無憂網(wǎng)在此提醒大家：信用很重要哦~

獲分途徑

網(wǎng)上登錄： 2分(一天內(nèi)登錄只加一次)在手動(dòng)點(diǎn)擊領(lǐng)取 網(wǎng)上兼職預(yù)定： 10分(一天只加一次)網(wǎng)上培訓(xùn)預(yù)定： 10分(一天只加一次)網(wǎng)上活動(dòng)預(yù)定： 10分(一天只加一次)

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灌水現(xiàn)象比較嚴(yán)重，取消積分 2分(一天內(nèi)最多加4分)1分(一天內(nèi)最多加5分)5分(一天內(nèi)最多加10分)

發(fā)布約會(huì)

評論文章、二手、照片、留言：

對企業(yè)或者工作人員評價(jià)：New~

每項(xiàng)每次2分(每項(xiàng)一天內(nèi)最多加10分)

在“預(yù)定退訂管理 ”中，若工作信息的錄取名單和工資名單發(fā)布后，即可對企業(yè)或者工作人員評價(jià)，每次2分

積分獎(jiǎng)勵(lì)

續(xù)卡： 100分

兼職表現(xiàn)優(yōu)良： 20分 培訓(xùn)表現(xiàn)優(yōu)良： 10分 活動(dòng)表現(xiàn)優(yōu)良： 10分 提出意見或者建議： 5分 表現(xiàn)優(yōu)良的宣傳員： 10-100分

扣除積分

兼職：

無故遲到

無故未到

面試錄取無故不做

-20分-50分-50分

活動(dòng)：

無故遲到

無故未到 培訓(xùn)：

無故遲到

無故未到

論壇文章刪除：-5分 博客文章刪除：-5分

照片刪除：-5分

個(gè)人形象照片刪除：-30分

-20分-50分-20分-50分

第五篇：積分不等式的證明方法

南通大學(xué)畢業(yè)論文

摘要

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,積分不等式的證明一直是一個(gè)無論在難度還是技巧性方面都很復(fù)雜的內(nèi)容.對積分不等式的證明方法進(jìn)行研究不但能夠系統(tǒng)的總結(jié)其證明方法,還可以更好的將初等數(shù)學(xué)的知識和高等數(shù)學(xué)的結(jié)合起來.并且可以拓寬我們的視野、發(fā)散我們的思維、提高我們的創(chuàng)新能力,因此可以提高我們解決問題的效率.本文主要通過查閱有關(guān)的文獻(xiàn)和資料的方法,對其中的內(nèi)容進(jìn)行對比和分析,并加以推廣和補(bǔ)充,提出自己的觀點(diǎn).本文首先介紹了兩個(gè)重要的積分不等式并給出了證明,然后分類討論了證明積分不等式的八種方法,即利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用積分的性質(zhì)、利用泰勒公式、利用重積分、利用微分中值定理,最后對全文進(jìn)行了總結(jié)．

關(guān)鍵詞：積分不等式,定積分,中值定理,柯西-施瓦茲不等式,單調(diào)性

南通大學(xué)畢業(yè)論文

ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．

Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem，Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty

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1.引

言

不等式在數(shù)學(xué)中有著重要的作用,在數(shù)量關(guān)系上,盡管不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加普遍的存在于人們的現(xiàn)實(shí)世界里,然而人們對于不等式的認(rèn)識要比方程遲的多.直到17世紀(jì)之后,不等式的理論才逐漸的成長起來,成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分.眾所周知,不等式理論在數(shù)學(xué)理論中有著重要的地位,它滲透到了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中,因而它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要的內(nèi)容.其中積分不等式更是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的內(nèi)容．

實(shí)際上關(guān)于定積分的概念起源于求平面圖形的面積和一些其他的實(shí)際問題.有關(guān)定積分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希臘時(shí)期,阿基米德就曾經(jīng)用求和的方法計(jì)算過拋物線弓形和其他圖形的面積.在歷史上,積分觀念的形成要比微分早.然而直到17世紀(jì)后半期,較為完整的定積分理論還沒有能夠形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有關(guān)計(jì)算的問題得以解決后,定積分才迅速的建立并成長起來．

本論文研究的積分不等式結(jié)合了定積分以及不等式.關(guān)于它的證明向來是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)及難點(diǎn).對積分不等式的證明方法進(jìn)行研究，并使其系統(tǒng)化，在很大程度上為不同的數(shù)學(xué)分支之間架起了橋梁.深刻的理解及掌握積分不等式的證明方法可以提升我們對其理論知識的理解,同時(shí)可以提高我們的創(chuàng)造思維和邏輯思維．

在論文的第三部分中對積分不等式的證明方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.分別從利用函數(shù)的凹凸性、輔助函數(shù)法、利用重要積分不等式、利用積分中值定理、利用泰勒公式、利用重積分、利用微分中值定理、利用定積分的性質(zhì)這八個(gè)方面給出了例題及證明方法.這樣通過幾道常見的積分不等式的證明題,從不同的角度,用不同的方法研究、分析了積分不等式的特點(diǎn),歸納總結(jié)出了其證明方法.同時(shí)論文中也對有的題目給出了多種證明方法,這啟示我們對于同一道積分不等式而言它的證明方法往往不止一種,我們需要根據(jù)實(shí)際情況采用合適的方法去證明,從而達(dá)到將問題化繁為簡的目的．

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2.幾個(gè)重要的積分不等式

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們遇到過許多重要的積分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它們的形式及證明方法都有很多種,在這一小結(jié)中我們將給出這兩種積分不等式的證明方法．

2.1 Cauchy-Schwarz不等式

無論是在代數(shù)還是在幾何中Cauchy-Schwarz不等式的應(yīng)用都很廣泛,它是不同于均值不等式的另一個(gè)重要不等式．其形式有在實(shí)數(shù)域中的、微積分中的、概率空間??,F,P?中的以及n維歐氏空間中的4種形式.接下來在這一部分中我們將對其在微積分中的形式進(jìn)行研究．

定理2.1[1] 設(shè)f(x), g(x)在[a,b]上連續(xù),則有

[?f(x)g(x)dx]2?{?[f(x)]2dx}? {?[g(x)]2dx}．

aaabbb證明：要證明原不等式成立,我們只需要證

?

設(shè)F?t???t2abaf2?x?dx??at2bb?g?x?dx??f?x?g?x?dx??0成立． ???a? 222tf?x?dx??g?x?dx???f?x?g?x?dx?,則只要證F?b??F?a?成立，?a?a??由F?t?在[a,b]上連續(xù),在?a,b?內(nèi)可導(dǎo),得

F??t??f2?t??g2?x?dx?g2?t??f2?x?dx?2f?t?g?t??f?x?g?x?dxaaa2222???ftgx?2ftgtfxgx?gtf???????????????x???dx a?tttt

???f?t?g?x??g?t?f?x???dx?0．

(2.1)a?由(2.1)式可知F?t?在[a,b]上遞增,由b?a,知F?b??F?a?,故原不等式成立．

證畢

實(shí)際上關(guān)于Cauchy-Schwarz不等式的證明方法有很多,這里我們采用的證明方法是較為普遍的輔助函數(shù)法,它將要證明的原積分不等式通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)變?yōu)榱伺袛嗪瘮?shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值大小的問題．通過觀察我們可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)原Cauchy-Schwarz不等式能夠改寫成以下行列式的形式 t2 4 南通大學(xué)畢業(yè)論文

?f?x?f?x?dx?g?x?f?x?dx?0，aabb?baf?x?g?x?dx?g?x?g?x?dxab由此我們可以聯(lián)想到是否可以將它進(jìn)行推廣？答案是肯定的.下面我們將給出

Cauchy?Schwarz不等式的推廣形式．

定理2.2[2] 設(shè)f?x?,g?x?,h?x?在?a,b?上可積,則

???h?x?f?x?dx?f?x?g?x?dx?g?x?g?x?dx?h?x?g?x?dx?0． ?f?x?h?x?dx?g?x?h?x?dx?h?x?h?x?dxaaabbbaaabbbaaabf?x?f?x?dxbg?x?f?x?dxb 證明：對任意的實(shí)數(shù)t1,t2,t3,有

?ba?t1f?x??t2g?x??t3h?x??dx

bbbaaa2?t12?f2?x?dx?t22?g2?x?dx?t32?h2?x?dxbbaa

ba?2t1t2?f?x?g?x?dx?2t1t3?f?x?h?x?dx?2t2t3?g?x?h?x?dx?0． 注意到關(guān)于t1,t2,t3的二次型實(shí)際上為半正定二次型, 從而其系數(shù)矩陣行列式為

?babbaf2?x?dx?ba?g?x?f?xd?x?ab?h?x?b2fxdx

????x?f?x?hfax?g??xdxdx?ba?b2a?g?xdx?bax??h??ag?0x．d x證畢 xdx?g??x?hxdx???h以上的推廣是將Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二階推廣到了三階的形式,事實(shí)上Cauchy-Schwarz不等式是一個(gè)在很多方面都很重要的不等式,例如在證明不等式,求函數(shù)最值等方面.若能靈活的運(yùn)用它則可以使一些較困難的問題得到解決.下面我們會(huì)在第三部分給出Cauchy-Schwarz不等式及其推廣形式在積分不等式證明中的應(yīng)用．

除了Cauchy-Schwarz不等式之外還有很多重要的積分不等式,例如Young不等式,相較于Cauchy-Schwarz不等式我們對Young不等式的了解比較少,實(shí)際上它也具有不同的形式且在現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.接著我們將對Young不等式進(jìn)行一些研究．

2.2 Young不等式

Young不等式,以及和它相關(guān)的Minkowski不等式,H?lder不等式,這些都是在現(xiàn)代分

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析數(shù)學(xué)中應(yīng)用十分廣泛的不等式,在調(diào)和函數(shù)、數(shù)學(xué)分析、泛函分析以及偏微分方程中這三個(gè)不等式的身影隨處可見,是使用得最為普遍,最為平凡的知識工具.下面我們將給出積分形式的Young不等式的證明．

定理2.3[3] 設(shè)f(x)在[0,c]（c?0）上連續(xù)且嚴(yán)格遞增,若f(0)?0,a?[0,c]且b?[0,f(c)],則?0f(x)dx??0f?1(x)dx?ab,其中f?1是f的反函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)b?f(a)時(shí)等號成立．

證明：引輔助函數(shù)g(a)?ab??f(x)dx，(2.2)

0aab把b?0看作參變量,由于g?(a)?b?f(a),且f嚴(yán)格遞增,于是

當(dāng) 0?a?f?1(b)時(shí),g?(a)?0；當(dāng) a?f?1(b)時(shí),g?(a)?0；當(dāng) a?f?1(b)時(shí),g?(a)?0． 因此 當(dāng)a?f?1(b)時(shí),g(a)取到g的最大值,即

g?a??maxg?x??gf?1?b?

(2.3)

由分部積分得

f?1(b)f?1(b)?0?g(f(b))?bf(b)??作代換y?f(x),上面積分變?yōu)?/p>

?1?1f(x)dx??0xdf(x)，g(f?1(b))??f?1(y)dy，(2.4)

0b將(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得

ab??f(x)dx??f(y)dy??f?1(x)dx，000ab?1b即?f(x)dx??f?1(x)dx?ab． 證畢

00ab 6 南通大學(xué)畢業(yè)論文

3.定積分不等式常見的證明方法

關(guān)于積分不等式的證明方法較為繁多,難度及技巧性也較大,因此對其進(jìn)行系統(tǒng)的歸納總結(jié)是很有必要的．在這一部分中我們將歸納出利用輔助函數(shù)、微分中值定理、重要積分不等式及積分中值定理等證明積分不等式的方法．

3.1 利用函數(shù)的凹凸性

在數(shù)學(xué)分析以及高等數(shù)學(xué)中,我們常常會(huì)遇到一類特殊的函數(shù)—凸函數(shù)．凸函數(shù)具有重要的理論研究價(jià)值和廣泛的實(shí)際應(yīng)用,在有些不等式的證明中,若能靈活地利用凸函數(shù)的性質(zhì)往往能夠簡潔巧妙的解決問題．下面給出一個(gè)例子加以說明．

定理3.1 若??t?定義在間隔?m,M?內(nèi),且????t??0,則??t?必為下凸函數(shù)．

定理3.2 設(shè)f?x?在[a,b]上為可積分函數(shù),而m?f(x)?M．又設(shè)??t?在間隔m?t?M內(nèi)為連續(xù)的下凸函數(shù),則有不等式

??1b?1b?fxdx???f?x??dx． ?????aa?b?a?b?abb例3.1[4] 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù),且f?x??0,求證：?f?x?dx?aa12dx??b?a?． f?x?證明: 取??u??112, 因?yàn)???u???2?0,????u??3?0,?u?0? uuu即在u?0時(shí),y???u?為凸函數(shù),故有

1b?1b???f?x?dx????f?x??dx，??aab?ab?a??b?a即?f?x?dxab??ba1dxbbf?x?12dx??b?a?．

證畢，故?f?x?dx?aafxb?a??在上述的題目中我們可以發(fā)現(xiàn)在證明中常常先利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的凹凸性,然后再利用凹（凸）函數(shù)的性質(zhì)來證明不等式．然而對于實(shí)際給出的題目,我們往往需要先構(gòu)造一個(gè)凹（凸）函數(shù),然后才能利用其性質(zhì)來證明我們所要證明的問題．

3.2 輔助函數(shù)法

輔助函數(shù)法是積分不等式證明中的一種非常重要的方法,往往我們會(huì)根據(jù)不等式的特點(diǎn),構(gòu)造與問題相關(guān)的輔助函數(shù),考慮在相同的區(qū)間上函數(shù)所滿足的條件,從而得出欲證明

南通大學(xué)畢業(yè)論文 的結(jié)論．在第二部分中我們用輔助函數(shù)法對Cauchy-Schwarz不等式進(jìn)行了證明,下面將對用輔助函數(shù)法證明積分不等式進(jìn)行進(jìn)一步的探討．

例3.2.1[5] 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上連續(xù)且單調(diào)遞減,證明：對?a?(0,1)時(shí), 有： ?f?x?dx?a?f(x)dx．

00a11x證明：令F?x???f(t)dt ?0?x?1?,由f?x?連續(xù),得F?x?可導(dǎo)

x0則F??x??f?x??x??f?t?dt0xx2 ?f?x??x?f????xf?x??f??? ,(0???x)． ?2xx因?yàn)閒(x)在[0,1]上單調(diào)減少,而0???x,有f?x??f???, 從而F??t??0,F?x?在(0,1]上單調(diào)減少,則對任意a?(0,1),有F(a)?F(1)． 即

a111af(x)dx?af?x?dx． 證畢 a,兩邊同乘即得f(x)dx?fxdx??,????0000a本題根據(jù)積分不等式兩邊上下限的特點(diǎn),在區(qū)間(0,1)上構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù),進(jìn)一步我們可以思考對于一般的情形,該題的結(jié)論是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上連續(xù)且單調(diào)遞減非負(fù),證明：對?a,b?(0,1),且0?a?b?1時(shí),有: ?f?x?dx?0aabf(x)dx． ?ab證明：令F?x??F??x??1xf(t)dt,?0?x?1?,由f?x?連續(xù),得F?x?可導(dǎo), 則 x?0x0f?x??x??f?t?dtx2 ?f?x??x?f????xf?x??f??? ,(0???x)． ?2xx因?yàn)閒(x)在[0,1]上單調(diào)減少,而0???x,有f?x??f???,從而F??t??0,F?x?在(0,1]上單調(diào)減少,則對任意0?a?b?1,有F(a)?F(b),即

1a1b ?f?t?dt??f?t?dt．

(3.1)

a0b0由f非負(fù),可得?f?x?dx??f?x?dx．

(3.2)0abb結(jié)合(3.1)式和(3.2)式可得 即?a1a1bfxdx?f?x?dx． ??a?0b?a0abf?x?dx??f?x?dx．

證畢

babbaa例3.2.3[6] 函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f?x??0 試證：?f(x)dx? 8

1dx?(b?a)2． f(x)南通大學(xué)畢業(yè)論文

在例3.1中我們給出了本題利用函數(shù)的凹凸性證明的過程,在這里我們將給出其利用輔助函數(shù)法證明的過程．

證明: 構(gòu)造輔助函數(shù)??x???f?t?dt?axxadt2??x?a?, 則 f?t? ???x??f?x??xaxdt1??f?t?dt??2?x?a?f?t?af?x?

??xaxf?t?xf?x?dt??dt??2dt

afxaf?t????x?f?x?f?t??????2?dt?0, a?f?t?f?x??

所以??x?是單調(diào)遞增的,即??b????a??0,故?f?x?dx?abba12dx??b?a?． 證畢 f?x?a?bbxf?x?dx?f?x?dx．

2?a例3.2.4 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)且單調(diào)增加,證明：?[7]

ba證明: 原不等式即為?xf?x?dx?則F??t??tf?t??1t2?a1?t?a??f?t??f???? , ???a,t?．

2?a?bbf?x?dx?0,構(gòu)造輔助函數(shù) ?aa2ta?ttF?t???xf?x?dx?f?x?dx ,t??a,b?，a2?ata?t1?f?x?dx?f?t???t?a?f?t???f?x?dx??a?? 2 2?b因?yàn)閍???t,f?x?單調(diào)增加,所以F??t??0．故F?t?在?a,b?上單調(diào)遞增,且F?a??0, 所以對?x?(a,b],有F?x??F?a??0．當(dāng)x?b時(shí),F?b??0．即

?baxf?x?dx?a?bbf?x?dx?0,故原不等式成立, 證畢 ?a2通過以上幾道題目的觀察我們可以發(fā)現(xiàn)：

1.當(dāng)已知被積函數(shù)連續(xù)時(shí),我們可以把積分的上限或者是下限作為變量,從而構(gòu)造一個(gè)變限積分,然后利用輔助函數(shù)的單調(diào)性加以證明．

2.輔助函數(shù)法實(shí)際上是一種將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題的方法．在解題時(shí)通常表現(xiàn)為不對問題本身求解而是對與問題相關(guān)的輔助函數(shù)進(jìn)行求解,從而得出原不等式的結(jié)論．

3.3 利用重要積分不等式

在第2部分中我們給出了Cauchy-Schwarz不等式以及它的推廣形式的證明過程,實(shí)際上Cauchy-Schwarz不等式的應(yīng)用也很廣泛,利用它可以解決一些復(fù)雜不等式的證明.在這一小節(jié)中我們將通過具體的例子來加以說明它在證明積分不等式中的應(yīng)用．

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例3.3.1[8] 函數(shù)f?x?在?0,1?上一階可導(dǎo),f?1??f?0??0, 試證明：?10112f?x?dx??f??x?dx．

402證明：由f?x???f??t?dt?f?0?和f?x????f??t?dt?f?1?0x1x

可得

f2?x?????x0f??t?dt??2xx1?1???12dt?f?2?t?dt?x?f?2?x?dx,(x??0,?), 000?2?111?1???12dt?f?2?t?dt?(1?x)?f?2?x?dx,(x??,1?)． xx0?2? f2?x???xf??t?dt12因此 ?f2?x?dx? 120112f??x?dx，(3.3)?0811

2(3.4)f??x?dx．8?010

?112f2?x?dx?將(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到?f2?x?dx?[2]

112f??x?dx．

證畢 4?0b例3.3.2 設(shè)f?x?,g?x?在?a,b?上可積且滿足：0?m?f?x??M,?g?x?dx?0，a則以下兩個(gè)積分不等式

??baf?x?g?x?dx2b?2??f2?x?dx?g2?x?dx?m2?b?a??g2?x?dx及

aaabbb ??baf?x?g?x?dx?2?M?m?????M?m?ba?af2?x?dx?g2?x?dx成立．

ab證明：取h?x??1,由?g?x?dx?0及定理2.2知

?babaf2?x?dx?f?x?g?x?dx?f?x?dxba?g?x?f?x?dx?f?x?dx0 ?g?x?dxaab2abb0b?ab ??b?a???fab2?x?dx?ag?x?dx??af?x?dx?ag?x?dx??b?a??af?x?g?x?dx22b?b?2?b??0．

2因此

?? baf?x?g?x?dx???2baf2?x?dx?ab1g?x?dx?b?a2??baf?x?dx??g?x?dx．

(3.5)

2b2a 10 南通大學(xué)畢業(yè)論文

由m?f?x?可知 ??baf?x?dx2b?22?m2?b?a?，bb2因而??baf?x?g?x?dx???af?x?dx?ag?x?dx?m?b?a??ag2?x?dx．

22M?m??M?m??由于0?m?f?x??M,因此?f?x??????．

2??2??化簡得f2?x??Mm??M?m?f?x?, 兩邊同時(shí)積分得 ?f2?x?dx?Mm?b?a???M?m??f?x?dx, aabb22由算數(shù)-幾何平均值不等式可知

于是2?baf2?x?dx?Mm?b?a???f2?x?dx?Mm?b?a?，ab?b?a??abf2?x?dx??baf?x?dx?2?M?m??4Mm2．

1則b?a ???baf?x?dx??g?x?dx??b?a??2b2a??bf?x?dxba?2af2?x??dxbaf2?x?dx?ag2?x?dx

b2?M?m??a4Mmb

(3.6)f2?x?dx?g2?x?dx．

ab由式(3.5)和式(3.6)可知

??baf?x?g?x?dx?2?M?m?????M?m?2?baf2?x?dx?g2?x?dx．

證畢

ab以上兩道題分別利用了Cauchy-Schwarz不等式及其推廣形式．我們在證明含有乘積及平方項(xiàng)的積分不等式時(shí)應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式頗為有用,但要注意選取適當(dāng)?shù)膄?x?與g?x?,有時(shí)還需對積分進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?/p>

3.4 利用積分中值定理

積分中值定理展現(xiàn)了將積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,或者是將復(fù)雜函數(shù)積分轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)積分的方法.其在應(yīng)用中最重要的作用就是將積分號去掉或者是將復(fù)雜的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為相比較而言較為簡單的被積函數(shù),從而使得問題能夠簡化.因此合理的利用積分中值定理能夠有效的簡化問題.下面將通過兩道例題來說明．

定理3.3（積分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上可積且m?f(x)?M,則存在 11 南通大學(xué)畢業(yè)論文

u?[m,M]使?f(x)dx?u(b?a)成立.特別地,當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù),則存在c?[a,b],使ab?baf(x)dx?f(c)(b?a)成立．

定理3.4（積分第一中值定理的推廣）若函數(shù)f?x?,g?x?在區(qū)間?a,b?上可積,f?x?連續(xù),g?x?在?a,b?上不變號,則在積分區(qū)間?a,b?上至少存在一個(gè)點(diǎn)?,使得下式成立

?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx．

aabb定理3.5（積分第二中值定理的推廣）若函數(shù)f?x?,g?x?在區(qū)間?a,b?上可積,且f?x?為單調(diào)函數(shù),則在積分區(qū)間?a,b?上至少存在一個(gè)點(diǎn)?,使得下式成立 ?f?x?g?x?dx?f?a??g?x?dx?f?b??g?x?dx．

aab?b?例3.4.1 設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上連續(xù)單調(diào)遞減,證明：對?a,b?(0,1),且0?a?b?1時(shí),有?f?x?dx?0aabf(x)dx,其中f?x??0． ?ab對于這道題目我們在3.2.2中給出了其利用輔助函數(shù)法證明的過程,實(shí)際上這道題目還可以用積分第一中值定理來證明,下面我們將給出證明過程．

證明：由積分中值定理知

?0af?x?dx?f??1??a, ?1??0,a?； ?f?x?dx?f??2???b?a?,?2??a,b?；

ab因?yàn)?1??2,且f?x?遞減,所以有f??1??f??2?, 1a1b1bfxdx?fxdx?f?x?dx, ???????0aaab?abaab故 ?f?x?dx??f?x?dx． 證畢

0ba即

例3.4.2 設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)且單調(diào)增加,證明：?baa?bbxf?x?dx?f?x?dx．

2?a同樣地，在之前的證明中我們給出了此題利用輔助函數(shù)法證明的過程,仔細(xì)分析觀察這道題目我們還可以發(fā)現(xiàn)它可以用積分第一、第二中值定理的推廣形式來證明,接著我們將給出此題在這兩種方法下的證明過程．

證法一

b?a?b?a?b?a?b??2?證明: ??x??x?fxdx?x?fxdx????a?b????f?x?dx． ???aa222?????2?ba?b 12 南通大學(xué)畢業(yè)論文

?a?b??a?b?由定理3.4可知,分別存在?1??a，??,b?, ?2?22????使得 ?a?b2aa?b?a?b??2?x?fxdx?f?x?????1?a????dx, 2?2???a?bb?a?b?a?b?? ?a?b?x?fxdx?f?x?????2?a?b???dx, 22??2?2? b?a?b?a?b??因此??x?fxdx????a2?8?b2?f????f????,由于f?x?在?0,1?單調(diào)增加的,且

210??1??2?1,所以有 f??2??f??1??0．

a?b??從而??x??f?x?dx?0,故原不等式成立, 證畢 a2??b證法二

證明:由定理3.5可知：存在???a,b?，??b?a?b?a?b?a?b??使得 ??x??fax?dx?fbx?fxdx????????dx ???a???a222??????b ???f?a??f?b????????a????b???．

由f?x?單調(diào)增加及???a,b?知f?a??f?b??0,??a?0,??b?0．

b?a?b?可得??x??f?x?dx?0,故原不等式成立, 證畢 a2??通過上述兩道題目我們可以了解到積分中值定理在實(shí)際應(yīng)用中起到的重要作用就是能夠使積分號去掉,或者是將復(fù)雜的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為相對而言較簡單的被積函數(shù),從而使問題得到簡化.因此,對于證明有關(guān)結(jié)論中包含有某個(gè)函數(shù)積分的不等式,或者是要證明的結(jié)論中含有定積分的,可以考慮采用積分中值定理,從而去掉積分號,或者化簡被積函數(shù)．

3.5 利用積分的性質(zhì)

關(guān)于積分的性質(zhì)在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)學(xué)到了很多,我們可以利用它來證明許多問題.在這里我們主要利用定積分的比較定理和絕對值不等式等性質(zhì)對問題進(jìn)行分析處理．

例3.5.1[9] 設(shè)f?x?在?0,1?上導(dǎo)數(shù)連續(xù),試證：?x??0,1?，13 南通大學(xué)畢業(yè)論文

有 f?x????f??x??f?x???dx． 0?證明：由條件知f?x?在?0,1?上連續(xù),則必有最小值, 1即存在x0??0,1?,f?x0??f?x?, 由?f??t?dt?f?x??f?x0??f?x??f?x0???f??t?dt, x0x0xx f?x??f?x0???f??t?dt?f?x0???x0xxx0f??t?dt?f?x0???f??t?dt

0101 ??f?x0?dt??0110f??t?dt??f?t?dt??01f?t??f??t??f??t?dt????dt 0?

1????f??x??f?x???dx.故原不等式成立, 證畢

013.6 利用泰勒公式

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中泰勒公式有著重要的地位,它在不等式的證明、求極限以及求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值等方面有著重要的作用.關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用已經(jīng)有很多專家學(xué)者對其進(jìn)行了深入的研究,下面我們將舉例說明利用泰勒公式也是證明積分不等式的一種重要方法．

定理3.6(帶有拉格朗日型余項(xiàng)的Taylor公式)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的某鄰域內(nèi)具有n?1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對該鄰域內(nèi)異于x0的任意點(diǎn)x,在x0與x之間至少存在一點(diǎn)?,使得：

f??(x0)fn(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)

(1)

2!n!f(n?1)(?)其中Rn(x)?(x?x0)n?1（?在x與x0之間）稱為拉格朗日型余項(xiàng),(1)式稱為泰勒公(n?1)!式．

例3.6.1[10] 設(shè)f?x?在?a,b?上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f?a??f?b??0,M?maxf???x?，x??a,b?試證明:?f?x?dxab?b?a??123M．

證明：對?x??a,b?,由泰勒公式得

f

f?a???f?x?????f?b???f?x?????f1?????x??a?x?21?????x??b?x?2fa?x??a,x?, , ??2fb?x??x,b?, , ??2a?b?1?22??, ????兩式相加得 f?x??f??x??x??f?a?x?f?b?x???????????2?4? 14 南通大學(xué)畢業(yè)論文

兩邊積分得 ?f?x?dx??abbaa?b?1b?22??dx, ?????f?x??x?dx?f?a?x?f?b?x????????????a2?4?bb?ba?b?a?b??其中 ?f??x??x?dx?x?dfx??f?x?dx, ???????aaa2?2???于是有 ?f?x?dx?故 ?ba1b?22?dx, ????f?a?x?f?b?x???????????aa8Mb?22?dx?M?b?a?3． 證畢 f?x?dx?a?x?b?x?????8?a?12b例3.6.2[6] 設(shè)f?x?在?a,b?上有二階導(dǎo)數(shù),且f???x??0，?a?b?求證 ?f?x?dx??b?a?f??． a2??b證明：將f?x?在x0?a?b處作泰勒展開得到 22a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b????, f?x??f??fx??f?x?????????????x,?．

222222??????????

a?b??a?b??a?b???因?yàn)閒???x??0,所以可以得到 f?x??f??fx??????，222??????ba?b??a?b??a?b?b??對不等式兩邊同時(shí)積分得到 ?f?x?dx?f?b?a?fx???????a??dx． a2??2??2??ba?b??因?yàn)??x??dx?0, 所以有?af?x?dx??b?a?a2??b?a?b?f??． 證畢

2??通過這兩道題目我們大致可以了解到當(dāng)題目中出現(xiàn)被積函數(shù)在積分區(qū)間上有意義且有二階及二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí),是提示我們用泰勒公式證明的最明顯的特征．一般情況下我們選定一個(gè)點(diǎn)xo,并寫出f?x?在這個(gè)點(diǎn)xo處的展開公式,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s或與介值定理相結(jié)合來解決問題．

3.7 利用重積分

在一些積分不等式的證明中,由于被積函數(shù)的不確定,從而我們不能求出其具體的數(shù)值,這時(shí)我們可以將定積分轉(zhuǎn)換為二重積分再利用其性質(zhì)來求解．以下列舉了3種利用重積分來證明積分不等式的方法,這種技巧在高等數(shù)學(xué)中雖然不常見,但卻是很重要的,下面我們將通過3道例題來進(jìn)一步說明．

南通大學(xué)畢業(yè)論文

3.7.1 直接增元法

命題一[11]：若在區(qū)間[a,b]上f(x)?g(x),則?f(x)dx??g(x)dx．

aa

bb例3.7.1[11] 設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),且滿足：

?xaf(t)dt??g(t)dt,x?[a,b],?af(t)dt??ag(t)dt,證明：?axf(x)dx??axg(x)dx．

axbbbb證明：由題得?f(t)dt??g(t)dt, aaxx從而可以得到?dx?f(t)dt??dx?g(t)dt,即?dx?[f(t)?g(t)]dt?0．

aaaaaabxbxbx左式??dx?[f(t)?g(t)]dt ???[f(t)?g(t)]dxdt(其中D?{(x,t)|a?x?b,a?t?x})aaDbx ??dt?[f(t)?g(t)]dx ??(b?t)[f(t)?g(t)]dt

atabbb ?b[?f(t)dt??g(t)dt]?[?tf(t)dt??tg(t)dt]??[?tf(t)dt??tg(t)dt]?0．

aaaaaabbbbaaaabbbbbb則 ?tf(t)dt??tg(t)dt?0 , 即?xf(x)dx??xg(x)dx． 證畢

在本題中我們將一元積分不等式?f(x)dx??g(x)dx的兩邊同時(shí)增加一個(gè)積分變量

aaxx?badx，使得一元積分不等式化為二元積分不等式，然后巧妙的運(yùn)用轉(zhuǎn)換積分變量順序的方法達(dá)到證明一元積分不等式的方法.3.7.2 轉(zhuǎn)換法

在利用重積分來證明積分不等式的時(shí)候，我們不但可以采用直接增元法，還可以采用轉(zhuǎn)換法.關(guān)于轉(zhuǎn)換法又分為將累次積分轉(zhuǎn)換為重積分，以及將常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分這兩種形式.下面我們將依次來介紹這兩種方法.1.將累次積分轉(zhuǎn)為重積分

命題二[11] 若f(x)在[a,b]上可積,g(y)在[c,d]上可積,則二元函數(shù)f(x)g(y)在平面區(qū)域D?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}上可積,且

??Df(x)g(y)dxdy??f(x)dx?g(y)dy??f(x)dx?g(x)dx．

acacbdbd其中D?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}

例3.7.2[11] 設(shè)p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),在[a,b]上,p(x)?0,f(x),g(x)為單調(diào)遞增函數(shù),試證：

南通大學(xué)畢業(yè)論文

?babap(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx．

aaabbbaaabbb

證明：由?p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx可知：

?babap(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx??p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx?0，aaabbaabbb令I(lǐng)??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx??p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx, ab下證I?0；

I??p(x)dx?p(x)f(x)g(x)dx??p(x)f(x)dx?p(x)g(x)dx

aaaabbbb

同理

??p(x)dx?p(y)f(y)g(y)dy??p(x)f(x)dx?p(y)g(y)dy

aaaabbbb????bab??babp(x)p(y)f(y)g(y)dxdy??ba?bap(x)f(x)p(y)g?y?dxdy

aap(x)p(y)g(y)[f(y)?f(x)]dxdy．

(3.7)bbbI??p(x)d?xaabab(p)x(f)x(g?)x?dxab(p)x?(f)xdx()pxgxdx

a

??p(y)d?ybbap()xf()xg(?)x?dxab(p)y?(f)ydy(p)xgxdxab ???p(y)p(x)g(x)[f(x)?f(y)]dxdy．

(3.8)aa

(3.7)?(3.8)得

2I??ba?bap(x)p(y)[g(y)?g(x)][f(y)?f(x)]dxdy, 因?yàn)閒(x),g(x)同為單調(diào)增函數(shù),所以[g(y)?g(x)][f(y)?f(x)]?0 又因?yàn)閜(x)?0,p(y)?0,故 2I??ba?bap(x)p(y)[g(y)?g(x)][f(y)?f(x)]dxdy?0,即I?0．

證畢

2.將常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分的形式

在例3.7.2中我們介紹了將累次積分轉(zhuǎn)換為重積分,在下面的例3.7.3中我們將對常數(shù)轉(zhuǎn)換為重積分來進(jìn)行說明．我們可以發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)命題,若在二重積分中被積函數(shù)f(x,y)?k,則可得到??kd??k(b?a)2,其中D?{(x,y)|a?x?b,a?y?b}．

D例3.7.3函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f?x??0試證：?f(x)dx?

abba1dx?(b?a)2． f(x)本題與前面的例3.1以及例3.2.3是同一道題目,在這里我們將利用重積分證明此題． 證明：原題即為 ?f(x)dx?abba1dy???d?, f(y)D 17 南通大學(xué)畢業(yè)論文

移項(xiàng)可得??(Df(x)?1)d??0, f(y)2??(Df(x)f(x)f(y)?1)d????(?1)d????(?1)d??0, f(y)f(y)f(x)DDf(x)f(y)f(x)f(y)??2)d??0,因?yàn)閒(x)?0,f(y)?0,所以??2?0． f(y)f(x)f(y)f(x)所以即為證??(D故 ??(Dbbf(x)f(y)1??2)d??0 恒成立,即?f(x)dx?dx?(b?a)2成立, 證畢

aaf(x)f(y)f(x)通過以上三道例題我們可以大致了解到，在這一類定積分不等式的證明過程中我們一般先將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為二次積分的形式,進(jìn)一步再轉(zhuǎn)換為二重積分,最后利用二重積分的性質(zhì)或其計(jì)算方法得出結(jié)論.這種方法克服了數(shù)學(xué)解題過程中的高維數(shù)轉(zhuǎn)化為低維數(shù)的思維定勢,豐富了將二重積分與定積分之間互化的數(shù)學(xué)思想方法．

3.8 利用微分中值定理

微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的重要的一個(gè)基本定理,它是指羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理這四種定理.關(guān)于微分中值定理的應(yīng)用也是很廣泛的,證明不等式是微分中值定理最基本的應(yīng)用之一.在這里我們將對利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理證明積分不等式進(jìn)行研究.下面將通過兩個(gè)例子來具體說明這兩個(gè)定理在證明積分不等式中的應(yīng)用,以及不同的微分中值定理在證明不等式時(shí)的區(qū)別．

例3.8.1[12] 設(shè)f?a??0,f?x?在區(qū)間?a,b?上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),證明：

2?b?a??a1bf?x?dx?1maxf??x?． x2??a,b?證明：應(yīng)用Lagrange中值定理,????a,x?,其中a?x?b,使得

f?x??f?a??f?????x?a?, 因?yàn)閒?a??0, 所以f?x??Mx?a, M?maxf??x?，x??a,b?從a到b積分得

?a ?bf?x?dx?M?baM2bx?adx?M??x?a?dx??x?2?

aa2bM1122b?a?maxf??x??b?a?．即??222?b?a??baf?x?dx?1maxf??x?.證畢 x2??a,b? 18 南通大學(xué)畢業(yè)論文

例3.8.2[13] 設(shè)函數(shù)f?x?在?0,1?上可微,且當(dāng)x??0,1?時(shí),0?f??x??1,f?0??0試證：

??f?x?dx???f121003?x?dx．

證明：令F?x????x0f?t?dt,G?x???f3?t?dt，0?2xF?x?,G?x?在?0,1?上滿足柯西中值定理,則

??f?x?dx?102??10f03?x?dx?F?1??F?0?F???????G?1??G?0?G???02f????f?t?dt0?f3????2?f?t?dt0?f2??? ?0???1?

2?f?t?dt??f?t?dtf2????f02??0??2f???1??1 , ?0?????1?．

2f???f????f????所以 ??10f?x?dx?2??f2?x?dx．

證畢

01通過以上兩道題目可以發(fā)現(xiàn)：

1.在應(yīng)用Lagrange中值定理時(shí)先要找出符合條件的函數(shù)f?x?,并確定f?x?在使用該定理的區(qū)間?a,b?,對f?x?在區(qū)間?a,b?上使用該定理．若遇到不能用該定理直接證明的,則從結(jié)論出發(fā),觀察并分析其特征,構(gòu)造符合條件的輔助函數(shù)之后再應(yīng)用Lagrange中值定理．

2.在研究兩個(gè)函數(shù)的變量關(guān)系時(shí)可以應(yīng)用Cauchy中值定理,在應(yīng)用該定理證明不等式時(shí)關(guān)鍵是要對結(jié)果進(jìn)行分析,找出滿足Cauchy中值定理的兩個(gè)函數(shù)f?x?,g?x?,并確定它們應(yīng)用柯西中值定理的區(qū)間?a,b?,然后在對f?x?,g?x?在區(qū)間?a,b?上運(yùn)用Cauchy中值定理．

無論是Cauchy中值定理還是Lagrange中值定理在積分不等式的證明中都各具特色,都為解題提供了有力的工具.總之在證明不等式時(shí)需要對結(jié)論認(rèn)真的觀察有時(shí)還需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?才能構(gòu)造能夠應(yīng)用中值定理證明的輔助函數(shù),進(jìn)而利用微分中值定理證明不等式．

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4．總

結(jié)

我們通過查閱有關(guān)積分不等式的文獻(xiàn)和資料,并對其中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對比和分析后,將有關(guān)的內(nèi)容加以整理并擴(kuò)充形成了本文.在論文中給出了兩個(gè)重要的積分不等式的證明以及總結(jié)了八種積分不等式的證明方法.然而由于自己的參考資料面不夠廣,參考的大多數(shù)文獻(xiàn)都是僅給出了例題及其證明方法,而并沒有給出進(jìn)一步的分析,同時(shí)自己的知識面較窄,能力有限,導(dǎo)致還有很多難度較大的問題尚未解決．例如,在實(shí)際的問題中,還有一些證明方法是我們所不知道的,并且還有一些不等式并不能用本文所給出的八種方法來證明,這就需要我們進(jìn)一步的思考與研究.今后我們應(yīng)該更多的參考其他資料,充分拓展思路,以便于提出新的觀點(diǎn)．

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