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2019年普通高等學校招生全國統一考試（全國
II卷）
理科數學
一、選擇題
1.設集合，則s（）
A.B.C.D.答案：
A
解答：
或，∴.2.設,則在復平面內對應的點位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：
C
解析：，對應的點坐標為,故選C.3．已知，，則（）
A.B.C.D.答案：
C
解答：
∵，∴，解得，∴.4．2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就。實現月球背面軟著路需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系。為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地球月拉格朗日點的軌道運行，點是平衡點，位于地月連線的延長線上。設地球的質量為，月球質量為，地月距離為，點到月球的距離為，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，滿足方程。設。由于的值很小，因此在近似計算中，則的近似值為（）
A．
B．
C．
D．
答案：
D
解答：
所以有
化簡可得，可得。
5.演講比賽共有9位評委分別給出某位選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分。7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是（）
A．
中位數
B．
平均數
C．
方差
D．極差
答案：
A
解答：
由于共9個評委，將評委所給分數從小到大排列，中位數是第5個，假設為，去掉一頭一尾的最低和最高分后，中位數還是，所以不變的是數字特征是中位數。其它的數字特征都會改變。
6.若，則（）
A.B.C.D.答案：
C
解答：
由函數在上是增函數，且，可得，即.7.設為兩個平面，則的充要條件是（）
A.內有無數條直線與平行
B.內有兩條相交直線與平行
C.平行于同一條直線
D.垂直于同一平面
答案：
B
解析：
根據面面平行的判定定理易得答案.選B.8.若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則（）
A.2
B.3
C.4
D.8
答案：
D
解答：
拋物線的焦點是，橢圓的焦點是，∴，∴.9.下列函數中，以為周期且在區間單調遞增的是（）
A.B.C.D.答案：
A
解答：
對于A,函數的周期,在區間單調遞增,符合題意；
對于B,函數的周期,在區間單調遞減,不符合題意；
對于C，函數，周期,不符合題意；
對于D,函數的周期,不符合題意.10.已知，則（）
A.B.C.D.答案：
B
解析：，則，所以，所以.11.設為雙曲線的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于
兩點，若，則的離心率為（）
A.B.C.D.答案:
A
解答：
∵，∴,又，∴
解得，即.12.已知函數的定義域為，且當時，若對任意的，都有，則的取值范圍是（）
A．
B．
C．
D．
答案：
B
解答：
由當，且當時，可知當時，當時，……當時，函數值域隨變量的增大而逐漸減小，對任意的，都有有解得的取值范圍是。
二、填空題
13.我國高鐵發展迅速，技術先進。經統計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20
個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為
.答案：
0.98
解答：
經停該站的列出共有40個車次，所有車次的平均正點率的估計值為。
14.已知是奇函數，且當時,.若，則_______.答案：
解答：
∵，∴.15.的內角的對邊分別為，若則的面積為_______.答案：
解析：,16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有
個面，其棱長為
.(本題第一空2分，第二空3分.)
答案：
解析：
由圖2結合空間想象即可得到該正多面體有26個面；將該半正多面體補成正方體后，根據對稱性列方程求解.三、解答題
17.如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，（1）證明：平面;
（2）若，求二面角的正弦值.答案：
（1）見解析
（2）
解析：
（1）證明：∵平面，平面，∴，又，∴平面.（2）設底面邊長為，高為，∴，∵平面，∴即，∴解得.∵平面，∴，又，∴平面，故為平面的一個法向量.∵平面與平面為同一平面，故為平面的一個法向量，在中，∵故與成角，∴二面角的正弦值為.18.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為，乙發球時甲得分的概率為，各球的結果相互獨立.在某局雙方平后，甲先發球，兩人又打了個球該局比賽結束.（1）
求；
（2）
求事件“且甲獲勝”的概率.答案：
（1）；（2）
解析：
（1）
時，有兩種可能：
①甲連贏兩局結束比賽，此時；
②乙連贏兩局結束比賽，此時，∴；
（2）
且甲獲勝，即只有第二局乙獲勝，其他都是甲獲勝，此時.19.已知數列和滿足，，.（1）證明：
是等比數列，是等差數列；
（2）求和的通項公式.答案：
（1）見解析
（2），.解析：
(1)將，相加可得，整理可得，又，故是首項為，公比為的等比數列.將，作差可得，整理可得，又，故是首項為，公差為的等差數列.（2）由是首項為，公比為的等比數列可得①；
由是首項為，公差為的等差數列可得②；
①②相加化簡得，①②相減化簡得。
20.已知函數
(1)
討論函數的單調性，并證明函數有且只有兩個零點；
(2)
設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線。
答案：
略
解答：
（1）函數的定義域為，又，所以函數在上單調遞增，又，所以在區間存在一個零點，且，所以在區間上也存在一個零點，所以函數有且只有2個零點；
（2）因為是函數的一個零點，所以有。曲線在處的切線方程為，曲線曲線當切線斜率為時，切點坐標為，切線方程為，化簡為，所以曲線在處的切線也是曲線的切線。
21.已知點，動點滿足直線和的斜率之積為，記的軌跡為曲線.（1）求的方程，并說明什么曲線；
（2）過坐標原點的直線交于兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結
并延長交于點.①證明：是直角三角形；
②求的面積的最大值.答案：
見解析
解答：
(1)由題意得：，化簡得：，表示焦點在軸上的橢圓（不含與軸的交點）.(2)
①依題意設，直線的斜率為，則，∴，又，∴，∴，即是直角三角形.②直線的方程為，聯立，得，則直線，聯立直線和橢圓，可得，則，∴，令，則，∴，∵，∴.四、選做題（2選1）
22.選修4-4（極坐標與參數方程）
在極坐標系中，為極點，點在曲線上，直線過點且與垂直，垂足為.（1）
當時，求及的極坐標方程；
（2）
當在上運動且在線段上時，求點軌跡的極坐標方程.答案：
（1），的極坐標方程：；
（2）
點軌跡的極坐標方程為.解答：
（1）
當時，以為原點，極軸為軸建立直角坐標系，在直角坐標系中有，，則直線的斜率，由點斜式可得直線：，化成極坐標方程為；
（2）
∵∴，則點的軌跡為以為直徑的圓，此時圓的直角坐標方程為，化成極坐標方程為，又在線段上，由可得，∴點軌跡的極坐標方程為.23.選修4-5（不等式選講）
已知。
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若時，求的取值范圍。
答案：
略
解答：
（1）當時，所以不等式等價于或或解得不等式的解集為。
（2）當時，由，可知恒成立，當時根據條件可知不恒成立。所以的取值范圍是。
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