2019-2020學(xué)年第一學(xué)期高二期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)，則下列各不等式一定成立的是

(▲)

A．

B．

C．

D．

2．已知向量＝(0，1，1)，＝(1，－2，1)．若向量+與向量＝(m，2，n)平行，則實(shí)數(shù)n的值是（▲）

A．6

B．－6

C．4

D．－4

3.已知橢圓C：，若長軸長為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（▲）

A.B.C.D.4.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”其意思：“共有五頭鹿，5人以爵次進(jìn)行分配（古代數(shù)學(xué)中“以爵次分之”這種表述，一般表示等差分配，在本題中表示等差分配）．”在這個(gè)問題中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，則簪裹得（▲）

A．一鹿、三分鹿之一

B．一鹿

C．三分鹿之二

D．三分鹿之一

5.已知等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為，若，則的值為

（▲）

A．16

B．32

C．8

D．

6.下列不等式或命題一定成立的是（▲)

①lg(x2+)?lg?x(x>0);

②sin?x+?2(x≠kπ,k∈Z)；

③x2+1?2|x|(x∈R);

④

(x∈R)最小值為2.A.①②

B.②③

C.①③

D.②④

7．已知關(guān)于x的不等式的解集為空集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(▲)

A.B.C.D.8.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,滿足，則

（▲）

A．192

B．96

C．93

D．189

9.若正數(shù)a、b滿足，設(shè)，則y的最大值是（▲）

A.12

B.-12

C.16

D.-16

10．正四面體ABCD的棱長為2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，則的值為（▲）

A．-2

B．4

C．2

D．1

11．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為e,若橢圓上存在點(diǎn)P,使得，則該離心率e的取值范圍是（▲）

A.B.C.D.12．當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，定義函數(shù)表示n的最大奇因數(shù)。如，，則

（▲）

A.342

B.345

C.341

D.346

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13．命題p：“，都有”的否定：

▲

.14．不等式的解集是___▲_______．

15.已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么

雙曲線的漸近線方程為

▲

16．已知，那么的最小值為____▲

______

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本題滿分10分）

已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.▲▲▲

18.（本題滿分12分）

已知，函數(shù).（1）若對恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（2）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式.▲▲▲

19.（本題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去M到直線的距離等于1.(1)求曲線C的方程；

(2)若直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求證：直線FA與直線FB的傾斜角互補(bǔ).▲▲▲

20.（本題滿分12分）

某種汽車購買時(shí)費(fèi)用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共0.9萬元，汽車的維修費(fèi)為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增．

⑴．設(shè)使用年該車的總費(fèi)用(包括購車費(fèi)用)為f(n)，試寫出f(n)的表達(dá)式；

⑵．求這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算(即該車使用多少年平均費(fèi)用最少)．

▲▲▲

21.（本題滿分12分）

如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=6，AB=12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O.如圖2，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A,B兩點(diǎn))，連接OE并延長至點(diǎn)Q，使AQ∥OB.(1)證明：OD⊥平面PAQ；

(2)若BE=2AE，求二面角C?BQ?A的余弦值。

▲▲▲

22.（本小題滿分12分）

已知橢圓C1：，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A為上頂點(diǎn)，B(2,0)為右頂點(diǎn)，若，拋物線C2的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F．

(1)求C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在過F點(diǎn)的直線，與C1和C2交點(diǎn)分別是P，Q和M，N，使得S△OPQ=S△OMN？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

▲▲▲

2019-2020學(xué)年第一學(xué)期高二期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題

一、選擇題

B

D

A

B

A

C

C

D

A

D

A

A

二、填空題

13.使得

14.15.16.10

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本題滿分10分）

已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.17.（1）在等差數(shù)列中，，解得,………………………………………………………………………….3分

綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式是……………………………………….5分

（2）由(1)知：，又因?yàn)?，……………………………………?7分

………………………………………………………………..10分

綜上所述，數(shù)列的前n項(xiàng)和是.………………………………………..10分

18.（本題滿分12分）

已知，函數(shù).（1）若對恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（2）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式.18.(1)∵f(x)?2x對x∈(0,2)恒成立，∴a?+2x對x∈(0,2)恒成立，……………………………………………………………….2分

∵x>0∴+2x?2，當(dāng)且僅當(dāng)=2x，即x=時(shí)等號成立，…………………….....4分

∴a?2…………………………………………………………………………………….....6分

(2)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=1?，∵f(x)?2x，∴1??2x，①若x>0，則1??2x可化為：2x2?x+1?0，所以x∈?；………………………………...8分

②若x<0，則1??2x可化為：2x2?x?1?0，解得：x?1或x??，∵x<0，∴x??，………………………………………………………………………….....10分

由①②可得1??2x的解集為：(?∞,?]………………………………..…………….....12分

19.（本題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去M到直線的距離等于1.(1)求曲線C的方程；

(2)若直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求證：直線FA與直線FB的傾斜角互補(bǔ).19(1)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)(x>0)到點(diǎn)F(2,0)的距離減去M到直線x=?1的距離等于1，所以動(dòng)點(diǎn)M到直線x=?2的距離與它到點(diǎn)F(2,0)的距離相等，故所求軌跡為：以原點(diǎn)為頂點(diǎn),開口向右的拋物線y2=8x.…………..………………………………………….....4分

(2)證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立,得k2x2+(4k2?8)x+4k2=0,(k≠0).……………………………………6分

∴△>0，,x1x2=4………………………………………………………8分

∴直線FA與直線FB的斜率之和=

=

==

因?yàn)閤1x2=4∴直線FA與直線FB的斜率之和為0，……………………………………11分

∴直線FA與直線FB的傾斜角互補(bǔ)?！?2分

20.（本題滿分12分）

【解】

⑴．依題意f(n)＝14．4(0．20．40．6…0．2n)0．9n…………………2分

＝14．40．1n(n＋1)0．9n

＝0．1n2＋n＋14．4，n∈N*……………………………………………5分(沒有定義域扣1分)

⑵．設(shè)該車的年平均費(fèi)用為S萬元，則有

S＝f(n)＝(0．1n2＋n＋14．4)＝n＋14．4＋1………………………………………7分

∵n是正整數(shù)，故n＋14．4＋1≥2．4＋1＝3．4，……………………………10分

當(dāng)且僅當(dāng)n＝(14．4)，即n＝12時(shí)，等號成立．………………………………11分

故汽車使用12年報(bào)廢為宜．……………………………………………………………12分

21.（本題滿分12分）

(1)解法一(幾何法)

證明：取OO1的中點(diǎn)為F,連接AF,PF;

∴PF∥OB，∵AQ∥OB,∴PF∥AQ，∴P、F.A.Q四點(diǎn)共面，又由圖1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，又∵OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD.………………………………………………..2分

在直角梯形ADO1O中,..,OF=O1D,∠AOF=∠OO1D,∴△AOF≌△OO1D,∴∠FAO=∠DOO1，∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90°，∴AF⊥OD.………………………………………………..4分

∵AF∩PF=F，且AF?平面PAQ，PF?平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.………………………………………………..6分

解法二(向量法)

由題設(shè)知OA,OB,OO1兩兩垂直,所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長度為m，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).∵點(diǎn)P為BC中點(diǎn),∴P(0，3)，∴=(3,0,6),=(0,m,0)

=(6,m?,?3)，…………………………………………………………………………..2分

∵·=0,·=0

∴⊥,⊥且與不共線，………………………………

……….4分

∴OD⊥平面PAQ.…………………………………………………………………………...6分

(2)∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=OB=3，則Q(6,3,0),∴

=(?6,3,0),=(0,?3,6).設(shè)平面CBQ的法向量為

=(x,y,z)，∵∴

令z=1,則y=2,x=1,則=(1,2,1)，……………………………………………………………..8分

又顯然,平面ABQ的法向量為=(0,0,1)，……………………………………..………….10分

設(shè)二面角C?BQ?A的平面角為θ，由圖可知，θ為銳角，則cosθ==.…………………………………………………..………………….12分

22（本題滿分12分）

(1)

依題意可知，即

由右頂點(diǎn)為B(2,0)，得a=2，解得b2=3，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為．………………………………………………..3分

(2)

依題意可知C2的方程為y2=?4x，………………………………………………..4分

假設(shè)存在符合題意的直線，設(shè)直線方程為x=ky?1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，聯(lián)立方程組得(3k2+4)y2?6ky?9=0，由韋達(dá)定理得y1+y2=，y1y2=，則|y1?y2|==，……………………………………………...6分

（寫出PQ長度也可以）

聯(lián)立方程組，得y2+4ky?4=0，由韋達(dá)定理得y3+y4=?4k，y3y4=?4，所以|y3?y4|==，…………………………………………....8分

（寫出MN長度也可以）

若S△OPQ=S△OMN，則PQ=2MN，…………………………….…………………………..10分

則|y1?y2|=|y3?y4|，即=，解得k=，所以存在符合題意的直線方程為x+y+1=0或x?y+1=0．………………….....12分