第一篇：2009年4月離散數(shù)學(xué)試題(附答案)
全國(guó)2009年4月自學(xué)考試離散數(shù)學(xué)試題（附答案）
課程代碼：02324
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）
在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。/S 1．下列為兩個(gè)命題變?cè)狿，Q的小項(xiàng)是（）A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q
D．? P∨P∨Q 2．下列語(yǔ)句中是真命題的是（）A．我正在說(shuō)謊
B．嚴(yán)禁吸煙
C．如果1+2=3，那么雪是黑的
D．如果1+2=5，那么雪是黑的 3．設(shè)P：我們劃船，Q：我們跑步。命題“我們不能既劃船又跑步”符號(hào)化為（）A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q）
D．?（? P∨? Q）
4．命題公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式 B．蘊(yùn)含式 C．重言式
D．等價(jià)式
5．命題公式?（P∧Q）→R的成真指派是（）A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全體指派
D．無(wú)
6．在公式（?x）F（x，y）→（? y）G（x，y）中變?cè)獂是（）A．自由變?cè)?/p>
B．約束變?cè)?/p>
C．既是自由變?cè)质羌s束變?cè)?/p>
D．既不是自由變?cè)植皇羌s束變?cè)?/p>
7．集合A={1，2，?，10}上的關(guān)系R={
C．傳遞的、對(duì)稱的
D．反自反的、傳遞的
8．若R和S是集合A上的兩個(gè)關(guān)系，則下述結(jié)論正確的是（）A．若R和S是自反的，則R∩S是自反的 B．若R和S是對(duì)稱的，則R?S是對(duì)稱的 C．若R和S是反對(duì)稱的，則R?S是反對(duì)稱的 D．若R和S是傳遞的，則R∪S是傳遞的
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9．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，則下列不是．．t（R）中元素的是（）A．<1，1> C．<1，3>
B．<1，2> D．<1，4> 10．設(shè)A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列選項(xiàng)正確的是（）A．1∈A C．{{4，5}}?A
B．{1，2，3}?A D．?∈A 11．在自然數(shù)集N上，下列運(yùn)算是可結(jié)合的是（）A．a(chǎn)?b=a-2b C．a(chǎn)?b=-a-b
B．a(chǎn)?b=min{a，b} D．a(chǎn)?b=|a-b| 12．在代數(shù)系統(tǒng)中，整環(huán)和域的關(guān)系是（）A．整環(huán)一定是域 C．域一定是整環(huán)
B．域不一定是整環(huán) D．域一定不是整環(huán)
13．下列所示的哈斯圖所對(duì)應(yīng)的偏序集中能構(gòu)成格的是（）
A． B．
C． D．
14．設(shè)G為有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖，則有（）A．Δ(G)＜n C．Δ(G)＞n
B．Δ(G)≤n D．Δ(G)≥n
15．具有4個(gè)結(jié)點(diǎn)的非同構(gòu)的無(wú)向樹(shù)的數(shù)目是（）A．2 C．4
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。
B．3 D．5 16．（?x）（?y）（P（x，y）Q（y，z））∧?xP（x，y）中?x的轄域?yàn)開(kāi)_______，?x的轄域?yàn)開(kāi)_______。17．兩個(gè)重言式的析取是________式，一個(gè)重言式與一個(gè)矛盾式的析取是________式。
18．設(shè)N是自然數(shù)集合，f和g是N到N的函數(shù)，且f（n）=2n+1，g（n）=n，那么復(fù)合函數(shù)（f?f）（n）
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2=________（g?f）（n）=________。
19．設(shè)復(fù)合函數(shù)g?f是從A到C的函數(shù)，如果g?f是滿射，那么________必是滿射，如果g?f是入射，那么________必是入射。
20．設(shè)A={1，2}，B={2，3}，則A-A=________，A-B=________。
21．設(shè)S是非空有限集，代數(shù)系統(tǒng)
中，其中P（S）為集合S的冪集，則P（S）對(duì)∪運(yùn)算的單位元是________，零元是________。
+>中，2的階是________。22．在
?0125．設(shè)圖D=
三、計(jì)算題（本大題共5小題，第26、27小題各5分，第28、29小題各6分，第30小題8分，共30分）
+B，A的冪集P（A）26．已知A={{?}，{?，1}}，B={{?，1}，{1}}，計(jì)算A∪B，A○。
27．構(gòu)造命題公式（（P∧Q）→P）∨R的真值表。
28．下圖給出了一個(gè)有向圖。（1）求出它的鄰接矩陣A；（2）求出A2，A3，A4及可達(dá)矩陣P。
29．求下列公式的主合取范式和主析取范式：P∨（? P→（Q∨（? Q→R）））
30．設(shè)A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R為A上的整除關(guān)系，試畫(huà)
四、證明題（本大題共3小題，第31、32小題各6分，第33小題8分，共20分）31．在整數(shù)集Z上定義：a?b?a?b?2,?a,b?Z，證明：
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33．證明：邊e是圖G的一條割邊，當(dāng)且僅當(dāng)圖G中不存在包含邊e的簡(jiǎn)單回路。
五、應(yīng)用題（本大題共2小題，第34小題6分，第35小題9分，共15分）34．構(gòu)造下面推理的證明。
如果小張和小王去看電影，則小李也去看電影。小趙不去看電影或小張去看電影。小王去看電影。所以，當(dāng)小趙去看電影時(shí)，小李也去。
35．今有n個(gè)人，已知他們中任何2人的朋友合起來(lái)一定包含其余n-2人。試證明：
（1）當(dāng)n≥3時(shí)，這n個(gè)人能排成一列，使得中間任何人是其兩旁的人的朋友，而兩頭的人是其左邊（或右邊）的人的朋友。
（2）當(dāng)n≥4時(shí)，這n個(gè)人能排成一圓圈，使得每個(gè)人是其兩旁的人的朋友。
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第二篇：離散數(shù)學(xué)試題+答案
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一、單項(xiàng)選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分)在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。1.一個(gè)連通的無(wú)向圖G，如果它的所有結(jié)點(diǎn)的度數(shù)都是偶數(shù)，那么它具有一條（）A.漢密爾頓回路
B.歐拉回路 C.漢密爾頓通路
D.初級(jí)回路
2.設(shè)G是連通簡(jiǎn)單平面圖，G中有11個(gè)頂點(diǎn)5個(gè)面，則G中的邊是（）A.10
B.12
C.16
D.14 3.在布爾代數(shù)L中，表達(dá)式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等價(jià)式是（）A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.設(shè)i是虛數(shù)，·是復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，則G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是（）A.<{1},·>
B.〈{-1},·〉
C.〈{i},·〉
D.〈{-i},·〉
5.設(shè)Z為整數(shù)集，A為集合，A的冪集為P(A),+、-、/為數(shù)的加、減、除運(yùn)算，∩為集合的交運(yùn)算，下列系統(tǒng)中是代數(shù)系統(tǒng)的有（）A.〈Z，+，/〉
B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉
D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代數(shù)系統(tǒng)中不含有零元素的是（）A.〈Q，*〉Q是全體有理數(shù)集，*是數(shù)的乘法運(yùn)算
B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全體n階實(shí)矩陣集合，*是矩陣乘法運(yùn)算 C.〈Z，?〉，Z是整數(shù)集，?定義為x?xy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整數(shù)集，+是數(shù)的加法運(yùn)算
7.設(shè)A={1,2,3}，A上二元關(guān)系R的關(guān)系圖如下： R具有的性質(zhì)是 A.自反性 B.對(duì)稱性 C.傳遞性 D.反自反性
8.設(shè)A={a,b,c}，A上二元關(guān)系R={〈a,a〉，〈b,b〉〈,a,c〉}，則關(guān)系R的對(duì)稱閉包S(R)是（）A.R∪IA
B.R
C.R∪{〈c,a〉}
D.R∩IA 9.設(shè)X={a,b,c},Ix是X上恒等關(guān)系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R為X上的等價(jià)關(guān)系，R應(yīng)取（）A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝
B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉}
D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正確的是（）A.?∈?
B.???
C.{?}??
D.{?}∈?
11.設(shè)解釋R如下：論域D為實(shí)數(shù)集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x www.tmdps.cn 專注于收集各類歷年試卷和答案 D.(?x)(?y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.設(shè)B是不含變?cè)獂的公式，謂詞公式(?x)(A(x)→B)等價(jià)于（）A.(?x)A(x)→B B.(?x)A(x)→B C.A(x)→B D.(?x)A(x)→(?x)B 13.謂詞公式(?x)(P(x,y))→(?z)Q(x,z)∧(?y)R(x,y)中變?cè)獂（）A.是自由變?cè)皇羌s束變?cè)?B.既不是自由變?cè)植皇羌s束變?cè)?C.既是自由變?cè)质羌s束變?cè)?D.是約束變?cè)皇亲杂勺冊(cè)?/p> 14.若P：他聰明；Q：他用功；則“他雖聰明，但不用功”，可符號(hào)化為（）A.P∨Q B.P∧┐Q C.P→┐Q D.P∨┐Q 15.以下命題公式中，為永假式的是（）A.p→(p∨q∨r) B.(p→┐p)→┐p C.┐(q→q)∧p D.┐(q∨┐p)→(p∧┐p) 二、填空題(每空1分，共20分)16.在一棵根樹(shù)中，僅有一個(gè)結(jié)點(diǎn)的入度為_(kāi)_____，稱為樹(shù)根，其余結(jié)點(diǎn)的入度均為_(kāi)_____。17.A={1,2,3,4}上二元關(guān)系R={〈2，4〉，〈3，3〉，〈4，2〉}，R的關(guān)系矩陣MR中m24=______,m34=______。18.設(shè)〈s,*〉是群，則那么s中除______外，不可能有別的冪等元；若〈s,*〉有零元，則|s|=______。19.設(shè)A為集合，P(A)為A的冪集，則〈P(A)，是格，若x,y∈P(A),則x,y最大下界是______，?〉最小上界是______。 20.設(shè)函數(shù)f:X→Y,如果對(duì)X中的任意兩個(gè)不同的x1和x2，它們的象y1和y2也不同，我們說(shuō)f是______函數(shù)，如果ranf=Y，則稱f是______函數(shù)。 21.設(shè)R為非空集合A上的等價(jià)關(guān)系，其等價(jià)類記為〔x〕R。?x,y∈A，若〈x,y〉∈R，則 〔x〕R與〔y〕R的關(guān)系是______，而若〈x,y〉?R，則〔x〕R∩〔y〕R=______。 22.使公式(?x)(?y)(A(x)∧B(y))?(?x)A(x)∧(?y)B(y)成立的條件是______不含有y，______不含有x。23.設(shè)M(x):x是人，D(s):x是要死的，則命題“所有的人都是要死的”可符號(hào)化為(?x)______,其中量詞(?x)的轄域是______。24.若H1∧H2∧?∧Hn是______，則稱H1,H2,?Hn是相容的，若H1∧H2∧?∧Hn是______，則稱H1,H2,?Hn是不相容的。 25.判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題，首先要看它是否為，然后再看它是否具有唯一的。 三、計(jì)算題(共30分)26.(4分)設(shè)有向圖G=(V,E)如下圖所示，試用鄰接矩陣方法求長(zhǎng)度為2的路的總數(shù)和回路總數(shù)。 27.(5)設(shè)A={a,b},P(A)是A的冪集，?是對(duì)稱差運(yùn)算，可以驗(yàn)證 是群。設(shè)n是正整數(shù)，求({a}-1{b}{a})n?{a}-n{b}n{a}n 28.(6分)設(shè)A={1,2,3,4,5},A上偏序關(guān)系 R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA; www.tmdps.cn 專注于收集各類歷年試卷和答案 (1)作出偏序關(guān)系R的哈斯圖 (2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最小元，極大、極小元，上界，下確界，下界，下確界。29.(6分)求┐(P→Q)?(P→┐Q)的主合取范式并給出所有使命題為真的賦值。 30.(5分)設(shè)帶權(quán)無(wú)向圖G如下，求G的最小生成樹(shù)T及T的權(quán)總和，要求寫(xiě)出解的過(guò)程。 31.(4分)求公式┐((?x)F(x,y)→(?y)G(x,y))∨(?x)H(x)的前束范式。 四、證明題(共20分)32.(6分)設(shè)T是非平凡的無(wú)向樹(shù)，T中度數(shù)最大的頂點(diǎn)有2個(gè)，它們的度數(shù)為k(k≥2),證明T中至少有2k-2片樹(shù)葉。 33.(8分)設(shè)A是非空集合，F(xiàn)是所有從A到A的雙射函數(shù)的集合，?是函數(shù)復(fù)合運(yùn)算。 證明：〈F, ?〉是群。 34.(6分)在個(gè)體域D={a1,a2,?，an}中證明等價(jià)式： (?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x) 五、應(yīng)用題(共15分)35.(9分)如果他是計(jì)算機(jī)系本科生或者是計(jì)算機(jī)系研究生，那么他一定學(xué)過(guò)DELPHI語(yǔ)言而且學(xué)過(guò)C++語(yǔ)言。只要他學(xué)過(guò)DELPHI語(yǔ)言或者C++語(yǔ)言，那么他就會(huì)編程序。因此如果他是計(jì)算機(jī)系本科生，那么他就會(huì)編程序。請(qǐng)用命題邏輯推理方法，證明該推理的有效結(jié)論。 36.(6分)一次學(xué)術(shù)會(huì)議的理事會(huì)共有20個(gè)人參加，他們之間有的相互認(rèn)識(shí)但有的相互不認(rèn)識(shí)。但對(duì)任意兩個(gè)人，他們各自認(rèn)識(shí)的人的數(shù)目之和不小于20。問(wèn)能否把這20個(gè)人排在圓桌旁，使得任意一個(gè)人認(rèn)識(shí)其旁邊的兩個(gè)人?根據(jù)是什么? 參考答案 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分) 1.B 2.D 3.A 4.A 5.D 6.D 7.D 8.C 9.D 10.B 11.A 12.A 13.C 14.B 15.C 二、填空題 16.0 17.1 0 18.單位元 19.x∩y x∪y 20.入射 滿射 21.［x］R=［y］R 22.A(x) B(y)23.(M(x)→D(x)) M(x)→D(x) www.tmdps.cn 專注于收集各類歷年試卷和答案 24.可滿足式 永假式(或矛盾式)25.陳述句 真值 三、計(jì)算題 ?1100??1010???26.M=?? 1011????0011???2?2?M=??2??1110?111??? 121?011??M2ij?18,ij?6 ?M2i?1??i?1j?144 G中長(zhǎng)度為2的路總數(shù)為18，長(zhǎng)度為2的回路總數(shù)為6。 27.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，?x∈P(A),xn=? 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，?x∈P(A),xn=x 于是：當(dāng)n是偶數(shù)，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n =??(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=????? 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n =｛a｝-1｛b｝｛a｝?(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n =｛a｝-1｛b｝｛a｝?｛a｝-1｛b｝｛a｝=? 28.(1)偏序關(guān)系R的哈斯圖為 (2)B的最大元：無(wú)，最小元：無(wú)； 極大元：2，5，極小元：1，3 下界：4，下確界4； 上界：無(wú)，上確界：無(wú) 29.原式?(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q)) ((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q)) (┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q)) (┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q)) (P∧Q)∨(P∧┐Q) P∧(Q∨┐Q) P∨(Q∧┐Q) (P∨Q)∧(P∨┐Q) 命題為真的賦值是P=1,Q=0和P=1,Q=1 www.tmdps.cn 專注于收集各類歷年試卷和答案 30.令e1=(v1,v3)，e2=(v4,v6) e3=(v2,v5)，e4=(v3,v6) e5=(v2,v3)，e6=(v1,v2) e7=(v1,v4)，e8=(v4,v3) e9=(v3,v5)，e10=(v5,v6) 令ai為ei上的權(quán)，則 a1 取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，T的總權(quán)和=1+2+3+4+5=15 31.原式?┐(?x1F(x1,y)→?y1G(x,y1))∨?x2H(x2) (換名) ?┐?x1?y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨?x2H(x2) ??x1?y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨?x2H(x2) ??x1?y1?x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2) 四、證明題 32.設(shè)T中有x片樹(shù)葉，y個(gè)分支點(diǎn)。于是T中有x+y個(gè)頂點(diǎn)，有x+y-1 條邊，由握手定理知T中所有頂點(diǎn)的度數(shù)之的 x?y ?d(vi)=2(x+y-1)。 i?又樹(shù)葉的度為1，任一分支點(diǎn)的度大于等于2 且度最大的頂點(diǎn)必是分支點(diǎn)，于是 x?y ?d(vi)≥x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4 i?1 從而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4 x≥2k-2 33.從定義出發(fā)證明：由于集合A是非空的，故顯然從A到A的雙射函數(shù)總是存在的，如A上恒等函數(shù)，因此F非空 (1)?f,g∈F,因?yàn)閒和g都是A到A的雙射函數(shù)，故f?g也是A到A的雙射函數(shù)，從而集合F關(guān)于運(yùn)算?是封閉的。 (2)?f,g,h∈F,由函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的結(jié)合律有f?(g?h)=(f?g)?h故運(yùn)算?是可結(jié)合的。 (3)A上的恒等函數(shù)IA也是A到A的雙射函數(shù)即IA∈F,且?f∈F有IA?f=f?IA=f,故IA是〈F，?〉中的幺元 (4)?f∈F,因?yàn)閒是雙射函數(shù)，故其逆函數(shù)是存在的，也是A到A的雙射函數(shù)，且有f?f-1=f-1?f=IA,因此f-1是f的逆元 由此上知〈F，?〉是群 34.證明(?x)(A(x)→B(x))? ?x(┐A(x)∨B(x)) www.tmdps.cn 專注于收集各類歷年試卷和答案 ?(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨B(a2))∨?∨(┐A(an)∨B(an))) ?(┐A(a1)∨A(a2)∨?∨┐A(an)∨(B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an)) ?┐(A(a1)∧A(a2)∧?∧A(an))∨(┐B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an)) ?┐(?x)A(x)∨(?x)B(x)?(?x)A(x)→(?x)B(x) 五、應(yīng)用題 35.令p：他是計(jì)算機(jī)系本科生 q：他是計(jì)算機(jī)系研究生 r：他學(xué)過(guò)DELPHI語(yǔ)言 s:他學(xué)過(guò)C++語(yǔ)言 t:他會(huì)編程序 前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t 結(jié)論：p→t 證①p P(附加前提) ②p∨q T①I ③(p∨q)→(r∧s) P(前提引入) ④r∧s T②③I ⑤r T④I ⑥r(nóng)∨s T⑤I ⑦(r∨s)→t P(前提引入) ⑧t T⑤⑥I 36.可以把這20個(gè)人排在圓桌旁，使得任一人認(rèn)識(shí)其旁邊的兩個(gè)人。 根據(jù)：構(gòu)造無(wú)向簡(jiǎn)單圖G= ?Vi∈V,d(vi)是與vi相互認(rèn)識(shí)的人的數(shù)目，由題意知?vi,vj∈V有d(vi)+d(vj)?20,于是G中存在漢密爾頓回路。 設(shè)C=Vi1Vi2?Vi20Vi1是G中一條漢密爾頓回路，按這條回路的順序按其排座位即符合要求。 《離散數(shù)學(xué)》試題及答案 一、選擇題：本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.命題公式(P?Q)?Q為() (A)矛盾式(B)可滿足式(C)重言式(D)合取范式 2．設(shè)P表示“天下大雨”，Q表示“他在室內(nèi)運(yùn)動(dòng)”，則命題“除非天下大雨，否則他不在室內(nèi)運(yùn)動(dòng)”符號(hào)化為（）。 (A)． P?Q；(B)．P?Q；(C)．?P??Q；(D)．?P?Q． 3.設(shè)集合A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，則下式為真的是() (A)1?A(B){1,2, 3}?A (C){{4,5}}?A(D)??A 4.設(shè)A＝{1,2},B={a,b,c},C={c,d}, 則A×(B?C)=() (A){<1,c>,<2,c>}(B){ 5.設(shè)G如右圖：那么G不是().(A)哈密頓圖；(B)完全圖； (C)歐拉圖；(D)平面圖.二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20 6.設(shè)集合A={?,{a}}，則A的冪集P(A7.設(shè)集合A={1,2,3,4 }, B={6,8,12}, A到B的關(guān)系R＝{?x,y?y?2x,x?A,y?B},那么R1＝－ 8.在“同學(xué)，老鄉(xiāng)，親戚，朋友”四個(gè)關(guān)系中_______是等價(jià)關(guān)系.9.寫(xiě)出一個(gè)不含“?”的邏輯聯(lián)結(jié)詞的完備集.10.設(shè)X＝{a,b,c}，R是X上的二元關(guān)系，其關(guān)系矩陣為 ?101??，那么R的關(guān)系圖為 MR＝?100????100?? 三、證明題（共30分） 11.（10分）已知A、B、C是三個(gè)集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 12.（10分）構(gòu)造證明：(P?(Q?S))∧(?R∨P)∧Q?R?S （0,1）13.（10分）證明與[0,1)，[0,1)與[0,1]等勢(shì)。 四、解答題(共35分) 14.（7分）構(gòu)造三階幻方（以1為首項(xiàng)的9個(gè)連續(xù)自然數(shù)正好布滿一個(gè)3?3方陣，且方陣中的每一行, 每一列及主、副對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等.） 15.（8分）求命題公式(P?Q)?(?P??Q)的真值表.16.（10分）設(shè)R1是A1＝{1,2}到A2＝(a,b,c)的二元關(guān)系，R2是A2到A3＝{?,?}的二元關(guān)系，R1= {<1,a>,<1,b>,<2,c>}, R2={ 畢節(jié)學(xué)院《離散數(shù)學(xué) 》課程試卷 求R1?R2的集合表達(dá)式.17.（10分）某項(xiàng)工作需要派A、B、C和D 4個(gè)人中的2個(gè)人去完成，按下面3個(gè)條件，有幾種派法？如何派？ 三個(gè)條件：(1)若A去，則C和D中要去1個(gè)人；(2)B和C不能都去； (3)若C去，則D留下。 一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分) 1.B2.C3.C4.A5.B 二、填空題(每小題4分，共20分) 6.{?,{?},{{a}},{?,{a}}} 7.{<6,3>,<8,4> }8.老鄉(xiāng) 9.{?,?}或{?,?} 或 {?}或 {?} 10.見(jiàn) f(0)?0??111?························································································ 10分 ,n?1,?A ·?f()?n?1n?n ??f(x)?x,x?[0,1)?A 14.85 1 2 7 6 填對(duì)每個(gè)格得1分。 15.表中最后一列的數(shù)中，每對(duì)1個(gè)數(shù)得2分.?110?16.MR1???,(2分)001?? MR2?01??(4分)??01????00?? ?01??01???01?(6分)???00?????00???110? MR1?R2????001? R1?R2?{?1,??}(10分) 17.解設(shè)A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據(jù)題意應(yīng)有：A?C?D，?(B∧C)，C??D必須同時(shí)成立。······························································································ 2分 因此(A?C?D)∧?(B∧C)∧(C??D) ?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧(?B∨?C)∧(?C∨?D) ?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧((?B∧?C)∨(?B∧?D)∨?C∨(?C∧?D)) ?(?A∧?B∧?C)∨(?A∧?B∧?D)∨(?A∧?C)∨(?A∧?C∧?D) ∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D) ∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D) ?F∨F∨(?A∧?C)∨F∨F∨(C∧? D∧?B)∨F∨F∨(?C∧D∧?B)∨F∨(?C∧D)∨F ?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D∧?B)∨(?C∧D) ?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D) ?T ··································································································································· 8分 畢節(jié)學(xué)院《離散數(shù)學(xué) 》課程試卷 故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D。······································································· 10分 畢節(jié)學(xué)院《離散數(shù)學(xué) 》課程試卷 中央電大離散數(shù)學(xué)試題 月 一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分） 1．若集合A={1，{2}，{1，2}}，則下列表述正確的是()． A．2?AB．{1}?A C．1?AD．2 ? A 2．已知一棵無(wú)向樹(shù)T中有8個(gè)頂點(diǎn)，4度、3度、2度的分支點(diǎn)各一個(gè)，T的樹(shù)葉數(shù)為 ()． A．6B．4C．3D． 53．設(shè)無(wú)向圖G的鄰接矩陣為 ?01111??10011????10000???11001????11010?? 則G的邊數(shù)為()． A．1B．7C．6D．14 4．設(shè)集合A={a}，則A的冪集為()． A．{{a}}B．{a，{a}} C．{?，{a}}D．{?，a} 5．下列公式中()為永真式． A．?A??B ? ?A??BB．?A??B ? ?(A?B) C．?A??B ? A?BD．?A??B ? ?(A?B) 二、填空題（每小題3分，本題共15分） 6．命題公式P??P的真值是 7．若無(wú)向樹(shù)T有5個(gè)結(jié)點(diǎn)，則T的邊數(shù)為． 8．設(shè)正則m叉樹(shù)的樹(shù)葉數(shù)為t，分支數(shù)為i，則(m-1)i 9．設(shè)集合A={1，2}上的關(guān)系R＝{<1, 1>,<1, 2>}，則在R中僅需加一個(gè)元素，就可使新得到的關(guān)系為對(duì)稱的． 10．(?x)(A(x)→B(x，z)∨C(y))中的自由變?cè)校?/p> 三、邏輯公式翻譯（每小題6分，本題共12分） 11．將語(yǔ)句“今天上課．”翻譯成命題公式． 12．將語(yǔ)句“他去操場(chǎng)鍛煉，僅當(dāng)他有時(shí)間．”翻譯成命題公式． 四、判斷說(shuō)明題（每小題7分，本題共14分） 判斷下列各題正誤，并說(shuō)明理由． 13．設(shè)集合A={1，2}，B={3，4}，從A到B的關(guān)系為f={<1, 3>}，則f是A到B的函數(shù)． 14．設(shè)G是一個(gè)有4個(gè)結(jié)點(diǎn)10條邊的連通圖，則G為平面圖． 五．計(jì)算題（每小題12分，本題共36分） 15．試求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式． 16．設(shè)A={{1}, 1, 2}，B={ 1, {2}}，試計(jì)算 （1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）A ?（A∩B）． 17．圖G= （1）畫(huà)出G的圖形； （2）寫(xiě)出G的鄰接矩陣； （3）求出G權(quán)最小的生成樹(shù)及其權(quán)值． 六、證明題（本題共8分） 18．試證明：若R與S是集合A上的自反關(guān)系，則R∩S也是集合A上的自反關(guān)系． 中央電大2010年7月離散數(shù)學(xué) 試題解答 (供參考) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分） 1．B2．D3．B4．C5．B 二、填空題（每小題3分，本題共15分） 6．假（或F，或0） 7．48．t- 19． <2, 1> 10．z，y 三、邏輯公式翻譯（每小題6分，本題共12分） 11．設(shè)P：今天上課，（2分）則命題公式為：P．（6分） 12．設(shè) P：他去操場(chǎng)鍛煉，Q：他有時(shí)間，（2分）則命題公式為：P ?Q．（6分） 四、判斷說(shuō)明題（每小題7分，本題共14分） 13．錯(cuò)誤．（3分）因?yàn)锳中元素2沒(méi)有B中元素與之對(duì)應(yīng)，故f不是A到B的函數(shù)．（7分） 14．錯(cuò)誤．（3分）不滿足“設(shè)G是一個(gè)有v個(gè)結(jié)點(diǎn)e條邊的連通簡(jiǎn)單平面圖，若v≥3，則e≤3v-6．”（7分） 五．計(jì)算題（每小題12分，本題共36分） 15．（P∨Q）→（R∨Q）? ┐(P∨Q)∨（R∨Q）（4分） ?(┐P∧┐Q)∨（R∨Q）（8分） ?(┐P∧┐Q)∨R∨Q（析取范式）（12分） 16．（1）（A∩B）={1}（4分） （2）（A∪B）={1, 2, {1}, {2}}（8分） （3）A?（A∩B）={{1}, 1, 2}（12分） 17．（1）G的圖形表示如圖一所示：ad1 5b c（3分）圖一 （2）鄰接矩陣： ?0?1?10111?1??（6分）??1101? ?1110?? （3）最小的生成樹(shù)如圖二中的粗線所示： a 3d5 b圖二1c 權(quán)為：1+1+3=5 六、證明題（本題共8分） 18．證明：設(shè)?x?A，因?yàn)镽自反，所以x R x，即< x, x>?R； 又因?yàn)镾自反，所以x R x，即< x, x >?S．即< x, x>?R∩S故R∩S自反． 10分）12分）（4分）（6分）（8分）（（ 全國(guó)2008年4月自考離散數(shù)學(xué)試題 課程代碼：02324 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分) 在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。 1.設(shè)P：天下大雨,Q：他在室內(nèi)運(yùn)動(dòng),命題“除非天下大雨，否則他不在室內(nèi)運(yùn)動(dòng)”可符合化為（） A.?P∧QB.?P→Q C.?P→?QD.P→?Q 2.下列命題聯(lián)結(jié)詞集合中，是最小聯(lián)結(jié)詞組的是（） A.{?，}B.{?，∨，∧} C.{?，∧}D.{∧，→} 3.下列命題為假命題的是（） A.如果2是偶數(shù)，那么一個(gè)公式的析取范式惟一 B.如果2是偶數(shù)，那么一個(gè)公式的析取范式不惟一 C.如果2是奇數(shù)，那么一個(gè)公式的析取范式惟一 D.如果2是奇數(shù)，那么一個(gè)公式的析取范式不惟一 4.謂詞公式 x(P(x)∨yR(y))→Q(x))中變?cè)獂是（） A.自由變?cè)狟.約束變?cè)?/p> C.既不是自由變?cè)膊皇羌s束變?cè)狣.既是自由變?cè)彩羌s束變?cè)?/p> 5.若個(gè)體域?yàn)檎麛?shù)減，下列公式中值為真的是（） A.xy(x+y=0)B.y x(x+y=0)C.x y(x+y=0)D.?xy(x+y=0) 6.下列命題中不正確的是（） A.x∈{x}-{{x}}B.{x}?{x}-{{x}} C.A={x}∪x,則x∈A且x?AD.A-B=??A=B 7.設(shè)P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},則下列選項(xiàng)正確的是（A.P?QB.P?Q C.Q?PD.Q=P 8.下列表達(dá)式中不成立的是（） A.A∪(B?C)=(A∪B)?(A∪C)B.A∩(B?C)=(A∩B)?(A∩C)C.(A?B)×C=(A×C)?(B×C)D.(A-B)×C=(A×C)-(B×C)9.半群、群及獨(dú)異點(diǎn)的關(guān)系是（） A.{群}?{獨(dú)異點(diǎn)}?{半群}B.{獨(dú)異點(diǎn)}?{半群}?{群} C.{獨(dú)異點(diǎn)}?{群}?{半群}D.{半群}?{群}?{獨(dú)異點(diǎn)} 10.下列集合對(duì)所給的二元運(yùn)算封閉的是（） A.正整數(shù)集上的減法運(yùn)算 B.在正實(shí)數(shù)的集R+上規(guī)定為ab=ab-a-b a,b∈R+ C.正整數(shù)集Z+上的二元運(yùn)算為xy=min(x,y)x,y∈Z+ D.全體n×n實(shí)可逆矩陣集合Rn×n上的矩陣加法 11.設(shè)集合A={1，2，3}，下列關(guān)系R中不是等價(jià)關(guān)系的是（）A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}） C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>} 12.下列函數(shù)中為雙射的是（） A.f：Z→Z,f(j)=j(mod)B.f：N→N,f(j)= C.f：Z→N,f(j)=|2j|+1D.f：R→R,f(r)=2r-15 13.設(shè)集合A={a,b, c}上的關(guān)系如下，具有傳遞性的是（） A.R={ 14.含有5個(gè)結(jié)點(diǎn)，3條邊的不同構(gòu)的簡(jiǎn)單圖有（） A.2個(gè)B.3個(gè) C.4個(gè)D.5個(gè) 15.設(shè)D的結(jié)點(diǎn)數(shù)大于1，D= A.D中至少有一條通路B.D中至少有一條回路 C.D中有通過(guò)每個(gè)結(jié)點(diǎn)至少一次的通路D.D中有通過(guò)每個(gè)結(jié)點(diǎn)至少一次的回路 二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。 16.設(shè)A={1,2,3}，B={3,4,5}，則A?A=___________，A?B=___________。 17.設(shè)A={1,2,3,4,5}，R?A×A，R={<1,2>，<3,4>,<2,2>}，則R的自反閉包r(R)=__________。 對(duì)稱閉包t(R)=__________。 18.設(shè)P、Q為兩個(gè)命題，德摩根律可表示為_(kāi)____________，吸收律可表示為_(kāi)___________。 19.對(duì)于公式 x(P(x)∨Q(x))，其中P(x)∶x=1,Q(x)∶x=2,當(dāng)論域?yàn)閧1,2}時(shí)，其真值為_(kāi)____________ ,當(dāng)論域?yàn)閧0,1,2}時(shí)，其真值為_(kāi)____________。 20.設(shè)f∶R→R,f(x)=x+3,g∶R→R,g(x)=2x+1,則復(fù)合函數(shù) ,。 21.3個(gè)結(jié)點(diǎn)可構(gòu)成_________個(gè)不同構(gòu)的簡(jiǎn)單無(wú)向圖，可構(gòu)成________個(gè)不同構(gòu)的簡(jiǎn)單有向圖。 22.無(wú)向圖G= Δ(G)=_____________，G的最小度δ(G)=_____________。 23.設(shè)圖G 24.格L是分配格，當(dāng)且僅當(dāng)L既不含有與_______同構(gòu)的子格，也不含有與______同格的子格。 25.給定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A上定義兩種關(guān)系：R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}, S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}，則。 三、計(jì)算題（本大題共5小題，第26、27題各5分，第28、29題各6分，第30題8分，共30分） 26.設(shè)A={a,b,c,d}，A上的等價(jià)關(guān)系R={ 27.構(gòu)造命題公式?（P∨Q）（?P∧Q）的真值表。 28.求下列公式的主析取范式和主合取范式：P→（（Q→P）∧（?P∧Q）） 29.設(shè)A={a, b, c, d, e}，R為A上的關(guān)系，R={ 30.給定圖G如圖所示，（1）G中長(zhǎng)度為4的路有幾條？其中有幾條回路？（2）寫(xiě)出G的可達(dá)矩陣。 四、證明題（本大題共3小題，第31、32題各6分，第33題8分，共20分） 31.設(shè)（L，≤）是格，試證明： a, b, c ∈L, 有a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）； a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）。 32.設(shè)R是A上的自反和傳遞關(guān)系，如下定義A上的關(guān)系T，使得 x, y∈A， 證明T是A上的等價(jià)關(guān)系。 33.設(shè)有G= 五、應(yīng)用題（本大題共2小題，第34題7分，第35題8分，共15分） 34.構(gòu)造下面推理的證明。 每個(gè)喜歡步行的人都不喜歡坐汽車，每個(gè)人或者喜歡坐汽車或者喜歡騎自行車。有的人不喜歡騎自行車，因而有的人不喜歡步行。 35.今要將6人分成3組（每組2個(gè)人）去完成3項(xiàng)任務(wù)。已知每個(gè)人至少與其余5個(gè)人中的3個(gè)人能相互合作。 （1）能否使得每組的2個(gè)人都能相互合作？ （2）你能給出幾種不同的分組方案？ 《離散數(shù)學(xué)》試題及答案3 一、填空題設(shè)集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 則A?(B)＝ __________________________.2.設(shè)有限集合A, |A| = n, 則 |?(A×A)| = __________________________.3.設(shè)集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 則從A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中雙射的是__________________________.4.已知命題公式G＝?(P?Q)∧R，則G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.5.設(shè)G是完全二叉樹(shù)，G有7個(gè)點(diǎn)，其中4個(gè)葉點(diǎn)，則G的總度數(shù)為_(kāi)_________，分枝點(diǎn)數(shù)為_(kāi)_______________.6 設(shè)A、B為兩個(gè)集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 則從A?B＝_________________________;A?B＝_________________________;A－B＝ _____________________.7.設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系，則R所具有的關(guān)系的三個(gè)特性是______________________, ________________________, _______________________________.8.設(shè)命題公式G＝?(P?(Q?R))，則使公式G為真的解釋有__________________________，_____________________________, __________________________.9.設(shè)集合A＝{1,2,3,4}, A上的關(guān)系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 則R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________,R12 =________________________.10.設(shè)有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 則| |?(A?B)| = _____________________________.11 設(shè)A,B,R是三個(gè)集合，其中R是實(shí)數(shù)集，A = {x |-1≤x≤1, x?R}, B = {x | 0≤x < 2, x?R},則A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ ,.13.設(shè)集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，則R以集合形式(列舉法)記為_(kāi)__________ _______________________________________________________.14.設(shè)一階邏輯公式G = xP(x)?xQ(x)，則G的前束范式是__________________________ _____.15.設(shè)G是具有8個(gè)頂點(diǎn)的樹(shù)，則G中增加_________條邊才能把G變成完全圖。 16.設(shè)謂詞的定義域?yàn)閧a, b},將表達(dá)式xR(x)→xS(x)中量詞消除，寫(xiě)成與之對(duì)應(yīng)的命題公式是__________________________________________________________________________.17.設(shè)集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元關(guān)系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。則R?S＝_____________________________________________________, R2＝______________________________________________________.二、選擇題 設(shè)集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E為全集，則下列命題正確的是()。 (A){2}?A(B){a}?A(C)??{{a}}?B?E(D){{a},1,3,4}?B.設(shè)集合A={1,2,3},A上的關(guān)系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，則R不具備().(A)自反性(B)傳遞性(C)對(duì)稱性(D)反對(duì)稱性 設(shè)半序集(A,≤)關(guān)系≤的哈斯圖如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},則元素6為B的()。 (A)下界(B)上界(C)最小上界(D)以上答案都不對(duì)下列語(yǔ)句中，()是命題。 (A)請(qǐng)把門(mén)關(guān)上(B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6(D)下午有會(huì)嗎？ 設(shè)I是如下一個(gè)解釋：D＝{a,b}, 則在解釋I下取真值為1的公式是().(A)xyP(x,y)(B)xyP(x,y)(C)xP(x,x)(D)xyP(x,y).6.若供選擇答案中的數(shù)值表示一個(gè)簡(jiǎn)單圖中各個(gè)頂點(diǎn)的度，能畫(huà)出圖的是().(A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5)(C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6).7.設(shè)G、H是一階邏輯公式，P是一個(gè)謂詞，G＝xP(x), H＝xP(x),則一階邏輯公式G?H是().(A)恒真的(B)恒假的(C)可滿足的(D)前束范式.設(shè)命題公式G＝?(P?Q)，H＝P?(Q??P)，則G與H的關(guān)系是()。 (A)G?H(B)H?G(C)G＝H(D)以上都不是.9 設(shè)A, B為集合，當(dāng)()時(shí)A－B＝B.(A)A＝B(B)A?B(C)B?A(D)A＝B＝?.設(shè)集合A = {1,2,3,4}, A上的關(guān)系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 則R具有()。 (A)自反性(B)傳遞性(C)對(duì)稱性(D)以上答案都不對(duì)下列關(guān)于集合的表示中正確的為()。 (A){a}?{a,b,c}(B){a}?{a,b,c}(C)??{a,b,c}(D){a,b}?{a,b,c} 12 命題xG(x)取真值1的充分必要條件是().(A)對(duì)任意x，G(x)都取真值1.(B)有一個(gè)x0，使G(x0)取真值1.(C)有某些x，使G(x0)取真值1.(D)以上答案都不對(duì).13.設(shè)G是連通平面圖，有5個(gè)頂點(diǎn)，6個(gè)面，則G的邊數(shù)是().(A)9條(B)5條(C)6條(D)11條.14.設(shè)G是5個(gè)頂點(diǎn)的完全圖，則從G中刪去()條邊可以得到樹(shù).(A)6(B)5(C)10(D)4.15.設(shè)圖G的相鄰矩陣為，則G的頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)分別為().(A)4, 5(B)5, 6(C)4, 10(D)5, 8.三、計(jì)算證明題 1.設(shè)集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R為整除關(guān)系。 (1)畫(huà)出半序集(A,R)的哈斯圖； (2)寫(xiě)出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界； (3)寫(xiě)出A的最大元，最小元，極大元，極小元。 2.設(shè)集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的關(guān)系R＝{(x,y)| x, y?A 且 x ? y}, 求 (1)畫(huà)出R的關(guān)系圖； (2)寫(xiě)出R的關(guān)系矩陣.3.設(shè)R是實(shí)數(shù)集合，?,?,?是R上的三個(gè)映射，?(x)= x+3, ?(x)= 2x, ?(x)＝ x/4,試求復(fù)合映射???，???, ???, ???，?????.4.設(shè)I是如下一個(gè)解釋：D = {2, 3}, abf(2)f(3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011 試求(1)P(a, f(a))∧P(b, f(b));(2)xy P(y, x).5.設(shè)集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R為A上整除關(guān)系。 (1)畫(huà)出半序集(A,R)的哈斯圖； (2)寫(xiě)出A的最大元，最小元，極大元，極小元； (3)寫(xiě)出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.6.設(shè)命題公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。 7.(9分)設(shè)一階邏輯公式：G =(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)，把G化成前束范式.9.設(shè)R是集合A = {a, b, c, d}.R是A上的二元關(guān)系, R = {(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)},(1)求出r(R), s(R), t(R)； (2)畫(huà)出r(R), s(R), t(R)的關(guān)系圖.11.通過(guò)求主析取范式判斷下列命題公式是否等價(jià)： (1)G =(P∧Q)∨(?P∧Q∧R) (2)H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R)) 13.設(shè)R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的關(guān)系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}, S＝{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.(1)試寫(xiě)出R和S的關(guān)系矩陣； (2)計(jì)算R?S, R∪S, R－1, S－1?R－1.四、證明題 1.利用形式演繹法證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊(yùn)涵Q∨S。 2.設(shè)A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(B∪C).3.(本題10分)利用形式演繹法證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊(yùn)涵A→D。 4.(本題10分)A, B為兩個(gè)任意集合，求證： A－(A∩B)=(A∪B)－B.參考答案 一、填空題 1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.2..3.?1= {(a,1),(b,1)}, ?2= {(a,2),(b,2)},?3= {(a,1),(b,2)}, ?4= {(a,2),(b,1)};?3, ?4.4.(P∧?Q∧R).5.12, 3.6.{4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.7.自反性；對(duì)稱性；傳遞性.8.(1, 0, 0),(1, 0, 1),(1, 1, 0).9.{(1,3),(2,2),(3,1)};{(2,4),(3,3),(4,2)};{(2,2),(3,3)}.10.2m?n.11.{x |-1≤x < 0, x?R};{x | 1 < x < 2, x?R};{x | 0≤x≤1, x?12.12;6.13.{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.14.x(?P(x)∨Q(x)).15.21.16.(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).17.{(1, 3),(2, 2)};{(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.二、選擇題 1.C.2.D.3.B.4.B.5.D.6.C.7.C.8.A.9.D.10.B.11.B.13.A.14.A.15.D 三、計(jì)算證明題 1.(1) (2)B無(wú)上界，也無(wú)最小上界。下界1, 3;最大下界是3.(3)A無(wú)最大元，最小元是1，極大元8, 12, 90+;極小元是1.2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(1) (2) 3.(1)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝2x+3＝2x+3.(2)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝(x+3)+3＝x+6,(3)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3,(4)???＝?(?(x))＝?(x)/4＝2x/4 = x/2，(5)?????＝??(???)＝???+3＝2x/4+3＝x/2+3.4.(1)P(a, f(a))∧P(b, f(b))= P(3, f(3))∧P(2, f(2))= P(3, 2)∧P(2, 3)= 1∧0 = 0.(2)xy P(y, x)= x(P(2, x)∨P(3, x)) R}.6 =(P(2, 2)∨P(3, 2))∧(P(2, 3)∨P(3, 3))=(0∨1)∧(0∨1)= 1∧1 = 1.5.(1) (2)無(wú)最大元，最小元1，極大元8, 12;極小元是1.(3)B無(wú)上界，無(wú)最小上界。下界1, 2;最大下界2.6.G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R))= ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧?Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R) =(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?=(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ?(3, 4, 5, 6, 7).7.G =(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)= ?(xP(x)∨yQ(y))∨xR(x)=(?xP(x)∧?yQ(y))∨xR(x)=(x?P(x)∧y?Q(y))∨zR(z)= xyz((?P(x)∧?Q(y))∨R(z)) 9.(1)r(R)＝R∪IA＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)＝R∪R－1＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}，t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}； (2)關(guān)系圖: 11.G＝(P∧Q)∨(?P∧Q∧R) ＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)＝m6∨m7∨m3 ＝?(3, 6, 7) H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(?P∧Q∧R) ＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)＝(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)＝m6∨m3∨m7 ＝?(3, 6, 7) G,H的主析取范式相同，所以G = H.13.(1) P∧Q∧R)7 (2)R?S＝{(a, b),(c, d)}，R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)}, R－1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)}, S－1?R－1＝{(b, a),(d, c)}.四 證明題 1.證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊(yùn)涵Q∨S(1)P∨RP (2)?R→PQ(1)(3)P→QP (4)?R→QQ(2)(3)(5)?Q→RQ(4)(6)R→SP (7)?Q→SQ(5)(6)(8)Q∨SQ(7) 2.證明：(A-B)-C =(A∩~B)∩~C = A∩(~B∩~C)= A∩~(B∪C)= A-(B∪C) 3.證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊(yùn)涵A→D(1)AD(附加)(2)?A∨BP(3)BQ(1)(2)(4)?C→?BP(5)B→CQ(4)(6)CQ(3)(5)(7)C→DP(8)DQ(6)(7)(9)A→DD(1)(8) 所以 {?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊(yùn)涵A→D.4.證明：A－(A∩B)= A∩~(A∩B)＝A∩(~A∪~B) ＝(A∩~A)∪(A∩~B)＝?∪(A∩~B)＝(A∩~B)＝A－B 而(A∪B)－B =(A∪B)∩~B =(A∩~B)∪(B∩~B)=(A∩~B)∪? = A－B 所以：A－(A∩B)=(A∪B)－B.8 1.離散數(shù)學(xué)試題及答案2 離散數(shù)學(xué)試題 一.多重選擇填空題 (本題包括16個(gè)空格，每個(gè)空格3分，共48分。每道小題都可能有一個(gè)以上的正確選項(xiàng)，須選出所有的正確選項(xiàng)，不答不得分，多選、少選或選錯(cuò)都將按比例扣分。)1．命題公式(P∧(P→Q))→Q是_____式。 (1)重言(2)矛盾(3)可滿足(4)非永真的可滿足 2．給定解釋I=(D,)=(整數(shù)集，{f(x,y):f(x,y)=x-y；g(x,y):g(x,y)=x+y；P(x,y):x (1)100(2)99(3)2048(4)1024(5)512 4．集合Ａ={x|x是整數(shù)，<30}，Ｂ={x|x是質(zhì)數(shù)，x<20}，C={1,3,5}，則① =_____;② =_____;③ =_____;④ =_____。(1){1,2,3,5}(2)(3){0}(4){1,3,5,7,11,13,17,19}(5){1,3,5,7}(6){7,11,13,17,19} 5．設(shè)A、B、C是集合，下列四個(gè)命題中，_____在任何情況下都是正確的。(1)若A B且B∈C，則A∈C(2)若A B且B∈C，則A C(3)若A∈B且B C，則A C(4)若A∈B且B C，則A∈C 6．設(shè)集合Ａ={a,b,c,d,e,f,g}，Ａ的一個(gè)劃分 ={{a,b},{c,d,e},{f,g}}，則 所對(duì)應(yīng)的等價(jià)關(guān)系有_____個(gè)二元組。 (1)14(2)15(3)16(4)17(5)8(6)49(7)512 7．S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，≤是S上的整除關(guān)系。S的子集Ｂ＝{2,4,6｝，則在(S，≤)中，Ｂ的最大元是_____；Ｂ的最小元是_____；Ｂ的上確界是_____；Ｂ的下確界是_____。 (1)不存在的(2)36(3)24(4)12(5)6(6)1(7)2 8．設(shè)有有限布爾代數(shù)(B,+,*,’,0,1)，則 =_____能成立。(1)1(2)2(3)3(4)4(5)5(6)8(7)9 9．G={0,1,2,?,n}，n∈N，定義 為模n加法，即x y=(x+y)mod n，則代數(shù)系統(tǒng)(G，)_____。 (1)是半群但不是群(2)是無(wú)限群(3)是循環(huán)群(4)是變換群(5)是交換群 10．n個(gè)結(jié)點(diǎn)、m條邊的無(wú)向連通圖是樹(shù)當(dāng)且僅當(dāng)m=_____。(1)n+1(2)n(3)n-1(4)2n-1 二請(qǐng)給出命題公式 的主析取范式。(10分)三假設(shè)下列陳述都是正確的：(1)學(xué)生會(huì)的每個(gè)成員都是學(xué)生并且是班干部； (2)有些成員是女生。問(wèn)是否有成員是女班干部？請(qǐng)將上述陳述和你的結(jié)論符號(hào)化，并給出你的結(jié)論的形式證明。(10分)四設(shè)R和S是集合Ｘ上的等價(jià)關(guān)系,則S∩R必是等價(jià)關(guān)系。(10分) 參考答案 一、1.1、3 2.4 3.4 4.1；4；2；2 5.4 6.4 7.1；7；4；7 8.2、4、6 9.3、4 10.3 二、分析：求給定命題公式的主析取范式與主合取范式，通常有兩種方法——列表法和等值演算法。(1)列表法 列出給定公式的真值表，其真值為真的賦值所對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)的析取，即為此公式的主析取范式。(2)等值演算法 在等值演算中，首先將公式中的蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞和等價(jià)聯(lián)結(jié)詞化去，使整個(gè)公式化歸為析取范式，然后刪去其中所有的永假合取項(xiàng)，再將析取式中重復(fù)出現(xiàn)的合取項(xiàng)合并和合并合取項(xiàng)中相同的命題變?cè)詈髮?duì)合取項(xiàng)添加沒(méi)有出現(xiàn)的命題變?cè)褪呛先?,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理，即可得到主析取范式。解：（1）列表法 設(shè) 000011111 001010100 010010100 011110100 100001000 101000010 110000010 111100111 根據(jù)真值表中 真值為1的賦值所對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)的析取，即為 的主析取范式。由表可知 （2）等值演算 三、解：有成員是女班干部。 將命題符號(hào)化，個(gè)體域?yàn)槿倐€(gè)體域。 ：x是學(xué)生會(huì)的成員。：x是學(xué)生 ：x是班干部 ：x是女性 前提：，結(jié)論： 證明： ① P ② ES①，e為額外變?cè)?③ P ④ T③ ⑤ T② ⑥ T② ⑦ T④⑤⑥ ⑧ T② ⑨ T⑤⑦⑧ ⑩ EG⑨ 離散數(shù)學(xué)試題及答案1 離散數(shù)學(xué)考試試題（A卷及答案） 一、（10分）某項(xiàng)工作需要派A、B、C和D 4個(gè)人中的2個(gè)人去完成，按下面3個(gè)條件，有幾種派法？如何派？ (1)若A去，則C和D中要去1個(gè)人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，則D留下。 解 設(shè)A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據(jù)題意應(yīng)有：A?C?D，?(B∧C)，C??D必須同時(shí)成立。因此 (A?C?D)∧?(B∧C)∧(C??D) ?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧(?B∨?C)∧(?C∨?D) ?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧((?B∧?C)∨(?B∧?D)∨?C∨(?C∧?D))?(?A∧?B∧?C)∨(?A∧?B∧?D)∨(?A∧?C)∨(?A∧?C∧?D) ∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D) ∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D) ?F∨F∨(?A∧?C)∨F∨F∨(C∧? D∧?B)∨F∨F∨(?C∧D∧?B)∨F∨(?C∧D)∨F ?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D∧?B)∨(?C∧D)?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D)?T 故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在謂詞邏輯中構(gòu)造下面推理的證明：某學(xué)術(shù)會(huì)議的每個(gè)成員都是專家并且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。 解：論域：所有人的集合。()： 是專家；()： 是工人；()： 是青年人；則推理化形式為： (()∧())，()(()∧())下面給出證明： (1)()P (2)(c)T(1)，ES(3)(()∧())P (4)(c)∧(c)T(3)，US(5)(c)T(4)，I (6)(c)∧(c)T(2)(5)，I 11(7)(()∧())T(6)，EG 三、（10分）設(shè)A、B和C是三個(gè)集合，則A?B??(B?A)。 證明：A?B?x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧x?A)?x(x?A∨x∈B)∧x(x∈B∧x?A)??x(x∈A∧x?B)∧?x(x?B∨x∈A)??x(x∈A∧x?B)∨?x(x∈A∨x?B)??(x(x∈A∧x?B)∧x(x∈A∨x?B))??(x(x∈A∧x?B)∧x(x∈B→x∈A))??(B?A)。 四、（15分）設(shè)A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關(guān)系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝ Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。 五、（10分）R是非空集合A上的二元關(guān)系，若R是對(duì)稱的，則r(R)和t(R)是對(duì)稱的。 證明 對(duì)任意的x、y∈A，若xr(R)y，則由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R與IA對(duì)稱，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是對(duì)稱的。 下證對(duì)任意正整數(shù)n，Rn對(duì)稱。 因R對(duì)稱，則有xR2y?z(xRz∧zRy)?z(zRx∧yRz)?yR2x，所以R2對(duì)稱。若 對(duì)稱，則x y?z(x z∧zRy)?z(z x∧yRz)?y x，所以 對(duì)稱。因此，對(duì)任意正整數(shù)n，對(duì)稱。 對(duì)任意的x、y∈A，若xt(R)y，則存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是對(duì)稱的。 六、（10分）若f：A→B是雙射，則f－1：B→A是雙射。 證明 因?yàn)閒：A→B是雙射，則f－1是B到A的函數(shù)。下證f－1是雙射。 對(duì)任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y(tǒng)，從而f－1(y)＝x，所以f－1是滿射。 對(duì)任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，則f(x)＝y(tǒng)1，f(x)＝y(tǒng)2。因?yàn)閒：A→B是函數(shù)，則y1＝y(tǒng)2。所以f－1是單射。 綜上可得，f－1：B→A是雙射。 七、（10分）設(shè) 證明 因?yàn)?S，*>是一個(gè)半群，對(duì)任意的b∈S，由*的封閉性可知，b2＝b*b∈S，b3＝b2*b∈S，?，bn∈S，?。 因?yàn)镾是有限集，所以必存在j＞i，使得 ＝。令p＝j(luò)－i，則 ＝ *。所以對(duì)q≥i，有 ＝ *。 因?yàn)閜≥1，所以總可找到k≥1，使得kp≥i。對(duì)于 ∈S，有 ＝ * ＝ *(*)＝?＝ *。 令a＝，則a∈S且a*a＝a。 八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個(gè)面的次數(shù)至少為l(l≥3)，則G的邊數(shù)m與結(jié)點(diǎn)數(shù)n有如下關(guān)系： m≤(n－2)。 證明 設(shè)G有r個(gè)面，則2m＝ ≥lr。由歐拉公式得，n－m＋r＝2。于是，m≤(n－2)。 （2）設(shè)平面圖G＝ 證明 設(shè)G*＝ 離散數(shù)學(xué)考試試題（B卷及答案） 一、（10分）證明(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)S∨R 證明 因?yàn)镾∨R??R?S，所以，即要證(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)?R?S。 (1)?R 附加前提 (2)P?R P (3)?P T(1)(2)，I(4)P∨Q P (5)Q T(3)(4)，I(6)Q?S P(7)S T(5)(6)，I(8)?R?S CP(9)S∨R T(8)，E 二、（15分）根據(jù)推理理論證明：每個(gè)考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人都將有所作為，但并非所有考生都將有所作為，所以，一定有些考生是聰明的。 設(shè)P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個(gè)體域：人的集合，則命題可符號(hào)化為：x(P(x)?(A(x)∨B(x)))，x(A(x)?Q(x))，?x(P(x)?Q(x))x(P(x)∧B(x))。 (1)?x(P(x)?Q(x))P (2)?x(?P(x)∨Q(x))T(1)，E(3)x(P(x)∧?Q(x))T(2)，E(4)P(a)∧?Q(a)T(3)，ES(5)P(a)T(4)，I(6)?Q(a)T(4)，I (7)x(P(x)?(A(x)∨B(x))P (8)P(a)?(A(a)∨B(a))T(7)，US(9)A(a)∨B(a)T(8)(5)，I(10)x(A(x)?Q(x))P (11)A(a)?Q(a)T(10)，US(12)?A(a)T(11)(6)，I(13)B(a)T(12)(9)，I (14)P(a)∧B(a)T(5)(13)，I(15)x(P(x)∧B(x))T(14)，EG 三、（10分）某班有25名學(xué)生，其中14人會(huì)打籃球，12人會(huì)打排球，6人會(huì)打籃球和排球，5人會(huì)打籃球和網(wǎng)球，還有2人會(huì)打這三種球。而6個(gè)會(huì)打網(wǎng)球的人都會(huì)打另外一種球，求不會(huì)打這三種球的人數(shù)。 解 設(shè)A、B、C分別表示會(huì)打排球、網(wǎng)球和籃球的學(xué)生集合。則： |A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。 因?yàn)閨(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，＝25－20＝5。故，不會(huì) 13 打這三種球的共5人。 四、（10分）設(shè)A1、A2和A3是全集U的子集，則形如 Ai?(Ai?為Ai或)的集合稱為由A1、A2和A3產(chǎn)生的小項(xiàng)。試證由A1、A2和A3所產(chǎn)生的所有非空小項(xiàng)的集合構(gòu)成全集U的一個(gè)劃分。 證明 小項(xiàng)共8個(gè)，設(shè)有r個(gè)非空小項(xiàng)s1、s2、?、sr(r≤8)。 對(duì)任意的a∈U，則a∈Ai或a∈，兩者必有一個(gè)成立，取Ai?為包含元素a的Ai或，則a∈ Ai?，即有a∈ si，于是U? si。又顯然有 si?U，所以U＝ si。 任取兩個(gè)非空小項(xiàng)sp和sq，若sp≠sq，則必存在某個(gè)Ai和 分別出現(xiàn)在sp和sq中，于是sp∩sq＝?。 綜上可知，{s1，s2，?，sr}是U的一個(gè)劃分。 五、（15分）設(shè)R是A上的二元關(guān)系，則：R是傳遞的?R*R?R。 證明(5)若R是傳遞的，則 反之，若R*R?R，則對(duì)任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，則 六、（15分）若G為連通平面圖，則n－m＋r＝2，其中，n、m、r分別為G的結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)。 證明 對(duì)G的邊數(shù)m作歸納法。 當(dāng)m＝0時(shí)，由于G是連通圖，所以G為平凡圖，此時(shí)n＝1，r＝1，結(jié)論自然成立。 假設(shè)對(duì)邊數(shù)小于m的連通平面圖結(jié)論成立。下面考慮連通平面圖G的邊數(shù)為m的情況。 設(shè)e是G的一條邊，從G中刪去e后得到的圖記為G?，并設(shè)其結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為n?、m?和r?。對(duì)e分為下列情況來(lái)討論： 若e為割邊，則G?有兩個(gè)連通分支G1和G2。Gi的結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為ni、mi和ri。顯然n1＋n2＝n?＝n，m1＋m2＝m?＝m－1，r1＋r2＝r?＋1＝r＋1。由歸納假設(shè)有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，從而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。 若e不為割邊，則n?＝n，m?＝m－1，r?＝r－1，由歸納假設(shè)有n?－m?＋r?＝2，從而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。 由數(shù)學(xué)歸納法知，結(jié)論成立。 七、（10分）設(shè)函數(shù)g：A→B，f：B→C，則： (1)fog是A到C的函數(shù)； (2)對(duì)任意的x∈A，有fog(x)＝f(g(x))。 證明(1)對(duì)任意的x∈A，因?yàn)間：A→B是函數(shù)，則存在y∈B使 對(duì)任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得 綜上可知，fog是A到C的函數(shù)。 (2)對(duì)任意的x∈A，由g：A→B是函數(shù)，有 八、（15分）設(shè) 證明 對(duì)于任意a∈G，必有a－1∈G使得a－1*a＝e∈H，所以 若 若 綜上可得，R是G中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 對(duì)于任意的b∈[a]R，有 發(fā)到哪？給個(gè)郵箱啊~~~~~~~ 一、填空 20%（每小題2分） 1．設(shè)（N：自然數(shù)集，E???+ 正偶數(shù)）則。 2．A，B，C表示三個(gè)集合，文圖中陰影部分的集合表達(dá)式為。 3．設(shè)P，Q 的真值為0，R，S的真值為1，則的真值=。 4．公式 的主合取范式為。 5．若解釋I的論域D僅包含一個(gè)元素，則 在I下真值為。 6．設(shè)A={1，2，3，4}，A上關(guān)系圖為 則 R2 =。 7．設(shè)A={a，b，c，d}，其上偏序關(guān)系R的哈斯圖為 則 R=。 8．圖 的補(bǔ)圖為。 9．設(shè)A={a，b，c，d}，A上二元運(yùn)算如下： * a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c 那么代數(shù)系統(tǒng) 10．下圖所示的偏序集中，是格的為。 二、選擇 20%（每小題 2分） 1、下列是真命題的有（） A． ； B． ； C． ； D．。 2、下列集合中相等的有（） A．{4，3} ；B．{，3，4}；C．{4，3，3}；D． {3，4}。 3、設(shè)A={1，2，3}，則A上的二元關(guān)系有（）個(gè)。 A． 23 ； B． 32 ； C． ； D．。 4、設(shè)R，S是集合A上的關(guān)系，則下列說(shuō)法正確的是（） A．若R，S 是自反的，則 是自反的； B．若R，S 是反自反的，則 是反自反的； C．若R，S 是對(duì)稱的，則 是對(duì)稱的； D．若R，S 是傳遞的，則 是傳遞的。 5、設(shè)A={1，2，3，4}，P（A）（A的冪集）上規(guī)定二元系如下 則P（A）/ R=（） A．A ；B．P(A)；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}； D．{{ }，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 6、設(shè)A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}則A上包含關(guān)系“ ”的哈斯圖為（） 7、下列函數(shù)是雙射的為（） A．f : I E , f(x)= 2x ； B．f : N N N, f(n)= C．f : R I , f(x)= [x] ； D．f :I N, f(x)= | x |。 （注：I—整數(shù)集，E—偶數(shù)集，N—自然數(shù)集，R—實(shí)數(shù)集） 8、圖 中 從v1到v3長(zhǎng)度為3 的通路有（）條。 A． 0； B． 1； C． 2； D． 3。 9、下圖中既不是Eular圖，也不是Hamilton圖的圖是（） 10、在一棵樹(shù)中有7片樹(shù)葉，3個(gè)3度結(jié)點(diǎn)，其余都是4度結(jié)點(diǎn)則該樹(shù)有（）個(gè)4度結(jié)點(diǎn)。 A．1； B．2； C．3； D．4。 三、證明 26% 1、R是集合X上的一個(gè)自反關(guān)系，求證：R是對(duì)稱和傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng) < a, b> 和在R中有<.b , c>在R中。（8分） 2、f和g都是群 3、G= 四、邏輯推演 16% 用CP規(guī)則證明下題（每小題 8分） 1、2、五、計(jì)算 18% 1、設(shè)集合A={a，b，c，d}上的關(guān)系R={ ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩陣運(yùn)算求出R的傳遞閉包t(R)。（9分） 2、如下圖所示的賦權(quán)圖表示某七個(gè)城市 及預(yù)先算出它們之間的一些直接通信線路造價(jià)，試給出一個(gè)設(shè)計(jì)方案，使得各城市之間能夠通信而且總造價(jià)最小。（9分） 試卷一答案： 一、填空 20%（每小題2分） 1、{0，1，2，3，4，6}； 2、； 3、1； 4、； 5、1； 6、{<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> }； 7、{ 8、9、a ；a , b , c ,d ；a , d , c , d ； 10、c; 二、選擇 20%（每小題 2分） 題目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B、C C A D C A D B A 三、證明 26% 1、證： “ ” 若 由R對(duì)稱性知，由R傳遞性得 “ ” 若，有 任意，因 若 所以R是對(duì)稱的。 若，則 即R是傳遞的。 2、證，有，又 ★ ★ ★ < C , ★> 是 < G1 , ★>的子群。 3、證： ①設(shè)G有r個(gè)面，則，即。而 故 即得。（8分） ②彼得森圖為，這樣 不成立，所以彼得森圖非平面圖。（3分） 二、邏輯推演 16% 1、證明： ① P（附加前提） ② T①I ③ P ④ T②③I ⑤ T④I ⑥ T⑤I ⑦ P ⑧ T⑥⑦I ⑨ CP 2、證明 ① P（附加前提） ② US① ③ P ④ US③ ⑤ T②④I ⑥ UG⑤ ⑦ CP 三、計(jì)算 18% 1、解：，t(R)={ , , < a , c> , , , < b ,b > , < b , c.> , < b , d > , < c , d > } 2、解： 用庫(kù)斯克（Kruskal）算法求產(chǎn)生的最優(yōu)樹(shù)。算法略。結(jié)果如圖： 樹(shù)權(quán)C(T)=23+1+4+9+3+17=57即為總造價(jià)。第三篇：離散數(shù)學(xué)試題與答案
第四篇：離散數(shù)學(xué)試題
第五篇：全國(guó)2008年4月自考離散數(shù)學(xué)試題
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