第一篇：高考數學試卷（理科）（大綱版）（含解析版）,14級

2014年全國統一高考數學試卷（理科）（大綱版）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分）1．（5分）設z=，則z的共軛復數為（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 2．（5分）設集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，則M∩N=（）A．（0，4] B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 3．（5分）設a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，則（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 4．（5分）若向量、滿足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，則||=（）A．2 B． C．1 D． 5．（5分）有6名男醫生、5名女醫生，從中選出2名男醫生、1名女醫生組成一個醫療小組，則不同的選法共有（）A．60種 B．70種 C．75種 D．150種 6．（5分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1 7．（5分）曲線y=xex﹣1在點（1，1）處切線的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1 8．（5分）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B．16π C．9π D． 9．（5分）已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1、F2，點A在C上，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=（）A． B． C． D． 10．（5分）等比數列{an}中，a4=2，a5=5，則數列{lgan}的前8項和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3 11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β為60°，AB?α，AB⊥l，A為垂足，CD?β，C∈l，∠ACD=135°，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）A． B． C． D． 12．（5分）函數y=f（x）的圖象與函數y=g（x）的圖象關于直線x+y=0對稱，則y=f（x）的反函數是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)13．（5分）的展開式中x2y2的系數為　 ?。ㄓ脭底肿鞔穑?4．（5分）設x、y滿足約束條件，則z=x+4y的最大值為　 ?。?15．（5分）直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線，若l1與l2的交點為（1，3），則l1與l2的夾角的正切值等于　 ?。?16．（5分）若函數f（x）=cos2x+asinx在區間（，）是減函數，則a的取值范圍是　 ?。?　 三、解答題 17．（10分）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B． 18．（12分）等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=13，a2為整數，且Sn≤S4．（1）求{an}的通項公式；

（2）設bn=，求數列{bn}的前n項和Tn． 19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）證明：AC1⊥A1B；

（Ⅱ）設直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1﹣AB﹣C的大小． 20．（12分）設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用設備相互獨立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用設備的概率；

（Ⅱ）X表示同一工作日需使用設備的人數，求X的數學期望． 21．（12分）已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程． 22．（12分）函數f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）設a1=1，an+1=ln（an+1），證明：＜an≤（n∈N*）． 　 2014年全國統一高考數學試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分）1．（5分）設z=，則z的共軛復數為（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 【考點】A1：虛數單位i、復數；

A5：復數的運算．菁優網版權所有 【專題】5N：數系的擴充和復數． 【分析】直接由復數代數形式的除法運算化簡，則z的共軛可求． 【解答】解：∵z==，∴． 故選：D． 【點評】本題考查復數代數形式的除法運算，考查了復數的基本概念，是基礎題． 　 2．（5分）設集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，則M∩N=（）A．（0，4] B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0] 【考點】1E：交集及其運算．菁優網版權所有 【專題】5J：集合． 【分析】求解一元二次不等式化簡集合M，然后直接利用交集運算求解． 【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4． ∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）． 故選：B． 【點評】本題考查了交集及其運算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎題． 　 3．（5分）設a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，則（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【考點】HF：正切函數的單調性和周期性．菁優網版權所有 【專題】56：三角函數的求值． 【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，綜合可得． 【解答】解：由誘導公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函數的單調性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a 故選：C． 【點評】本題考查三角函數值大小的比較，涉及誘導公式和三角函數的單調性，屬基礎題． 　 4．（5分）若向量、滿足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，則||=（）A．2 B． C．1 D． 【考點】9O：平面向量數量積的性質及其運算．菁優網版權所有 【專題】5A：平面向量及應用． 【分析】由條件利用兩個向量垂直的性質，可得（+）?=0，（2+）?=0，由此求得||． 【解答】解：由題意可得，（+）?=+=1+=0，∴=﹣1；

（2+）?=2+=﹣2+=0，∴b2=2，則||=，故選：B． 【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量垂直，則它們的數量積等于零，屬于基礎題． 　 5．（5分）有6名男醫生、5名女醫生，從中選出2名男醫生、1名女醫生組成一個醫療小組，則不同的選法共有（）A．60種 B．70種 C．75種 D．150種 【考點】D9：排列、組合及簡單計數問題．菁優網版權所有 【專題】5O：排列組合． 【分析】根據題意，分2步分析，先從6名男醫生中選2人，再從5名女醫生中選出1人，由組合數公式依次求出每一步的情況數目，由分步計數原理計算可得答案． 【解答】解：根據題意，先從6名男醫生中選2人，有C62=15種選法，再從5名女醫生中選出1人，有C51=5種選法，則不同的選法共有15×5=75種；

故選：C． 【點評】本題考查分步計數原理的應用，注意區分排列、組合的不同． 　 6．（5分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1 【考點】K4：橢圓的性質．菁優網版權所有 【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程． 【分析】利用△AF1B的周長為4，求出a=，根據離心率為，可得c=1，求出b，即可得出橢圓的方程． 【解答】解：∵△AF1B的周長為4，∵△AF1B的周長=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵離心率為，∴，c=1，∴b==，∴橢圓C的方程為+=1． 故選：A． 【點評】本題考查橢圓的定義與方程，考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題． 　 7．（5分）曲線y=xex﹣1在點（1，1）處切線的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1 【考點】62：導數及其幾何意義．菁優網版權所有 【專題】52：導數的概念及應用． 【分析】求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求出對應的切線斜率． 【解答】解：函數的導數為f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，當x=1時，f′（1）=2，即曲線y=xex﹣1在點（1，1）處切線的斜率k=f′（1）=2，故選：C． 【點評】本題主要考查導數的幾何意義，直接求函數的導數是解決本題的關鍵，比較基礎． 　 8．（5分）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B．16π C．9π D． 【考點】LG：球的體積和表面積；

LR：球內接多面體．菁優網版權所有 【專題】11：計算題；

5F：空間位置關系與距離． 【分析】正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，求出PO1，OO1，解出球的半徑，求出球的表面積． 【解答】解：設球的半徑為R，則 ∵棱錐的高為4，底面邊長為2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面積為4π?（）2=． 故選：A． 【點評】本題考查球的表面積，球的內接幾何體問題，考查計算能力，是基礎題． 　 9．（5分）已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1、F2，點A在C上，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=（）A． B． C． D． 【考點】KC：雙曲線的性質．菁優網版權所有 【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程． 【分析】根據雙曲線的定義，以及余弦定理建立方程關系即可得到結論． 【解答】解：∵雙曲線C的離心率為2，∴e=，即c=2a，點A在雙曲線上，則|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，則由余弦定理得cos∠AF2F1===． 故選：A． 【點評】本題主要考查雙曲線的定義和運算，利用離心率的定義和余弦定理是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力． 　 10．（5分）等比數列{an}中，a4=2，a5=5，則數列{lgan}的前8項和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3 【考點】89：等比數列的前n項和．菁優網版權所有 【專題】54：等差數列與等比數列． 【分析】利用等比數列的性質可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用對數的運算性質即可得出． 【解答】解：∵數列{an}是等比數列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10． ∴lga1+lga2+…+lga8 =lg（a1a2?…?a8）= 4lg10 =4． 故選：C． 【點評】本題考查了等比數列的性質、對數的運算性質，屬于基礎題． 　 11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β為60°，AB?α，AB⊥l，A為垂足，CD?β，C∈l，∠ACD=135°，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）A． B． C． D． 【考點】LM：異面直線及其所成的角．菁優網版權所有 【專題】5G：空間角． 【分析】首先作出二面角的平面角，然后再構造出異面直線AB與CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出問題的答案． 【解答】解：如圖，過A點做AE⊥l，使BE⊥β，垂足為E，過點A做AF∥CD，過點E做EF⊥AE，連接BF，∵AE⊥l ∴∠EAC=90° ∵CD∥AF 又∠ACD=135° ∴∠FAC=45° ∴∠EAF=45° 在Rt△BEA中，設AE=a，則AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，則EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，則BF=2a，∴異面直線AB與CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===． 故選：B． 【點評】本題主要考查了二面角和異面直線所成的角，關鍵是構造二面角的平面角和異面直線所成的角，考查了學生的空間想象能力和作圖能力，屬于難題． 　 12．（5分）函數y=f（x）的圖象與函數y=g（x）的圖象關于直線x+y=0對稱，則y=f（x）的反函數是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）【考點】4R：反函數．菁優網版權所有 【專題】51：函數的性質及應用． 【分析】設P（x，y）為y=f（x）的反函數圖象上的任意一點，則P關于y=x的對稱點P′（y，x）一點在y=f（x）的圖象上，P′（y，x）關于直線x+y=0的對稱點P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）圖象上，代入解析式變形可得． 【解答】解：設P（x，y）為y=f（x）的反函數圖象上的任意一點，則P關于y=x的對稱點P′（y，x）一點在y=f（x）的圖象上，又∵函數y=f（x）的圖象與函數y=g（x）的圖象關于直線x+y=0對稱，∴P′（y，x）關于直線x+y=0的對稱點P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）圖象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函數為：y=﹣g（﹣x）故選：D． 【點評】本題考查反函數的性質和對稱性，屬中檔題． 　 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)13．（5分）的展開式中x2y2的系數為　70?。ㄓ脭底肿鞔穑究键c】DA：二項式定理．菁優網版權所有 【專題】5P：二項式定理． 【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x、y的冪指數都等于2，求得r的值，即可求得展開式中x2y2的系數． 【解答】解：的展開式的通項公式為 Tr+1=?（﹣1）r??=?（﹣1）r??，令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，故展開式中x2y2的系數為 =70，故答案為：70． 【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題． 　 14．（5分）設x、y滿足約束條件，則z=x+4y的最大值為　5?。? 【考點】7C：簡單線性規劃．菁優網版權所有 【專題】31：數形結合． 【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，由圖得到最優解，聯立方程組求出最優解的坐標，代入目標函數得答案． 【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得C（1，1）． 化目標函數z=x+4y為直線方程的斜截式，得． 由圖可知，當直線過C點時，直線在y軸上的截距最大，z最大． 此時zmax=1+4×1=5． 故答案為：5． 【點評】本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題． 　 15．（5分）直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線，若l1與l2的交點為（1，3），則l1與l2的夾角的正切值等于． 【考點】IV：兩直線的夾角與到角問題．菁優網版權所有 【專題】5B：直線與圓． 【分析】設l1與l2的夾角為2θ，由于l1與l2的交點A（1，3）在圓的外部，由直角三角形中的邊角關系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根據tan2θ=，計算求得結果． 【解答】解：設l1與l2的夾角為2θ，由于l1與l2的交點A（1，3）在圓的外部，且點A與圓心O之間的距離為OA==，圓的半徑為r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案為：． 【點評】本題主要考查直線和圓相切的性質，直角三角形中的變角關系，同角三角函數的基本關系、二倍角的正切公式的應用，屬于中檔題． 　 16．（5分）若函數f（x）=cos2x+asinx在區間（，）是減函數，則a的取值范圍是（﹣∞，2]　． 【考點】HM：復合三角函數的單調性．菁優網版權所有 【專題】51：函數的性質及應用；

57：三角函數的圖像與性質． 【分析】利用二倍角的余弦公式化為正弦，然后令t=sinx換元，根據給出的x的范圍求出t的范圍，結合二次函數的圖象的開口方向及對稱軸的位置列式求解a的范圍． 【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx =﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，則原函數化為y=﹣2t2+at+1． ∵x∈（，）時f（x）為減函數，則y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上為減函數，∵y=﹣2t2+at+1的圖象開口向下，且對稱軸方程為t=． ∴，解得：a≤2． ∴a的取值范圍是（﹣∞，2]． 故答案為：（﹣∞，2]． 【點評】本題考查復合函數的單調性，考查了換元法，關鍵是由換元后函數為減函數求得二次函數的對稱軸的位置，是中檔題． 　 三、解答題 17．（10分）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B． 【考點】GL：三角函數中的恒等變換應用；

HP：正弦定理．菁優網版權所有 【專題】58：解三角形． 【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函數基本關系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出． 【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=． ∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B= 【點評】本題考查了正弦定理、同角的三角函數基本關系式、兩角和差的正切公式、誘導公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題． 　 18．（12分）等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=13，a2為整數，且Sn≤S4．（1）求{an}的通項公式；

（2）設bn=，求數列{bn}的前n項和Tn． 【考點】8E：數列的求和．菁優網版權所有 【專題】55：點列、遞歸數列與數學歸納法． 【分析】（1）通過Sn≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2為整數可得d=﹣4，進而可得結論；

（2）通過an=13﹣3n，分離分母可得bn=（﹣），并項相加即可． 【解答】解：（1）在等差數列{an}中，由Sn≤S4得：

a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2為整數，∴d=﹣4，∴{an}的通項為：an=17﹣4n；

（2）∵an=17﹣4n，∴bn===﹣（﹣），于是Tn=b1+b2+……+bn =﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）] =﹣（﹣）=． 【點評】本題考查求數列的通項及求和，考查并項相加法，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 　 19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）證明：AC1⊥A1B；

（Ⅱ）設直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1﹣AB﹣C的大小． 【考點】LW：直線與平面垂直；

MJ：二面角的平面角及求法．菁優網版權所有 【專題】5F：空間位置關系與距離． 【分析】（Ⅰ）由已知數據結合線面垂直的判定和性質可得；

（Ⅱ）作輔助線可證∠A1FD為二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函數可得． 【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D?平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC ∴BC⊥平面AA1C1C，連結A1C，由側面AA1C1C為菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1?平面A1BC，∴AC1⊥A1B；

（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC?平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E為垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直線AA1∥平面BCC1B1，∴A1E為直線AA1與平面BCC1B1的距離，即A1E=，∵A1C為∠ACC1的平分線，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F為垂足，連結A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F?平面A1DF ∴A1F⊥AB，∴∠A1FD為二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D為AC中點，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小為arctan 【點評】本題考查二面角的求解，作出并證明二面角的平面角是解決問題的關鍵，屬中檔題． 　 20．（12分）設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用設備相互獨立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用設備的概率；

（Ⅱ）X表示同一工作日需使用設備的人數，求X的數學期望． 【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；

CH：離散型隨機變量的期望與方差．菁優網版權所有 【專題】5I：概率與統計． 【分析】記Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用設備，i=0，1，2，B表示事件：甲需要設備，C表示事件，丁需要設備，D表示事件：同一工作日至少3人需使用設備（Ⅰ）把4個人都需使用設備的概率、4個人中有3個人使用設備的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出PXi，再利用數學期望公式計算即可． 【解答】解：由題意可得“同一工作日至少3人需使用設備”的概率為 0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，4 P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06 P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25 P（X=4）=P（A2?B?C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38． 故數學期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2 【點評】本題主要考查了獨立事件的概率和數學期望，關鍵是找到獨立的事件，計算要有耐心，屬于難題． 　 21．（12分）已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程． 【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合．菁優網版權所有 【專題】5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題． 【分析】（Ⅰ）設點Q的坐標為（x0，4），把點Q的坐標代入拋物線C的方程，求得x0=，根據|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．（Ⅱ）設l的方程為 x=my+1（m≠0），代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、中點公式、弦長公式求得弦長|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、弦長公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）設點Q的坐標為（x0，4），把點Q的坐標代入拋物線C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵點P（0，4），∴|PQ|=． 又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）． 故C的方程為 y2=4x．（Ⅱ）由題意可得，直線l和坐標軸不垂直，y2=4x的焦點F（1，0），設l的方程為 x=my+1（m≠0），代入拋物線方程可得y2﹣4my﹣4=0，顯然判別式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1?y2=﹣4． ∴AB的中點坐標為D（2m2+1，2m），弦長|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）． 又直線l′的斜率為﹣m，∴直線l′的方程為 x=﹣y+2m2+3． 過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，把線l′的方程代入拋物線方程可得 y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3?y4=﹣4（2m2+3）． 故線段MN的中點E的坐標為（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化簡可得 m2﹣1=0，∴m=±1，∴直線l的方程為 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0． 【點評】本題主要考查求拋物線的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系的應用，韋達定理、弦長公式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于難題． 　 22．（12分）函數f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）設a1=1，an+1=ln（an+1），證明：＜an≤（n∈N*）． 【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；

RG：數學歸納法．菁優網版權所有 【專題】53：導數的綜合應用． 【分析】（Ⅰ）求函數的導數，通過討論a的取值范圍，即可得到f（x）的單調性；

（Ⅱ）利用數學歸納法即可證明不等式． 【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（﹣1，+∞），f′（x）=，①當1＜a＜2時，若x∈（﹣1，a2﹣2a），則f′（x）＞0，此時函數f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函數，若x∈（a2﹣2a，0），則f′（x）＜0，此時函數f（x）在（a2﹣2a，0）上是減函數，若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，此時函數f（x）在（0，+∞）上是增函數． ②當a=2時，f′（x）≥0，此時函數f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數，③當a＞2時，若x∈（﹣1，0），則f′（x）＞0，此時函數f（x）在（﹣1，0）上是增函數，若x∈（0，a2﹣2a），則f′（x）＜0，此時函數f（x）在（0，a2﹣2a）上是減函數，若x∈（a2﹣2a，+∞），則f′（x）＞0，此時函數f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函數．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a=2時，此時函數f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數，當x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，當a=3時，f（x）在（0，3）上是減函數，當x∈（0，3）時，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用數學歸納法進行證明＜an≤成立，①當n=1時，由已知，故結論成立． ②假設當n=k時結論成立，即，則當n=k+1時，an+1=ln（an+1）＞ln（），ak+1=ln（ak+1）＜ln（），即當n=k+1時，成立，綜上由①②可知，對任何n∈N?結論都成立． 【點評】本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，以及利用數學歸納法證明不等式，綜合性較強，難度較大．

第二篇：2008年四川省高考數學試卷(理科)答案與解析

2008年四川省高考數學試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2008?四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，則集合?U（A∩B）=（）

A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5} 【考點】交、并、補集的混合運算．

【分析】根據交集的含義求A∩B、再根據補集的含義求解． 【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}?A∩B={3}；

所以CU（A∩B）={1，2，4，5}，故選D 【點評】本題考查集合的基本運算，較簡單．

2．（5分）（2008?四川）復數2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i 【考點】復數代數形式的混合運算．

2【分析】先算（1+i），再算乘2i，化簡即可．

22【解答】解：∵2i（1+i）=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i=﹣4 故選A；

2【點評】此題考查復數的運算，乘法公式，以及注意i=﹣1；是基礎題．

23．（5分）（2008?四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx 【考點】同角三角函數基本關系的運用．

【分析】此題重點考查各三角函數的關系，切化弦，約分整理，湊出同一角的正弦和余弦的平方和，再約分化簡． 【解答】解：

2∵

=故選D；

【點評】將不同的角化為同角；將不同名的函數化為同名函數，以減少函數的種類；當式中有正切、余切、正割、余割時，通常把式子化成含有正弦與余弦的式子，即所謂“切割化弦”．

4．（5分）（2008?四川）直線y=3x繞原點逆時針旋轉90°，再向右平移1個單位，所得到的直線為（）A． B．

C．y=3x﹣3 D．

【考點】兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系．

【分析】先利用兩直線垂直寫出第一次方程，再由平移寫出第二次方程． 【解答】解：∵直線y=3x繞原點逆時針旋轉90° ∴兩直線互相垂直 則該直線為那么將，向右平移1個單位得，即

故選A．

【點評】本題主要考查互相垂直的直線關系，同時考查直線平移問題．

5．（5分）（2008?四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）

C．（cosα，則α的取值范圍是（），）D．（，）

【考點】正切函數的單調性；三角函數線． 【專題】計算題．

【分析】通過對sinα＞cosα等價變形，利用輔助角公式化為正弦，利用正弦函數的性質即可得到答案．

【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣∴0＜α﹣∴＜α＜）＞0，＜π，．

故選C．

【點評】本題考查輔助角公式的應用，考查正弦函數的性質，將sinα＞cosα等價變形是難點，也是易錯點，屬于中檔題．

6．（5分）（2008?四川）從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（）A．70種 B．112種 C．140種 D．168種 【考點】組合及組合數公式． 【專題】計算題．

【分析】根據題意，分析可得，甲、乙中至少有1人參加的情況數目等于從10個同學中挑選4名參加公益活動挑選方法數減去從甲、乙之外的8個同學中挑選4名參加公益活動的挑選方法數，分別求出其情況數目，計算可得答案．

4【解答】解：∵從10個同學中挑選4名參加某項公益活動有C10種不同挑選方法；

4從甲、乙之外的8個同學中挑選4名參加某項公益活動有C8種不同挑選方法；

44∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有C10﹣C8=210﹣70=140種不同挑選方法，故選C．

【點評】此題重點考查組合的意義和組合數公式，本題中，要注意找準切入點，從反面下手，方法較簡單．

7．（5分）（2008?四川）已知等比數列{an}中，a2=1，則其前3項的和S3的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考點】等比數列的前n項和．

【分析】首先由等比數列的通項入手表示出S3（即q的代數式），然后根據q的正負性進行分類，最后利用均值不等式求出S3的范圍． 【解答】解：∵等比數列{an}中，a2=1 ∴∴當公比q＞0時，當公比q＜0時，；

．

∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． 故選D．

【點評】本題考查等比數列前n項和的意義、等比數列的通項公式及均值不等式的應用．

8．（5分）（2008?四川）設M，N是球心O的半徑OP上的兩點，且NP=MN=OM，分別過N，M，O作垂線于OP的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9 【考點】球面距離及相關計算． 【專題】計算題．

【分析】先求截面圓的半徑，然后求出三個圓的面積的比．

【解答】解：設分別過N，M，O作垂線于OP的面截球得三個圓的半徑為r1，r2，r3，球半徑為R，則：

∴r1：r2：r3=5：8：9∴這三個圓的面積之比為：5，8，9 故選D 【點評】此題重點考查球中截面圓半徑，球半徑之間的關系；考查空間想象能力，利用勾股定理的計算能力．

9．（5分）（2008?四川）設直線l?平面α，過平面α外一點A與l，α都成30°角的直線有且只有（）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．

【分析】利用圓錐的母線與底面所成的交角不變畫圖，即可得到結果．

0【解答】解：如圖，和α成30角的直線一定是以A為頂點的圓錐的母線所在直線，當∠ABC=∠ACB=30°，直線AC，AB都滿足條件 故選B． 222 3

【點評】此題重點考查線線角，線面角的關系，以及空間想象能力，圖形的對稱性； 數形結合，重視空間想象能力和圖形的對稱性；

10．（5分）（2008?四川）設f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，則f（x）是偶函數的充要條件是（）

A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0 【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 【專題】計算題．

【分析】當f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數時，f（0）一定是函數的最值，從而得到x=0必是f（x）的極值點，即f′（0）=0，因而得到答案． 【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數

∴由函數f（x）=sin（ωx+φ）圖象特征可知x=0必是f（x）的極值點，∴f′（0）=0 故選D 【點評】此題重點考查正弦型函數的圖象特征，函數的奇偶性，函數的極值點與函數導數的關系．

11．（5分）（2008?四川）設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）?f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）=（）

A．13 B．2 C．

D．

【考點】函數的值． 【專題】壓軸題．

【分析】根據f（1）=2，f（x）?f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）觀察規律可求出f（x）的解析式，最終得到答案．

【解答】解：∵f（x）?f（x+2）=13且f（1）=2 ∴，，∴，∴

故選C． 【點評】此題重點考查遞推關系下的函數求值；此類題的解決方法一般是求出函數解析式后代值，或者得到函數的周期性求解．

12．（5分）（2008?四川）已知拋物線C：y=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且，則△AFK的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．32 【考點】拋物線的簡單性質． 【專題】計算題；壓軸題．

2【分析】根據拋物線的方程可知焦點坐標和準線方程，進而可求得K的坐標，設A（x0，y0），過A點向準線作垂線AB，則B（﹣2，y0），根據及AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2，進而可求得A點坐標，進而求得△AFK的面積．

2【解答】解：∵拋物線C：y=8x的焦點為F（2，0），準線為x=﹣2 ∴K（﹣2，0）

設A（x0，y0），過A點向準線作垂線AB，則B（﹣2，y0）∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2 222222∴由BK=AK﹣AB得y0=（x0+2），即8x0=（x0+2），解得A（2，±4）∴△AFK的面積為故選B．

【點評】本題拋物線的性質，由題意準確畫出圖象，利用離心率轉化位置，在△ABK中集中條件求出x0是關鍵；

二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）

34213．（4分）（2008?四川）（1+2x）（1﹣x）展開式中x的系數為 ﹣6 ． 【考點】二項式定理． 【專題】計算題．

【分析】利用乘法原理找展開式中的含x項的系數，注意兩個展開式的結合分析，即分別

2為第一個展開式的常數項和第二個展開式的x的乘積、第一個展開式的含x項和第二個展

2開式的x項的乘積、第一個展開式的x的項和第二個展開式的常數項的乘積之和從而求出答案．

342【解答】解：∵（1+2x）（1﹣x）展開式中x項為 ***040C31（2x）?C41（﹣x）+C31（2x）?C41（﹣x）+C31（2x）?C41（﹣x）

02112204∴所求系數為C3?C4+C3?2?C4（﹣1）+C3?2?C41=6﹣24+12=﹣6． 故答案為：﹣6． 【點評】此題重點考查二項展開式中指定項的系數，以及組合思想，重在找尋這些項的來源．

14．（4分）（2008?四川）已知直線l：x﹣y+4=0與圓C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，則C上各點到l的距離的最小值為 ．

【考點】直線與圓的位置關系；點到直線的距離公式． 【專題】數形結合．

222 5 【分析】如圖過點C作出CD與直線l垂直，垂足為D，與圓C交于點A，則AD為所求；求AD的方法是：由圓的方程找出圓心坐標與圓的半徑，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，利用d減去圓的半徑r即為圓上的點到直線l的距離的最小值． 【解答】解：如圖可知：過圓心作直線l：x﹣y+4=0的垂線，則AD長即為所求；

22∵圓C：（x﹣1）+（y﹣1）=2的圓心為C（1，1），半徑為，點C到直線l：x﹣y+4=0的距離為∴AD=CD﹣AC=2﹣=，故C上各點到l的距離的最小值為故答案為：，．

【點評】此題重點考查圓的標準方程和點到直線的距離．本題的突破點是數形結合，使用點C到直線l的距離距離公式．

15．（4分）（2008?四川）已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 2 ．

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積． 【專題】計算題；作圖題；壓軸題．

【分析】由題意畫出圖形，求出高，底面邊長，然后求出該正四棱柱的體積． 【解答】解：：如圖可知：∵

∴∴正四棱柱的體積等于

=2 故答案為：2 【點評】此題重點考查線面角，解直角三角形，以及求正四面題的體積；考查數形結合，重視在立體幾何中解直角三角形，熟記有關公式．

16．（4分）（2008?四川）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為 4 ．

【考點】等差數列的前n項和；等差數列． 【專題】壓軸題．

【分析】利用等差數列的前n項和公式變形為不等式，再利用消元思想確定d或a1的范圍，a4用d或a1表示，再用不等式的性質求得其范圍．

【解答】解：∵等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即

∴

∴，5+3d≤6+2d，d≤1 ∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值為4，故答案為：4．

【點評】此題重點考查等差數列的通項公式，前n項和公式，以及不等式的變形求范圍；

三、解答題（共6小題，滿分74分）

2417．（12分）（2008?四川）求函數y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值與最小值． 【考點】三角函數的最值． 【專題】計算題． 【分析】利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡y的解析式后，再利用配方法把y變為完全平方式即y=（1﹣sin2x）+6，可設z═（u﹣1）+6，u=sin2x，因為sin2x的范圍為[﹣1，1]，根據u屬于[﹣1，1]時，二次函數為遞減函數，利用二次函數求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．

2422【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx=7﹣2sin2x+4cosx（1﹣cosx）=7﹣22222sin2x+4cosxsinx=7﹣2sin2x+sin2x=（1﹣sin2x）+6 22由于函數z=（u﹣1）+6在[﹣1，1]中的最大值為zmax=（﹣1﹣1）+6=10 2最小值為zmin=（1﹣1）+6=6 故當sin2x=﹣1時y取得最大值10，當sin2x=1時y取得最小值6 【點評】此題重點考查三角函數基本公式的變形，配方法，符合函數的值域及最值；本題的突破點是利用倍角公式降冪，利用配方變為復合函數，重視復合函數中間變量的范圍是關鍵．

18．（12分）（2008?四川）設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．

（Ⅰ）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅱ）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（Ⅲ）記ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求ξ的分布列及期望． 7 【考點】相互獨立事件的概率乘法公式；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差．

【專題】計算題． 【分析】（1）進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，包括兩種情況：即進入商場的1位顧客購買甲種商品不購買乙種商品，進入商場的1位顧客購買乙種商品不購買甲種商品，分析后代入相互獨立事件的概率乘法公式即可得到結論．

（2）進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的對立事件為，該顧客即不習甲商品也不購買乙商品，我們可以利用對立事件概率減法公式求解．（3）由（1）、（2）的結論，我們列出ξ的分布列，計算后代入期望公式即可得到數學期望． 【解答】解：記A表示事件：進入商場的1位顧客購買甲種商品，記B表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品，記C表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記D表示事件：進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，（Ⅰ）

===0.5×0.4+0.5×0.6=0.5（Ⅱ）==0.5×0.4 =0.2

∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），3故ξ的分布列P（ξ=0）=0.2=0.008 12P（ξ=1）=C3×0.8×0.2=0.096 22P（ξ=2）=C3×0.8×0.2=0.384 3P（ξ=3）=0.8=0.512 所以Eξ=3×0.8=2.4 【點評】此題重點考查相互獨立事件的概率計算，以及求隨機變量的概率分布列和數學期望；突破口：分清相互獨立事件的概率求法，對于“至少”常從反面入手常可起到簡化的作用； 19．（12分）（2008?四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

（Ⅰ）證明：C，D，F，E四點共面；

（Ⅱ）設AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．

【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；棱錐的結構特征． 【專題】計算題；證明題． 【分析】（Ⅰ）延長DC交AB的延長線于點G，延長FE交AB的延長線于G′，根據比例關系可證得G與G′重合，準確推理，得到直線CD、EF相交于點G，即C，D，F，E四點共面．

（Ⅱ）取AE中點M，作MN⊥DE，垂足為N，連接BN，由三垂線定理知BN⊥ED，根據二面角平面角的定義可知∠BMN為二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．

【解答】解：（Ⅰ）延長DC交AB的延長線于點G，由BC延長FE交AB的延長線于G′ 同理可得

得

故，即G與G′重合

因此直線CD、EF相交于點G，即C，D，F，E四點共面．（Ⅱ）設AB=1，則BC=BE=1，AD=2 取AE中點M，則BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF 故AD⊥BM，BM與平面ADE內兩相交直線AD、AE都垂直． 所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足為N，連接BN 由三垂線定理知BN⊥ED，∠BMN為二面角A﹣ED﹣B的平面角．故

所以二面角A﹣ED﹣B的大小 9

【點評】此題重點考查立體幾何中四點共面問題和求二面角的問題，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力；突破：熟悉幾何公理化體系，準確推理，注意書寫格式是順利進行求解的關鍵．

20．（12分）（2008?四川）設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn

n﹣1（Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2}是等比數列；（Ⅱ）求{an}的通項公式． 【考點】數列的應用． 【專題】計算題；證明題．

n【分析】（Ⅰ）當b=2時，由題設條件知an+1=2an+2an+1﹣（n+1）?2=2an+2﹣（n+1）nn﹣1n﹣1?2=2（an﹣n?2），所以{an﹣n?2}是首項為1，公比為2的等比數列．

n﹣1（Ⅱ）當b=2時，由題設條件知an=（n+1）2；當b≠2時，由題意得

=的通項公式．

【解答】解：（Ⅰ）當b=2時，由題意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，n且ban﹣2=（b﹣1）Sn

n+1ban+1﹣2=（b﹣1）Sn+1

n兩式相減得b（an+1﹣an）﹣2=（b﹣1）an+1

n即an+1=ban+2①

n當b=2時，由①知an+1=2an+2

nnnn﹣1于是an+1﹣（n+1）?2=2an+2﹣（n+1）?2=2（an﹣n?2）

0n﹣1又a1﹣1?2=1≠0，所以{an﹣n?2}是首項為1，公比為2的等比數列．

n﹣1n﹣1（Ⅱ）當b=2時，由（Ⅰ）知an﹣n?2=2，n﹣1即an=（n+1）2 當b≠2時，由①得=因此即所以

． =

=，由此能夠導出{an}

n．由此可知nn 10 【點評】此題重點考查數列的遞推公式，利用遞推公式求數列的通項公式，同時考查分類討論思想；推移腳標兩式相減是解決含有Sn的遞推公式的重要手段，使其轉化為不含Sn的遞推公式，從而針對性的解決；在由遞推公式求通項公式是重視首項是否可以吸收是易錯點，同時重視分類討論，做到條理清晰是關鍵．

21．（12分）（2008?四川）設橢圓，（{a＞b＞0}）的左右焦點分別為F1，F2，離心率（Ⅰ）若，右準線為l，M，N是l上的兩個動點，求a，b的值；

與

共線．

（Ⅱ）證明：當|MN|取最小值時，【考點】橢圓的應用． 【專題】計算題；壓軸題．

【分析】（Ⅰ）設，根據題意由得，由，得，由此可以求出a，b的值．

（Ⅱ）|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a．當且僅當或共線．

【解答】解：由a﹣b=c與l的方程為設則

222

222

時，|MN|取最小值，由能夠推導出與，得a=2b，22，11 由（Ⅰ）由得，得

①

②由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a=4 故2

③

2（Ⅱ）證明：|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a 當且僅當此時，故與共線．

或

時，|MN|取最小值

【點評】此題重點考查橢圓中的基本量的關系，進而求橢圓待定常數，考查向量的綜合應用；熟悉橢圓各基本量間的關系，數形結合，熟練地進行向量的坐標運算，設而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應用．

22．（14分）（2008?四川）已知x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一個極值點．（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅲ）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍． 【考點】函數在某點取得極值的條件；利用導數研究函數的單調性． 【專題】計算題；壓軸題；數形結合法．

2【分析】（Ⅰ）先求導﹣10x的一個極值點即

2，再由x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x求解．

2（Ⅱ）由（Ⅰ）確定f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調區間．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內單調增加，在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0，可得f（x）的極大值為f（1），極小值為f（3）一，再由直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點則須有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）． 【解答】解：（Ⅰ）因為所以因此a=16

12（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）當x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0 當x∈（1，3）時，f′（x）＜0 所以f（x）的單調增區間是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的單調減區間是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）內單調增加，在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0 所以f（x）的極大值為f（1）=16ln2﹣9，極小值為f（3）=32ln2﹣21

因此f（16）＞16﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三個單調區間（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直線y=b有y=f（x）的圖象各有一個交點，當且僅當f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范圍為（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．

【點評】此題重點考查利用求導研究函數的單調性，最值問題，函數根的問題；，熟悉函數的求導公式，理解求導在函數最值中的研究方法是解題的關鍵，數形結合理解函數的取值范圍． 2﹣2 13

第三篇：2008年 四川省高考數學試卷(理科)

2008年四川省高考數學試卷（理科）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2008?四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，則集合?U（A∩B）=（）

A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5}

2D．{1，2，4，5} 2．（5分）（2008?四川）復數2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i

3．（5分）（2008?四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx

4．（5分）（2008?四川）直線y=3x繞原點逆時針旋轉90°，再向右平移1個單位，所得到的直線為（）A． B．

C．y=3x﹣3 D．

25．（5分）（2008?四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）

C．（cosα，則α的取值范圍是（），）D．（，）

6．（5分）（2008?四川）從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（）A．70種 B．112種 C．140種 D．168種

7．（5分）（2008?四川）已知等比數列{an}中，a2=1，則其前3項的和S3的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）

8．（5分）（2008?四川）設M，N是球心O的半徑OP上的兩點，且NP=MN=OM，分別過N，M，O作垂線于OP的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9

9．（5分）（2008?四川）設直線l?平面α，過平面α外一點A與l，α都成30°角的直線有且只有（）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

10．（5分）（2008?四川）設f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，則f（x）是偶函數的充要條件是（）

A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0

11．（5分）（2008?四川）設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）?f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）=（）A．13

12．（5分）（2008?四川）已知拋物線C：y=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且，則△AFK的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．32

二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）

13．（4分）（2008?四川）（1+2x）（1﹣x）展開式中x的系數為

．

14．（4分）（2008?四川）已知直線l：x﹣y+4=0與圓C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，則C上各點到l的距離的最小值為

．

15．（4分）（2008?四川）已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為

16．（4分）（2008?四川）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為

．

三、解答題（共6小題，滿分74分）

17．（12分）（2008?四川）求函數y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值與最小值．

18．（12分）（2008?四川）設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．

（Ⅰ）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅱ）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（Ⅲ）記ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求ξ的分布列及期望．

19．（12分）（2008?四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

2B．2 C． D．，則該正四棱柱的體積等于

．

（Ⅰ）證明：C，D，F，E四點共面；

（Ⅱ）設AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大?。?/p>

20．（12分）（2008?四川）設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn

n﹣1（Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2}是等比數列；（Ⅱ）求{an}的通項公式．

21．（12分）（2008?四川）設橢圓，（{a＞b＞0}）的左右焦點分別為F1，F2，離

n心率（Ⅰ）若，右準線為l，M，N是l上的兩個動點，求a，b的值；

與

共線．

（Ⅱ）證明：當|MN|取最小值時，22．（14分）（2008?四川）已知x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一個極值點．（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅲ）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．3

第四篇：四川省綿陽市2018屆高三上學期一診數學試卷(理科) 含解析

2017-2018學年四川省綿陽市高三（上）一診數學試卷

（理科）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）

1.設集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，則A∩B=（）A.（2，4）B.{2，4} C.{3} D.{2，3} 【答案】D 【解析】由題意，得；故選D.2.若x＞y，且x+y=2，則下列不等式成立的是（）A.x＜y B.【答案】C 【解析】因為，且，所以，即，則

；故選C.2

2，則 C.x＞1 D.y＜1

223.已知向量 =（x﹣1，2），=（x，1），且∥，則A.B.2 C.2 D.3 【答案】D 【解析】因為故選D.，所以，解得，則

=（），；點睛：利用平面向量的坐標形式判定向量共線或垂直是常見題型： 已知4.若，則，則tan2α=（）

D.，.A.﹣3 B.3 C.【答案】D 【解析】因為，所以，則 ；故選D.5.某單位為鼓勵職工節約用水，作出如下規定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米3元收費；用水超過10立方米的，超過的部分按每立方米5元收費．某職工某月繳水費55元，則該職工這個月實際用水為（）立方米． A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 【解析】設該職工的月實際用水為x立方米，所繳水費為y元，由題意得

，即。

根據題意得該職工這個月的實際用水量超過10立方米，所以解得。選C。

x06.已知命題p：?x0∈R，使得e≤0：命題q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b﹣2|，則a﹣b=﹣1，下列命題為真命題的是（）A.p B.?q C.p∨q D.p∧q 【答案】B 【解析】因為函數的值域為，所以命題為假命題，為真命題；故選B.7.在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當時，時，“，所以成立，此時，成立；當，所以不成立；綜上知“

時，如取”是”的”的充分不必要條件，選A.cos?x（?＞0）圖象的最高點與相鄰最低點的距離是

，若將8.已知函數f（x）=sin?x+y=f（x）的圖象向右平移 個單位得到y=g（x）的圖象，則函數y=g（x）圖象的一條對稱軸方程是（）A.x=0 B.【答案】C 【解析】因為

圖象的最高點

與相鄰最低點的距離 C.D.為，所以，即，解得，則將的，即圖象向右平移個單位，得到是函數 的對稱軸方程，經驗證，得

到的圖象，令

是其中一條對稱軸方程；故選C.的變換是易錯點，要注意，而不是

.點睛：在處理三角函數的圖象變換時，由平移的單位僅對于自變量（）而言，若本題中的圖象向右平移個單位，應是9.已知0＜a＜b＜1，給出以下結論： ① ；② ③

④

則其中正確的結論個數是（）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【答案】B 【解析】易知，正確，錯誤；故選B.210.已知x1是函數f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零點，x2是函數g（x）=x﹣2ax+4a+4的零點，且滿足|x1﹣x2|≤1，則實數a的最小值是（）A.2﹣2 B.1﹣2 C.﹣2 D.﹣1 【答案】D 【解析】因為單調遞增，即為，顯然在，所以當，即函數有零點，（1）若，即，②若

時，單調遞減，當，因為，即

或，此時，若

時，所以的零點在[﹣

存在唯一零點，即符合題意；（2）若2，0]上只有一個零點，則，解得

在[﹣2，0]上有兩個零點，則

；故選D.，即的最小值為點睛：本題考查兩個函數的零點問題，難點是根據二次函數的零點分布情況求參數；利用二次函數的零點分布求參數，往往是看二次函數的開口方向、判別式的符號、對稱軸與所給區間的關系、區間端點函數值的符號進行判定.11.已知a，b，c∈R，且滿足b2+c2=1，如果存在兩條互相垂直的直線與函數f（x）=ax+bcosx+csinx的圖象都相切，則a+A.[﹣2，2] B.C.的取值范圍是（）D.【答案】B 【解析】∵函數∴則則存在則故；故選B．，其中，的圖象都相切，得，，若存在兩條互相垂直的直線與函數，使，由，其中點睛：求有關三角函數的最值或值域問題，主要有以下題型： ①化為形成②形如“行求解.12.若存在實數x，使得關于x的不等式成立，則實數a的取值集合為（）

A.{} B.[，+∞）C.{} D.[，+∞）【答案】C 【解析】不等式表示點

，即為距離的平方不超過，即最大值為．由相切的直線的切點為，在直線

上，解得，+x2﹣2ax+a2≤（其中e為自然對數的底數）

型：一般是利用二倍角公式、兩角和差公式、配角公式進行恒等變，再利用三角函數的單調性進行求解；

”，一般是利用換元思想（令），再利用二次函數的性質進設與直線平行且與切點為，可得切線的斜率為，由切點到直線的距離為直線上的點與曲線，解得，則的取值集合為的距離的最小值，可得

；故選C．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13.已知變量x，y滿足約束條件【答案】3 【解析】將直線化為，作出可行域和目標函數基準直線

（如圖所示）．當

，則z=2x+y的最小值是_____．

向左上方平移時，直線在軸上的截距增大，由圖象可知當直線經過點時，z取得最小值，最小值為．

14.已知偶函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，則x的取值范圍是_____． 【答案】

【解析】∵函數f（x）為偶函數，且在[0，+∞）上單調遞增，∴f（x）為偶函數，且在(-∞,0）上單調遞減。

由題意得不等式f（2x+1）＜1等價于f（2x+1）＜f（2），∴解得或。

。答案：

。，所以原不等式的解集為15.在△ABC中，AB=2，AC=4，cosA=，過點A作AM⊥BC，垂足為M，若點N滿足則 =_____．

【答案】

【解析】以為原點，以直角坐標系，在由余弦定理可得∴，∴，中，所在的直線為軸，以

所在的直線為軸，建立如圖所示的平面

，由正弦定理可得，得，∵∴，在中，∵點滿足∴∴∴∴，，.16.如果{an}的首項a1=2017，其前n項和Sn滿足Sn+Sn﹣1=﹣n2（n∈N*，n≥2），則a101=_____． 【答案】1917 【解析】∵∴即∴故∴數列則

三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17.在△ABC中，D是邊BC上一點，且，BD=2．，的所有奇數項構成以

.為首項，以

為公差的等差數列，，，∴，（1）求∠ADC的大?。唬?）若，求△ABC的面積．

【答案】（1）（2）【解析】試題分析：

（1）利用正弦定理，根據角的范圍寫出角，利用內角和即可求出；（2）利用余弦定理求出邊長CD，再根據面積公式即可求出.試題解析：

（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理得∴ ．，∴，(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2． 在△ACD中，由余弦定理：即，整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，∴ S△ABC=

．

點睛：解決三角形中的角邊問題時，要根據條件選擇正余弦定理，將問題轉化統一為邊的問題或角的問題，利用三角中兩角和差等公式處理，特別注意內角和定理的運用，涉及三角形面積最值問題時，注意均值不等式的利用，特別求角的時候，要注意分析角的范圍，才能寫出角的大小.18.設公差大于0的等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比數列，記數列（Ⅰ）求Tn；

（Ⅱ）若對于任意的n∈N*，tTn＜an+11恒成立，求實數t的取值范圍． 【答案】（1）（2）

的前n項和為Tn．

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用等差數列前項和公式、通項公式結合等比數列性質列出方程組，求出首項和公差，再利用裂項求和法進行求和；（Ⅱ）分離未知數，利用基本不等式進行求解.試題解析：（Ⅰ）設{an}的公差為d（d＞0），由S3=15有3a1+=15，化簡得a1+d=5，①…

又∵a1，a4，a13成等比數列，∴a4=a1a13，即（a1+3d）=a1（a1+12d），化簡得3d=2a1，②… 聯立①②解得a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． ∴∴（Ⅱ）∵tTn＜an+11，即∴又∴∴t＜162．

點睛：裂項抵消法是一種常見的求和方法，其主要適用于以下題型； ①③；②

.的部分圖象如圖所示．

； ≥6，當且僅當n=3時，等號成立，≥162，…，…，． 2219.若函數f（x）=Asin（?x+φ）（A＞0，（I）設x∈（0，）且f（α）=，求sin 2a的值；（II）若x∈[ ]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值為，求實數λ的值．

【答案】（1）（2），進而求出值，可得函數【解析】試題分析：（Ⅰ）由函數的圖象求出最值和周期，可得的解析式，再利用和差公式進行求解；；（Ⅱ）分類討論滿足條件的實數的值，綜合討論結果，可得答案.試題解析：（Ⅰ）由圖得，A=2． …，解得T=π，于是由T=∵∴∴由已知因為∴∴==

． …，…，于是0≤≤1．…

=0時，g（x）取得最大值1，與已知不符． ≤，=，即． …，即，所以

．，，得ω=2．…，即，k∈Z，又，故，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，===∵x∈∴0≤①當λ＜0時，當且僅當②當0≤λ≤1時，當且僅當由已知得2λ+1=，解得λ=． ③當λ＞1時，當且僅當

2=λ時，g（x）取得最大值2λ+1，2=1時，g（x）取得最大值4λ﹣1，由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾． 綜上所述，λ=．…

點睛：由三角函數的圖象求函數低點的縱坐標列出關于的方程組求得值的解析式的一般思路：先利用最高點和最，利用相鄰零點間的距離、相鄰對稱軸間的距離、零點和對稱軸間的距離求出值，再代入最高點或最低點的坐標求出值.20.已知函數f（x）=kex﹣x3+2（k∈R）恰有三個極值點xl，x2，x3，且xl＜x2＜x3．（I）求k的取值范圍：（II）求f（x2）的取值范圍． 【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，整理得進行求解；（Ⅱ）求出函數的導數，求出可.試題解析：（Ⅰ）f'（x）=kex﹣3x2． 由題知方程ke﹣3x=0恰有三個實數根，整理得．… x2，令，根據函數的單調性的范圍即的解析式，根據函數的單調性求出令，則，由g'（x）＞0解得0＜x＜2，由g'（x）＜0解得x＞2或x＜0，∴g（x）在（0，2）上單調遞增，在（﹣∞，0），（2，+∞）上單調遞減．… 于是當x=0時，g（x）取得極小值g（0）=0，當x=2時，g（x）取得極大值

． …

且當x→﹣∞時，g（x）→+∞；當x→+∞時，g（x）→0，∴．…

x

2（Ⅱ）由題意，f'（x）=ke﹣3x=0的三個根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，∴0＜x2＜2，且，…

∴令μ（x）=﹣x+3x+2（0＜x＜2），則μ'（x）=﹣3x+6x=﹣3x（x﹣2），當0＜x＜2時，μ'（x）＞0，即μ（x）在（0，2）單調遞增，… ∴f（x2）∈（2，6）． …

21.已知函數f（x）=axlnx﹣x+l（a∈R），且f（x）≥0．（I）求a；

（II）求證：當，n∈N*時，【答案】（1）1（2）見解析

232，…

試題解析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）． 若a＜0，f（2）=2aln2﹣1＜0，與已知矛盾．…

若a=0，則f（x）=﹣x+1，顯然不滿足在（0，+∞）上f（x）≥0恒成立．… 若a＞0，對f（x）求導可得f'（x）=alnx+a﹣1． 由f'（x）＞0解得∴f（x）在（0，∴f（x）min=，由f'（x）＜0解得0＜）上單調遞減，在（=1﹣a

． …

≥0成立，即

≤恒成立．，+∞）上單調遞增，∴要使f（x）≥0恒成立，則須使1﹣a兩邊取對數得，≤ln，整理得lna+﹣1≤0，即須此式成立． 令g（a）=lna+﹣1，則，顯然當0＜a＜1時，g'（a）＜0，當a＞1時，g'（a）＞0，于是函數g（a）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，∴g（a）min=g（1）=0，即當且僅當a=1時，f（x）min=f（1）=0，f（x）≥0恒成立，∴a=1滿足條件． 綜上，a=1．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x＞1時，xlnx﹣x+1＞0，即lnx＞

恒成立．

令（n∈N*），即＞，即同理，…，…，，…

將上式左右相加得：

==ln4．=2ln2…

22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程是為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系．（1）求曲線C的極坐標方程；（2）設

（α為參數），以坐標原點O，若l1，l2與曲線C分別交于異于原點的A，B兩點，求△AOB的面積．

【答案】（1）ρ=6cosθ+8sinθ．（2）........................試題解析：（1）∵曲線C的參數方程是

（α為參數），2∴將C的參數方程化為普通方程為（x﹣3）+（y﹣4）=25，即x+y﹣6x﹣8y=0． …

∴C的極坐標方程為ρ=6cosθ+8sinθ． …（2）把∴把∴∴S△AOB=代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …

代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …

=

=

． …，2223.已知函數f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；

（2）記f（x）的最小值是m，正實數a，b滿足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值． 【答案】（1）（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．（2）的【解析】試題分析：（Ⅰ）利用零點分段討論法進行求解；（Ⅱ）利用三角不等式求出函數最值，再利用基本不等式進行求解.試題解析：（1）當x≤

時，f（x）=﹣2﹣4x，由f（x）≥6解得x≤﹣2，綜合得x≤﹣2，… 當時，f（x）=4，顯然f（x）≥6不成立，…

當x≥時，f（x）=4x+2，由f（x）≥6，解得x≥1，綜合得x≥1，…

所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4． … ∵a?2b≤，…，由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤解得a+2b≥∴a+2b的最小值為

，．…

第五篇：2016內蒙古高考理科數學試卷及答案

2016內蒙古高考理科數學試卷及答案

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