線性代數在日常生活中的應用——城市人們出行的應用

孫瑞201905280230

線性代數在生活中得到廣泛運用,在大自然中許多現象恰好是線性變化的,研究的是單個變量之間的關系。例如我們高中學過的物理學科中,物理可以分為機械運動、電運動、還有量子力學的運動。而比較重要的機械運動的基本方程是牛頓第二定律,即物體的加速度同它所受到的力成正比,其實這又恰恰符合基本的線性微分方程。再如電運動的基本方程是麥克思韋方程組,這個方程組表明電場強度與磁場的變化率成正比,而磁場的強度又與電場強度的變化率成正比,因此麥克思韋方程組也正好是線性方程組。之后隨著科學的發展,我們不僅要研究單個變量之間的關系,還要進一步研究多個變量之間的關系,因為各種實際問題在大多數情況下可以線性化,而且由于計算機的發展,線性化了的問題又可以計算出來,所以,線性代數因這方面的成為了解決這些問題的有力工具具而被廣泛應用。

某城市有兩組單行道,構成了一個包含四個節點 A,B，C,D的十字路口如圖所示。在交通繁忙時段的汽車從外部進出此十字路口的流量(每小時的車流數)標于圖上。現要求計算每兩個節點之間路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。

解:在每個節點上,進入和離開的車數應該相等,這就決定了四個流通的方程:

節點A：x1+450=x2+610

節點B：x2+520=x3+480

節點C：x3+390=x4+600

節點D：x4+640=x2+310

將這組方程進行整理，寫成矩陣的形式：

用消元法求其行列式，或者直接調用U0=rref（[A，b]）,可以得到它的精簡行列式為

注意這個系數矩陣所代表的意義,它的左邊四列從左至右依次為變量x1,x2,x3,x4的系數,第五列則是在等式右邊的常數項。把第四列移到等式右邊,可以按行列寫恢復為方程,其結果為:x1=x4+330,x2=x4+170,4x3=x4+210,0=0

由于最后一行變為全零,這個精簡行階梯形式只有三行有效,也就是說四個方程中有一個是相依的,實際上只有三個有效方程。方程數比未知數的數目少,即沒有給出足夠的信息來唯一地確定x1,x2,x3,和x4。其原因也不難從物理上想象,題目給出的只是進入和離開這個十字路區的流量,如果有些車沿著這四方的單行道繞圈,那是不會影響總的輸入輸出流量的,但可以全面增加四條路上的流量。所以x4被稱為自由變量,實際上它的取值也不能完全自由,因為規定了這些路段都是單行道,x1,x2,x3,和x4。都不能取負值。

所以要準確了解這里的交通流情況,還應該在x1,x2,x3,和x4中,再檢測一個變量。

線性代數有很多在現實生活中的應用,我們要會運用線性代數來解決現實生活中的一些事或麻煩。我們的生活中到處都存在著數學,所以用心它的魅力吧。