第一篇：等差、等比數列性質類比

等差、等比數列知識點

一、等差數列：

1.等差數列的證明方法：1.定義法：2．等差中項：對于數列則{an}為等差數列。2.等差數列的通項公式：

?an?，若2an?1?an?an?

2an?a1?(n?1)d------該公式整理后是關于n的一次函數

Sn?

n(a1?an)n(n?1)

2Sn?na1?dS?An?Bn n223.等差數列的前n項和 1．2.3.a?bA?

2或2A?a?b 4.等差中項: 如果a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項。即：

5.等差數列的性質:（1）等差數列任意兩項間的關系：如果

an是等差數列的第n項，am是等差

a?am?(n?m)d

數列的第m項，且m?n，公差為d，則有n

（2）.對于等差數列

?an?，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

*??SSS?Sk，S3k?S2kak?Nnn（3）若數列是等差數列，是其前n項的和，那么k，2k

S3k

?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k???????????????????????

成等差數列。如下圖所示：

（4）．設數列

SkS2k?SkS3k?S2k

?an?是等差數列，S奇是奇數項的和，S偶是偶數項項的和，Sn是前n項的和，S偶?S奇?

S奇n?n?1dS?S?a偶中，S偶n.2，○2當n為奇數時，則奇

則有如下性質： ○1當n為偶數時，二、等比數列：

1.等比數列的判定方法:①定義法若數列。

an?

1?q(q?0)an

2an?是等比aa?ann?2n?1，則數列?②等比中項：若

n?1

??aa?aqqann12.等比數列的通項公式:如果等比數列的首項是1，公比是，則等比數列的通項為。

3.等比數列的前n項和:○1

Sn?

a1(1?qn)

(q?1)

1?q

○

2Sn?

a1?anq

(q?1)

1?q

○3當

q?1時，Sn?na1 ?ab。

4.等比中項:如果使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。那么G5.等比數列的性質:

（1）．等比數列任意兩項間的關系：如果

an是等比數列的第n項，am是等差數列的第m項，且m?n，qan?amqn?m

公比為，則有

（2）對于等比數列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???。

（3）．若數列?an?是等比數列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數

????????????S?3k????????????a?1??a?2??a?3??????a?k?a?k??1???????a?2k?a?2k??1???????a?3k

列。如下圖所示：SkS2k?SkS3k?S2k

基礎練習

一、選擇題：

1．已知｛an｝為等差數列，a2+a8=12,則a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．設｛an｝是公比為正數的等比數列，若a1?1,a5=16,則數列｛an｝前7項的和為（）

A.63B.64C.127D.128

3.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3?9，S6?36，則a7?a8?a9?（）

A．63B．45C．36D．274、設等比數列{an}的公比q?2，前n項和為SS

4n，則a?（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某種細菌在培養過程中,每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個).經過3個小時,這種細菌由1個可繁殖成-（A.511個B.512個C.1023個D.1024個

6．已知等差數列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,則數列｛bn｝的前5項和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知數列?an?*

對任意的p，q?N滿足ap?q?ap?aq，且a2??6，那么a10等于（）

A．?165B．?33C．?30D．?2

18．設{an}是等差數列，若a2?3,a7?13，則數列{an}前8項和為（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．設｛an｝是公比為正數的等比數列，若a1＝1,a5=16,則數列｛an｝前7項的和為（）

A.63B.64C.127D.128

10．記等差數列?an?的前n項和為Sn，若S2?4，S4?20，則該數列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．記等差數列?an?的前n項和為Sn，若a1?1

2，S4?20，則S6?()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1?

1?n?1?n?ln

12．在數列?an??中，??1?n??，則an＝（）

2)

A．2?lnnB．

二、填空題：

1．等差數列{an}中，a5=24，S5=70，則S10=___

2．等比數列{an}的前n項和為Sn=32??n?1?lnnC．2?nlnnD．1?n?lnn +t，則t=________

3．等比數列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，則a3+a5=_______

4．設{an}中，an=20－4n，則這個數列前__或____項和最大。

5．已知：兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為An和Bn，且An?3n?1 n

Bn2n?

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差數列{an}的公差d?1，且前100項和S100=100,則a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]內能被3整除且被4除余1的整數個數是________________

8．在數列{an}在中，an?4n?52*2，a1?a2??an?an?bn，n?N,其中a,b為常數，則ab?

52an?4n?{a}a?a??a?an?bn，n?N*,其中a,b為常數，則2n2，19．在數列n在中，lin??an?bnan?bn的值是_____________

10．已知{an}為等差數列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，則a5 = ____

三、解答題：

1．已知數列

n項和

11111S與SSS與S43453a設Snn345342.是等差數列的前n項和，已知的等比中項為，的等差中項為1，{an}是一個等差數列，且a2?1，a5??5。（1）求{an}的通項an；（2）求{an}前Sn的最大值。??

求數列

?an?的通項．

3.等差數列{an}的前n

項和為Sn，a1?1S3?9?求數列{an}的通項an與前n項和Sn；

4.等差數列?an?中，a4?10且a3，a6，a10成等比數列，求數列?an?前20項的和S20．

第二篇：(經典整理)等差、等比數列的性質

等差、等比數列的性質

一：考試要求

1、理解數列的概念、2、了解數列通項公式的意義

3、了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項 二:知識歸納

（一）主要知識：

有關等差、等比數列的結論 1．等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍為等差數列．

2．等差數列{an}中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq 3．等比數列{an}中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq

4．等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍為等比數列．

5．兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an?bn}仍為等差數列．

?an??1?

6．兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數的數列{an?bn}、??、??仍為等比數

?bn??bn?

列．

（二）主要方法：

1．解決等差數列和等比數列的問題時，通常考慮兩類方法：①基本量法：即運用條件轉化為關于a1和d(q)的方程；②巧妙運用等差數列和等比數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．

2．深刻領會兩類數列的性質，弄清通項和前n項和公式的內在聯系是解題的關鍵．

三：例題詮釋，舉一反三

例題1(2011佛山)在等差數列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，則2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

變式1：(2011廣雅)已知數列{an}為等差數列且a1＋a7＋a13＝4π，則tan(a2＋a12)的值為()A

3變式2：（2011重慶理11）在等差數列{an}中，a3?a7?37，則a2?a4?a6?a8?

________

B3

A3

3A3

例題2 等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為()

A．130B．170C．210D．260

變式1:（2011高考創新）等差數列{an}的通項公式是an=1-2n,其前n項和為Sn,則數列{的前11項和為（）

A.-45B.-50C.-55D.-66 變式2：（2011高考創新）等差數列{an}中有兩項am和ak滿足am=

Snn

}

1k,ak=

1m,則該數列前mk

項之和是.例題3(1)已知等比數列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，則an＝________.(2)已知數列{an}是等比數列，且Sm＝10，S2m＝30，則S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比數列{an}中，公比q＝2，前99項的和S99＝56，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.變式1：(2011佛山)在等比數列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，則

a9

a1

1的值為()

A．4B．2C．－2D．－

4變式2（2011湛江）等比數列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n項的和Sn＝126，求n和公比q.變式3（2011廣州調研）等比數列{an}的前n項和為Sn，若S2=6，S4=30，則S6.1

例題4 已知數列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求證：{an}是等差數列；

(2)若bn＝n－30，求數列{bn}的前n項和的最小值．

變式1已知數列{an}中，a1

?3

5，an

?2?

1an?1

(n?2,n?N

?)，數列{bn}滿足bn

?

1an?1

(n?N

?)

（1）求證：數列{bn}是等差數列；

（2）求數列{an}中的最大值和最小值，并說明理由

變式2設等差數列?an?的前n項和為sn，已知a3?24,s11?0，求： ①數列?an?的通項公式②當n為何值時，sn最大，最大值為多少？

變式3(2011·汕頭模擬)已知數列{an}中，a1＝，數列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，數列an-1{bn}滿足bn＝

(n∈N*)．an-1

(1)求證數列{bn}是等差數列；

(2)求數列{an}中的最大項與最小項，并說明理由．

32a例題5(2008·陜西)(文)已知數列{an}的首項a1＝，an+1=n∈N*an+11

(1)求證數列－1}是等比數列；

ann

(2)求數列{前n項的和

an

變式1 在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)證明數列{an－n}是等比數列；(2)求數列{an}的前n項和Sn；(3)求證對任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn

變式2設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數列，且cn＝an＋bn，證明數列{cn}不是等比數列．

變式3.在數列?an?中，a1?1,an?1?2an?2（1）設bn?

n

an

2n?1,證明?bn?是等差數列;（2）

求數列?an?的前n項和Sn。

當堂講練： 1．（1）若一個等差數列前3項的和為34，最后三項的和為146，且所有項的和為390,則這個數列有項；

（2）已知數列{an}是等比數列,且an>0,n?N,a3a5?2a4a6?a5a7?81，則

a4?a6?

*

（3）等差數列前m項和是30，前2m項和是100，則它的前3m項和是．

2．若數列{an}成等差數列，且Sm?n,Sn?m(m?n)，求Sn?m．

3．等差數列{an}中共有奇數項，且此數列中的奇數項之和為77，偶數項之和為66，a1?1，求其項數和中間項.4．若數列{an}（n?N*）是等差數列，則有數列bn?

a1?a2???an

n

（n?N*）也為

等差數列，類比上述性質，相應地：若數列{cn}是等比數列，且cn>0（n?N*），則有

d

n?

n?N*）也是等比數列．

5．設Sn和Tn分別為兩個等差數列的前n項和，若對任意n?N，都有則第一個數列的第11項與第二個數列的第11項的比是．說明：

anbn

?S2n?1T2n?1

*

SnTn

?

7n?14n?27，．

四：課后練習

1基礎部分

1已知各項均為正數的等差數列?an?中，a1?a11?36，則a6的最小值為（）

A、4B、5C、6D、7

2.已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為（）

A.3B.4C.5D.23.等差數列{an}中，a1?3a8?a15?120,則2a9?a10?

（）

A．24 B．22 C．20 D．-8

4{an}是等差數列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n項和Sn>0成立的最大自然數n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016

5.在等差數列{an}中,前n項和為Sn,若a7?5,S7?21,那么S10等于（）

A．55 B．40 C．35 D．70

6.(2009山東卷文)在等差數列{an}中,a3?7,a5?a2?6,則a6?____________.7設Sn是等差數列?an?的前n項和，已知S6?36,Sn?324,Sn?6?144,則n=__________.S2007

?S2005200

5?2

?a?Sa??20088在等差數列n中，1，其前n項的和為n．若2007

S2008?_________，則

2提高部分

1、（2010惠州 第三次調研理 4）等差數列{an}的前n項和為Sn,若a2?a8?a11?30，那

么S13值的是（）A．130

B．6

5C．70D．以上都不對

2．（2010揭陽市一模 理4）數列{an}是公差不為0的等差數列，且a1,a3,a7為等比數列{bn}的連續三項，則數列{bn}的公比為

A

B．4C．2D．

3、(2009安徽卷文 2）已知{an}為等差數列，于A.-1

12，則

B.1C.3D.7

等

4.（2009江西卷文）公差不為零的等差數列{an}的前n項和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項, S8?32,則S10等于

A.18B.24C.60D.90

5．（2011佛山一檢）在等差數列?an?中，首項a1?0,公差d?0，若

ak?a1?a2?a3???a7，則k?()

A．22 B．23 C．24D．25

6.（2010全國卷1文）（4）已知各項均為正數的等比數列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則

aaa=

(A)

7.（2010湖北文）7.已知等比數列{am}中，各項都是正數，且a1，則

a9?a10a7?

a8

?A.1?

a3,2a2成等差數列，B.1?

C.3?

D3?

8（2010福建理）3．設等差數列?an?的前n項和為Sn,若a1??11,a4?a6??6,則當Sn取最小值時,n等于

A．6

B．7

C．8

D．9

9.（廣東省佛山市順德區2010年4月普通高中畢業班質量檢測試題理科）在等比數列{an}中，若a1a2a3?2，a2a3a4?16, 則公比q?10．（2010年3月廣東省廣州市高三一模數學理科試題）在等比數列?an?中，a1?1，公比

q?2，若?an?前n項和Sn?127，則n的值為．

11．(2010年3月廣東省深圳市高三年級第一次調研考試理科)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S9?81，則a2?a5?a8?．

12．若Sn和Tn分別表示數列{an}和{bn}的前n項和，對任意自然數n，有an??

2n?32

*，（1）求數列{bn}的通項公式；（2）設集合A?{x|x?2an,n?N}，4Tn?12Sn?13n，B?{y|y?4bn,n?N}．若等差數列{cn}任一項cn?A?B,c1是A?B中的最大數，且

*

?265?c10??125，求{cn}的通項公式．

第三篇：類比探究等差數列和等比數列的性質

類比探究等差數列和等比數列的性質

上海市桐柏高級中學李淑艷 馬莉

上海市普陀區教育學院劉達

一、案例背景

本課的教學內容是上海市高中課本《數學》（華東師范大學出版社）高中二年級第二學期《數列與數學歸納法》章節的數列性質探究課。

上海市《中小學數學課程標準（試行稿）》提出：普通中小學課程的基本觀念是以學生發展為本，堅持全體學生的全面發展，關注學生個性的健康發展和可持續發展。并指出：“關注學生學習的過程，通過創設學習情境，開發實踐環節和拓寬學習渠道，幫助學生在學習過程中體驗、感悟、建構并豐富學習經驗，實現知識傳承、能力發展、積極情感形成的統一”。在顧泠沅博士的“三個階段、二次反思、行動跟進”的行動教育研究模式下。本課例從“背景研究”，“教學實踐”和“評價反思”，都是在“以學定教”原則的基礎上的。從教材體系來看，等比數列概念的學習就滲透類比的研究方法，鑒于學生的實際水平及樂于思考新問題的特點，我們設置了有一定層次的供類比的數列問題，同時也對學生學習過程可能出現的情況進行了預測。同時根據學生目前現狀，以及教材內容收集、整理、提煉利用類比的思想方法，研究數列中問題等有關素材，在自我理解的層面上設計教學目標、教學思路及手段、教學過程，先進行第一次教學嘗試，然后進行反思；再請專家、教研員、教研組長、全體組員在聽取本人的設計初衷及反思后進行全方位的再設計與指導，而后開設公開課進行教研，在系統評價的基礎上，再進行第二次實踐；第三次看目標的達成度與教師理念的轉變、教學經驗與教訓的總結。我們就是按照這種“行動教育”模式開展課堂教學研究的。

二、目標分析

本課教學目標的確定圍繞著“類比——發現——自悟”的研究性學習課堂教學模式。探索如何運用研究性學習的學習模式在《等差數列和等比數列的性質探究》教學中融合類比的本課希望通過“類比——發現——自悟”的教學模式，引導學生體會類比在數學教學中的三個維度：“一維——知識結構上的類比；二維——證明方法上的類比；三維——學生自主的理性思想方法的類比。”

三、教學流程

首先通過科學事實——魯班造鋸的典故引入類比思想，然后提出第一維問題（以回顧的通過這一回顧，學生能從“第一維”層面上開展類比學習，體會等差數列和等比數列在概念形式上的相似之處。

在基本認識了類比探究方法之后，教師通過問題提升本節探究課活動性和探究性，設置了若干性質探究的問題供學生思考。

問題1：在等差數列?an?中，若項數數列?kn?是等差數列(kn?N)，則akn仍是等差數

列。

類比：若?an?是等比數列，當?kn?(kn?N)是________數列時，akn是________數列。

問題一是在學生已掌握“數列?an?是等差數列，對?an?中下角標成等差數列的項也成等差數列”這一性質后，將“文字語言”轉化成“符號語言”，讓學生來類比等比數列中相應的性質，并加以證明。學生一方面從形式上加以類比，另一方面，從證明方法上也進行類比證明。這樣的問題，在學生理解性質后，初步體驗了發現問題并解決問題的“類比”方法。

問題一結束后，啟發引導學生如何類比并得到正確結論？經歷運用類比思想方法研究數列問題的過程。

問題2：有一位同學發現：若?an?為等差數列，則?an?1?an?也成等差數列。由此經過類比，他猜想：若?an?為等比數列，則?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數列。你認為呢？

問題二是一道開放性問題，有近85%的學生最初得到了?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數列，并有部分同學給予了“證明”。學生初步感覺到“和”與“積”的類比，“差”與“商”的類比。此時，教師再拋出一個問題：“積”為等比數列，那么“和”呢？在你證明完“積”為等比數列后能說明“和”不是等比嗎？對于這一問題，學生根據前面兩個問題的解決已經隱約體驗到類比不但是形式上的模仿，其證明方法、考慮角度也可進行類比，說明這種思考問題的方法已不自覺地納入他們的思維體系之中，下面是一段課堂實錄：

師：對剛才問題，同學可以得到什么結論？

生1：我判斷并證明了等比數列的“和”仍然是等比數列，且公比什q。

（師環視四周，似乎每個人都投以贊同的目光，并且頻繁點頭表示同意）。

生2：我有點不同意（全班只有他一人有不同意見），我覺得，對數列-1，1，-1，1，?這個數列來說，其和不是等比數列。（此時全班恍然，都認為是正確的）

師：我們來看一下生1的證明過程（投影儀）： ?????an?1?ana(q?1)?n?（常數）q，an?an?1an?1(q?1)

??an?1?an?是等比數列。你們看證明過程嚴密嗎？

生3：當q=－1時，他的第二步不成立。（此時同學們又都給予肯定）。

師：答得好。本來我們不知道這一反例，但在證明過程中發現了問題的存在，由此找到了反例，說明同學們在發現問題時，能夠進行大膽猜想、小心論證的嚴密的科學態度。

師：學到這里，你有什么樣的感受呢？

生4：在等差數列和等比數列的類比中，我發現除了形式上存在著類比之外，正確的要加以證明，錯誤的可以舉出反例。

生5：我感到就算是類比的結論在形式上未必一致，但證明方法有相似之處。

這番交流的過程中，學生的思維幾經“沖浪”輾轉，他們的好奇心和探索熱情已被喚起，嚴謹的數學發現歷程正在探索中內化著。

問題3：一位同學發現：若Sn是等差數列?an?的前n項和，則Sk,S2k?Sk,S3k?S2k也是等差數列。在等比數列中是否也有這樣的結論？為什么？

問題4：我們知道對于等差數列?an?，a1?a2?a3???an?na1?n(n?1)d成立。通過

2類比，嘗試發現等比數列中的相似結論并給予證明.問題三的設計和問題四是結合在一起的，設計問題三的時候考慮到學生有可能只能通過證明找到反例從而得出Sk,S2k?Sk,S3k?S2k不成等比數列的結論，而對類比的結論有困難，甚至會有同學得出Sk,S2kS3k成等比數列的結論。對于問題四，可以將問題三溝通起,SkS2k

來探索。經過討論、形式上類比、對結論進行論證。我們可以在學生最終明確結論后再回到問題三，讓同學們進一步思考并指出“Sk,S2kS3k成等比數列”的說法雖然不對，但在“類,SkS2k

比——發現”的探究過程中也有不少新的收獲。繼而提問：如何改動使得結論成立？這個過程，將“類比——發現——自悟”模式的核心——學生在思維上經過反復的類比、驗證，自我領悟并掌握類比的思想方法——完全體現在了教學過程中。

四、教學反思

第一次教學之后，在教研員、教研組長等老師的指導下，總結了以下一些不足：

1．在教學設計時，偏向于行形式上類比，盡管在形式上的類比達成度較高，但反映在數學實質上的內容偏少；

2．問題之間的聯系不是很好，問題似乎有些孤立；

3．題目偏多；

為此，教師在教學設計的調整過程中關注了這兩個方面：

1．為將“類比——發現——自悟”的模式更加清晰地在教學中體現，教師的教學設計由重形式向重思維方式轉變；

2．精選例題，設計的數學問題關注一題多變、多題環環相扣的連鎖關系，同時體現思維“嚴密性”，并且搭建腳手架，幫助學生努力實現“發現——自悟”的過程。

在公開課教學之后，聽課老師以及學科組的專家在一起再次開展了評課探討，結合教師的反思總結如下：

1．本堂課是等差數列與等比數列性質的類比，在學生經歷了類比的學習后，能夠體會：從形式上得到類比的特征，從本質上體驗思維的過程，了解類比不僅是形式上的“相似”，而是從相似中得到結論，再由論證使之成為類比。這樣的教學模式，有利于激發學生的思維，使學生在辯證中掌握類比的思想方法。

2．本堂課知識目標的達成度較好，學生能夠基本掌握類比的特征，但學習過程中教師沒有刻意地總結、引導，學生在探究過程中以體驗為主，只是學生對于“類比——發現——自悟”的探究方式仍略顯模糊，需要今后不斷嘗試采用類似地教學方法促進學生的研究性學習方式的形成。

3．教師在平時應時時具備二期課改的理念，重視學生的思維活動。比如，在問題二中，有學生提出反例：在數列-1，1，-1，1，-1，1，?中，an?1?an?0，所以?an?1?an?不是等比數列。教師應加以表揚，并緊接著提問：你是怎樣想到這個反例的，你能得出什么樣的規律？如果這位學生不能回答清楚的，可以再回顧他們的證明過程，從中尋找問題所在。這樣不但順應了學生的思維結構，而且在老師的點撥下，學生能進一步更深層次地考慮問題，從而為問題三打下伏筆。

4．在學生有困難的地方可以預先做準備工作，這樣可以使這堂課的達成度更高。比如，在問題三中，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是非常抽象的，它牽涉到子數列的問題，而且在原設計中是“數列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?,S(k?1)n?Skn是等差數列，請同學在等比數列中進行類比”，但由于證明過于抽象，學生不容易理解，因此改為上述形勢，而且考慮如果在課前能舉一些例子，滲透子數列的概念，學生理解起來也許更容易。

因此在下一堂的課中，作了如下改進：

1．在等差數列復習中，將問題2、3在等差數列中的情況進行證明，再事先將等差數列的證明打在幻燈片上，如果在課堂中學生在證明等比數列的過程中遇到困難的話，就可以把等差數列的證明顯示給他們看，從而使他們體驗到證明的方法也可以進行類比，更加凸顯類比的本質特征。事實上，在本堂課中也達到了這樣的目的，學生的掌握度也更好了。如：在證明問題3的時候，有的同學利用前n項和公式證明較為繁瑣，而有的同學很快就得出結論，她說：“證明是類比等差數列的思路和步驟，結論是類比問題二得出的。”這就充分說明她已經掌握了類比的本質，表明經歷幾次設計問題并逐步解決、探索，學生正體驗著數學思想和方法，領悟其價值，滋生應用意識。

2．因為問題2和問題3是同類型的問題，尤其是它們的證明以及在證明過程中發現反例的這一思路是相近的，所以為了提高課堂效率，這里就采取分組的方法，請兩組同學解決問題二，另兩組同學解決問題三，再進行討論總結。實施下來，時間縮短了，而且有了比較，同學的積極性也提高了，大大地提高了課堂的效率。并且把原先在上課時來不及解決的推論解決了，使得學生的思維得到延伸，而且使學生對類比的本質特征有了理性上的認識，從而達到了第三維：學生自主的理性思想的類比。

通過“類比——發現——自悟”的初步實施，學生在自主的學習和探究過程中體驗知識發生的過程，通過對產生的見解的辯論進行了思維方式的轉變，使得學習方法得到了改善，為他們今后的學習帶來了信心和嚴謹的思維方式，其效果應該說是顯見的。教師方面，我們得到的感受是：教學理念得到了很大的提升，尤其對于“類比——發現——自悟”的研究性學習課堂教學模式的初步應用的效果啟發我們在平時的教學中應多為學生創設學習氛圍和問題情境，教學設計應多從學生的認知基礎和原有的知識結構出發，幫助學生在學習過程中體驗、感悟學習經驗。另外，用先進理念和經驗指導教學，能使自己不斷加深對課改理念的理解，并逐漸內化為自身的教學風格，促進自身業務水平的提高。

參考資料：

[1] 廖哲勛：關于課堂教學案例開發的理性思考——《中學數學教學參考》2003.6

[2] 鄭毓信：《數學方法論》 廣西教育出版社1998.5

第四篇：等差、等比數列問題

等差等比數列問題

一、等差數列、等比數列基本數列問題

1．等差數列?an?，s6?36，sn?6?144，sn?324，求n的值

1）an?2an?1?1；2）an?2an?1?n?1；3）an?2an?1?n2?n?1； 4）an?2an?1?2n；5）an?2an?1?3n

1）sn?2an?1；2）sn?22n?1?n?1；3）sn?2an?1?n2?n?1； 4）sn?2an?1?2n；5）sn?2an?1?3n 2．已知數列，a?an?滿足：a＝m（m為正整數）

anA7n?5

2．已知兩個等差數列?an?和?bn?的前n項和分別為An,Bn，且n?，則使得為整數

bnn?3Bn的的正整數n個數為：

3．已知等差數列?an?，a1?a3?a5???a99?36，公差d??2，求s100的值。

4、已知等差數列?an?的第2項為8，前10項和為185。1）求?an?的通項公式；2）若數列依次取出a2,a4,a8,?,a2n

n?1

?an?中

?an當a為偶數時

?n，若a6＝1，則m所有??2

當an為奇數時??3an?1

?得到新數列?bn?，求數列?bn?的通項公式。

可能的取值為

四、數列與其它

1.已知數列?an?的通項公式an?n??n?N??，則數列?an?的前30項中，最大項和最小項分別

n?是

2．已知數列?an?是遞增數列，且an?n2??n，則實數3.（Ⅰ）設

4．設等比數列?an?的公比為q（q>0），它的前n項和為40，前2n項和為3280，且前前n項中數值最大的項為27，求數列的第前2n項。

5．已知數列?an?的首項為23，公差為整數，且前6項為正，從第7項起為負數，求Sn的最大值。

?范圍是

an為正整數，6．數列{an}為等差數列，其前n項和為Sn，數列{bn}為等比數列，且a1

數列{ban}是公比為64的等比數列，b2S2?64.（1）求an,bn；（2）求證1?1???1?3.S1S2Sn

4二、數列思想問題

1．數列?an?的前n項和Sn，又bn2．求和sn?

?3,b1?1，a1,a2,??,an是各項均不為零的等差數列（n?4），且公差d?0，若將此數列刪

a1的數值；②求n的所有可d

去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：①當n =4時，求

能值；

（Ⅱ）求證：對于一個給定的正整數n(n≥4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數列

?an

b1,b2,??,bn，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列．，求?bn?的前n項和

123n?2?3???n aaaa

3．等差數列?an?和等比?bn?，求數列?an?bn?的前n項和 4．1?1?1???

1*2

2*3

3*4

?n?1??n 12?13?24?3

??????

n*n?11*22*33*4n*n?15．已知數列?an?滿足a1?2a2?3a3???nan?n?n?1?，求數列?an?的通項公式

三、復合數列問題

1、已知數列?an?滿足下列條件，且a1?1，求數列?an?的通項公式

第五篇：等差、等比數列子數列性質的探究

等差、等比數列的子數列探究

【教學目標】

經歷等差數列與等比數列子數列的性質的研究過程，體驗“歸納——猜想——論證”的數學發現的科學方法；體會從特殊到一般、類比等數學思想，獲得數學發現與研究的樂趣。

【教學重點】

歸納-猜想-論證、從特殊到一般、類比等數學思想方法的體驗與認識。

【教學難點】

“歸納——猜想——論證”等數學數學思想方法的習得。

【教材分析】

前段時間，高三學生已經進行了數列的系統復習，掌握了等差、等比數列的定義與應用；學習了解決數列問題的“基本量法”、“類比”、“歸納、猜想、論證”等數學思想方法，本課主要通過等差、等比子數列的研究，強化數學的學習過程，加深對于數學本質的理解，規范解決數學問題的基本方法與要求，獲得數學概念學習的新的體會。

【學情分析】

從學生的認知基礎看，學生已經對于等差、等比數列有了較好的理解與認識，也能夠開展對于數學新問題的學習與研究能力；從學生的思維發展看，高三學生已經具備了一定的研究與學習有關新概念與新問題的能力。

【問題提出】

在數列研究的過程中，等差數列與等比數列是兩個十分重要的數列；我們已經研究了等差數列與等比數列的一些性質，這兩節課，我們將研究了從等差及等比數列中取出部分的項，按原來的順序組成的一個“子數列”所具有的性質；研究這些數列的的一般特征與規律。

觀察下列數列，試寫出一個符合前4項的通項公式，指出它們具有什么性質？

（1）1,2,3,4,...；

（2）2,4,6,8,...；

（3）1,3,5,7,...；

（4）1,2,4,8,...（4）5,9,13,17,...（5）2,5,8,11,...（6）1,4,16,64,...（7）5,20,80,320,...（設計意圖：學生通過從特殊到一般的歸納與猜測，獲得各數列的通項公式；指出其一般特性；體驗通項公式的猁過程，逐步獲得子數列的概念。）

【問題探究】

1）教師提問：觀察上述數列，從數列的項來看，他們間存在什么聯系嗎？

2）形成子數列定義：給定無窮數列?an?，數列?an?中任取無窮多項，不改變它們在原來數列中的先后次序，得到新的數列ak1,ak2,ak3,...,ak,...(k...1?k2?k3? n

?kn?...,k1,k2,k3,kn?N?)稱為數列?an?的一個子數列。

3）指出上述數列中子數列關系。

結論：任何一個無窮數列都存在無窮多個子數列。

問題

一、數列?an?是無窮等差數列，問：數列?an?是否存在等差的子數列？ 研究：

1、設an?a(a為常數），則任取一些項組成的數列都是等差子數列。

2、an?n中有子數列bn?2n?1,bn?2n,bn?5n等。

3、an?

1n?1中有子數列bn?3n?1,bn?n?等 2224、數列?an?是等差數列，若k1?k2?k3?...?kn?...，k1,k2,k3,kn?N?)，當ak1?t，且m的等差數列時，ak1,ak2,ak3,...,ak是數列?an?的一個首項為t，k1,k2,k3,...nk,是公差為,...,...n公差為md的等差子數列。證明：略。

方法小結：

（1）只要首項不同，公差不同就可以確定不同的等差子數列。

（2）從具體的例子中小結出如何尋找等差子數列，以及子數列的公差和原數列的公差之間的關系，從而得出結論：

1）2）

等差數列中下標成等差數列（公差為k）的項仍然成等差數列。新的等差數列的公差等于原等差數列的公差的k倍。

（設計意圖：研究問題的1以及2，在前面已經解決過，只是讓學生通過復習，加深對于子數列的理

解；問題3的解決，是為歸納猜想作必要的準備；問題的證明，是為了規范學生的表達形式。）

問題

二、數列?an?是等比數列，問：數列?an?是否存在等比的子數列？

1、設an?a(a為常數），則任取一些項組成的數列都是等比子數列。

2、an?2n中有子數列bn?22n?1和bn?25n等。

3、an?2?()

n?

1中有子數列bn?2?()等。

n4、數列?an?是等比數列，若k1?k2?k3?...?kn?...，k1,k2,k3,kn?N?)，當ak1?t，且m的等差數列時，ak1,ak2,ak3,...,akn,...是數列?an?的一個首項為t，k1,k2,k3,...nk,是公差為,...公比為qk的等比子數列。

證明結論：設?an?是等比數列，q是公比，若am,an為常數時，an

?qn?m，當n?m?kam

an

?qn?m?qk也是常數。am

方法小結：

（1）只要首項不同，公比不同就可以確定不同的等比子數列。

（2）從具體的例子中小結出如何尋找等比子數列，以及子數列的公比和原數列的公比之間的關系，從而得出結論： 1）

等比數列中下標成等差數列（公差為k）的項仍然成等比數列。

2）法。）

新的等比數列的公比等于qk。

（設計意圖：學習類比的數學思想方法；進一步體會從特殊到一般，歸納——猜想——論證的數學思想方問題

三、數列?an?是等差數列，問：數列?an?是否存在等比的子數列？

1、若an=n，求數列?an?的等比子數列？ 子數列bn=

2n?

1和bn=

3n?1

等。

（自然數列是學生最容易想到的，除了自然數列之外，其他的數列不容易想到）

2、給出一個例子一起研究。

例題1：已知：等差數列?an?，且an?3n?1。問：等差數列?an?中是否存在等比子數列?cn?？（1）寫出?an?的一些項：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，?，學生嘗試后找出結果有：

①2，8，32，128，512，?，2?4n?1;②2,14,98,686,4802, ?，2?7

n?

1;③2,20,200,2000, ?，2?10n?1;④5,20,80,320, ?，5?4n?1;⑤2,26,338, ?，2?13n?1

（2）猜想：①cn?2?4n?1；②cn?2?7n?1；③cn?2?10n?1；④cn?5?4n?1；⑤

cn?2?13n?1

（3）提問：這些猜想是否正確呢？

我們可以從兩個方面進行思考：通過演繹推理證明猜想為真，或者找出反例說明此猜想為假，從而否定或修正此猜想。（4）學生分組證明猜想

分析：2?4∵2?

4n?1

n?1的項被3除余2，從而得出利用二項式定理證明的方法。

證1：（用二項式定理）

?2?(3?1)n?1?2?(3k?1)?6k?2(k?N)，即2?4n?1除以3余2，∴?cn?是?an?的子數列。

分析 ：由前面幾項符合推廣到無窮項都符合，從而得出利用數學歸納法證明的方法。證2：（數學歸納法）

① 當n=1時，c1?2?3?1?1?a1

② 假設當n=k時，ck?22k?1?3m?1?am(m?N)，那么當n=k+1時，ck?1?

22(k?1)?1?22k?1?4?22k?1?4?(3m?1)?3?(4m?1)?1?a4m?1.由①、②得?cn?是?an?的子數列。

n?1n?

1c?2?7?2?(6?1)?3k?2,k?N;n（5）同理證明

cn?2?10n?1?2?(9?1)n?1?3k?2,k?N,cn?5?4n?1?5?(3?1)n?1?3k?2，k?N;cn?2?13n?1?2?(12?1)n?1?3k?2,k?N.（6）引申：讓學生找規律——以an中任一項為首項，以3k?1(k?N)為公比的等比數列均是該等差

數列的等比子數列

（7）小結：歸納法是從特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要進一步證明的。從歸納猜

想到論證的思維方法是我們研究數學問題常用的方法。

（8）思考：對給定的等差數列可以構造出等比數列，不確定的等差數列中是否存在等比數列？

【方法總結】

1、“歸納——猜想——論證”是數學發現的方法，從特殊到一般的數學思想方法，是研究數學問題的常用方法；

2、研究性學習，是數學思維培養的重要手段；

3、合作學習方式，是研究性學習的有效途徑。

【方法應用】

思考

1、等比數列是否存在等差子數列？請舉例說明，并研究一般規律。

思考2： 已知：數列?an?是首項a1?2,公差是d的等差數列。數列?bn?是等比數列，且

b1?a1,b2?a2。問：是否存在自然數d，使得數列?bn?是數列?an?的子數列？如存在，試求出d的一

切可能值。

思考

3、數列?an?是等比數列，問：數列?an?是否存在等差的子數列？ 分析：先取d=1，2，3，4，5，6。發現當d是奇數時，不可能。∵a2是奇數，∴公比

a2an?

1為分數，則bn?2?(2)從第三項開始就不是自然數

2取d=2，?an?：2，4，6，8，?，?bn?：2，4，8，16，?，an?2n,bn?2n,?2n是偶數，∴d=2時，數列?bn?是數列?an?的子數列，取d=4，?an?：2，6，10，14，18，?，?bn?：2，6，18，54，?，an?4n?2,bn?2?3n?1?2?(4?1)n?1?2?(4k?1)?4?2k?2(k?N)，∴d=4時，數列?bn?是數列?an?的子數列。同理d=6時，數列?bn?也是數列?an?的子數列。由此猜想當d?2m(m?N)時，數列?bn?是數列?an?的子數列。可以用二項式定理或數學歸納法證明。

證1：（用二項式定理）在?an?中，a1?2,d?2m,an2?(n?1)?2m.在?bn?中，b1=2，b2?2?2m,q?

則2?(m?1)

k?1

2?2m

?1?m,bn?2?(1?m)n?1。令bk?an(k?3), 2

1k?2

=2?(n?1)?2m.(m?1)k?1?1?(n?1)?m,mk?1?Ck??? ?1?m

?2k?21k?3?2

an?中的Ckk??Ck???Ckk?1?m?1?1?(n?1)?m，可解出n?1?m?1?m1?N,即bk為?

某一項。

證2：（數學歸納法）①當n=1時，b1?a1；②假設bk是?an?的第p項，即

2?(m?1)k?1?2?2m(p?1),則bk?1?bk(m?1)??2?2m(p?1)?(m?1)=2+

2m?m(p?1)?p?1?1?即bk?1是?an?中的第m（p-1）+p+1項。由①、②得，數列?bn?是數列?an?的子

數列。