第一篇：一輪復習等差等比數列證明練習題

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1．已知數列?an?是首項為a1?，公比q?141的等比數列，bn?2?3log1an 44(n?N*)，數列?cn?滿足cn?an?bn．

（1）求證：?bn?是等差數列；

2?an??a?2,a?a?6a?6(n?N)，n?1nn2．數列滿足1設cn?log5(an?3)．

（Ⅰ）求證：?cn?是等比數列；

*3．設數列?an?的前n項和為Sn，已知a1?2a2?3a3???nan?(n?1)Sn?2n(n?N)．（2）求證：數列?Sn?2?是等比數列； 4．數列{an}滿足a1?1,an?12n?1an?(n?N?)nan?22n（1）證明:數列{}是等差數列；

an2Sn25．數列?an?首項a1?1，前n項和Sn與an之間滿足an?(n?2)

2Sn?1（1）求證：數列??1??是等差數列

S?n?2，an?16．數列{an}滿足a1?3，an?1?（1）求證：{an?1}成等比數列； an?2*7．已知數列{an}滿足an?1?3an?4，(n?N)且a1?1，（Ⅰ）求證：數列?an?2?是等比數列；

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8． 數列{an}滿足:a1?1,n?an?1?(n?1)?an?n?(n?1),n?N*（1）證明：數列{an}是等差數列； n9．已知數列{an}的首項a1=

22an，an?1?，n=1，2，… 3an?1（1）證明：數列??1??1?是等比數列； ?an?1,Sn?n2an?n(n?1),n?1,2,L． 210．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1?（1）證明：數列??n?1?Sn?是等差數列，并求Sn； n??11．（16分）已知數列{an}的前n項和是Sn，且Sn?2an?n（1）證明：?an?1?為等比數列；

12．數列{an}滿足：a1?2,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N?)（1）記dn?an?1?an，求證：數列{dn}是等比數列；

13．已知數列{an}的相鄰兩項an，an?1是關于x方程x2?2nx?bn?0的兩根，且a1?1．（1）求證：數列{an??2n}是等比數列；

14．（本題滿分12分）已知數列{an}中，a1?5且an?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）． 13?a?1?（Ⅰ）證明：數列?nn?為等差數列；

?2?15．已知數列?an?中,a1?1,an?1?an(n?N*)an?3（1）求證:??11???是等比數列,并求?an?的通項公式an;?an2?35，a3?，且當n?2時，24?16．設數列?an?的前n項和為Sn，n??．已知a1?1，a2?4Sn?2?5Sn?8Sn?1?Sn?1．

（1）求a4的值；

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（2）證明：?an?1???1?an?為等比數列； 2?17．設數列?an?的前n項和為Sn，且首項a1?3,an?1?Sn?3n(n?N?).n(Ⅰ)求證：Sn?3是等比數列； ??18．（本小題滿分10分）已知數列?an?滿足a1??1，an?1??a?2?（1）求證：數列?n?是等比數列；

?n?(3n?3)an?4n?6,n?N*．

n

參考答案

1．（1）見解析；（2）Sn?2(3n?2)1n??()；（3）m?1或m??5 3342n?12．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）3．（1）

an?511Tn???2n.?3.；45?9（Ⅲ）a2?4,a3?8；

（2）見解析；（3）5

2nn?14．（1）詳見解析；（2）an?；（3）?2n?3?2?6

n?1?1(n?1)2?3． 5．（1）詳見解析；（2）?an??；（3）2?(n?2)3?(2n?1)(2n?3)?6．（1）證明{an?1}成等比數列的過程詳見試題解析； an?2答案第3頁，總5頁 本卷由系統自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

（2）實數t的取值范圍為7．詳見解析

8．（1）見解析；（2）Sn1?33?1． ?t?222n?1??3n?1?3? ?49．（1）詳見解析（2）Sn?2?1nn?n?1??? 2n?12n2210．（1）由Sn?n2an?n(n?1)知，當n?2時，Sn?n，即(Sn?S(n?1)?n1)?n(n2?1)Sn?n2Sn?1?n(n?1)，所以所以?n?1n1?1Sn?Sn?1?1，對n?2成立．又S1?1，nn?11n?1?n?1?Sn?1?(n?1)?1，即Sn?是首項為1，公差為1的等差數列．所以n?n?n2Sn?．

n?1（2）因為

bn?Sn1111??(?)32n?3n(n?1)(n?3)2n?1n?3，所以b1?b2?L?bn?． 11111111115115(????L????)?(??)?22435nn?2n?1n?326n?2n?312?k?18?k?6?k?411．（1）見解析；（2）解析；（3）存在，?或?或?．

m?5m?2m?18???12．（1）dn?1?2n?1（2）an?2n?1?1

?2n?12?n為偶數??3313．（1）見解析；（2）Sn??，（3）(??,1)

n?1?2?1n為奇數?3?314．（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）Sn?n?2n?1 15．（1）證明詳見解析；（2）?2???3．

7?1?16．（1）；（2）證明見解析；（3）an??2n?1????8?2?17．(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)(?9,3)?(3,??)

n?1．

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18．（1）詳見解析（2）詳見解析

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第二篇：一輪復習等差等比數列證明練習題

Fpg

1．已知數列?an?是首項為a1?，公比q?141の等比數列，bn?2?3log1an 44(n?N*)，數列?cn?滿足cn?an?bn．

（1）求證：?bn?是等差數列；

2?an??a?2,a?a?6a?6(n?N)，n?1nn2．數列滿足1設cn?log5(an?3)．

（Ⅰ）求證：?cn?是等比數列；

*3．設數列?an?の前n項和為Sn，已知a1?2a2?3a3???nan?(n?1)Sn?2n(n?N)．（2）求證：數列?Sn?2?是等比數列； 4．數列{an}滿足a1?1,an?12n?1an?(n?N?)nan?22n（1）證明:數列{}是等差數列；

an2Sn25．數列?an?首項a1?1，前n項和Sn與an之間滿足an?(n?2)

2Sn?1（1）求證：數列??1??是等差數列

S?n?2，an?16．數列{an}滿足a1?3，an?1?（1）求證：{an?1}成等比數列； an?2*7．已知數列{an}滿足an?1?3an?4，(n?N)且a1?1，（Ⅰ）求證：數列?an?2?是等比數列；

Fpg 本卷由系統自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

8． 數列{an}滿足:a1?1,n?an?1?(n?1)?an?n?(n?1),n?N*（1）證明：數列{an}是等差數列； n9．已知數列{an}の首項a1=

22an，an?1?，n=1，2，… 3an?1（1）證明：數列??1??1?是等比數列； ?an?1,Sn?n2an?n(n?1),n?1,2,L． 210．已知數列{an}の前n項和為Sn，a1?（1）證明：數列??n?1?Sn?是等差數列，并求Sn； n??11．（16分）已知數列{an}の前n項和是Sn，且Sn?2an?n（1）證明：?an?1?為等比數列；

12．數列{an}滿足：a1?2,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N?)（1）記dn?an?1?an，求證：數列{dn}是等比數列；

13．已知數列{an}の相鄰兩項an，an?1是關于x方程x2?2nx?bn?0の兩根，且a1?1．（1）求證：數列{an??2n}是等比數列；

14．（本題滿分12分）已知數列{an}中，a1?5且an?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）． 13?a?1?（Ⅰ）證明：數列?nn?為等差數列；

?2?15．已知數列?an?中,a1?1,an?1?an(n?N*)an?3（1）求證:??11???是等比數列,并求?an?の通項公式an;?an2?35，a3?，且當n?2時，24?16．設數列?an?の前n項和為Sn，n??．已知a1?1，a2?4Sn?2?5Sn?8Sn?1?Sn?1．

（1）求a4の值；

答案第2頁，總5頁

Fpg（2）證明：?an?1???1?an?為等比數列； 2?17．設數列?an?の前n項和為Sn，且首項a1?3,an?1?Sn?3n(n?N?).n(Ⅰ)求證：Sn?3是等比數列； ??18．（本小題滿分10分）已知數列?an?滿足a1??1，an?1??a?2?（1）求證：數列?n?是等比數列；

?n?(3n?3)an?4n?6,n?N*．

n

參考答案

1．（1）見解析；（2）Sn?2(3n?2)1n??()；（3）m?1或m??5 334n?12a?5n2．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

11Tn???2n.?3.；45?9（Ⅲ）3．（1）a2?4,a3?8；

（2）見解析；（3）5

2nn?14．（1）詳見解析；（2）an?；（3）?2n?3?2?6

n?1?1(n?1)2?3． 5．（1）詳見解析；（2）?an??；（3）2?(n?2)3?(2n?1)(2n?3)?6．（1）證明{an?1}成等比數列の過程詳見試題解析； an?2Fpg 本卷由系統自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

（2）實數tの取值范圍為7．詳見解析

8．（1）見解析；（2）Sn1?33?1． ?t?222n?1??3n?1?3? ?49．（1）詳見解析（2）Sn?2?1nn?n?1??? 2n?12n2210．（1）由Sn?n2an?n(n?1)知，當n?2時，Sn?n，即(S(n?1)n?S?n1)?n(n2?1)Sn?n2Sn?1?n(n?1)，所以所以?n?1n1?1Sn?Sn?1?1，對n?2成立．又S1?1，nn?11n?1?n?1?Sn?1?(n?1)?1，即Sn?是首項為1，公差為1の等差數列．所以n?n?n2Sn?．

n?1（2）因為

bn?Sn1111??(?)32n?3n(n?1)(n?3)2n?1n?3，所以b1?b2?L?bn?． 11111111115115(????L????)?(??)?22435nn?2n?1n?326n?2n?312?k?18?k?6?k?411．（1）見解析；（2）解析；（3）存在，?或?或?．

m?5m?2m?18???12．（1）dn?1?2n?1（2）an?2n?1?1

?2n?12?n為偶數??3313．（1）見解析；（2）Sn??，（3）(??,1)

n?1?2?1n為奇數?3?314．（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）Sn?n?2n?1 15．（1）證明詳見解析；（2）?2???3．

7?1?16．（1）；（2）證明見解析；（3）an??2n?1????8?2?17．(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)(?9,3)?(3,??)

n?1．

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Fpg 18．（1）詳見解析（2）詳見解析

Fpg

第三篇：等差等比數列綜合練習題

等差數列等比數列綜合練習題

一．選擇題

1.已知an?1?an?3?0，則數列?an?是（）

A.遞增數列 B.遞減數列 C.常數列 D.擺動數列 2.等比數列{an}中，首項a1?8，公比q?，那么它的前5項的和S5的值是（）A．31333537

B．

C．

D． 2222123.設Sn是等差數列{an}的前n項和，若S7=35，則a4=()A.8 B.7

C.6

D.5 4.等差數列{an}中，a1?3a8?a15?120,則2a9?a10?（）A．24 B．22

C．20

D．-8 5.數列?an?的通項公式為an?3n2?28n，則數列?an?各項中最小項是（）A.b7?a7,則b6b8?（）A.2

B.4

C.8

D.16 10.已知等差數列?an?中, an?0,若m?1且am?1?am?1?am2?0,S2m?1?38,則m等于

A.38

B.20

C.10

D.9 11.已知sn是等差數列?an?(n?N*)的前n項和,且s6?s7?s5,下列結論中不正確的是（）A.d<0

B.s11?0

C.s12?0

D.s13?0 12.等差數列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比數列，則

a4的值是（）a1 A．1

B．2

C．3

D．4

二．填空題

13．已知{an}為等差數列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________ 14.在等比數列{an}中，a2?a8?16，則a5=__________ 15．在等差數列{an}中，若a7＝m，a14＝n，則a21＝__________ 16.若數列?xn?滿足lgxn?1?1?lgxn?n?N??,且x1?x2???x100?100,則lg?x101?x102???x200??________ 17.等差數列{an}的前n項和為Sn,若a3+a17=10,則S19的值_________ 18.已知等比數列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于_________

三.解答題

19.設三個數a，b，c成等差數列，其和為6，又a，b，c?1成等比數列，求此三個數.20.已知數列?an?中，a1?1,an?2an?1?3，求此數列的通項公式.2an??s?5n?3n,求它的前3項，并求它21.設等差數列的前n項和公式是n的通項公式.22.已知等比數列?an?的前n項和記為Sn,，S10=10，

S30=70，求S40

第四篇：等差等比數列的證明

專題：等差（等比）數列的證明

1.已知數列{a}中，anan1?5且?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）.?an?1?（Ⅰ）證明：數列?2n?為等差數列；（Ⅱ）求數列{an}的前n??

項和S.n

2.已知數列{a}中，an1?2且an?1?an?2n?3?0（n?2且n?N*）.證明：數列?an?2n?為等差數列；

3.已知數列{a}中，an1?4且2an?1?an?2n?5?0（n?2且n?N*）.證明：數列?an?2n?1?為等比數列；

4．數列{an}滿足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an.（1）求證：數列{an?1?an}是等比數列；（2）求數列{an}的通項公式；

5.已知各項均為正數的數列?an?前n項和為

1a且n是和S2Sn，首項為a1，n的等差中項.求數列?a?的通項公式； n

6.已知數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)設bn＝an－1，求證：數列{bn}是等比數列； 7.設數列?an?的各項都是正數，且對任意

n?N*，都有

a?a?a????????a?S

為數列的前n項和.3132333n2n，其中S

n

（I）求證：

a?2Sn?an;

n

（II）求數列?an?的通項公式；

8.數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)設bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數列；（2）.證明數列{n－2}

是等差數列

(3)設cn＝

9.已知正項數列{an}的前n項和Sn滿足 2Sn＝an＋1.求證：{an}是等差數列．

10.設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a{cn}是等比數列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求證：數列{an}為等差數列,并求{an}的通項公式；

(2)求數列{的前n項和Tn，an·an+1

11.設Sn是數列{an}（n?N*）的前n項和，已知a1?4，an?1?Sn?3n，設bn?Sn?3n.（Ⅰ）證明：數列{bn}是等比數列，并求數列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn

12.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1?，an＋2SnSn?1＝0(n?2)． 問：數列{1是否為等差數列？并證明你的結論；

Sn

?2log2bn?

n

?2，求數列{cn}的前n項和Tn.bn

13.已知等差數列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2?14x?45?0的兩根，數列{bn}的前n項的和為Sn，且Sn=

an·bn。求數列{an}，{bn}的通項公式；

1?bn

(n∈N*),Cn=

14.已知數列{an}與{bn}滿足

n1

3＋?－1?

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

設cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明{cn}是等比數列

15.已知在正項數列{an}中，a1＝2，點An(an，an＋1)在雙曲線y－x＝1上，數列{bn}中，點(bn，Tn)在直線y＝－x＋1上，其

中Tn是數列{bn}的前n項和．

(1)求數列{an}的通項公式；(2)求證：數列{bn}是等比數列；

第五篇：等差與等比數列綜合專題練習題

1．數列{an}是等差數列，若

值時，n＝()A．11a＜－1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當Sn取得最小正a10

anB．17C．19D．21 2.已知公差大于0的等差數列{

求數列{an}的通項公式an． }滿足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比數列，3.已知△ABC中，三內角A、B、C的度數成等差數列，邊a、b、c依次成等比數列．求證：△ABC是等邊三角形．

4.設無窮等差數列{an}的前n項和為Sn．是否存在實數k，使4Sn＝(k＋an)2對一切正整數n成立？若存在，求出k的值，并求相應數列的通項公式；若不存在，說明理由．

答：存在k＝0，an＝0或k＝1，an＝2n－1適合題意．

5.設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn=nan﹣2n(n﹣1)，(n∈N*)(Ⅰ)求證數列{an}為等差數列，并寫出通項公式；(Ⅱ)是否存在自然數n，使得S1?S22?S3

3???Sn

n?400?

若存在，求出n的值；若不存在，說明理由；

6．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求數列{an}的通項公式；

a(2)設bnm、k(k>m≥2，m，k∈N*)，使得b1、bm、bk成等比數列？若存在，an＋1

求出所有符合條件的m、k的值；若不存在，請說明理由．

?2a1＋9d＝11?a1＝1，??解：(1)設等差數列{an}的公差為d，即?，解得?所以an＝a1＋(n－1)d???2a1＋19d＝21?d＝1.**2＝n(n∈N)．(2)假設存在m、k(k>m≥2，m，k∈N)，使得b1、bm、bk成等比數列，則bm＝

an1mkm21kb1bk.因為bn＝，所以b1＝，bm＝，bk＝所以(＝×.整理，22k＋1an＋1n＋1m＋1k＋1m＋1

2m2

得k＝－m＋2m＋1

以下給出求m、k的方法：因為k>0，所以－m2＋2m＋1>0，解得1－2

已知二次函數y＝f(x)的圖象經過坐標原點，其導函數為f(x)＝3x2－2x,.數列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖象上

3m(1)求數列{an}的通項公式；(2)設bn＝，Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn<對所20anan＋1

有n∈N*都成立的最小正整數m.17．已知點(1是函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象上一點，等比數列{an}的前n項和為f(n)3

－c，數列{bn}的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1Sn＋Sn＋1(n≥2)．(1)求數列{an}

11000和{bn}的通項公式；(2)若數列{前n項和為Tn，問Tn>n是多少？ 2009bnbn＋1

8.已知定義域為R的二次函數f(x)的最小值為0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直線g(x)＝4(x－1)的圖象被f(x)的圖象截得的弦長為4，數列{an}滿足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0

*(n∈N)．(1)求函數f(x)的解析式；(2)求數列{an}的通項公式；(3)設bn＝3f(an)－g(an＋1),求數列{bn}的最值及相應的n.