第一篇：等差與等比數列的應用

等差與等比數列的應用

廣東省深圳中學 黃文輝

一、教學內容及解析

結合《考試說明》和近幾年的高考數列真題，高考對數列的考查主要是從兩個角度：（1）考查等差、等比數列的基本量，基本的求和；（2）利用等差、等比數列來研究一般的數列問題．

等差等比數列既是一個重要的考點，也是研究其它數列問題的一個重要的模型，碰到一般的數列問題，我們的基本策略是轉化為等差等比數列問題，利用等差等比數列的模型來處理，這既體現了化歸與轉化的數學思想方法，也滲透了數學建模的核心素養．

二、教學目標及目標解析 1．教學目標

（1）讓學生掌握如何合理的構建函數方程模型；（2）讓學生體會數列是特殊的函數；

（3）通過轉化問題的過程，培養學生構建模型解決問題的意識． 2．目標解析

（1）理解等差、等比數列的基本特征，并利用其特征來研究對應數列問題；（2）利用等差、等比數列的模型來發現規律并表達規律；

（3）在應用等差、等比模型解決數列問題過程中，滲透了化歸與轉化的數學方法，并體現了數學建模的核心素養．

基于上述分析，本節課的教學重點定為：利用等差、等比數列解決一般數列問題．

三、教學問題診斷

1．學生對等差、等比的基本特征不清楚，導致解題方向不明確，缺乏化歸的目標； 2．學生不能夠很好的體會“用等差等比數列模型來發現規律并表達規律”，不能把較為復雜的數列用等差等比數列進行解構．

基于上述分析，本節課的教學難點定為：利用等差、等比數列模型解決一般數列問題．

四、教學支持條件

1．等差、等比的定義，通項公式，求和公式等準備知識； 2．指數型函數與二次函數的圖象．

五、教學過程與設計(一)基于等差、等比數列“函數特征”的應用

例1． 等差數列{an}的公差d?0，an?R，前n項和為Sn，則對正整數m，下列四個結論中正確的是

（1）Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等差數列，也可能成等比數列；（2）Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等差數列，但不可能成等比數列；（3）Sm,S2m,S3m可能成等比數列，但不可能成等差數列；（4）Sm,S2m,S3m不可能成等比數列，也不可能成等差數列．

A．（1）（3）

B．（1）（4）

C．（2）（3）

D．（2）（4）解：法一：（3）若Sm,S2m,S3m成等比數列，則S2m?Sm?S3m，因為S2m?2Sm?md，S3m?3Sm?3md，所以原問題轉化為：存在d?0，使得關于Sm的方程：(2Sm?md)?Sm(3Sm?3md)有解，222因為(2Sm?md)?Sm(3Sm?3md)可轉化為：(Sm?222222122342md)?md?0，24因為當d?0時，(Sm?22122342md)?md?0恒成立，242故方程(2Sm?md)?Sm(3Sm?3md)無解，所以Sm,S2m,S3m不可能成等比數列； 即關于m的方程：m2d2?0有解，因為d?0，所以此方程無解，故Sm,S2m,S3m不可能成等比數列；

（4）若Sm,S2m,S3m成等差數列，則2S2m?Sm?S3m，因為S2m?2Sm?md，S3m?3Sm?3md，所以原問題轉化為：存在d?0，使得關于m的方程：2(2Sm?md)?Sm?(3Sm?3md)2222有解，即關于m的方程：m2d2?0有解，因為d?0，所以此方程無解，故Sm,S2m,S3m不可能成等差數列；

解法二：（3）Sm,S2m,S3m可能成等比數列，則點(m,Sm),(2m,S2m),(3m,S3m)分布在指數型曲線y?p?qx上，又因為等差數列的前n項和是落在函數y?ax2?bx對應的曲線上，因為，當x?0時，兩曲線最多只有兩個公共點，故Sm,S2m,S3m不可能成等比數列； 同理，Sm,S2m,S3m不可能成等差數列.練習1．設等差數列{an}的前n項和為Sn，Sm?1??2，Sm?0，Sm?1?3，則m? A．3

B．4

C．5

D．6

【設計意圖】利用等差等比數列的函數特征來研究數列問題，充分體現了數列是特殊的函數．

(二)基于等差、等比“通項公式”的應用

例2．已知數列{an}滿足：a1?1，an?1?2an?1，求an． 練習2． 若a1?b1，a1?b1?2，an＋1?bn?1a?1，bn＋1?n，求an，bn.22【設計意圖】把遞推公式化歸為等差型或等比型數例進行研究，充分體現等差等比數列通項公式的推導方法的應用．

(三)基于等差、等比“求和公式”的應用 例3．已知數列{an}滿足a1?1，an?1?3an?1．(I)證明{an?}是等比數列，并求{an}的通項公式； 121113???????．(II)證明a1a2an2解：（Ⅰ）證明：∵an?1?3an?1，∴an?1?11?3(an?)，2212?3，又a?1?3，即：1122(an?)213∴{an?}是以為首項，3為公比的等比數列．

22an?1?13n?13n?1 ∴an???3，即an?2221213n?1??(n?N*)，（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知an?，∴nn?1a3?132n11?()n1111113?3[1?(1)n]?3，??????1??2?????n?∴?1a1a2an3332321?3故：1113???????.a1a2an2【設計意圖】利用無窮遞縮等比數列的求和公式的特點進行替換，充分體現模型的價值．

(四)基于等差等比“模型”的應用

例4．已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是是20，21，22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數N：N?100且該數列的前N項和為2的整數冪．

A．440 B．330

C．220

D．110

解：由題意得，數列如下：

1,1,2,1,2,4,?1,2,4,?,2k?1?該數列的前k行的項數之和為1?2???k?則該數列的前

k(k?1)2k(k?1)項和為： 2?k(k?1)?k?1k?1S???1?(1?2)???(1?2???2)?2?k?2，?2?上面求和中的第k項為1?2???2k?11?2k??2k?1 1?2所以可以看成是求數列{2k?1}的前k項和，即

?k(k?1)?k?1123kS???1?(1?2)???(1?2???2)?2?1?2?1?2?1???2?1 ?2??(2?22???2k)?k?2k?1?k?2

要使k(k?1)?100，有k?14，此時k?2?2k?1，所以k?2是第k?1組等比數列21,2,?,2k的部分和，設k?2?1?2???2t?1?2t?1，所以k?2t?3?14，則t?5，此時k?25?3?29，所以對應滿足條件的最小整數N?

練習3．數列{an}滿足an?1?(?1)an?2n?1，則{an}的前60項和為

． 解：由an?1?(?1)an?2n?1得，nn29?30?5?440，故選A.2an?2?(?1)nan?1?2n?1?(?1)n[(?1)n?1an?2n?1]?2n?1??an?(?1)n(2n?1)?2n?1，）?2n?1，也有an?3?an?1??(?1)（2n?1）?2n?3，兩式相即an?2?an?(?1)（2n?1n加得an?an?1?an?2?an?3??2(?1)?4n?4，設k為整數，nn則a4k?1?a4k?2?a4k?3?a4k?4??2(?1)于是S60?4k?1?4(4k?1)?4?16k?`10，14K?0?(a144k?1?a4k?2?a4k?3?a4k?4)??(16k?`10)?1830

K?0 【設計意圖】通過等差、等比數列來表達規律，把一般的數列問題轉化為一些子數列問題．

第二篇：等差、等比數列問題

等差等比數列問題

一、等差數列、等比數列基本數列問題

1．等差數列?an?，s6?36，sn?6?144，sn?324，求n的值

1）an?2an?1?1；2）an?2an?1?n?1；3）an?2an?1?n2?n?1； 4）an?2an?1?2n；5）an?2an?1?3n

1）sn?2an?1；2）sn?22n?1?n?1；3）sn?2an?1?n2?n?1； 4）sn?2an?1?2n；5）sn?2an?1?3n 2．已知數列，a?an?滿足：a＝m（m為正整數）

anA7n?5

2．已知兩個等差數列?an?和?bn?的前n項和分別為An,Bn，且n?，則使得為整數

bnn?3Bn的的正整數n個數為：

3．已知等差數列?an?，a1?a3?a5???a99?36，公差d??2，求s100的值。

4、已知等差數列?an?的第2項為8，前10項和為185。1）求?an?的通項公式；2）若數列依次取出a2,a4,a8,?,a2n

n?1

?an?中

?an當a為偶數時

?n，若a6＝1，則m所有??2

當an為奇數時??3an?1

?得到新數列?bn?，求數列?bn?的通項公式。

可能的取值為

四、數列與其它

1.已知數列?an?的通項公式an?n??n?N??，則數列?an?的前30項中，最大項和最小項分別

n?是

2．已知數列?an?是遞增數列，且an?n2??n，則實數3.（Ⅰ）設

4．設等比數列?an?的公比為q（q>0），它的前n項和為40，前2n項和為3280，且前前n項中數值最大的項為27，求數列的第前2n項。

5．已知數列?an?的首項為23，公差為整數，且前6項為正，從第7項起為負數，求Sn的最大值。

?范圍是

an為正整數，6．數列{an}為等差數列，其前n項和為Sn，數列{bn}為等比數列，且a1

數列{ban}是公比為64的等比數列，b2S2?64.（1）求an,bn；（2）求證1?1???1?3.S1S2Sn

4二、數列思想問題

1．數列?an?的前n項和Sn，又bn2．求和sn?

?3,b1?1，a1,a2,??,an是各項均不為零的等差數列（n?4），且公差d?0，若將此數列刪

a1的數值；②求n的所有可d

去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：①當n =4時，求

能值；

（Ⅱ）求證：對于一個給定的正整數n(n≥4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數列

?an

b1,b2,??,bn，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列．，求?bn?的前n項和

123n?2?3???n aaaa

3．等差數列?an?和等比?bn?，求數列?an?bn?的前n項和 4．1?1?1???

1*2

2*3

3*4

?n?1??n 12?13?24?3

??????

n*n?11*22*33*4n*n?15．已知數列?an?滿足a1?2a2?3a3???nan?n?n?1?，求數列?an?的通項公式

三、復合數列問題

1、已知數列?an?滿足下列條件，且a1?1，求數列?an?的通項公式

第三篇：等差與等比數列綜合專題練習題

1．數列{an}是等差數列，若

值時，n＝()A．11a＜－1，且它的前n項和Sn有最大值，那么當Sn取得最小正a10

anB．17C．19D．21 2.已知公差大于0的等差數列{

求數列{an}的通項公式an． }滿足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比數列，3.已知△ABC中，三內角A、B、C的度數成等差數列，邊a、b、c依次成等比數列．求證：△ABC是等邊三角形．

4.設無窮等差數列{an}的前n項和為Sn．是否存在實數k，使4Sn＝(k＋an)2對一切正整數n成立？若存在，求出k的值，并求相應數列的通項公式；若不存在，說明理由．

答：存在k＝0，an＝0或k＝1，an＝2n－1適合題意．

5.設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn=nan﹣2n(n﹣1)，(n∈N*)(Ⅰ)求證數列{an}為等差數列，并寫出通項公式；(Ⅱ)是否存在自然數n，使得S1?S22?S3

3???Sn

n?400?

若存在，求出n的值；若不存在，說明理由；

6．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求數列{an}的通項公式；

a(2)設bnm、k(k>m≥2，m，k∈N*)，使得b1、bm、bk成等比數列？若存在，an＋1

求出所有符合條件的m、k的值；若不存在，請說明理由．

?2a1＋9d＝11?a1＝1，??解：(1)設等差數列{an}的公差為d，即?，解得?所以an＝a1＋(n－1)d???2a1＋19d＝21?d＝1.**2＝n(n∈N)．(2)假設存在m、k(k>m≥2，m，k∈N)，使得b1、bm、bk成等比數列，則bm＝

an1mkm21kb1bk.因為bn＝，所以b1＝，bm＝，bk＝所以(＝×.整理，22k＋1an＋1n＋1m＋1k＋1m＋1

2m2

得k＝－m＋2m＋1

以下給出求m、k的方法：因為k>0，所以－m2＋2m＋1>0，解得1－2

已知二次函數y＝f(x)的圖象經過坐標原點，其導函數為f(x)＝3x2－2x,.數列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖象上

3m(1)求數列{an}的通項公式；(2)設bn＝，Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn<對所20anan＋1

有n∈N*都成立的最小正整數m.17．已知點(1是函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象上一點，等比數列{an}的前n項和為f(n)3

－c，數列{bn}的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1Sn＋Sn＋1(n≥2)．(1)求數列{an}

11000和{bn}的通項公式；(2)若數列{前n項和為Tn，問Tn>n是多少？ 2009bnbn＋1

8.已知定義域為R的二次函數f(x)的最小值為0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直線g(x)＝4(x－1)的圖象被f(x)的圖象截得的弦長為4，數列{an}滿足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0

*(n∈N)．(1)求函數f(x)的解析式；(2)求數列{an}的通項公式；(3)設bn＝3f(an)－g(an＋1),求數列{bn}的最值及相應的n.

第四篇：等差等比數列下標性質及應用

等差等比數列下標性質及應用

戎國華

一． 教學目標：

（一）知識與技能：等比等差數列的下標性質；

比數列的下標性質及其推導?教學目標：掌握等差等??方法?

（二）過程能力與方法學生的猜想能力?能力訓練：進一步培養?教學重點：等差等比數列的下標性質??列下標性質的靈活應用與實際應用?教學難點：等比等差數

（三）態度情感與價值觀：培養學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創新意識；通過對等差等比數列的研究，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點

（四）教學模式：多媒體，師生互動

一.新課引入等差數列?an?中,a1?a5與a2?a4的關系？答：a1?a5=a2?a4等差數列?an?中,a3?a8與a5?a6的關系？答：a3?a8=a5?a6二.等差數列下標性質：1.等差數列?an?中,有am,an,ap,aqam?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(m?n?2)d??證明：am?an?a?(m?1)d?a?(n?1)d?2a??(m?n?2)d??ap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d?證明：??qa?am?anp?ap?qa?a?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d???am?an?ap?aq2.(變形)等差數列?an?中,有am,an,ap ,a3?a6與a2?a7的關系？ 等比數列an中

答：a3?a6=a2?a7 等比數列an中,a2?a10與a5?a7的關系？

答：a2?a10=a5?a7

三.等比數列下標性質： ,有am,an,ap,aq 1.等比數列an中

am?an?a1qm?1?a1qn?1?a12qm?n?2?? 證明：p?1q?12p?q?2?a?a?aq?aq?a ?pq111q? ?a?a?a?amnpq,有am,an,ap 2.(變形)等比數列an中

四.例題選講：

1.設an為等差數列 例（1）若a2?a3?a10?a11?2006,求a6?a7

解：a???a?aa??a6a?a? 解：aa?a2aa?aa?20062006??7a?S22310?11?（67）2310116?7）610例（.a1）等差數列aa,7求n中，4?a15?18 解：(a1??a2a??aa?a19??aa203?a）?54解：(a?((aa18?a))??（3（aa?）?543))1a20例2（.1）等差數列a中，a?a?10,求Sn41518 18(a??a))a?a20解：(a1?a2a20(((a?a?)?3a?a）?54解：(a?a??a?a?aa)??（3（a?a）?541a1813))181920120 ?S??10(aa)??S??9(a?a)?90：20***8(aa??aa))20(S20?910(a1??aa)??90??S18??111820?(a4解：20)15 22（2）等差數列an中，a5?7,求S9

2）等差數列an中，a5?7,求S9（9((a?a9)9((22aa55))9a11?9解：S??99?63解：S???aa 9955?6322?a?a?...?a?p,29((a?a9)中9,(22a55a9a(a))23.等差數列若11?a9n12?63310 例解：S???99解：S?aa99?55?63222 a?a?a2?...?a?q，求a21?a22?a23?...?a30？11121320

解：a?a?a?...?a?q?q????????????????????21222330

(1)a1?a2?a3?................?an?(1)a1?a2?a3?................?an?? 思考:等差數列?an?中，(2)an?1?an?2?an?3?........?a2n??(2)an?1?an?2?an?3?........?a2n? 思考:等差數列an?中，?(3)a?a?a?....?a?2n?12n?22n?33n(3)a2n?1?a2n?2?a2n?3?....?a3n???S,S?S,S?S ?Snn,S22nn?Snn,S33nn?S22nn

等差數列a中,a?0,d?0,若S?S,則n為多少時前n項和Sn有n1917 最大值？

解：S?SS?aa?aa11?a?a?a??aa??a16?aa?00?a?a?a?a?a?a?00解：SS?a?aa?a?9?17?10?1112******17解：?S?a??a?a?a?a?a??9***516***314151617 ?4a(a?aa)??00??aa13?a?0?a??0是最后一個正數項?aa?00?a?0是最后一個正數項是最后一個正數項?44(?))?a?0?a01314131413?(a?a?0??a?0是最后一個正數項例（）一個項數為5.136項的等差數列的前四項和為，末四項和為67，13141314?1313141413 1314131413例4.一個等差數列S=396,前四項和為21，末四項和為67，21?a10?a11?a12?a13?a14?a15?a16?a17n?0解：?S13S9?S17?a10?a11?a12?a13?a14?a15?a16?a17?0 ?S?S1313n?13求S求項數?0?a13?a14?03613?0是最后一個正數項 ?a?4(a13?aa13?0是最后一個正數項14)?0?a13?a14?0?練習：已知等比數列a解：a?a?a?a?21,a?a?aan??2167例（）一個項數為5.136項的等差數列的前四項和為21，末四項和為67，解：例（）一個項數為5.136項的等差數列的前四項和為21，末四項和為67，n?例（）一個項數為，末四項和為67，na1?a2?a3?項的等差數列的前四項和為a4?21,ann??ann??1?an?2?an?3?67?S13 求n4(a1?an)求a3?a5的值。例5.求S36S1若a＞，等比數列an,n且an0?0,a2a4?2a3a5?a???中6?25,36(a1??na36)?4(a?a)88?a?a?22?S??396?16 1n1nn22?4(a?a)?88?a?a?22?S??3962解：a11?a2?a?a?21,a?a?a?a?67解：S?S?a?a?a?a?a??a?0解：a?a?a?a?a?a?a?67a?21,a?a?a?a?67條件改為S?S？解：S?S?a?a?a?a?a?a?a?013613636a解：***34339***4***12***36353433aa?a;aa?a916 解：9***4***12***a?5a2解：a2a43?a34;a46536(a?a)n(a?a)36(a?a)111n36362?7a13?0?a13?0?S12?S最大2?7a?0?a?0?S?S***31213a88?a?22??396?4(a?a)?a?22?S???4(?a)?88?a?22?S??396396***3636n1361n36n1363622aa225?aa?2aa?aa?a??a?3a＞0,a?100,求lga?lg??lga6.2435463355 例2a22?2a3a5?a4a6?1a3?2a?a?的值。25na2a41?1002355100 ?n?36?aa?505050503?5lg?lgaaa...aa?lg(aa)?lg100?100解：a?a??5an＞0,a1a100?100,求lga?a??lga的值。??lgaaa...aa?lg(aa)?lg100?1001100 3****** ?a?a99?a98?...?a?aaa1a1002a?99a3a?98...1a10023????????????????

50對50對

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思考：????????課后總結：

第五篇：(經典整理)等差、等比數列的性質

等差、等比數列的性質

一：考試要求

1、理解數列的概念、2、了解數列通項公式的意義

3、了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項 二:知識歸納

（一）主要知識：

有關等差、等比數列的結論 1．等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍為等差數列．

2．等差數列{an}中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq 3．等比數列{an}中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq

4．等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍為等比數列．

5．兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an?bn}仍為等差數列．

?an??1?

6．兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數的數列{an?bn}、??、??仍為等比數

?bn??bn?

列．

（二）主要方法：

1．解決等差數列和等比數列的問題時，通常考慮兩類方法：①基本量法：即運用條件轉化為關于a1和d(q)的方程；②巧妙運用等差數列和等比數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．

2．深刻領會兩類數列的性質，弄清通項和前n項和公式的內在聯系是解題的關鍵．

三：例題詮釋，舉一反三

例題1(2011佛山)在等差數列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，則2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

變式1：(2011廣雅)已知數列{an}為等差數列且a1＋a7＋a13＝4π，則tan(a2＋a12)的值為()A

3變式2：（2011重慶理11）在等差數列{an}中，a3?a7?37，則a2?a4?a6?a8?

________

B3

A3

3A3

例題2 等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為()

A．130B．170C．210D．260

變式1:（2011高考創新）等差數列{an}的通項公式是an=1-2n,其前n項和為Sn,則數列{的前11項和為（）

A.-45B.-50C.-55D.-66 變式2：（2011高考創新）等差數列{an}中有兩項am和ak滿足am=

Snn

}

1k,ak=

1m,則該數列前mk

項之和是.例題3(1)已知等比數列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，則an＝________.(2)已知數列{an}是等比數列，且Sm＝10，S2m＝30，則S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比數列{an}中，公比q＝2，前99項的和S99＝56，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.變式1：(2011佛山)在等比數列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，則

a9

a1

1的值為()

A．4B．2C．－2D．－

4變式2（2011湛江）等比數列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n項的和Sn＝126，求n和公比q.變式3（2011廣州調研）等比數列{an}的前n項和為Sn，若S2=6，S4=30，則S6.1

例題4 已知數列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求證：{an}是等差數列；

(2)若bn＝n－30，求數列{bn}的前n項和的最小值．

變式1已知數列{an}中，a1

?3

5，an

?2?

1an?1

(n?2,n?N

?)，數列{bn}滿足bn

?

1an?1

(n?N

?)

（1）求證：數列{bn}是等差數列；

（2）求數列{an}中的最大值和最小值，并說明理由

變式2設等差數列?an?的前n項和為sn，已知a3?24,s11?0，求： ①數列?an?的通項公式②當n為何值時，sn最大，最大值為多少？

變式3(2011·汕頭模擬)已知數列{an}中，a1＝，數列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，數列an-1{bn}滿足bn＝

(n∈N*)．an-1

(1)求證數列{bn}是等差數列；

(2)求數列{an}中的最大項與最小項，并說明理由．

32a例題5(2008·陜西)(文)已知數列{an}的首項a1＝，an+1=n∈N*an+11

(1)求證數列－1}是等比數列；

ann

(2)求數列{前n項的和

an

變式1 在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)證明數列{an－n}是等比數列；(2)求數列{an}的前n項和Sn；(3)求證對任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn

變式2設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數列，且cn＝an＋bn，證明數列{cn}不是等比數列．

變式3.在數列?an?中，a1?1,an?1?2an?2（1）設bn?

n

an

2n?1,證明?bn?是等差數列;（2）

求數列?an?的前n項和Sn。

當堂講練： 1．（1）若一個等差數列前3項的和為34，最后三項的和為146，且所有項的和為390,則這個數列有項；

（2）已知數列{an}是等比數列,且an>0,n?N,a3a5?2a4a6?a5a7?81，則

a4?a6?

*

（3）等差數列前m項和是30，前2m項和是100，則它的前3m項和是．

2．若數列{an}成等差數列，且Sm?n,Sn?m(m?n)，求Sn?m．

3．等差數列{an}中共有奇數項，且此數列中的奇數項之和為77，偶數項之和為66，a1?1，求其項數和中間項.4．若數列{an}（n?N*）是等差數列，則有數列bn?

a1?a2???an

n

（n?N*）也為

等差數列，類比上述性質，相應地：若數列{cn}是等比數列，且cn>0（n?N*），則有

d

n?

n?N*）也是等比數列．

5．設Sn和Tn分別為兩個等差數列的前n項和，若對任意n?N，都有則第一個數列的第11項與第二個數列的第11項的比是．說明：

anbn

?S2n?1T2n?1

*

SnTn

?

7n?14n?27，．

四：課后練習

1基礎部分

1已知各項均為正數的等差數列?an?中，a1?a11?36，則a6的最小值為（）

A、4B、5C、6D、7

2.已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為（）

A.3B.4C.5D.23.等差數列{an}中，a1?3a8?a15?120,則2a9?a10?

（）

A．24 B．22 C．20 D．-8

4{an}是等差數列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n項和Sn>0成立的最大自然數n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016

5.在等差數列{an}中,前n項和為Sn,若a7?5,S7?21,那么S10等于（）

A．55 B．40 C．35 D．70

6.(2009山東卷文)在等差數列{an}中,a3?7,a5?a2?6,則a6?____________.7設Sn是等差數列?an?的前n項和，已知S6?36,Sn?324,Sn?6?144,則n=__________.S2007

?S2005200

5?2

?a?Sa??20088在等差數列n中，1，其前n項的和為n．若2007

S2008?_________，則

2提高部分

1、（2010惠州 第三次調研理 4）等差數列{an}的前n項和為Sn,若a2?a8?a11?30，那

么S13值的是（）A．130

B．6

5C．70D．以上都不對

2．（2010揭陽市一模 理4）數列{an}是公差不為0的等差數列，且a1,a3,a7為等比數列{bn}的連續三項，則數列{bn}的公比為

A

B．4C．2D．

3、(2009安徽卷文 2）已知{an}為等差數列，于A.-1

12，則

B.1C.3D.7

等

4.（2009江西卷文）公差不為零的等差數列{an}的前n項和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項, S8?32,則S10等于

A.18B.24C.60D.90

5．（2011佛山一檢）在等差數列?an?中，首項a1?0,公差d?0，若

ak?a1?a2?a3???a7，則k?()

A．22 B．23 C．24D．25

6.（2010全國卷1文）（4）已知各項均為正數的等比數列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則

aaa=

(A)

7.（2010湖北文）7.已知等比數列{am}中，各項都是正數，且a1，則

a9?a10a7?

a8

?A.1?

a3,2a2成等差數列，B.1?

C.3?

D3?

8（2010福建理）3．設等差數列?an?的前n項和為Sn,若a1??11,a4?a6??6,則當Sn取最小值時,n等于

A．6

B．7

C．8

D．9

9.（廣東省佛山市順德區2010年4月普通高中畢業班質量檢測試題理科）在等比數列{an}中，若a1a2a3?2，a2a3a4?16, 則公比q?10．（2010年3月廣東省廣州市高三一模數學理科試題）在等比數列?an?中，a1?1，公比

q?2，若?an?前n項和Sn?127，則n的值為．

11．(2010年3月廣東省深圳市高三年級第一次調研考試理科)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S9?81，則a2?a5?a8?．

12．若Sn和Tn分別表示數列{an}和{bn}的前n項和，對任意自然數n，有an??

2n?32

*，（1）求數列{bn}的通項公式；（2）設集合A?{x|x?2an,n?N}，4Tn?12Sn?13n，B?{y|y?4bn,n?N}．若等差數列{cn}任一項cn?A?B,c1是A?B中的最大數，且

*

?265?c10??125，求{cn}的通項公式．