第一篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)

第24課 等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)

●考試目標(biāo)主詞填空

1.等差數(shù)列的性質(zhì).

①等差數(shù)列遞增的充要條件是其公差大于0，②在有窮等差數(shù)列中，與首末兩端距離相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an+1-k，③在等差數(shù)列{an}中，使am+a0=ap+aq成立的充要條件是是等差數(shù)列，⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，且m，k為常數(shù)，則{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差數(shù)列前n項(xiàng)和的充要條件是2.等比數(shù)列的性質(zhì).①在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其單調(diào)性的考察應(yīng)視a1及q的取值范圍而定.②在有窮的等比數(shù)列{an}即：a1an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an+1-k.

③在等比數(shù)列{an}中，使am·a0=ap·ak成立的充要條件是m+n=p+k. ④在等比數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來，依原來的順序構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則此新數(shù)列仍是等比數(shù)列.?man?⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等比數(shù)列，m是不等于零的常數(shù)，則{m·an·bn}與??仍為等比數(shù)列.b?n?

●題型示例點(diǎn)津歸納

【例1】證明下列論斷：

(1)從等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)抽取一些項(xiàng)依原順序構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列.(2)從等比數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)抽取一些項(xiàng)依原順序構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列.

【解前點(diǎn)津】等差數(shù)列的公差以及等比數(shù)列的公比都是已知常數(shù)，且每隔k項(xiàng)抽取一個(gè)數(shù)中的k邊應(yīng)視為已知正整數(shù)，按定義證明即可.【規(guī)范解答】(1)設(shè){xn}是公差為d的等差數(shù)列，抽取的第一個(gè)數(shù)為xm，隔k項(xiàng)抽取的第二個(gè)數(shù)為xm+k，再隔k項(xiàng)抽取的第三個(gè)數(shù)為xm+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(xiàng)(p≥1)必為xm+(p-1)k ·第p+1項(xiàng)為xm+pk.由通項(xiàng)公式：

∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-［x1+(m+pk-k-1)d］=(k-1)d是一個(gè)p無關(guān)的常數(shù)，故新數(shù)列是一個(gè)公差為kd的等差數(shù)列.(2)設(shè){yn}是一個(gè)公比為q的等比數(shù)列，抽取的第一個(gè)數(shù)為ym，隔k項(xiàng)抽取的第二個(gè)數(shù)為ym+k，再隔k項(xiàng)抽取的第三個(gè)數(shù)為ym+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(xiàng)(p≥1)必為ym+(p-1)k，第p+1項(xiàng)為ym+pk.由等比數(shù)列通項(xiàng)公式： ∵ym?pk

ym?(p?1)ky1?qm?pk?1k==q是一個(gè)與p無關(guān)的常數(shù).m?pk?k?1y1?q

故新數(shù)列是一個(gè)公比為qk的一個(gè)等比數(shù)列.【解后歸納】證明{xn}是一個(gè)等差數(shù)列，只須證明xn-xn-1=常數(shù)即可，類似地，證明{yn}是一個(gè)等比數(shù)列，只證明yn=常數(shù)即可. yn?

1【例2】設(shè)x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且

111xz，成等差數(shù)列，求?的值.xzxyz

【解前點(diǎn)津】依條件列方程組，從方程組中推導(dǎo)

xz

?之值. zx

?(4y)2?(3x)?(5z)

2xz?

?y=【規(guī)范解答】由題意得：?211代入第一個(gè)方程消去y得：

x?z?y?x?z

?2xz2xz34(x?z)26416()=15xz?=，故?=.x?z15zx15xz

【解后歸納】因（xz

?)中不含y，故在方程組中，y成為消去的對(duì)象.zx

【例3】已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項(xiàng)之和為Sn，求滿足不等式|Sn-n-6|<的最小正整數(shù)n. 12

5【解前點(diǎn)津】構(gòu)造“新數(shù)列”，求出通項(xiàng)公式，注意到3(an+1-1)=-(an-1).【規(guī)范解答】由條件得：3(an+1-1)=-(an-1).視為3xn+1=-xn，∵a1-1=8，故新數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為8，公比為-的一個(gè)等比數(shù)列.故：

3??1?n?8?1????

?3???1n-11n-1???=6-6×(-1)n，an-1=8(-)，即an=1+8(-)Sn-n=

333?1?

?1???3?

11?n-1

∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35?n-1>5.3125

∴n>6從而n≥7.故n=7是所求的最小正整數(shù).

【解后歸納】將一個(gè)簡單的遞推公式進(jìn)行變形，從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列，或一個(gè)等比數(shù)列的模型.這是一種“化歸”的數(shù)學(xué)思想.【例4】設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3(a1

n??

2+bn)=2+1,試求{an}的首項(xiàng)與公差.【解前點(diǎn)津】設(shè)

b2b

=q，則1=2+1.1?qb1

【規(guī)范解答】設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則由條件知，b2=b1b3?(a2)2=(a1)·(a3)

a2

=(1+2)(2+1)

a1

(a1+d)

4=a22，a12a22=a1

·(a1+2d)?(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)（22

2+1),故

2a1

42即a1=［a1+(a1+d)2］(2+1)，解關(guān)于a1及d的方程組得：a1=-2，d=22-2.

【解后歸納】將所列方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量a1，d的方程，是常規(guī)思路.此題是否有另外思路?讀者可自己尋找.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練分階提升

一、基礎(chǔ)夯實(shí)

1.在等比數(shù)列{an}中，a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100等于()

bbb9b10

A.8B.()C.9D.()10

aaaa

2.已知等差數(shù)列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0，則使前n項(xiàng)和Sn取得最大值的自然數(shù)n是()

A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}為一個(gè)遞減等比數(shù)列，公比為q，則該數(shù)列的首項(xiàng)a1和公比q一定為()A.q<0，a1≠0B.a1>0，01 C.q>1，a1<0D.00

4.由公差為d的等差數(shù)列a1，a2，a3，?，重新組成的數(shù)列a1+a4，a2+a5，a3+a6，?是()A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為2d的等差數(shù)列 C.公差為3d的等差數(shù)列D.非等差

5.設(shè)2a=3，2b=6，2c=12，則a、b、c()A.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

6.若{an}是等比數(shù)列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q為整數(shù)，則a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51

27.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a5·a6=81，那么log3a1+log3a2+log3a3+?+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30

8.在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)的和是()A.1

11111B.12C.13D.14 444

49.在等比數(shù)列{an}中，已知對(duì)任意自然數(shù)n，a1+a2+?+an=2n-1，則a1+a2+?+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1

(2-1)C.4-1D.(4n-1)3

310.上一個(gè)n級(jí)的臺(tái)階，若每次可上一級(jí)或兩級(jí)，設(shè)上法的總數(shù)為f(n)，則下列猜想中正確的是()

A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)

?n(n?1,2)

C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)=?

f(n?1)?f(n?2)(n?3)?

二、思維激活

11.在等差數(shù)列{an}中，若Sm=n，Sn=m(Sn為前n項(xiàng)和)且m≠n，則Sm+n

三、能力提高

12.在等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a25三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，且a1+a4+a25=114,求這三個(gè)數(shù).13.已知{an}為等差數(shù)列，(公差d≠0)，{an}中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列ak1，ak2，ak13，?，ak，?，n

恰好為等比數(shù)列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+?+kn.14.設(shè)f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n為正偶數(shù))，{an}是等差數(shù)列，若f(1)=(1)求an；(2)求證：f（1nn(n+1)，f(-1)=. 22)<2. 2

15.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么數(shù)列?

(2)設(shè)bn=|an|，求數(shù)列|bn|的前n項(xiàng)和.第3課等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)習(xí)題解答

1.A先求a1與公比q.2.B∵d<0，∴a3>a9，∴a3=-a9.3.B分別考察a1>0與a1<0兩種情況.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12，∴(2b)2=2a·2c?2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124，∴a3，a8是x2-124x-512=0的兩根.解之：a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4?q=-2或-

但q=-不合題意，∴a10=a8·q2=512.22

7.C其值為log3(a1a2?a10)=log3(a1a10)·(a2a9)?(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9?

x???x2?3y?2??8.A設(shè)這兩個(gè)正數(shù)為x，y，由題意可得：?.272y?x?9??y??4?

9.D∵Sn=2n-1，∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n，又a1=S1=21-1=1=21-1，∴an=2n-1.10.D每次可上一級(jí)或兩級(jí)，故需分段考慮.11.Sm+n=-(m+n)運(yùn)用公式求和.2?a4?(a1?3d)2?a1(a1?24d)?a1?a25

??12.設(shè)公差d，依題意得：??

?a1?a4?a25?114?3a1?27d?114

?a4?38?a4?a1?3d?2?3?4?14?a1?38?a1?2

或?，或????

a?38a?a?24d?2?24?4?98d?0d?4?25??1?25

∴這三個(gè)數(shù)是38，38，38或2，14，98.

13.∵a1，a5，a17成等比數(shù)列，∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)?d=

aa11，an=a1(n+1)，a5=a1+4d=3a1，∴q=5

22a1

=3，akn=

k?11

a1(kn+1)?akn=a1·qn-1=a1×3n-1，∴na1=a1×3n-1，∴kn=2×3n-1-1?k1+k2+k3+?22

n-1

2(1?3n)

+kn=2(1+3+9+?+3)-n= =3n-n-1.(1?3)?n

14.(1)設(shè){an}的公差為d，則f(1)=a1+a2+?+an=d=1，由na1+

1nn

n(n+1)，f(-1)=-a1+a2-a3+a4+?-an-1+an=d=，∴222

n(n?1)n(n?1)

?得a1=1，∴an=n. 22

2n

1123111111?n(2)f()=+2+3+?+?(1-)]f()=+2+3+?+n+n?1

22222222222

兩式相減：

1??

1???1n

1111n?2n?nf()=1++2+?+n?1-n=-n=2-2n?1-2n<2. 22222?1?2

?1???2?

15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2)，∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=101-2n又∵an+1-an=-2為常數(shù).∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=99，公差d=-2的等差數(shù)列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*)，①當(dāng)1≤n≤50時(shí)，an>0，此時(shí)bn=|an|=an，所以{bn}的前n項(xiàng)和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500，②當(dāng)n≥51時(shí)，an<0，此時(shí)bn=|an|=-an由b51+b52+?+bn=-(a51+a52+?+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.?(n?N*,1?n?50)?100n?n

由①②得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn′=?.2*

?(n?N,n?51)?5000?100n?n

第二篇：類比探究等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

類比探究等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

上海市桐柏高級(jí)中學(xué)李淑艷 馬莉

上海市普陀區(qū)教育學(xué)院劉達(dá)

一、案例背景

本課的教學(xué)內(nèi)容是上海市高中課本《數(shù)學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社）高中二年級(jí)第二學(xué)期《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》章節(jié)的數(shù)列性質(zhì)探究課。

上海市《中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》提出：普通中小學(xué)課程的基本觀念是以學(xué)生發(fā)展為本，堅(jiān)持全體學(xué)生的全面發(fā)展，關(guān)注學(xué)生個(gè)性的健康發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展。并指出：“關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，通過創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，開發(fā)實(shí)踐環(huán)節(jié)和拓寬學(xué)習(xí)渠道，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)、感悟、建構(gòu)并豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳承、能力發(fā)展、積極情感形成的統(tǒng)一”。在顧泠沅博士的“三個(gè)階段、二次反思、行動(dòng)跟進(jìn)”的行動(dòng)教育研究模式下。本課例從“背景研究”，“教學(xué)實(shí)踐”和“評(píng)價(jià)反思”，都是在“以學(xué)定教”原則的基礎(chǔ)上的。從教材體系來看，等比數(shù)列概念的學(xué)習(xí)就滲透類比的研究方法，鑒于學(xué)生的實(shí)際水平及樂于思考新問題的特點(diǎn)，我們?cè)O(shè)置了有一定層次的供類比的數(shù)列問題，同時(shí)也對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行了預(yù)測(cè)。同時(shí)根據(jù)學(xué)生目前現(xiàn)狀，以及教材內(nèi)容收集、整理、提煉利用類比的思想方法，研究數(shù)列中問題等有關(guān)素材，在自我理解的層面上設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)思路及手段、教學(xué)過程，先進(jìn)行第一次教學(xué)嘗試，然后進(jìn)行反思；再請(qǐng)專家、教研員、教研組長、全體組員在聽取本人的設(shè)計(jì)初衷及反思后進(jìn)行全方位的再設(shè)計(jì)與指導(dǎo)，而后開設(shè)公開課進(jìn)行教研，在系統(tǒng)評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行第二次實(shí)踐；第三次看目標(biāo)的達(dá)成度與教師理念的轉(zhuǎn)變、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)的總結(jié)。我們就是按照這種“行動(dòng)教育”模式開展課堂教學(xué)研究的。

二、目標(biāo)分析

本課教學(xué)目標(biāo)的確定圍繞著“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的研究性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式。探索如何運(yùn)用研究性學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式在《等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)探究》教學(xué)中融合類比的本課希望通過“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中的三個(gè)維度：“一維——知識(shí)結(jié)構(gòu)上的類比；二維——證明方法上的類比；三維——學(xué)生自主的理性思想方法的類比。”

三、教學(xué)流程

首先通過科學(xué)事實(shí)——魯班造鋸的典故引入類比思想，然后提出第一維問題（以回顧的通過這一回顧，學(xué)生能從“第一維”層面上開展類比學(xué)習(xí)，體會(huì)等差數(shù)列和等比數(shù)列在概念形式上的相似之處。

在基本認(rèn)識(shí)了類比探究方法之后，教師通過問題提升本節(jié)探究課活動(dòng)性和探究性，設(shè)置了若干性質(zhì)探究的問題供學(xué)生思考。

問題1：在等差數(shù)列?an?中，若項(xiàng)數(shù)數(shù)列?kn?是等差數(shù)列(kn?N)，則akn仍是等差數(shù)

列。

類比：若?an?是等比數(shù)列，當(dāng)?kn?(kn?N)是________數(shù)列時(shí)，akn是________數(shù)列。

問題一是在學(xué)生已掌握“數(shù)列?an?是等差數(shù)列，對(duì)?an?中下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)也成等差數(shù)列”這一性質(zhì)后，將“文字語言”轉(zhuǎn)化成“符號(hào)語言”，讓學(xué)生來類比等比數(shù)列中相應(yīng)的性質(zhì)，并加以證明。學(xué)生一方面從形式上加以類比，另一方面，從證明方法上也進(jìn)行類比證明。這樣的問題，在學(xué)生理解性質(zhì)后，初步體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的“類比”方法。

問題一結(jié)束后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生如何類比并得到正確結(jié)論？經(jīng)歷運(yùn)用類比思想方法研究數(shù)列問題的過程。

問題2：有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若?an?為等差數(shù)列，則?an?1?an?也成等差數(shù)列。由此經(jīng)過類比，他猜想：若?an?為等比數(shù)列，則?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數(shù)列。你認(rèn)為呢？

問題二是一道開放性問題，有近85%的學(xué)生最初得到了?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數(shù)列，并有部分同學(xué)給予了“證明”。學(xué)生初步感覺到“和”與“積”的類比，“差”與“商”的類比。此時(shí)，教師再拋出一個(gè)問題：“積”為等比數(shù)列，那么“和”呢？在你證明完“積”為等比數(shù)列后能說明“和”不是等比嗎？對(duì)于這一問題，學(xué)生根據(jù)前面兩個(gè)問題的解決已經(jīng)隱約體驗(yàn)到類比不但是形式上的模仿，其證明方法、考慮角度也可進(jìn)行類比，說明這種思考問題的方法已不自覺地納入他們的思維體系之中，下面是一段課堂實(shí)錄：

師：對(duì)剛才問題，同學(xué)可以得到什么結(jié)論？

生1：我判斷并證明了等比數(shù)列的“和”仍然是等比數(shù)列，且公比什q。

（師環(huán)視四周，似乎每個(gè)人都投以贊同的目光，并且頻繁點(diǎn)頭表示同意）。

生2：我有點(diǎn)不同意（全班只有他一人有不同意見），我覺得，對(duì)數(shù)列-1，1，-1，1，?這個(gè)數(shù)列來說，其和不是等比數(shù)列。（此時(shí)全班恍然，都認(rèn)為是正確的）

師：我們來看一下生1的證明過程（投影儀）： ?????an?1?ana(q?1)?n?（常數(shù)）q，an?an?1an?1(q?1)

??an?1?an?是等比數(shù)列。你們看證明過程嚴(yán)密嗎？

生3：當(dāng)q=－1時(shí)，他的第二步不成立。（此時(shí)同學(xué)們又都給予肯定）。

師：答得好。本來我們不知道這一反例，但在證明過程中發(fā)現(xiàn)了問題的存在，由此找到了反例，說明同學(xué)們?cè)诎l(fā)現(xiàn)問題時(shí)，能夠進(jìn)行大膽猜想、小心論證的嚴(yán)密的科學(xué)態(tài)度。

師：學(xué)到這里，你有什么樣的感受呢？

生4：在等差數(shù)列和等比數(shù)列的類比中，我發(fā)現(xiàn)除了形式上存在著類比之外，正確的要加以證明，錯(cuò)誤的可以舉出反例。

生5：我感到就算是類比的結(jié)論在形式上未必一致，但證明方法有相似之處。

這番交流的過程中，學(xué)生的思維幾經(jīng)“沖浪”輾轉(zhuǎn)，他們的好奇心和探索熱情已被喚起，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)歷程正在探索中內(nèi)化著。

問題3：一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，則Sk,S2k?Sk,S3k?S2k也是等差數(shù)列。在等比數(shù)列中是否也有這樣的結(jié)論？為什么？

問題4：我們知道對(duì)于等差數(shù)列?an?，a1?a2?a3???an?na1?n(n?1)d成立。通過

2類比，嘗試發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列中的相似結(jié)論并給予證明.問題三的設(shè)計(jì)和問題四是結(jié)合在一起的，設(shè)計(jì)問題三的時(shí)候考慮到學(xué)生有可能只能通過證明找到反例從而得出Sk,S2k?Sk,S3k?S2k不成等比數(shù)列的結(jié)論，而對(duì)類比的結(jié)論有困難，甚至?xí)型瑢W(xué)得出Sk,S2kS3k成等比數(shù)列的結(jié)論。對(duì)于問題四，可以將問題三溝通起,SkS2k

來探索。經(jīng)過討論、形式上類比、對(duì)結(jié)論進(jìn)行論證。我們可以在學(xué)生最終明確結(jié)論后再回到問題三，讓同學(xué)們進(jìn)一步思考并指出“Sk,S2kS3k成等比數(shù)列”的說法雖然不對(duì)，但在“類,SkS2k

比——發(fā)現(xiàn)”的探究過程中也有不少新的收獲。繼而提問：如何改動(dòng)使得結(jié)論成立？這個(gè)過程，將“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”模式的核心——學(xué)生在思維上經(jīng)過反復(fù)的類比、驗(yàn)證，自我領(lǐng)悟并掌握類比的思想方法——完全體現(xiàn)在了教學(xué)過程中。

四、教學(xué)反思

第一次教學(xué)之后，在教研員、教研組長等老師的指導(dǎo)下，總結(jié)了以下一些不足：

1．在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，偏向于行形式上類比，盡管在形式上的類比達(dá)成度較高，但反映在數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上的內(nèi)容偏少；

2．問題之間的聯(lián)系不是很好，問題似乎有些孤立；

3．題目偏多；

為此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)的調(diào)整過程中關(guān)注了這兩個(gè)方面：

1．為將“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的模式更加清晰地在教學(xué)中體現(xiàn)，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)由重形式向重思維方式轉(zhuǎn)變；

2．精選例題，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題關(guān)注一題多變、多題環(huán)環(huán)相扣的連鎖關(guān)系，同時(shí)體現(xiàn)思維“嚴(yán)密性”，并且搭建腳手架，幫助學(xué)生努力實(shí)現(xiàn)“發(fā)現(xiàn)——自悟”的過程。

在公開課教學(xué)之后，聽課老師以及學(xué)科組的專家在一起再次開展了評(píng)課探討，結(jié)合教師的反思總結(jié)如下：

1．本堂課是等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的類比，在學(xué)生經(jīng)歷了類比的學(xué)習(xí)后，能夠體會(huì)：從形式上得到類比的特征，從本質(zhì)上體驗(yàn)思維的過程，了解類比不僅是形式上的“相似”，而是從相似中得到結(jié)論，再由論證使之成為類比。這樣的教學(xué)模式，有利于激發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生在辯證中掌握類比的思想方法。

2．本堂課知識(shí)目標(biāo)的達(dá)成度較好，學(xué)生能夠基本掌握類比的特征，但學(xué)習(xí)過程中教師沒有刻意地總結(jié)、引導(dǎo)，學(xué)生在探究過程中以體驗(yàn)為主，只是學(xué)生對(duì)于“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的探究方式仍略顯模糊，需要今后不斷嘗試采用類似地教學(xué)方法促進(jìn)學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)方式的形成。

3．教師在平時(shí)應(yīng)時(shí)時(shí)具備二期課改的理念，重視學(xué)生的思維活動(dòng)。比如，在問題二中，有學(xué)生提出反例：在數(shù)列-1，1，-1，1，-1，1，?中，an?1?an?0，所以?an?1?an?不是等比數(shù)列。教師應(yīng)加以表揚(yáng)，并緊接著提問：你是怎樣想到這個(gè)反例的，你能得出什么樣的規(guī)律？如果這位學(xué)生不能回答清楚的，可以再回顧他們的證明過程，從中尋找問題所在。這樣不但順應(yīng)了學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，而且在老師的點(diǎn)撥下，學(xué)生能進(jìn)一步更深層次地考慮問題，從而為問題三打下伏筆。

4．在學(xué)生有困難的地方可以預(yù)先做準(zhǔn)備工作，這樣可以使這堂課的達(dá)成度更高。比如，在問題三中，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是非常抽象的，它牽涉到子數(shù)列的問題，而且在原設(shè)計(jì)中是“數(shù)列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?,S(k?1)n?Skn是等差數(shù)列，請(qǐng)同學(xué)在等比數(shù)列中進(jìn)行類比”，但由于證明過于抽象，學(xué)生不容易理解，因此改為上述形勢(shì)，而且考慮如果在課前能舉一些例子，滲透子數(shù)列的概念，學(xué)生理解起來也許更容易。

因此在下一堂的課中，作了如下改進(jìn)：

1．在等差數(shù)列復(fù)習(xí)中，將問題2、3在等差數(shù)列中的情況進(jìn)行證明，再事先將等差數(shù)列的證明打在幻燈片上，如果在課堂中學(xué)生在證明等比數(shù)列的過程中遇到困難的話，就可以把等差數(shù)列的證明顯示給他們看，從而使他們體驗(yàn)到證明的方法也可以進(jìn)行類比，更加凸顯類比的本質(zhì)特征。事實(shí)上，在本堂課中也達(dá)到了這樣的目的，學(xué)生的掌握度也更好了。如：在證明問題3的時(shí)候，有的同學(xué)利用前n項(xiàng)和公式證明較為繁瑣，而有的同學(xué)很快就得出結(jié)論，她說：“證明是類比等差數(shù)列的思路和步驟，結(jié)論是類比問題二得出的。”這就充分說明她已經(jīng)掌握了類比的本質(zhì)，表明經(jīng)歷幾次設(shè)計(jì)問題并逐步解決、探索，學(xué)生正體驗(yàn)著數(shù)學(xué)思想和方法，領(lǐng)悟其價(jià)值，滋生應(yīng)用意識(shí)。

2．因?yàn)閱栴}2和問題3是同類型的問題，尤其是它們的證明以及在證明過程中發(fā)現(xiàn)反例的這一思路是相近的，所以為了提高課堂效率，這里就采取分組的方法，請(qǐng)兩組同學(xué)解決問題二，另兩組同學(xué)解決問題三，再進(jìn)行討論總結(jié)。實(shí)施下來，時(shí)間縮短了，而且有了比較，同學(xué)的積極性也提高了，大大地提高了課堂的效率。并且把原先在上課時(shí)來不及解決的推論解決了，使得學(xué)生的思維得到延伸，而且使學(xué)生對(duì)類比的本質(zhì)特征有了理性上的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到了第三維：學(xué)生自主的理性思想的類比。

通過“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的初步實(shí)施，學(xué)生在自主的學(xué)習(xí)和探究過程中體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生的過程，通過對(duì)產(chǎn)生的見解的辯論進(jìn)行了思維方式的轉(zhuǎn)變，使得學(xué)習(xí)方法得到了改善，為他們今后的學(xué)習(xí)帶來了信心和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，其效果應(yīng)該說是顯見的。教師方面，我們得到的感受是：教學(xué)理念得到了很大的提升，尤其對(duì)于“類比——發(fā)現(xiàn)——自悟”的研究性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式的初步應(yīng)用的效果啟發(fā)我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中應(yīng)多為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)氛圍和問題情境，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)多從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)、感悟?qū)W習(xí)經(jīng)驗(yàn)。另外，用先進(jìn)理念和經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)教學(xué)，能使自己不斷加深對(duì)課改理念的理解，并逐漸內(nèi)化為自身的教學(xué)風(fēng)格，促進(jìn)自身業(yè)務(wù)水平的提高。

參考資料：

[1] 廖哲勛：關(guān)于課堂教學(xué)案例開發(fā)的理性思考——《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2003.6

[2] 鄭毓信：《數(shù)學(xué)方法論》 廣西教育出版社1998.5

第三篇：等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)的拓展

等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)的拓展

———福貢縣第一中學(xué)楊豪

摘要：等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)熱點(diǎn)。如果我們從本質(zhì)上揭示等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)的內(nèi)涵，那么，不僅會(huì)給我們提升對(duì)數(shù)列特征的學(xué)習(xí)有所幫助，也會(huì)為進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力有一定好處。

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列和等比數(shù)列 〃中項(xiàng)性質(zhì) 〃拓展

從特殊入手，研究數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，再逐步推廣到一般是數(shù)學(xué)常用的研究方法。我們下面從等差數(shù)列和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)出發(fā)，推導(dǎo)出其角標(biāo)性質(zhì)。有利于提高我們對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)，一、內(nèi)容介紹

等差數(shù)列和等比數(shù)列的角標(biāo)性質(zhì)——數(shù)列中任意序數(shù)和相等的兩項(xiàng)之間的關(guān)系。

（一）等差數(shù)列中項(xiàng)

1、概念與內(nèi)容

由三個(gè)數(shù)a、A、b組成等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即2A=a+b 或A=a?b

2〃

2、拓展與提升

若等差數(shù)列?an?中的項(xiàng)ap、aq、ar、as（p、q、r、s?N*）且滿足p+q=r+s，則有ap+aq=ar+as成立。

即等差數(shù)列?an?中任意兩項(xiàng)序數(shù)和相等的兩項(xiàng)的和相等。

3、證明其性質(zhì)。

若等差數(shù)列?an?的公差為d，首項(xiàng)為a1，且p、q、r、s?N*，于是有，ap=a1 +(p-1)d，aq =a1 +(q-1)d，所以，ap+aq=2a1+(p+q-2)d，同理可得，ar+as=2a1+(r+s-2)d。

因?yàn)閜+q=r+s，所以ap+aq=ar+as〃（Ⅰ）

（二）等比數(shù)列的中項(xiàng)

1、概念與內(nèi)容

若在a與b兩個(gè)數(shù)之間插入一個(gè)數(shù)G，使a、G、b成等比數(shù)列，則稱G為a與b的等比中項(xiàng)（a、G、b都為非零數(shù)）。即G2=ab或G=?ab〃

12、拓展與提升

若等比數(shù)列?an?中的項(xiàng)am、an、ar、as（m、n、r、s?N*）且滿足p+q=r+s，則有am.an= ar.as成立。

即等比數(shù)列?an?中任意兩項(xiàng)序數(shù)和相等的兩項(xiàng)的積相等。

3、證明其性質(zhì)。

若等比數(shù)列?an?的公比為q(q?0)，首項(xiàng)為a1，且m、n、r、s?N*，于是有，am =a1qm?1, an=a1qn?1，因此am.an=a12qm?n?2 同理可得，ar.as=a12.qr?s?2.因?yàn)閙+n=r+s，所以am.an=ar.as(Ⅱ）

我們把（Ⅰ）、（Ⅱ）稱為等差數(shù)列和等比數(shù)列的角標(biāo)性質(zhì)。

（三）應(yīng)用

我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的宗旨就是要從特殊和表面現(xiàn)象中總結(jié)出一般規(guī)律，然后再去指導(dǎo)實(shí)踐解決實(shí)際問題。

二、處理教材中的練習(xí)與習(xí)題

1、已知?an?是等差數(shù)列（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9成立嗎？為什么？（提示：5+5=3+7=1+9）

（2）2an=an?1+an?1（n>1）是否成立？據(jù)此你可能得出什么結(jié)論？(提示：n+n=(n-1)+(n+1))

（3）若2an=an?k+an?k（n>k>0）是否成立？你又能得出什么結(jié)論？（提示：n+n=(n-k)+(n+k)）

2、已知?an?是比差數(shù)列

（1）a52=a3.a是否成立？a52=a1.a9成立嗎？為什么？

7（提示：5+5=3+7=1+9）

（2）an2=an?1.an?1（n>1）是否成立？據(jù)此你可能得出什么結(jié)論？(提示：n+n=(n-1)+(n+1))

（3）若an2=an?k.an?k（n>k>0）是否成立？你又能得出什么結(jié)論？（提示：n+n=(n-k)+(n+k)）

三、解決高考中的數(shù)列問題

運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的角標(biāo)性質(zhì)來解決高考問題，能夠使我們的考生事半功倍，增強(qiáng)考試信心。對(duì)指導(dǎo)復(fù)習(xí)工作具有重要意義。例如：

1、如果等差數(shù)列?an?中，a3+a4+a5=12，那么，a1+a2+…+a7=

（A）1

4(B)21(C)28(D)3

5(提示：a3+a5=a1+a7=2a4)

1、已知在等差數(shù)列?an?中，a1+a9=10，則a5的值為：

(B)6(C)8

(D)10

（A）

5(提示：a1+a9=2a5)

2、已知?an?是比差數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和。若a2a3=2a1，54且a4與2a7的等差中項(xiàng)為（A）35，則Sn為：

(D)29

54?a7

(B)33(C)

31(提示：由a2a3=a1a4=2a1?a4=2，再由a4+2a7=2×

q

=

14，=

a7a4

=

?q

=

2，從而可知a1=16，進(jìn)一步可求得Sn)

當(dāng)然，這一部分內(nèi)容僅僅是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的冰山一角。通過這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生如何去思考、如何去鉆研的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度。從心理學(xué)來看，高中生的心理和生理都趨于成熟，我們應(yīng)該著手于加強(qiáng)高中生的分析問題和理解問題能力的培養(yǎng)，提高他們的抽象思維能力和邏輯思維能力,從而提高學(xué)習(xí)效率。反對(duì)死記硬背和題海戰(zhàn)術(shù)，真正把他們從學(xué)習(xí)“苦海”中解救出來。這也是我們做老師的心得。參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，中學(xué)數(shù)學(xué)室.數(shù)學(xué)（高中必修），2006年6月第 版.[2]施致良.中小學(xué)勞動(dòng)與技術(shù)教育[J]教學(xué)案例專題研究，浙江大學(xué)出版社，2001年3月第一版。

說明：本文在2010年云南省第六屆教育教學(xué)論文研討活動(dòng)中榮獲一等獎(jiǎng)。因此，該文在2010年云南“教育研究專輯”中得到發(fā)表。

2011年4月

第四篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

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等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

作者：劉春建

來源：《高考進(jìn)行時(shí)·高三數(shù)學(xué)》2013年第03期

一、考綱要求

1.理解等差數(shù)列的遞推關(guān)系，并能夠根據(jù)遞推關(guān)系證明等差數(shù)列。

2.理解等比數(shù)列的遞推關(guān)系，并能夠根據(jù)遞推關(guān)系證明等比數(shù)列。

3.能夠利用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)證明等差數(shù)列和等比數(shù)列。

二、難點(diǎn)疑點(diǎn)

1.在證明等差數(shù)列和等比數(shù)列的過程中，部分學(xué)生只是求出了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，而沒有利用遞推關(guān)系或者等差、等比中項(xiàng)進(jìn)行證明。

2.在用等比中項(xiàng)證明等比數(shù)列的時(shí)候，沒有交代各項(xiàng)均不為零。

3.要注意整體思想在證明等差數(shù)列和等比數(shù)列中的靈活運(yùn)用。

第五篇：等比數(shù)列性質(zhì)（本站推薦）

等比數(shù)列

1，在等比數(shù)列?an?中，已知a3?a6?36,a4?a7?18,an?

12,求n。

2，在1與100之間插入n個(gè)正數(shù)，使這n個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求插入的n個(gè)數(shù)的積。3，在等比數(shù)列?an?中，若a2?2,a6?162,求a10。

4，在等比數(shù)列?an?中，a3a4a5?3,a6a7a8?24,求a9a10a11。

5，一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，求此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。

6，在等比數(shù)列?an?中，a9?a10?a?a?0?,a19?a20?b,求a99?a100。

7，已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列?an?中，公比q?2，a1a2a3??????a30?245,求

a1?a4?a7??????a28

8，在等比數(shù)列?an?中，若a1?a2?a3?168,a2?a5?42,求a5與a7的等比中項(xiàng)。9，在等比數(shù)列?an?中，若a1?a2?a3?7,a1a2a3?8,求an 10，等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)為a1?1024,公比q??則當(dāng)n為何值時(shí)，f?n?有最大值。,12，設(shè)f?n?表示這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的積，