第一篇：等差、等比數列的判斷和證明

等差、等比數列的判斷和證明

一、1、等差數列的定義：如果數列?an?從第二項起每一項與它的前一項的差

等于同一個常數，那么這個數列叫做等差數列，這個常數叫等差數列的公差。即an?an?1?d(n?N*,且n?2).(或an?1?an?d(n?N*)).2、等差數列的判斷方法：

①定義法：an?1?an?d(常數)??an?為等差數列。

②中項法：等差中項：若a,A,b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且

A?a?b。

22an?1?an?an?2??an?為等差數列。

③通項公式法：等差數列的通項：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。公式變形為:an?an?b.其中a=d, b= a1－d.an?an?b（a,b為常數）??an?為等差數列。

④前n項和公式法：等差數列的前n和：Sn?d

公式變形為Sn=An2+Bn其中A=，B=a1n(a1?an)n(n?1)d。，Sn?na1?22?d.2

sn?An2?Bn（A,B為常數）??an?為等差數列。

3.等差數列的性質：

（1）當公差d?0時，等差數列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關于n的一次函數，且斜率為公差d；

n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關于n的二次函數且常數項為0.前n項和Sn?na1?222

（2）若公差d?0，則為遞增等差數列，若公差d?0，則為遞減等差數列，若公差d?0，則為常數列。

（3）對稱性：若?an?是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項之和都等于首末兩項之和.當m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有am?an?2ap

(4)①項數成等差,則相應的項也成等差數列.即ak,ak?m,ak?2m,...(k,m?N*)成等

差，公差為md；②若{an}是等差數列，則﹛kan+p﹜(k、p是非零常數)為等差數列，公差為kd.③若{an}、{bn}是等差數列，則{kan?pbn}(k、p是非零常數)為等差數列，公差為kd1+pd2（d1、d2 分別為{an}、{bn}的公差）④

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n 也成等差數列.⑤{aan}成等比數列；若{an}是等比數列，且

an?0，則{lgan}是等差數列.（5）在等差數列{an}中，當項數為偶數2n時，sn?n(an?an?1)；s偶?s奇?nd；

s偶an?1s偶n?

1.當項數為奇數2n?1時，s2n?1?(2n?1)an；s偶?s奇??a1 ??

奇n奇an

（6）項數間隔相等或連續等長的片段和仍構成等差數列，eg：a1，a3，a5…構成等差數列，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9…也構成等差數列.二、1、等比數列的定義：如果數列?an?從第二項起每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫等比數列的公比，即

anan?

1?q(n?N*,n?2)

2、等比數列的判斷方法： ①定義法：

an?

1?q(q為常數），其中q?0,an?0??an?為等比數列。an

②中項法：如果a、G、b三個數成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，即G=?ab.提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項。an2=an-12an+12（n?N*，n?2）??an?為等比數列。③通項公式法：等比數列的通項：anan=Aq??an?為等差數列。

n

?a1qn?1或an?amqn?m

④前n項和法：等比數列的前n和：當q?1時，Sn?na1；當q?1時，a1(1?qn)a1?anq

?=Aqn-A Sn?

1?q1?qSn=Aqn-A??an?為等差數列。

特別提醒：等比數列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要對q分q?1和q?1兩種情形討論求解。

3、等比數列的性質：﹛ an﹜是公比為q的等比數列

（1）對稱性：若?an?是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項之積都等于首末兩項之積.即當m?n?p?q時，則有am.an?ap.aq，特別地，當m?n?2p時，則有am.an?ap.(2)單調性：若a1?0,q?1，或a1?0,0?q?1則{an}為遞增數列；若a1?0,q?1,或a1?0,0?q?1 則{an}為遞減數列；若q?0，則{an}為擺動數列；若q?1，則{an}為常數列.（3）①﹛?an﹜(?不等于0)公比=q；若﹛bn﹜公比為q

1則②﹛anbn﹜公比為q q1③﹛1/an﹜公比為1/q④﹛an﹜公比為q

（4）在數列{an}中，每隔k項（k? N*）取出一項，按原來的順序排列，所得數列仍為等比數列，公比為qk+1

（5）在數列{an}中，相鄰k項的和或積構成公比為qk或qk2的等比數列 方法1：定義法

Eg：已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝

2??1??

(1)求證：為等差數列；

?Sn???

(2)求an的表達式．

解析：(1)證明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.11

∵Sn≠0，∴＝2(n≥2)．

SnSn－1

??1??11

由等差數列的定義，可知??是以＝2為首項，以2為公差的等差數列．

S1a1??Sn??

由(1)，知＝(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，SnS1

∴Sn＝.2n

當n≥2時，有an＝－2Sn·Sn－1＝－

2n

當n＝1，a1＝

21??2

故a＝?

??－2n

n

n－

1n－

n＝n，方法2：等差、等比中項法

Eg：已知數列{cn}，其中cn=2n+3n，且數列{cn+1-pcn}為等比數列，求常數p 解析：=即，整理得，解得p=2或p=3．，

第二篇：等差等比數列的證明

專題：等差（等比）數列的證明

1.已知數列{a}中，anan1?5且?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）.?an?1?（Ⅰ）證明：數列?2n?為等差數列；（Ⅱ）求數列{an}的前n??

項和S.n

2.已知數列{a}中，an1?2且an?1?an?2n?3?0（n?2且n?N*）.證明：數列?an?2n?為等差數列；

3.已知數列{a}中，an1?4且2an?1?an?2n?5?0（n?2且n?N*）.證明：數列?an?2n?1?為等比數列；

4．數列{an}滿足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an.（1）求證：數列{an?1?an}是等比數列；（2）求數列{an}的通項公式；

5.已知各項均為正數的數列?an?前n項和為

1a且n是和S2Sn，首項為a1，n的等差中項.求數列?a?的通項公式； n

6.已知數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)設bn＝an－1，求證：數列{bn}是等比數列； 7.設數列?an?的各項都是正數，且對任意

n?N*，都有

a?a?a????????a?S

為數列的前n項和.3132333n2n，其中S

n

（I）求證：

a?2Sn?an;

n

（II）求數列?an?的通項公式；

8.數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)設bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數列；（2）.證明數列{n－2}

是等差數列

(3)設cn＝

9.已知正項數列{an}的前n項和Sn滿足 2Sn＝an＋1.求證：{an}是等差數列．

10.設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a{cn}是等比數列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求證：數列{an}為等差數列,并求{an}的通項公式；

(2)求數列{的前n項和Tn，an·an+1

11.設Sn是數列{an}（n?N*）的前n項和，已知a1?4，an?1?Sn?3n，設bn?Sn?3n.（Ⅰ）證明：數列{bn}是等比數列，并求數列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn

12.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1?，an＋2SnSn?1＝0(n?2)． 問：數列{1是否為等差數列？并證明你的結論；

Sn

?2log2bn?

n

?2，求數列{cn}的前n項和Tn.bn

13.已知等差數列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2?14x?45?0的兩根，數列{bn}的前n項的和為Sn，且Sn=

an·bn。求數列{an}，{bn}的通項公式；

1?bn

(n∈N*),Cn=

14.已知數列{an}與{bn}滿足

n1

3＋?－1?

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

設cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明{cn}是等比數列

15.已知在正項數列{an}中，a1＝2，點An(an，an＋1)在雙曲線y－x＝1上，數列{bn}中，點(bn，Tn)在直線y＝－x＋1上，其

中Tn是數列{bn}的前n項和．

(1)求數列{an}的通項公式；(2)求證：數列{bn}是等比數列；

第三篇：等差、等比數列問題

等差等比數列問題

一、等差數列、等比數列基本數列問題

1．等差數列?an?，s6?36，sn?6?144，sn?324，求n的值

1）an?2an?1?1；2）an?2an?1?n?1；3）an?2an?1?n2?n?1； 4）an?2an?1?2n；5）an?2an?1?3n

1）sn?2an?1；2）sn?22n?1?n?1；3）sn?2an?1?n2?n?1； 4）sn?2an?1?2n；5）sn?2an?1?3n 2．已知數列，a?an?滿足：a＝m（m為正整數）

anA7n?5

2．已知兩個等差數列?an?和?bn?的前n項和分別為An,Bn，且n?，則使得為整數

bnn?3Bn的的正整數n個數為：

3．已知等差數列?an?，a1?a3?a5???a99?36，公差d??2，求s100的值。

4、已知等差數列?an?的第2項為8，前10項和為185。1）求?an?的通項公式；2）若數列依次取出a2,a4,a8,?,a2n

n?1

?an?中

?an當a為偶數時

?n，若a6＝1，則m所有??2

當an為奇數時??3an?1

?得到新數列?bn?，求數列?bn?的通項公式。

可能的取值為

四、數列與其它

1.已知數列?an?的通項公式an?n??n?N??，則數列?an?的前30項中，最大項和最小項分別

n?是

2．已知數列?an?是遞增數列，且an?n2??n，則實數3.（Ⅰ）設

4．設等比數列?an?的公比為q（q>0），它的前n項和為40，前2n項和為3280，且前前n項中數值最大的項為27，求數列的第前2n項。

5．已知數列?an?的首項為23，公差為整數，且前6項為正，從第7項起為負數，求Sn的最大值。

?范圍是

an為正整數，6．數列{an}為等差數列，其前n項和為Sn，數列{bn}為等比數列，且a1

數列{ban}是公比為64的等比數列，b2S2?64.（1）求an,bn；（2）求證1?1???1?3.S1S2Sn

4二、數列思想問題

1．數列?an?的前n項和Sn，又bn2．求和sn?

?3,b1?1，a1,a2,??,an是各項均不為零的等差數列（n?4），且公差d?0，若將此數列刪

a1的數值；②求n的所有可d

去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：①當n =4時，求

能值；

（Ⅱ）求證：對于一個給定的正整數n(n≥4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數列

?an

b1,b2,??,bn，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列．，求?bn?的前n項和

123n?2?3???n aaaa

3．等差數列?an?和等比?bn?，求數列?an?bn?的前n項和 4．1?1?1???

1*2

2*3

3*4

?n?1??n 12?13?24?3

??????

n*n?11*22*33*4n*n?15．已知數列?an?滿足a1?2a2?3a3???nan?n?n?1?，求數列?an?的通項公式

三、復合數列問題

1、已知數列?an?滿足下列條件，且a1?1，求數列?an?的通項公式

第四篇：一輪復習等差等比數列證明練習題

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1．已知數列?an?是首項為a1?，公比q?141的等比數列，bn?2?3log1an 44(n?N*)，數列?cn?滿足cn?an?bn．

（1）求證：?bn?是等差數列；

2?an??a?2,a?a?6a?6(n?N)，n?1nn2．數列滿足1設cn?log5(an?3)．

（Ⅰ）求證：?cn?是等比數列；

*3．設數列?an?的前n項和為Sn，已知a1?2a2?3a3???nan?(n?1)Sn?2n(n?N)．（2）求證：數列?Sn?2?是等比數列； 4．數列{an}滿足a1?1,an?12n?1an?(n?N?)nan?22n（1）證明:數列{}是等差數列；

an2Sn25．數列?an?首項a1?1，前n項和Sn與an之間滿足an?(n?2)

2Sn?1（1）求證：數列??1??是等差數列

S?n?2，an?16．數列{an}滿足a1?3，an?1?（1）求證：{an?1}成等比數列； an?2*7．已知數列{an}滿足an?1?3an?4，(n?N)且a1?1，（Ⅰ）求證：數列?an?2?是等比數列；

答案第1頁，總5頁 本卷由系統自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

8． 數列{an}滿足:a1?1,n?an?1?(n?1)?an?n?(n?1),n?N*（1）證明：數列{an}是等差數列； n9．已知數列{an}的首項a1=

22an，an?1?，n=1，2，… 3an?1（1）證明：數列??1??1?是等比數列； ?an?1,Sn?n2an?n(n?1),n?1,2,L． 210．已知數列{an}的前n項和為Sn，a1?（1）證明：數列??n?1?Sn?是等差數列，并求Sn； n??11．（16分）已知數列{an}的前n項和是Sn，且Sn?2an?n（1）證明：?an?1?為等比數列；

12．數列{an}滿足：a1?2,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N?)（1）記dn?an?1?an，求證：數列{dn}是等比數列；

13．已知數列{an}的相鄰兩項an，an?1是關于x方程x2?2nx?bn?0的兩根，且a1?1．（1）求證：數列{an??2n}是等比數列；

14．（本題滿分12分）已知數列{an}中，a1?5且an?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）． 13?a?1?（Ⅰ）證明：數列?nn?為等差數列；

?2?15．已知數列?an?中,a1?1,an?1?an(n?N*)an?3（1）求證:??11???是等比數列,并求?an?的通項公式an;?an2?35，a3?，且當n?2時，24?16．設數列?an?的前n項和為Sn，n??．已知a1?1，a2?4Sn?2?5Sn?8Sn?1?Sn?1．

（1）求a4的值；

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（2）證明：?an?1???1?an?為等比數列； 2?17．設數列?an?的前n項和為Sn，且首項a1?3,an?1?Sn?3n(n?N?).n(Ⅰ)求證：Sn?3是等比數列； ??18．（本小題滿分10分）已知數列?an?滿足a1??1，an?1??a?2?（1）求證：數列?n?是等比數列；

?n?(3n?3)an?4n?6,n?N*．

n

參考答案

1．（1）見解析；（2）Sn?2(3n?2)1n??()；（3）m?1或m??5 3342n?12．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）3．（1）

an?511Tn???2n.?3.；45?9（Ⅲ）a2?4,a3?8；

（2）見解析；（3）5

2nn?14．（1）詳見解析；（2）an?；（3）?2n?3?2?6

n?1?1(n?1)2?3． 5．（1）詳見解析；（2）?an??；（3）2?(n?2)3?(2n?1)(2n?3)?6．（1）證明{an?1}成等比數列的過程詳見試題解析； an?2答案第3頁，總5頁 本卷由系統自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

（2）實數t的取值范圍為7．詳見解析

8．（1）見解析；（2）Sn1?33?1． ?t?222n?1??3n?1?3? ?49．（1）詳見解析（2）Sn?2?1nn?n?1??? 2n?12n2210．（1）由Sn?n2an?n(n?1)知，當n?2時，Sn?n，即(Sn?S(n?1)?n1)?n(n2?1)Sn?n2Sn?1?n(n?1)，所以所以?n?1n1?1Sn?Sn?1?1，對n?2成立．又S1?1，nn?11n?1?n?1?Sn?1?(n?1)?1，即Sn?是首項為1，公差為1的等差數列．所以n?n?n2Sn?．

n?1（2）因為

bn?Sn1111??(?)32n?3n(n?1)(n?3)2n?1n?3，所以b1?b2?L?bn?． 11111111115115(????L????)?(??)?22435nn?2n?1n?326n?2n?312?k?18?k?6?k?411．（1）見解析；（2）解析；（3）存在，?或?或?．

m?5m?2m?18???12．（1）dn?1?2n?1（2）an?2n?1?1

?2n?12?n為偶數??3313．（1）見解析；（2）Sn??，（3）(??,1)

n?1?2?1n為奇數?3?314．（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）Sn?n?2n?1 15．（1）證明詳見解析；（2）?2???3．

7?1?16．（1）；（2）證明見解析；（3）an??2n?1????8?2?17．(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)(?9,3)?(3,??)

n?1．

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18．（1）詳見解析（2）詳見解析

答案第5頁，總5頁

第五篇：一輪復習等差等比數列證明練習題

Fpg

1．已知數列?an?是首項為a1?，公比q?141の等比數列，bn?2?3log1an 44(n?N*)，數列?cn?滿足cn?an?bn．

（1）求證：?bn?是等差數列；

2?an??a?2,a?a?6a?6(n?N)，n?1nn2．數列滿足1設cn?log5(an?3)．

（Ⅰ）求證：?cn?是等比數列；

*3．設數列?an?の前n項和為Sn，已知a1?2a2?3a3???nan?(n?1)Sn?2n(n?N)．（2）求證：數列?Sn?2?是等比數列； 4．數列{an}滿足a1?1,an?12n?1an?(n?N?)nan?22n（1）證明:數列{}是等差數列；

an2Sn25．數列?an?首項a1?1，前n項和Sn與an之間滿足an?(n?2)

2Sn?1（1）求證：數列??1??是等差數列

S?n?2，an?16．數列{an}滿足a1?3，an?1?（1）求證：{an?1}成等比數列； an?2*7．已知數列{an}滿足an?1?3an?4，(n?N)且a1?1，（Ⅰ）求證：數列?an?2?是等比數列；

Fpg 本卷由系統自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

8． 數列{an}滿足:a1?1,n?an?1?(n?1)?an?n?(n?1),n?N*（1）證明：數列{an}是等差數列； n9．已知數列{an}の首項a1=

22an，an?1?，n=1，2，… 3an?1（1）證明：數列??1??1?是等比數列； ?an?1,Sn?n2an?n(n?1),n?1,2,L． 210．已知數列{an}の前n項和為Sn，a1?（1）證明：數列??n?1?Sn?是等差數列，并求Sn； n??11．（16分）已知數列{an}の前n項和是Sn，且Sn?2an?n（1）證明：?an?1?為等比數列；

12．數列{an}滿足：a1?2,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N?)（1）記dn?an?1?an，求證：數列{dn}是等比數列；

13．已知數列{an}の相鄰兩項an，an?1是關于x方程x2?2nx?bn?0の兩根，且a1?1．（1）求證：數列{an??2n}是等比數列；

14．（本題滿分12分）已知數列{an}中，a1?5且an?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）． 13?a?1?（Ⅰ）證明：數列?nn?為等差數列；

?2?15．已知數列?an?中,a1?1,an?1?an(n?N*)an?3（1）求證:??11???是等比數列,并求?an?の通項公式an;?an2?35，a3?，且當n?2時，24?16．設數列?an?の前n項和為Sn，n??．已知a1?1，a2?4Sn?2?5Sn?8Sn?1?Sn?1．

（1）求a4の值；

答案第2頁，總5頁

Fpg（2）證明：?an?1???1?an?為等比數列； 2?17．設數列?an?の前n項和為Sn，且首項a1?3,an?1?Sn?3n(n?N?).n(Ⅰ)求證：Sn?3是等比數列； ??18．（本小題滿分10分）已知數列?an?滿足a1??1，an?1??a?2?（1）求證：數列?n?是等比數列；

?n?(3n?3)an?4n?6,n?N*．

n

參考答案

1．（1）見解析；（2）Sn?2(3n?2)1n??()；（3）m?1或m??5 334n?12a?5n2．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

11Tn???2n.?3.；45?9（Ⅲ）3．（1）a2?4,a3?8；

（2）見解析；（3）5

2nn?14．（1）詳見解析；（2）an?；（3）?2n?3?2?6

n?1?1(n?1)2?3． 5．（1）詳見解析；（2）?an??；（3）2?(n?2)3?(2n?1)(2n?3)?6．（1）證明{an?1}成等比數列の過程詳見試題解析； an?2Fpg 本卷由系統自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

（2）實數tの取值范圍為7．詳見解析

8．（1）見解析；（2）Sn1?33?1． ?t?222n?1??3n?1?3? ?49．（1）詳見解析（2）Sn?2?1nn?n?1??? 2n?12n2210．（1）由Sn?n2an?n(n?1)知，當n?2時，Sn?n，即(S(n?1)n?S?n1)?n(n2?1)Sn?n2Sn?1?n(n?1)，所以所以?n?1n1?1Sn?Sn?1?1，對n?2成立．又S1?1，nn?11n?1?n?1?Sn?1?(n?1)?1，即Sn?是首項為1，公差為1の等差數列．所以n?n?n2Sn?．

n?1（2）因為

bn?Sn1111??(?)32n?3n(n?1)(n?3)2n?1n?3，所以b1?b2?L?bn?． 11111111115115(????L????)?(??)?22435nn?2n?1n?326n?2n?312?k?18?k?6?k?411．（1）見解析；（2）解析；（3）存在，?或?或?．

m?5m?2m?18???12．（1）dn?1?2n?1（2）an?2n?1?1

?2n?12?n為偶數??3313．（1）見解析；（2）Sn??，（3）(??,1)

n?1?2?1n為奇數?3?314．（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）Sn?n?2n?1 15．（1）證明詳見解析；（2）?2???3．

7?1?16．（1）；（2）證明見解析；（3）an??2n?1????8?2?17．(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)(?9,3)?(3,??)

n?1．

答案第4頁，總5頁

Fpg 18．（1）詳見解析（2）詳見解析

Fpg