第一篇：求等比數列的參數及證明等比數列

求等比數列的參數及證明等比數列

例

1、（Ⅰ）已知數列?Cn?，其中Cn?2n?3n，且數列?Cn?1?pCn?為等比數列，求常數p；

（Ⅱ）設?an?、?bn?是公比不相等的兩個等比數列，Cn?an?bn，證明數列?Cn?不是等比數列

分析：要求常數p使數列?Cn?1?pCn?為等比數列，可從等比數列的概念和基本性質入手進行推理運算．

解：（Ⅰ）因為?Cn?1?pCn?是等比數列，故有(Cn?1?pCn)2?(Cn?2?pCn?1)(Cn?pCn?1)，將Cn?2n?3n代入上式，得

?2n?1?3n?1?p(2n?3n)?

2?2n?2?3n?2?p(2n?1?3n?1)?2n?3n?p(2n?1?3n?1)，即(2?p)2n?(3?p)3n

n?1???????(2?p)2?2?(3?p)3n?1?(2?p)2n?1?(3?p)3n?1 ???

整理得

解得 1(2?p)(3?p)?2n?3n?0，6p?2或p?3.（Ⅱ）設?an?、?bn?的公比分別為p、q，p?q，Cn?an?bn

2欲證?Cn?不是等比數列，只需證C2?C1?C

3事實上，2C2?(a1p?b1q)

2?a12p2?b12q2?2a1b1pq

C1?C3?(a1?b1)(a1p2?b1q2)

?a1p?b1q?a1b1(p?q)222222

22由于p?q，p?q?2pq，又a1、b1不為零，因此 2C2?C1?C3，故?Cn?不是等比數列．

小結：本題主要考查等比數列的基礎知識邏輯能力，第（2）題中證明一個數列不是等比數列，即證明數列中連續三項不滿足等比中項的性質，利用反例證明使數學常用的一種方法．

第二篇：證明等比數列

證明等比數列

記Cn=an*a(n+1)

cn/c(n-1)=an*a(n+1)/an*a(n-1)=a(n+1)/a(n-1)=

3a(2n-1)=3*a(2n-3)

a(2n)=3*a(2n-2)

bn=a(2n-1)+a(2n)=3*a(2n-3)+3*a(2n-2)=3(bn-1)

因此bn/b(n-1)=3，所以bn為等比數列，公比為3。

2設數列{a的第n項}的前n項和Sn=1/3(a的第n項-1)，n屬于自然數

求證：數列{a的第n項}為等比數列

Sn=1/3(an-1)

S(n-1)=1/3(a(n-1)-1)

Sn-S(n-1)=an=1/3(an-1-a(n-1)+1)=(an-a(n-1)/3

3an=an-a(n-1)

2an=-a(n-1)

an/a(n-1)=-1/

2所以數列{an}為等比數列

3已知前三項是2，4,8，數列滿足a(n+1)=a(n)+2n(就是第n+1項等于第n項加上2n)，求數列的通項公式。這兒沒有告訴你數列是等比數列，求通項公式之前必須證明它是等比數列，請問怎么證明?

因為：

a(n+1)-an=2n

所以：

a2-a1=2

a3-a2=

4a4-a3=6

a5-a4=8

.....a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知數列{3*2的N此方}，求證是等比數列

根據題意，數列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...為了驗證它是等比數列只需要比較任何一項和它相鄰項的比值是一個不依賴項次的固定比值就可以了.所以第n項和第n+1項分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因為比值是2,不依賴n的選擇,所以得到結論.5數列an前n項和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^2

=(n+1)2^n/4

=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

第三篇：等比數列的證明

等比數列的證明

數列an前n項和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^

2=(n+1)2^n/

4=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知數列{3*2的N此方}，求證是等比數列

根據題意，數列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...為了驗證它是等比數列只需要比較任何一項和它相鄰項的比值是一個不依賴項次的固定比值就可以了.所以第n項和第n+1項分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因為比值是2,不依賴n的選擇,所以得到結論.5數列an前n項和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

第四篇：等差等比數列的證明

專題：等差（等比）數列的證明

1.已知數列{a}中，anan1?5且?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）.?an?1?（Ⅰ）證明：數列?2n?為等差數列；（Ⅱ）求數列{an}的前n??

項和S.n

2.已知數列{a}中，an1?2且an?1?an?2n?3?0（n?2且n?N*）.證明：數列?an?2n?為等差數列；

3.已知數列{a}中，an1?4且2an?1?an?2n?5?0（n?2且n?N*）.證明：數列?an?2n?1?為等比數列；

4．數列{an}滿足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an.（1）求證：數列{an?1?an}是等比數列；（2）求數列{an}的通項公式；

5.已知各項均為正數的數列?an?前n項和為

1a且n是和S2Sn，首項為a1，n的等差中項.求數列?a?的通項公式； n

6.已知數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)設bn＝an－1，求證：數列{bn}是等比數列； 7.設數列?an?的各項都是正數，且對任意

n?N*，都有

a?a?a????????a?S

為數列的前n項和.3132333n2n，其中S

n

（I）求證：

a?2Sn?an;

n

（II）求數列?an?的通項公式；

8.數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)設bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數列；（2）.證明數列{n－2}

是等差數列

(3)設cn＝

9.已知正項數列{an}的前n項和Sn滿足 2Sn＝an＋1.求證：{an}是等差數列．

10.設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a{cn}是等比數列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求證：數列{an}為等差數列,并求{an}的通項公式；

(2)求數列{的前n項和Tn，an·an+1

11.設Sn是數列{an}（n?N*）的前n項和，已知a1?4，an?1?Sn?3n，設bn?Sn?3n.（Ⅰ）證明：數列{bn}是等比數列，并求數列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn

12.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1?，an＋2SnSn?1＝0(n?2)． 問：數列{1是否為等差數列？并證明你的結論；

Sn

?2log2bn?

n

?2，求數列{cn}的前n項和Tn.bn

13.已知等差數列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2?14x?45?0的兩根，數列{bn}的前n項的和為Sn，且Sn=

an·bn。求數列{an}，{bn}的通項公式；

1?bn

(n∈N*),Cn=

14.已知數列{an}與{bn}滿足

n1

3＋?－1?

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

設cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明{cn}是等比數列

15.已知在正項數列{an}中，a1＝2，點An(an，an＋1)在雙曲線y－x＝1上，數列{bn}中，點(bn，Tn)在直線y＝－x＋1上，其

中Tn是數列{bn}的前n項和．

(1)求數列{an}的通項公式；(2)求證：數列{bn}是等比數列；

第五篇：等比數列題

等比數列

【做一做1】 等比數列3,6,12,24的公比q＝__________.2．通項公式

等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則通項公式為an＝______(a1≠0，q≠0)．

【做一做2】 等比數列{an}中，a1＝2，q＝3，則an等于()

n－1A．6B．3×2

n－1nC．2×3D．6

【做一做3】 4與9的等比中項為()

A．6B．－6C．±6D．36

題型一求等比數列的通項公式

【例題1】 在等比數列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.分析：設公比q，列出關于a1和q的方程組來求解．

題型二等比數列的判定和證明

【例題2】 已知數列{an}滿足lg an＝3n＋5，求證：{an}是等比數列． 反思：證明數列是等比數列常用的方法：

①定義法：an＋1anq(q≠0，且是常數)或q(q≠0，且是常數)(n≥2)anan－1{an}為等比

數列．此法適用于給出通項公式的數列，如本題．

*②等比中項法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N){an}為等比數列．此法適用于通項公

式不明確的數列．

n－1*③通項法：an＝a1q(其中a1，q為非零常數，n∈N){an}為等比數列．此法適用于

做選擇題和填空題．

題型四易錯辨析

【例題4】 23與2－3的等比中項是__________．已知等比數列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()

A．243B．128C．81D．64

111，則其第8項是__________． ?，248

9123在等比數列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，則n＝__________.8332(2011·浙江杭州一模)已知等比數列前3項為