第一篇：等比數列教案

2.4 等比數列

（一）（一）教學目標

1．知識與技能：理解等比數列的概念,掌握等比數列的通項公式,理解這種數列的模型應用。

２.過程與方法：通過豐富實例抽象出等比數列模型，經歷由發現幾個具體數列的等比關系，歸納出等比數列的定義，通過與等差數列的通項公式的推導類比，探索等比數列的通項公式。

３.情態與價值：培養學生從實際問題中抽象出數列模型的能力。

（二）教學重、難點

重點：等比數列的定義和通項公式

難點：等比數列與指數函數的關系

（三）學法與教學用具

學法：首先由幾個具體實例抽象出等比數列的模型，從而歸納出等比數列的定義；與等差數列通項公式的推導類比，推導等比數列通項公式。

教學用具：投影儀

教學過程： [溫故知新] 我們已經學習過一種特殊的數列——等差數列，具備怎樣特征的數列才是等差數列呢？（學生齊答）

[情景設置] 實例

1、有三種投資方案可供選擇，它們的回報情況如下： 方案1:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元； 方案2:每天回報100元；

方案3:第一天回報0.1元,以后每天的回報金額比前一天翻一番。提問：應該選擇哪種方案，才能使收益最大化？

☆處理：設置情景，讓學生積極參與其中。通過羅列3種方案回報金額構成的數列，既復習了等差數列，又自然地引入了等比數列。

方案1：10 20 30 40 50 60 ? 方案2：100 100 100 100 100 100 ? 方案3：0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 ?

實例

2、觀察細胞分裂的過程：

構成數列：1，2，4，8?

實例3《莊子》中有這樣的論述：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”

1111，，… 構成數列：1，24816實例

4、計算機病毒傳播問題：

構成數列：1，20，202，203，204，?

實例

5、按銀行支付利息的復利方式計算本利和，若存入銀行1萬元錢,年利率是1.98%，每年本利和構成數列：

10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198 ,10000×1.0198?

34提問：上述5組數列有什么共同的特點？ 答：從第2項起,上述5組數列中每一項與前一項的比分別都等于常數2，2，1/2，20,1.0198。共同特點：從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數。☆處理：由學生自己觀察發現每個實例中隱藏的數列及其特征，并歸納總結出5組數列的共同特征，從而引出等比數列定義。

[探究新知]

一、等比數列定義:若一個數列從第2項起,每一項與前一項的比都等于同一個常數,則這個數列叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比,常用字母q表示。

an?q(n?2)an?1☆處理：類比等差數列定義，由學生自己總結等比數列定義，并將定義的文字語言轉換為數學符號語言。

例、判斷下列幾組數列是否為等比數列,若是, 求其公比。

，…（1）1,1，248111（2）-1，-2，-4，-8，?

（3）-1，2，-4，8，?（4）1，x，x，x?

（5）a, a, a, a ?

設計思路：趁熱打鐵，鞏固等比數列概念。學生可能認為數列(4)(5)也一定是等比數列，在糾錯的同時，自然地引出兩個注意事項。(2)(3)中的數列讓學生直觀地體會公比的正負對等比數列各項符號的影響。注意：

(1)q≠0, an ≠0(n ≥1)，q>0時各項同號,q<0時各項正負相間。

(2)各項不為0的常數列既是等差又是等比數列。

二、等比數列通項公式: 設計思路：先復習等差數列通項公式的各種推導方法，讓學生圍繞定義，仿照等差數列推導等比數列的通項公式。（學生分小組討論，根據各組討論情況，選三位同學演板并講解自己的推導思路。）

方法

一、歸納法 方法

二、累積法 方法

三、迭代法 23a2?a1qa3?a2q?a1q2aa2?q,3?qa1a2an?an?1q?(an?2q)q?an?2q2?(an?3q)q2?an?3q3??????ana4?q,?q3aa a4?a3q?a1q

3n?1ana2a3a4???????qn?1a1a2a3an?1a?aqn?1n1an?a1qn?1?a1qn?12

通項公式：若等比數列｛an｝的首項是a1，公比是q，則其通項公式為an?a1qn?1 設計思路：（1）回顧實例1中的三個數列，求出其通項公式。

（2）復習等差數列與一次函數的關系，通過計算機模擬演示，展示等比數列圖像，引導學生分析等比數列圖像與指數函數圖像的關系。（3）通過圖像和具體數據的計算讓學生體會指數爆炸現象。關于通項公式的兩點注意：

(1)函數思想：等比數列{an}的圖像是其對應的指數型函數y?上的一些孤立的點。

(2)方程思想：an,a1,q,n這四個量會知三求一。

[典例分析] 例

1、由右邊框圖,寫出所打印數列的前5項,并建立數列遞推公式。此數列是等比數列嗎? 若是,求其通項公式。分析:本題將算法知識介于其中，既體現了知識間的聯系性，又巧妙地引出了一個等比數列，而遞推關系也包含在程序框圖中。引導學生通過類比等差，體會要證明一個數列是等比數列,只需證明對于任意正整數n,a1x?q qan?1是an一個常數即可。

例

2、某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩留量是原來的84%,這種物質的半衰期為多長(精確到1年)？

分析: 要幫助學生發現實際問題中數列的等比關系,抽象出其數學模型。通項公式反映了數列的本質特征,因此關于等比數列的問題首先應想到它的通項公式an=a1qn-1，對于通項公式中的四個量要求會知三求一。

例

3、一個等比數列的第３項和第４項分別是12和18,求它的第１項和第２項。分析:由等比數列的通項公式列出方程組，求出通項公式，再由通項公式求得數列的任一項，這個過程可以幫助學生再次體會通項公式的作用及其與方程之間的聯系。

[演練天地]

1、求出引例2—5中等比數列的通項公式。

2、等比數列{an}中,(1)若a1=2,q=-3,求a8與an(2)若a1=2, a9=32,求q(3)若a1=8 ,an=3 ,q=3 ,求項數n 912

[課堂小結]

1、理解與掌握等比數列的定義及數學表達式：

an?q(n?2)an?

12、會推導等比數列的通項公式并掌握其基本應用an?a1qn?1

3、函數思想:等比數列與指數函數的聯系

[課后鞏固] 54頁 A組 7,8

[新課預知] 類比等差數列推導等比數列的相關性質

[課后反思] 從全面提高學生的素質考慮，本節課把等比數列定義及通項公式的探索、發現、創新等思維過程的暴露、知識形成過程的揭示作為教學重點；將類比、從特殊到一般的歸納等數學思想始終貫穿其中。這樣的設計不像將知識和盤托出那么容易，而是要求教師精心設計問題層次，由淺入深，循序漸進，不斷地激發學生思維的積極性和創造性，使學生自行發現知識、“創造”知識。這是不僅是對教師，也是對學生更高層次的要求。

第二篇：等比數列教案

等比數列（復習課）學案

一.基本要求： ① 理解等比數列的概念；② 掌握等比數列的通項公式與前n項和公式及應用③ 了解等比數

列與指數函數的關系

發展要求：①掌握等比數列的典型性質及應用。②能用類比觀點推導等比數列的性質

二．教學過程

（1）、知識回顧

1基礎訓練題

*（1）等比數列?an?的前n項和為Sn(n?N)，若a3?

（2）在等比數列?an?中，an?0，且a1?a2?1,S4?10，則a4?a5=()

A．16Ｂ．27Ｃ．36Ｄ．8

1（3）②設{an}是遞增的等比數列，a1?an?66,a2an?1?128，前ｎ項和Sｎ＝126，求n和公比q.（4）等比數列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99；

（5）.已知數列{an}滿足：a1?2,an?1?2an?1；

（1）求證：數列{an?1}是等比數列；（2）求數列{an}的前n項和。

32,S3?92，求數列的首項與公比.2能力提高題

1（08浙江）已知?an?是等比數列，a2?2，a5?

4，則a1a2?a2a3???anan?1=（）

（A）16（1?4?n）（B）16（1?2?n）（C）

3（1?4?n）（D）

323

（1?2?n）

D．(4n?1)

22．數列{an}的前n項和Sn?2n?1,則a12?a2???an?

（）

A．(2n?1)2

{a}

B．

(2?1)

n

C．4n?1

3.在等比數列n中，若1 A．100B．80

a?a2?40,a3?a4?60,則a7?a8

=（）

C．95D．13

54（2007陜西）各項均為正數的等比數列?an?的前n項和為Sn，若S10=2,S30=14,則

S40等于（）

（A）80（B）30(C)26(D)16

5.等比數列{an}中，an?0且a5a6?81，則log3a1?log3a2????log3a10的值是（）

A．20

B．10

C． 5

3116,a3?

14,則

1a1

?1

D．40

a2

?1a3

?1a4

?1a5

6.在等比數列{an}中，若a1?a2?a3?a4?a5?

=_________________。

7.在正項等比數列?an?中，a3、a7是方程２x2?７x?６?0的兩個根，則a40a50a60的值為（）A．32B．64C．?64D．256 變1： 在等比數列{an}中, 若a3、a7是方程２x2?７x?６?0的兩根,則a5的值為（）

A．3B．±3C．3D．±

3變2： 等比數列{an}中，a3，a9是方程２x2?７x?６?0的兩個根，則a6=（）A．3B．±3C．?D．以上皆非

變3：設{an}為公比q>1的等比數列，若a2004和a2005是方程4x?8x?3?0的兩根，則

a2006?a2007?

_____.3．思考題

1.已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比數列，則2.設f(n)?2?2?2?

2數列?an?中，a1?2,a2?3,且數列 ?anan?1?是以3為公比的等比數列，設bn?a2n?1?a2n(n?N)

?

a1?a3?a9a2?a4?a10

27的值是

4710

???2(8

n?

13n?10

(n?N)，則f(n)等于（）

27(8

n?3

（A）

(8?1)（B）

n

?1)（C）?1)（D）(8

n?

4?1)

3.(1)求a,a的值

（2）求證?bn?是等比數列

典型例題精析

題型一等差數列與等比數列的判定 1． 已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1,an+1=

n?2n

Sn, 求證：{

Snn

是等比數列．

2．在數列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*．（Ⅰ）證明數列?an?n?是等比數列；（Ⅱ）求數列?an?的前n項和Sn；

（Ⅲ）證明不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N*皆成立．

（Ⅰ）證明：由題設an?1?4an?3n?1，得an?1?(n?1)?4(an?n)，n?

*

N．

?an?n?是首項為1，且公比為4的等比數列．

n?1

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知an?n?4，于是數列?an?的通項公式為a所以數列?an?的前n項和S?4?1?n(n?1)．

又a1?1?1，所以數列

n

n

n

?4

n?1

?n．

（Ⅲ）證明：對任意的n?N

*，Sn?1?4Sn?

n?1

?1

?

(n?1)(n?2)

?4n?1n(n?1)? ?4???

32??

??

*2

(3n?n?4)≤0．所以不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N皆成立．

題型二 等差、等比數列中基本量的計算

3．在等比數列{an}中a1+an=66，a2an-1=128，且前n項和為Sn=126，求n和公比q．

4．設等比數列{an}的前n項和為Sn，S4=1，S8=17，求通項公式．

過關訓練

1．已知數列a，a(1－a)，a(1－a)2，a(1－a)3，?是等比數列，則實數a的取值范圍為

________________________．

*

2．在數列{an}中，a1＝2，2an＋1＋an＝0(n∈N)，則an＝______________．

23．在等比數列{an}中，已知首項a1an＝q，則項數n＝_______．

34．在等比數列{an}中，(1)a6＝6，a9＝9，則a3＝_________；

(2)a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a40·a50·a60＝______．

5．①“公差為0的等差數列是等比數列”；②“公比為；③“a，b，c三數成等比數

列的充要條件是b2＝ac”；④“a，b，c三數成等差數列的充要條件是2b＝a＋c”，以上四個命題中，正確的有_____________．

6．已知數列{an}是正項等比數列，a2a4＋2 a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝________． 7．等比數列{an}中，已知a9＝－2，則此數列前17項之積為___________． 8．一個三角形的三邊成等比數列，則公比q的范圍為_________________．

9．設等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，則q的值為

_____________． 10．首項為6的三個數成等比數列，若將它們依次分別減去4，3，2，則成等差數列，則此三個數是_________________．

ac

11．已知a，b，c成等比數列，如果a，x，b和b，y，c＝______．

xy

n

12．設數列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，則它的通項公式是an＝_______________．

4710

13．設f(n)＝2＋2＋2＋2＋…＋23n＋10，則f(n)＝_______________． 14．已知數列{an}的前n項和為Sn＝pn2－2n＋q．

(1)當q＝__________時，數列{an}是等差數列；

(2)在(1)的條件下，若a1與a5的等差中項為18，bn滿足an＝2log2bn，則數列的{bn}前n項和Tn＝______________．

等比數列的前n項和

選擇題

1．等比數列an中，S4?4，S8?8，則a17?a18?a19?a20的和為（）

A．4B． 3

C．16D．2

42已知等比數列的前n項和Sn?4?a，則a的值等于（）

A．－4B．－3 C．0D．

13．在等比數列?an?中，a1?4,q?5，使Sn?10的最小值n是（）

7n

??

A．11B．10 C．12D．9

4．在等比數列?an?中，Sn表示前n項和，若a3?2S2?1,a4?2S3?1，則公比q?（）A．3B．－3 C．－1D．1

5．在等比數列an中a1?8，q?，an?，則Sn等于（）

C．8D．1

56．等比數列1，2，4，?從第5項到第10項的和是（）

A．1024B．127 C．1000D．1008

7．等比數列an的各項都是正數，若a1?81，a5?16，則它的前5項的和是（）

A．179B．211 C．243D．275 8．等比數列an的前n項和Sn中（）

A．任意一項都不為零 B．必有一項為零 C．至多有有限為零

A．31B．

????

D．可以有無數項為零

9、某工廠總產值月平均增長率為p，則年平均增長率為（）

A、pB、12pC、(1?p)12D、(1?p)12?

1填空題

10．定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫作等和數列，這個常數叫作該數列的公和。已知數列?an?是等和數列，且a1?2，公和為5，那么a18的值為，這個數列的前21項和S21的值為。

11、某種產品計劃每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，則現在的成本是。

12、等比數列{an}中，a5?a6?a7?a5?48，那么這個數列的前10項和S10=。

解答題

13、在等比數列{an}中，已知S3?4,S6?36，求an。

14、在等比數列{an}中，已知a1?an?66，a2an?1?128

23n

?,an成等差數列（n為正整數）

15、已知f(x)?a1x?a2x?a3x???anx，且a1，a2，a3。又f(1)?n2，Sn

?126求n與q。

（1）求an。（2）比較f()與3的大小。f(?1)?n。

答案：

1、A2、B3、A4、A5、B

6、D7、B8、D9、D 10、3.52a11、3(1?q%)

12、1023

13、Sn?

?

2n?

114、n的值為6，q為2或

1215、（1）an?2n?1（2）f()?3

第三篇：等比數列教案

等比數列教案（第一課時）

彭水第一中學校

賀巧

教材分析：

三維目標：知識與技能：1.理解等比數列的定義；2.掌握等比數列的通項公式，會解決知道an，a1，q，n中的三個，求另一個的問題．

過程與方法：通過觀察具體數列的規律，從特殊到一般得到等比數列的定義；再由等比數列定義，引導學生推導出等比數列的通項公.情感態度與價值觀：培養學生的觀察與表達能力，通過等比數列通項的推導，訓練學生的邏輯思維能力。

重點：1.等比數列概念的理解與掌握；2.等比數列的通項公式的推導及應用． 難點：等比數列＂等比＂的理解、把握和應用．

易錯點：1.忽略公比q?0.2.將通項公式an?a1qn?1錯記為an?a1qn.前后銜接：上節中學習了等差數列，用類比的方法研究等比數列.命題傾向與經典題型：命題傾向于填空選擇題；主要是“知三求二”的題型，以及用累 乘法求一般數列通項公式.學情分析：

學生知識儲備：學生已經比較熟悉數列，會用觀察法求數列通項公式；通過等差數列的學習，已有研究特殊數列的一般方法與思路.預習及學法指導：建議學生用研究等差數列的方法與思路去預習看書，比較等差數列與 等比數列的異同點.教學方法：

如何突出重點：歸納類比，累乘法，典例講解，變式訓練.如何突出難點：關鍵在于緊扣定義，類比等差數列的相關知識，來發現解決問題的方法.如何辨析易錯點：1.準確理解等比數列定義.2.掌握等比數列通項公式的推導方法.教學過程：

一.新課引入

觀察下列數列，看其有何共同特點？

（1）1,2,4,8,16,32，?；

111***1-，-，（3），?.2481632（2）1，，，?；

數列（1）從第二項起，后一項與前一項的比值都為2；數列（2)從第二項起，后一項與前一項的比值都為11；數列（3）從第二項起，后一項與前一項的比值都為-.32總結：以上數列的共同特點從第二項起，后一項與前一項的比值都為同一個常數.二.新課講解

1．等比數列的定義：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數,那么這個數列叫做等比數列.這個常數叫等比數列的公比，用字母q表示（q≠0）.思考：（1）為什么q≠0？

（2）怎樣用數學表達式表示等比數列定義？

答案：(1)由于分母不能為0，再根據等比數列的定義知q不可能為0.(2)an?1?q(q為常數且q?0).an判斷下列數列是否為等比數列：（1）2,2,2,2,2，?；（2）0,0,0,0,0，?；（3）2,4,8,0,16，?.由此說明?等比數列中任何項都不能為0；?非零的常數列既是等比數列（公比為1）也是等差數列（公差為0）.2.探究等比數列的通項公式

觀察法：由等比數列的定義，有：a2?a1q； a3?a2q?(a1q)q?a1q2； a4?a3q?(a1q2)q?a1q3；

? ?

觀察序號n與q的次方數的關系，不難發現：an?a1?qn?1(a1，q?0)累乘法：有等比數列的定義，有

aa2aa?q；3?q；4?q；?；n?q a1a3an?1a2

所以a2a3a4a???n?qn?1，即an?a1?qn?1(a1，q?0)a1a2a3an?1因此得到等比數列的通項公式1：an?a1?qn?1(a1，q?0)思考：類比等差數列，若已知am，q，則an?.am?a1?qm?1，則a1?amamn?1n?1n?m.，所以a?a?q??q?a?qn1mm?1m?1qqn?m由此得到等比數列的通項公式2：an?am?q(n?m)

請學生寫出“引入”中，（1),(2),(3)的通項公式.3.例題講解

例1 一個等比數列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.解：?aa18332216??q? ?a2?3?12??8,a1?2?8??.1222q3q33例2 已知等比數列{an}中，a2?6,a5?162，求a3,an.解：法一 方程組思想???a1?q?6?a1?2n?1，?，?a?18，a?2?3?3n4?a1?q?162?q?3

法二 應用等比數列通項公式2 ?a5?a2?q5?2，?q?3，?a3?a2?q?18，an?a2?qn?2?2?3n?1

三．課堂訓練

基礎題：人教版A版教材P52，練習1；

中檔題：在等比數列{an}中，a3?6，a4?18，則a1?a2?.拔高題：在等比數列{an}中，a7?1求{an}的通項公式.，且a4，a5?1，a6成等差數列，四．課堂小結

1.等比數列的定義；

2.等比數列的通項公式． 五．作業布置

1.人教版A版課后習題2.4 A組第1題； 2.在數列{an}中，a1?六．板書設計

§2.4 等比數列

一．定義 例1 課堂訓練1.二．通項公式 例2 2.累乘法 3.七．教學反思

本堂課預設目標與內容順利完成。從學生的反應來看，大部分學生能夠掌握，會計算求等比數列的通項公式。少部分學生在計算上不熟練，因為前面等差數列中都是加減消元求首項和公差，而這節中要采用兩式相除求公比。課后還要多加練習才行。

1，an?1?2an?0，求a4，an.5

第四篇：《等比數列求和》教案

等比數列的前n項和（第一課時教案）

一、教材分析

1.從在教材中的地位與作用來看

《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，從教材的編寫順序上來看，等比數列的前n項和是第三章“數列”第五節的內容，一方面它是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續、與前面學習的函數等知識也有著密切的聯系，另一方面它又為進一步學習“數列的極限”等內容作準備。就知識的應用價值上來看，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。就內容的人文價值上來看，等比數列的前n項和公式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養學生的創新思維和探索精神,是培養學生應用意識和數學能力的良好載體。2.從學生認知角度來看

從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導．不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。3.學情分析

教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，對問題的分析缺乏深刻性和嚴謹性。4.重點、難點

教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用． 教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用．

公式推導所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。

二、目標分析

1．知識與技能目標：理解等比數列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。

2.過程與方法目標：通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合的思維能力，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質。

3．情感態度與價值觀：通過經歷對公式的探索，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美。用數學的觀點看問題，一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學的態度認識世界。

三、教學方法與教學手段

本節課屬于新授課型，主要利用計算機和實物投影等輔助教學，采用啟發探究，合作學習，自主學習等的教學模式.四、教學過程分析

學生是認知的主體，也是教學活動的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，引導學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我按照自主學習的教學模式來設計如下的教學過程，目的是在教學過程中促使學生自主學習，培養自主學習的習慣和意識，形成自主學習的能力。

1．創設情境，提出問題

在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大舍罕為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國王覺得太容易了，就同意了他的要求。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚．為什么呢？大家想一下，這個國王能夠滿足宰相的要求嗎？

【教師提問】

同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥粒總數．帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和．這時我對他們的這種思路給予肯定． 2．學生探究，解決情境

263在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，2，?，2是什么數列？有何特征？ 應歸結為什么數學問題呢？

探討1：，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯設s=1+2+22+23+???+26364系？（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）

探討2： 如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則2s64=2+22+23+???+263+264，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發現？ 有

【設計意圖】留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是很顯然的事，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而培養學生的辯證思維能力．

解決情境問題：經過比較、研究，學生發現：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩

s64?264?1式相減，相同的項就可以消去了，得到：。老師強調指出：這就是錯位相減法，并 2 要求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

【設計意圖】經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了，讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心，同時也為推導一般等比數列前n項和提供了方法。3．類比聯想，解決問題

這時我再順勢引導學生將結論一般化，設等比數列為?an?，公比為q，如何求它的前n項和？讓學生自主完成，然后對個別學生進行指導。

一般等比數列前n項和：Sn?a1?a2?a3????an?1?an??

即Sn?a1?a1q?a1q2??a1qn?2?a1qn?1??

方法1：錯位相減法

2n?2??a1qn?1?Sn?a1?a1q?a1q??a1q ?23n?1n??a1q?qSn?a1q?a1q?a1q??a1qa1(1?qn)?(1?q)Sn?a1?a1q?1?q這里的q能不能等于1？等比數列中的公比能不能為1？q=1時是什么數列？此時sn=？

n?a1(1?qn)??Sn??1?q?na??1q?1

q?1na1?a1qn在學生推導完成之后，我再問：由(1?q)Sn?a1?a1q得Sn?

1?q【設計意圖】在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。4．討論交流，延伸拓展

探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道, sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+?+a1qn-2)那么我們能否利用這個關系而求出Sn呢？ 方法2：提取公比q Sn?a1?a1q?a1q2??a1qn?2?a1qn?1 ?a1?q（a1?a1q??a1qn?2）?a1?q（Sn?a1qn?1）?(1?q)Sn?a1?a1qn

根據等比數列的定義又有呢？

方法3：利用等比定理

a2a3a4an===?==q，能否聯想到等比定理從而求出sna1a2a3an-13

aaa2a?3?4??n?q a1a2a3an?1a2?a3?????anS?a1?q?n(1?q)Sn?a1?anq

S?aa1?a2?????an?1nn??

【設計意圖】以疑導思，激發學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到Sn?a1?qsn?1, 這其實就是關于Sn的一個遞推式，遞推數列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發展有促進作用.領悟數學應用價值，從特殊到一般,從模仿到創新，有利于學生的知識遷移和能力提高。5．鞏固提高，深化認識

（1）口答：

在公比為q的等比數列{an}中

若a1?2,q?1，則Sn?________，若a1?1，q?1，則Sn?________ 33若a1=—15，a4=96，求q及S4，若a3?1,S3?4（2）判斷是非：

1?(1?2n)①1?2?4?8???(?2)

（）?1?2n23n1?(1?2)②1?2?2?2???2?

（）

1?2③若c?0且c?1，則

n?1121，求a1及q.2c?c?c???c2462n?c2[1?(c2)n]1?c（）

【設計意圖】對公式的再認識，剖析公式中的基本量及結構特征，識記公式,并加強計算能力的訓練。

6．例題講解，形成技能

例1．求和

1?a?a?a??a

1111例2．求等比數列，，?的第5項到第10項的和．

24816方法1： 觀察、發現：a5?a6???a10?S10?S4．

方法2： 此等比數列的連續項從第5項到第10項構成一個新的等比數列：首項為a5?16，公比為q?2，項數為n?6．

23n1111變式1：求11，2,3,4,5?的前n項和． 248163212345變式2：求，，?的前n項和．

2481632【設計意圖】采用變式教學設計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公 式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成．通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生自主學習的意識．解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥。7.總結歸納，加深理解

以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。

【設計意圖】以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。8．課后作業，分層練習

必做： P129練習3（1）習題3.5 第1題 選作： 思考題(1):求和 x+2x2+3x3+?+nxn.（2）畫一個邊長為2cm的正方形, 再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形,依此類推,這樣一共畫了10個正方形, 求這10個正方形的面積的和。

【設計意圖】布置彈性作業以使各個層次的學生都有所發展.讓學有余力的學生有思考的空間，便于學生開展自主學習。

五、評價分析

本節課通過三種推導方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握了等比數列前n項和公式．錯位相減：變加為減，等價轉化；遞推思想：縱橫聯系，揭示本質；等比定理：回歸定義，自然樸實．學生從中深刻地領會到推導過程中所蘊含的數學思想，培養了學生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時通過精講一題，發散一串的變式教學，使學生既鞏固了知識，又形成了技能，在此基礎上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養了學生勇于探索、不斷創新的思維品質，形成學習能力。

六、教學設計說明 1．情境設置生活化.本著新課程的教學理念，考慮到高一學生的心理特點以及初、高中教學的銜接，讓學生學生初步了解“數學來源于生活”，采用故事的形式創設問題情景，意在營造和諧、積極的學習氣氛，激發學生主動探究的欲望。2．問題探究活動化．

教學中本著以學生發展為本的理念，充分給學生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學習、合作探究,展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果，體驗數學學習成功的喜悅.通過師生之間不斷合作和交流，發展學生的數學觀察能力和語言表達能力，培養學生思維的發散性和嚴謹性。3．辨析質疑結構化．

在理解公式的基礎上,及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習.通過總結、辨析和反思，強化了公式的結構特征，促進學生主動建構，有助于學生形成知識模塊，優化知識體系。4．鞏固提高梯度化．

例題通過公式的正用和逆用進一步提高學生運用知識的能力；由教科書中的例題改編而成，并進行適當的變式,可以提高學生的模式識別的能力，培養學生思維的深刻性和靈活性。5．思路拓廣數學化．

從整理知識提升到強化方法，由課內鞏固延伸到課外思考，變“知識本位”為“學生本位”，使數學學習成為提高學生素質的有效途徑。以生活中的實例作為思考，讓學生認識到數學來源于生活并應用于生活，生活中處處有數學． 6．作業布置彈性化．

通過布置彈性作業，為學有余力的學生提供進一步發展的空間，有利于豐富學生的知識，拓展學生的視野，提高學生的數學素養．

第五篇：等比數列求和教案

《等比數列的前n項和》教學設計

教材：人教版必修五§2.5.1

教學目標：（1）知識目標：理解等比數列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數列的前

n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題；

（2）能力目標：提高學生的建模意識，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方

法，滲透方程思想、分類討論思想；

（3）情感目標：培養學生將數學學習放眼生活，用生活眼光看數學的思維品質； 教學重點：（1）等比數列的前n項和公式；

（2）等比數列的前n項和公式的應用； 教學難點：等比數列的前n項和公式的推導； 教學方法：問題探索法及啟發式講授法 教 具：多媒體 教學過程：

一、復習提問

回顧等比數列定義，通項公式。

（1）等比數列定義：（2）等比數列通項公式：

（，（3）等差數列前n項和公式的推導方法：倒序相加法。

二、問題引入：

閱讀:課本第55頁“國王賞麥的故事”。

問題:如何計算

引出課題:等比數列的前n項和。

三、問題探討： 問題：如何求等比數列的前n項和公式

回顧：等差數列的前n項和公式的推導方法。

倒序相加法。

等差數列

根據等差數列的定義

它的前n項和是

（1）

（2）

（1）+（2）得：

探究：等比數列的前n項和公式是否能用倒序相加法推導？

學生討論分析，得出等比數列的前n項和公式不能用倒序相加法推導。

回顧：等差數列前n項和公式的推導方法本質。

構造相同項，化繁為簡。

探究：等比數列前n項和公式是否能用這種思想推導？

根據等比數列的定義：

變形：

具體：

??

學生分組討論推導等比數列的前n項和公式，學生不難發現：

由于等比數列中的每一項乘以公比都等于其后一項。所以將這一特點應用在前n項和上。

由此構造相同項。數學具有和諧美，錯位相減，從而化繁為簡。

（1）

（2）

由此構造相同項。數學具有和諧美，錯位相減，從而化繁為簡。

當q=1時，當時，學生經過討論還發現了其他的推導方法，讓學生課后整合自己的思路，將各自的推導過程展示在班級學習園地，同學們共享探究。由等比數列的通項公式推出求和公式的第二種形式：

當

四.知識整合:

時，1．等比數列的前n項和公式：

當q=1時，當時，2．公式特征：

⑴等比數列求和時，應考慮

與

兩種情況。

⑵當時，等比數列前n項和公式有兩種形式,分別都涉及四個量，四個量中“知三求一”。

⑶等比數列通項公式結合前n項和公式涉及五個量，五個量中“知三求二”（方程思想）。3．等比數列前n項和公式推導方法：錯位相減法。

五、例題精講：

例1．運用公式解決國王賞麥故事中的難題。

變式練習：⑴求等比數列1,2,4,8?的前多少項和是63.⑵求等比數列1,2,4,8?第4項到第7項的和.，例2．畫一個邊長為2cm的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，依次類推⑴若一共畫了7個正方形，求第7個正方形的面積？

⑵若已知所畫正方形的面積和為畫的最后一個正方形的面積。，求一共畫了幾個正方形，及所 解：由題意得：每個正方形的面積構成等比數列，且

（1）

（2）

答：（1）第七個正方形的面積是。

（2）一共測了5個正方形，所畫的最后一個正方形的面積是。

鞏固練習：⑴已知等比數列中，,求。

⑵已知等比數列

六、課堂小結：

中，,，求n。

1、等比數列的前n項和公式：

當q=1時，當時，2、等比數列的前n項和推導方法：錯位相減法。

3、數學思想：類比，分類討論，方程的數學思想。

七、課后作業：

基礎題：課本P61習題2.5 A組1，2

提高題：求和（探究與發現：查閱網絡，思考等比數列前n項和公式還有無其它推導方法？