第一篇：等比數列經典故事

等比數列經典故事

根據歷史傳說記載，國際象棋起源于古印度，至今見諸于文獻最早的記錄是在薩珊王朝時期用波斯文寫的．據說，有位印度教宗師見國王自負虛浮，決定給他一個教訓．他向國王推薦了一種在當時尚無人知曉的游戲．國王當時整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無聊賴，很需要通過游戲方式來排遣郁悶的心情．

國王對這種新奇的游戲很快就產生了濃厚的興趣，高興之余，他便問那位宗師，作為對他忠心的獎賞，他需要得到什么賞賜．宗師開口說道：請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8粒??即每一個次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數目的倍數，直到最后一個格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了． “好吧！”國王哈哈大笑，慷慨地答應了宗師的這個謙卑的請求．

這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+??+2^63=2^64-1，直接寫出數字來就是18、446、744、073、709、551、615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內所產的小麥的總和！

如果造一個寬四米，高四米的糧倉來儲存這些糧食，那么這個糧倉就要長三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個來回。

國王哪有這么多的麥子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩·班·達依爾的一筆永遠也無法還清的債。

正當國王一籌莫展之際，王太子的數學教師知道了這件事，他笑著對國王說：“陛下，這個問題很簡單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會被它難倒？”國王大怒：“難道你要我把全世界兩千年產的小麥都給他？”年輕的教師說：“沒有必要啊，陛下。其實，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數一粒，數完18、446、744、073、709、551、615粒麥子所需要的時間，大約是5800億年（大家可以自己用計算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地數，數到他自己魂歸極樂，也只是數出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下無法支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜?！眹趸腥淮笪颍斚戮驼賮碓紫?，將教師的方法告訴了他。

西薩·班·達依爾沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜??我也只好不要了！”當然，最后宰相還是獲得了很多賞賜（沒有麥子）。

第二篇：等比數列題

等比數列

【做一做1】 等比數列3,6,12,24的公比q＝__________.2．通項公式

等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則通項公式為an＝______(a1≠0，q≠0)．

【做一做2】 等比數列{an}中，a1＝2，q＝3，則an等于()

n－1A．6B．3×2

n－1nC．2×3D．6

【做一做3】 4與9的等比中項為()

A．6B．－6C．±6D．36

題型一求等比數列的通項公式

【例題1】 在等比數列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.分析：設公比q，列出關于a1和q的方程組來求解．

題型二等比數列的判定和證明

【例題2】 已知數列{an}滿足lg an＝3n＋5，求證：{an}是等比數列． 反思：證明數列是等比數列常用的方法：

①定義法：an＋1anq(q≠0，且是常數)或q(q≠0，且是常數)(n≥2)anan－1{an}為等比

數列．此法適用于給出通項公式的數列，如本題．

*②等比中項法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N){an}為等比數列．此法適用于通項公

式不明確的數列．

n－1*③通項法：an＝a1q(其中a1，q為非零常數，n∈N){an}為等比數列．此法適用于

做選擇題和填空題．

題型四易錯辨析

【例題4】 23與2－3的等比中項是__________．已知等比數列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()

A．243B．128C．81D．64

111，則其第8項是__________． ?，248

9123在等比數列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，則n＝__________.8332(2011·浙江杭州一模)已知等比數列前3項為

第三篇：等比數列第一節

課題：等比數列及其前N項和

學習目標：掌握等比數列的定義，通項公式和前n項和的公式，并能利用這些知識解決有關

問題，培養學生的化歸能力

重點、難點：

對等比數列的判斷，通項公式和前n項和的公式及性質的應用

知識梳理：

1．等比數列的定義

由定義可推導等比數列的單調性為2．等比數列的是通項公式（如何推導？）通項公式的推廣：

3．等比中項 問題探究1：b2＝ac是a，b，c成等比數列的什么條件？ 4．等比數列的常用性質

(1)若{ab?1?2?n}，{n}(項數相同)是等比數列，則{λan}(λ≠0)，??an?，{an}，{an·bn}，?a??b?n?

是否是等比數列．

(2)若{an}為等比數列，且m＋n＝p＋q，則(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等比數列，公比為q，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比為的等比數列．(4)若{an}為等比數列，則數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是否是等比數列 5．等比數列的前n項和公式（如何推導？）

若已知首項a1，公比是q，則Sn＝，或首項是a1，末項an，Sn＝.6．問題探究2：如何用函數的觀點認識等比數列{an}的通項公式an及前n項和Sn?

典型例題： 考向一 等比數列基本量的計算

【例1】設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.考向二 等比數列的判定或證明

【例2】已知數列{aaan＋an＋1n}滿足1＝1，a2＝2，an*

＋2＝2，n∈N.(1)令bn＝an＋1－an，證明：{bn}是等比數列；(2)求{an}的通項公式．

考向三等比數列性質的應用

【例3】已知等比數列前n項的和為2，其后2n項的和為12，求再往后3n項的和.達標訓練：

1.等比數列{an}滿足：a1＋a6＝11，a3·a32

4＝

9，且公比q∈(0,1)．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若該數列前n項和Sn＝21，求n的值．

2.在等比數列{a}中，若a1

n1＝2a4＝－4，則公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.3、已知數列{an}是等比數列,且a*

n>0,n?N,a3a5?2a4a6?a5a7?81，則a4?a6?．

【收獲總結】

第四篇：2.3 等比數列（范文模版）

懷仁十一中高中部數學學案導學（三十三——1）

2.3 等比數列主備人袁永紅

教學目的：

1.掌握等比數列的定義.2.理解等比數列的通項公式及推導

教學重點：教學難點：學習關鍵：

自學指導

1．等比數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么

a這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），n=qan?

1（q≠01?“從第二項起”與“前一項”之比為常數(q)｛an｝成等比數列?an?1=q（n?N?,q≠0）.an

2? 隱含：任一項an?0且q?0、“an≠0”是數列｛an｝成等比數列的必要非充分條件． 3? q= 1時，{an}2.等比數列的通項公式1: an?a1?qn?1(a1?q?0)由等比數列的定義，有：

a2?a1q；a3?a2q?(a1q)q?a1q2；a4?a3q?(a1q2)q?a1q3；

? ? ? ? ? ? ? an?an?1q?a1?qn?1(a1?q?03.等比數列的通項公式2: an?am?qm?1(a1?q?0)

4．既是等差又是等比數列的數列：非零常數列．

5．證明數列{an}為等比數列：

①定義：證明an?1an?1an?22?a?a或?=常數，②中項性質：an ?1nn?2anan?1an

嘗試練習

1．求下面等比數列的第4項與第5項：

（1）5，－15，45，??；（2）1.2，2.4，4.8，??；（3）,.,??;(4)2,1,2.求下列等比數列的公比、第5項和第ｎ項：2133282，??.2

（1）2，6，18，54，?；（2）7，561428，,?;2739

（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，?；（4）5，5c?1，52c?1，53c?1,?.3.數列m,m,m,?m,()

A.一定是等比數列B.既是等差數列又是等比數列

C.一定是等差數列不一定是等比數列D.既不是等差數列，又不是等比數列

4.已知數列{an}是公比q≠±1的等比數列，則在{an+an+1},{an+1－an}，{

是等比數列的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（1）一個等比數列的第9項是，公比是－，求它的第1項.（2）一個等比數列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項與第4項.典例精講

例1.求下列各等比數列的通項公式：

1．a1=?2,a3=?8

解：a3?a1q?q2?4?q??24913an}{nan}這四個數列中，an?1?an?(?2)2n?1??2n或an?(?2)(?2)n?1?(?2)n

2．a1=5, 且2an?1=?3an解：q?an?13??an23又：a1?5?an?5?(?)n?1 2

an?1n ?ann?13．a1=5, 且

解：?an?1an1??2?,ann?1a12a32an?1 ?,??,n?a23an?1n

1a1?n例2.求出下列等比數列中的未知項：

(1)2,a,8;以上各式相乘得：an?

(2)-4,b,c,.解：

（１）根據題意，得

（２）根據題意，得

所以ａ＝４或ａ＝－４．

解得

所以ｂ＝２，ｃ＝－１．

例3在等比數列{an}中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．

解：（１）由等比數列的通項公式，得

（２）設等比數列的公比為ｑ，那么

所以

例4在243和３中間插入３個數，使這５個數成等比數列．

解設插入的三個數為a2，a3，a4，由題意知243，a2，a3，a4，3成等比數列．

設公比為ｑ，則

因此，所求三個數為８１，２７，９，或－８１，２７，－９．

基礎訓練

1.判斷下列數列是否為等比數列：

（１）１，１，１，１，１；

（２）０，１，２，４，８；

（３）1，?1111，?，.81624

2在等比數列{an}中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；

（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ.3.在243和３中間插入３個數，使這５個數成等比數列．

4.成等差數列的三個正數之和為15，若這三個數分別加上1，3，9后又成等比數列，求這三個數.能力提升

1．在等比數列｛an｝中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，則a9·a10·a11的值等于()

A.48B.72C.144D.192

2．在等比數列中，已知首項為

3．已知等比數列{an}的公比q=－912，末項為,公比為，則項數n等于______.833a?a3?a5?a71,則13a2?a4?a6?a8

4．已知數列｛an｝為等比數列，(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5.(2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.5.已知數列｛an｝滿足：lgan＝3n＋5，試用定義證明｛an｝是等比數列.6．有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12

學習反思

第五篇：等比數列復習題

等比數列

[重點]

等比數列的概念，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式。1．定義：數列{an}若滿足

an?

1=q(q?0,q為常數)稱為等比數列。q為公比。an

2．通項公式：an=a1qn-1(a1?0、q?0)。

?na13.前n

4.性質：（man=a2p，（3）記 5a

1和q[難點]

例題選講1.（湖北），則a?

（）2．（遼寧）,則Sn等于（）3．已知a1（1）（2）設（3）記bn=

2，求｛bn｝數列的前項和Sn，并證明Sn+=1.?

anan?23Tn?1

一、選擇題

1．在公比q?1的等比數列{an}中，若am=p,則am+n的值為（）

n+1n-1nm+n-

1（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq

2.若數列{an}是等比數列，公比為q，則下列命題中是真命題的是（）（A）若q>1,則an+1>an（B）若0

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（C）若q=1,則sn+1=Sn（D）若-1

b9bb9b10

（A）8（B）（）（C）9（D）（）10

aaaa

4．在2與6之間插入n個數，使它們組成等比數列，則這個數列的公比為

（）（A）3（B）1（C）n（D）n

35．若

值為（（A）6?0)

(2){a2n-1的個數為（A）（7a、b（（A）8C，則一AC=B2（9．（）

（A）10．設n} 中（（A（C）至多有一項為零（D）或有一項為零，或有無窮多項為零 11．在由正數組成的等比數列{an}中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值為

43（A）（B）（C）2（D）3

（）

4n?

112．在正項等比數列{an}中，a1+a2+……an=,則a1+a2+…an的值為

（）

（A）2n（B）2n-1（C）2n+1（D）2n+1-

213.數列{an}是正數組成的等比數列，公比q=2,a1a2a3……a20=a50,，則a2a4a6……a20的值為（A）230（B）283（C）2170（D）2102-2（）

14．在數列{an}中，a1=2,an+1=2an+2,則a100的值為（）

（A）2100-2（B）2101-2（C）2101（D）21

515．某商品的價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，最后一年的價格與原來的價格比較，變化情況是（）

（A

123．已知…,xn,bK，則45．5a7+2,則實數6．若28在n1.已知等比數列{an}，公比為-2，它的第n項為48，第2n-3項為192，求此數列的通項公式。

2.數列{an}是正項等比數列，它的前n項和為80，其中數值最大的項為54，前2n項的和為6560，求它的前100項的和。

3.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比數列，且公比為q,求證：（1）q3+ q 2+q=1,a

（2）q=

c

11,從第二項起，{an}是以為公比的等比數列，{an}22的前n項和為Sn，試問：S1,S2,S3…,Sn,…能否構成等比數列？為什么？

4.已知數列{an}滿足a1=1,a2=-

5.求Sn=(x+

111)+(x2+2)+…+(xn+n)(y?0)。yyy

6.某企業年初有資金1000萬元，如果該企業經過生產經營，50%，但每年年底都要扣除消費基金x資金達到2000萬元（扣除消費基金后）（精確到萬元）。

7.已知數列{an}滿足a1=1,a2n比為q的等比數列(q>0),bn=anan+1，cn=a2n-1+a2n,求cn。

8.7m2,1000/ m2，一次性國家財政補貼28800元，學校補貼14400若付107.5%每年復利一次計算(即本年利息計入次年的本息),那么每年應付款多少元?(參考數據:1.0759

1011

?1.921,1.075?2.065,1.075?2.221)

第八單元等比數列

一、選擇題CDACABCDBDABABD

二、填空題 1．

12．50，10，2或2,10,50 3．ab

k7k27

4．05.?9簡解：a3+a9=-,a3a9=a5a7=-,∴(-)=3×+2?k=?933336、1Ar(1?r)n

7.2?248、n

(1?r)?

2二、解答題

n?

1?①?an?a1(?2)?48n-1n-1

1．?解得a=3(-2)。1=3 ∴an=a1q2n?

4??192②?a2n?3?a1(?2)

?a1(1?qn)

①?80

2．∵

n項中又由3．（a

? c

4.當當當n?1(1?121?2S

1n-1?n?1

∴Sn=()Sn

1()n

??{S}可以構成等比數列。

?n1n?1

2()25、當x?1,y?1時，11(1?)nnyx(1?x)x?xn?11?yny1112n

???n∴Sn=(x+x+…+x)+(+)= ???n?

111?x1?xyy2yny?y1?

y

1?yn

當x=1,y?1時Sn=n+n n?1

y?y

x?xn?1

?n 當x?1,y=1時Sn=

1?x

當x=y=1時Sn=2n

6.設an表示第n年年底扣除消費基金后的資金。

a1=1000(1+)-x

21111

a2=[1000(1+)-x](1+)-x=1000(1+)2-x(1+)-x

a3類推所得a5則1000,解得x?

7、∵bn+1由a1=1,a由a2=r,a∴Cn8依次類推第n則各年付款的本利和{an}為等比數列。

x(1?1.07510)

元。∴10年付款的本利和為S10=

1?1.075

個人負擔的余額總數為72×1000-28800-14400=28800元。10年后余款的本利和為18800×1.07510

1?1.0751028800?1.07510?0.07510

?28800?1.075解得x=?4200元 ∴x?10

1?1.0751.075?1