第一篇：排序不等式2

東安一中奧賽培訓專題 《不等式的證明》陳雄武

《排序不等式，琴生不等式》及應用

1、（排序不等式）：設有兩組數a1,a 2，滿,足?,an,bb;?,bn,12a1? a2???an,b1?b2???bn，則有a1b1?a2b2???anbn（順序和）

?a1bi1?a2bi2???anbin（亂序和）?a1bn?a2bn?1???anb1（逆序和）2，（切比雪夫不等式）：若a1?a2???an，b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbna1?a2???anb1?b2???bn ??.nnn

證明：由題設和排序不等式，有a1b1?a2b2???anbn=a1b

1?a2b2???anbn，a1b1?a2b2???anbn?a1b2?a2b3???anb1，……a1b1?a2b2???anbn?a1bn?a2b1???anbn?1.將上述n個不等式疊加后，兩邊同除以n2，即得欲證的不等式.f(x)是定義在實數集M上的函數，且對任意的xl、x2 ∈M，都有

?x?x?，f?x1??f?x2??2f?12?，則對任意的xi ∈M（i = 1，2，…，n）

?2?

?3，（Jensen 琴生不等式）設?1n?，f?xi??nf??xi??i?1?ni?1?na2?b2b2?c2c2?a2a2b2c

2?????.例1：a,b,c?R，求證a?b?c?2c2a2bbccaab

例2：在△ABC中，試證：

?3?aA?bB?cC??.a?b?c2

例3：設a1,a2,?,an是互不相同的自然數，試證1?

ana1

1????a1?2???.2n22n2

例4：設b1,b2,?,bn是正數a1,a2,?,an的一個排列，求證

aa1a2

????n?n.b1b2bn

例5：設正數a,b,c的乘積abc?1，試證：(a?1?)(b?1?)(c?1?

1b1c1)?1.a

例6：設正數a、b、c的乘積abc?1,證明

3???.22

2a(b?c)b(c?a)c(a?b)2

例7：設實數x1?x2???xn,y1?y2???yn,z1,z2,?,zn是y1,y2,?,yn的一個置換，證明：

?(x

i?

1n

i

?yi)??(xi?zi)2.i?1

n

akn1

例8：設ak是兩兩互異的正整數（k?1,2,?)，證明對任意正整數n，均有?2??.i?1ki?1k

n

n

例9：x1,x2,...,xn?R?(n?2),且

?

x

i?1

i

?1，證明：i?1

n

?

n

3.已知xi?0,(i?1,2,?,n)，n?2,x1?x2???xn?1，求證：(1?

1n11)?(1?)n???(1?)n?n(n?1)nx1x2xn

1111111

證：?[(1?)n?(1?)n???(1?)n]?(1?)n(1?)n?(1?)n

nx1x2xnx1x2xn

111)(1?)?(1?)x1x2xn

bbbbbb

(利用結論：[(1?1)(1?2)?(1?n)]n?1?(12?n)n);

a1a2ana1a2an ?(1?

?[(1?

1111)(1?)?(1?)]?1?()?1?x1x2xnx1x2?xn

n1n

x1x2?xn

x1?x2???xn1

?

nn1

?[(1?)(1?)?(1?)]n?1?n

x1x2xn又?x1x2?xn?

?(1?(1?

111)(1?)?(1?)?(n?1)nx1x2xn

1n11)?(1?)n???(1?)n?n(n?1)nx1x2xn

4.若P為?ABC內任一點，求證?PAB、?PBC、?PCA中至少有一個小于或等于30?；證：設?PAB??、?PBC??、?PCA??，且?PAC??'、?PBA??'、?PCB??';PAsin??PBsin?'?

?

依正弦定理有：PBsin??PCsin?'??sin?sin?sin??sin?'sin?'sin?'

PCsin??PAsin?'???(sin?sin?sin?)2?sin?sin?sin?sin?'sin?'sin?'

sin??sin??sin??sin?'?sin?'?sin?'6)

6???????'??'??'1?sin6()?()6

62?（?sin?sin?sin??()

3???30?,否則??150?時，?、?中必有一個滿足??30??在?、?、?,中必有一個角滿足sin??

第二篇：排序不等式及證明

四、排序不等式

【】

（一）概念9： 設有兩組實數

a1，a2，???，an（1）b1，b2，???，bn（2）滿足

a1?a2?????an（3）b1?b2?????bn（4）另設

???,cn（5）c1，c2，是實數組（2）的一個排列，記

逆序積和S?a1bn?a2bn?1??anb1 亂序積和S'?a1c1?a2c2??ancn 似序積和S''?a1b1?a2b2?????anbn 那么

S?S'?S'' 且等式成立當且僅當a1?a2?????an

或者

b1?b2?????bn

證明【9】：

1，預備知識

引理1（Abel變換）設（1）（2）為任意兩組有序的實數組，令

k

B0?0，Bk?那么

n

?b,i

i?1

n?1

?akbk?anBn??(ak?1?ak)Bk

k?1

k?1

事實上：

n

n

?akbk?

k?1

?a

k?1n?1

k

(Bk?Bk?1)?an(Bn?Bn?1)?an?1(Bn?1?Bn?2)?????a1B1

?anBn?(anBn?1?an?1Bn?1)?(an?1Bn?2?an?2Bn?2)?????(a2?a1)B1?anBn??(ak?1?ak)Bk

k?1

引理2設實數組（2）滿足（4）式，實數組（5）是實數組（2）的任意一個排列，那么顯然有

k

k

k

?bi??ci??bn?i?1

i?1

i?1

i?1

引理3設實數組（2）滿足（4），那么

kk

?bi??bn?i?1

i?1

i?1

若存在1?k?m?n使等號成立當且僅當b1?b2?????bn

2，證明首先：

S?S'?a1(bn?c1)?a2(bn?1?c2)?????an(b1?cn)不妨設

k

B0?0,Bk?

?(b

i?1

n?i?1

?ci)

那么由引理2，有Bk?0,Bn?0

則由Abel變換以及ai?ai?1，得到(ak?1?ak)Bk?0 所以

n?1

'

n?1

S?S?anBn??(ak?1?ak)Bk???(ak?1?ak)Bk?0

k?1

k?1

即S?S 同理，設

'

B0?0,Bk?

''

k

?(c

i?1

i

?bi)

則可證

S'?S''?a1(c1?b1)?a2(c2?b2)?????an(cn?bn)

n?1

???(ak?1?ak)B'k?0

k?1

要使得等號成立，即 S?S'?S''

則對k?1,2,???,n?1,有

(ak?1?ak)Bk?0

(ak?1?ak)B'k?0 那么有下列兩種情形：

(i)a1?a2?????an

(ii)存在1?m?n?1，使得a1?a2?????am,am?am?1 這時必有

'

Bm?0,Bm?0 從而

m

m

n?i?1

m

n?i?1

Bm?

?(b

i?1

?ci)?

?b

i?1

??ci?0

i?1

Bm? 所以

m

'

mm

i

m

i

i

?(c

i?1

?bi)?

?c??b

i?1

i?1

?0

?bn?i?1?

i?1

?b

i

i?1

m

由引理3得

b1?b2?????bn

第三篇：柯西不等式與排序不等式練習題

2013年高中數學IB模塊選修4-5專題測試

（一）試題內容：柯西不等式與排序不等式 試卷總分：120分考試時間：60分鐘

一、選擇題（共8小題，每題5分，共40分）

1、a,b,c,d?R，不等式a?b

?

2??

c2?d2??ac?bd?取等號的條件是（）

?

2A．ab?dc?0B．ad?bc?0C．ad?bc?0D．ac?bd?0

2、設a1?a2?a3,b1?b2?b3，下列最小的是（）

A．a1b3?a2b2?a3b1B．a1b1?a2b2?a3b3C．a1b2?a2b1?a3b3D．a1b1?a2b3?a3b23、若四個實數a1,a2,a3,a4滿足?a2?a1???a3?a2???a4?a3??1，則?a3?a4???a1?a2?的最大值為（）

A．1B

C．2D4、a,b是非零實數，a?b?1，x1,x2?R,M??ax1?bx2??bx1?ax2?,N?x1x2，則M與N的大小關

?

222

系為（）

A．M?NB．M?NC．M?ND．M?N5、若實數x,y滿足(x?5)?(y?12)?14，則x?y的最小值是（）

A．2B．1C

D6、x,y,z?R，且x?2y?2z?5，(x?5)?(y?1)?(z?3)的最小值是（）

A．20B．25C．36D．477、已知a,b,c,d?R，且滿足a?b?c?d?

625??（）

A．25B．50C．

22222

2222

?

5D．625

28、已知0?a,b,c?1，且a?b?c?2，則a?b?c的取值范圍是（）

A．?,???B．?,2?C．?,2?D．?,2?

333

3二、填空題（共5小題，每題4分，共20分）

9、x,y?

?0,1??

?4????4????4????4???的最大值是

10、設x,y,?R?，那么?x?y??

11、設

?14?

??的最小值是xy??

2，那么x1,x2,x3,?xn?0,a1,a2,a3,?an?0,x1?x2?x3???x?1t?ax?axn1122

?a3x32???anxn2的最小值是

12、設2x?3y?4z?22,(x,y,z?0)，則

三、解答題（共5小題，每題60分）

239

??的最小值是，此時xyz.xyz

b4?c4c4?a4a4?b413、（本小題10分）設a,b,c?R，利用排序不等式證明：a?b?c? ??

2a2b2c

?

33314、（本小題10分）設x1,x2,x3是不同的自然數，求s?

15、（本小題10分）設n?N,n?

2，利用柯西不等式證明：

16、（本小題10分）求函數y?

x1x2x

3??的最小值。149

41111。???????

7n?1n?22n?12nsinx?3cosx的值域

sinx?2cosx?

117、（本小題20分）（2012浙江考試院樣卷）題號：03“數學史與不等式選講”模塊

（1）設a，b，c為實數，求證：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca；（2）若正實數a，b，c滿足abc＝1，求

a4b(a?c)

?

b4c(a?b)

?

c4a(b?c)的最小值．

2013年高中數學IB模塊選修4-5專題測試

（一）┄┄┄⊙

中學班級姓名 學號考號答 題 卷

一、選擇題（每小題4分，共40分）

16.（本小題共12分）

17.（本小題20分）

2013年高中數學IB模塊選修4-5專題測試

（一）參 考 答 案

1.C2.A3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.110.911.11

112.,2,2,3.11112?????a1a2a3an

13證明：不妨設0?a?b?c,則a?b?c,111

??，cba

a4b4c4a4b4c

4a?b?c???（逆序和）???

abccaba4b4c4a4b4c4

a?b?c???（逆序和）???

abcbca

b4?c4c4?a4a4?b4

?a?b?c???

2a2b2c

14解：不妨設1?x1?2?x2?3，由排序不等式，s?15.證明：由柯西不等式得

x1x2x312311

??????。1491496

111??1

2??n?1?n?2???n?n?????????????n???n?1n?22n?12n??

11112n4????????n?1n?22n?12n3n?17

1111

?????n?1n?22n?12n?1?1???1

又：

?

?

?1111?

???????2222

??2n?1??

2n????n?1??n?2??

1?11??????

nn?1n?1n?22n?12n

???16、原式可化為

y?sinx?2cosx?1??sinx?3cosx 即y?(y?1)sinx?(2x?3)cosx

利用柯西不等式及sin2x?cos2?1可得

y2??(y?1)sinx?(2x?3)cosx???sin2x?cos2x??y?1???2y?3?

?

2?

即y2??y?1???2y?3? 化簡得

2y2?7y?5?0

?5?

所以函數值域為（-?，1）??，???

?2?

2217、“數學史與不等式選講”模塊

(1)證明1：因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加并除以2得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

(1)證明2：因為a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，222

所以 a＋b＋c≥ab＋bc＋ca．…………5分

(2)解：由(1)及柯西不等式，均值不等式知

a4b(a?c)

?

b4c(?a

?

b)

≥

a(?b)c2(ab?bc?ca)

c4(a2?b2?c2)2

≥

(a2＋b2＋c2)

a4b(a?c)

32，當且僅當a＝b＝c＝1時等號成立，所以

?

b4c(a?b)

?

c4a(b?c)的最小值為

…………10分

第四篇：分類例析排序不等式的應用（定稿）

龍源期刊網 http://.cn

分類例析排序不等式的應用

作者：薛毓鈴

來源：《福建中學數學》2013年第12期

排序不等式是一個經典不等式，是高中數學競賽內容及普通高中課標課程的選修內容，其結構規律簡明、易于記憶.根據排序不等式的結構特征，對于具有明確大小順序且數目相同的兩組數，當需要考慮它們對應項乘積之和的大小關系時，排序不等式是一個極其有用的工具.掌握排序不等式對證明不等式、比較大小、求最值、解應用題等問題大有裨益.它與“算術平均值≥幾何平均值”法相得益彰，展學生數學思維，培養學生的創新能力，凸顯排不等式的數學意義，體現學生解題的靈活性和敏性.

第五篇：數學研究性學習柯西不等式 排序不等式

2010年南師附中數學研究性學習撰稿人 高一九班 陳點

柯西不等式和排序不等式的多種證明方法（課本延伸課題18）——2010.4 數學研究性學習撰寫人 陳點

柯西不等式的一般式：

適用范圍：證明不等式、解三角形、求函數最值、解方程等問題。接下來我將以幾種較為主流的證明方法來證明： 求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai〃bi)^2證法一（代數證明，運用二次函數，最主流證法）：

當a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立 令A=∑ai^2 B=∑ai〃bi C=∑bi^2

當a1，a2，…，an中至少有一個不是零時，可知A＞0 構造二次函數f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，f(x)＝∑(ai^2〃x^2＋2ai〃bi〃x＋bi^2)＝∑(ai〃x＋bi)^2≥0f(x)的判別式△＝4B^2－4AC≤0，移項得AC≥B^2，證畢。

證法二（其中幾個特殊情況，為2與3時即向量公式）

n=1時，a1^2〃b1^2≥(a1b1)^2（這個…不解釋）a1=a2=a3=…=an,b1=b2=b3=…=bn時同此證

n=2時，即為(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2

即(a1b1)^2+(a1b2)^2+(a2b1)^2+(a2b2)^2≥(a1b1)^2+(a2b2)^2+2a1b1a2b2 即(a1b2)^2+(a2b1)^2≥2a1b1a2b2

因為a2≥a1，b2≥b1，亂序和≥倒序和

故一定成立（呵呵，還一不小心把排序不等式引出來了）

證法三（這個是網上找的很權威的數學歸納法，因為我想出來的證法二是其鋪墊，故引用說明。數學歸納法也是一種非常常見且正規的證明方法。）（1）當n?1時左式=?a1b1?右式=?a1b1? 顯然左式=右式

2當 n?2時，右式 ??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

⑴

⑵

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??右式

222

僅當即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時等號成立 b1b2

故n?1,2時 不等式成立

（2）假設n?k?k??,k?2?時，不等式成立

2k???ak即 ?a1b1?a2b2???akbk???a12?a2??b12?b22???bkk?

當 bi?kai，k為常數，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

222

???bk2 ???ak設??a12?a2??b12?b2

C?a1b1?a2b2???akbk

則???ak2?1????bk2?1??????bk2?1?ak?1bk?1 22?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222222

???ak?ak??a12?a2?1??b1?b2???bk?bk?1?

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當 bi?kai，k為常數，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

即n?k?1時不等式成立

綜合（1）（2）可知不等式成立

其實還有很多證明的方法，證明柯西不等式還可以利用比值法，歸納法，歸納法與綜合法，歸納法與平均值不等式，排序不等式，參數平均值不等式，行列式，內積（向量）法，構造單調數列，凹凸函數法（來自奧數老師）……再者，拉格朗日恒等式也相當簡單，在此不一一說明，可見證明此式方法之多。

柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用運用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，這個不等式結構和諧，應用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問題： 1）證明相關命題 2）證明不等式 3）解三角形的相關問題 4）求最值

5）利用柯西不等式解方程

6）用柯西不等式解釋樣本線性相關系數（這個完全不理解，不過有這么一說）

排序不等式（又稱）

簡單來說，就是：反序和≤亂序和≤同序和

即a1b1?a2b2??anbn?a1c1?a2c2???ancn?a1bn?a2bn?1??anb1

⑶

其中，Cn為亂序數列。

證明：1.證亂序和小于正序和，以下證明中原式為亂序和

從第一個起，將a1b?與a?b1轉變為a1b1與a?b?，設其為x，y，則有

a1b1+axby-a1bx+ayb1≧0（因為x，y≧1，根據等式的性質可得），然后

再往下，第二個a2bw與azb2…… 以此類推，到最后得出的式子為正序和，因為每步的過程均使原式減小或不變，故終式不小于原式2.證亂序和大于倒序和

從第一個起，將a1b?與a?bn轉變為a1bn與a?b?, 設其為x，y，則有a1b1+axby-a1bx+ayb1≦0(因為x≧1,y≦n)故成立，基本上同理

排序不等式證明的關鍵在于有順序的變化，每次變化使式子朝一個方向發展，這樣就可輕易推出最終的結論。

應用：

1.排序不等式的基本應用。排序不等式在解決一些常見不等式時，具有簡單直觀的特點

2.證明不等式時兩次或多次運用排序不等式，將結果相加，也是常見方法。3．經過適當變形后再運用排序不等式的問題，常見于一些比較難的習題或競賽題

拓展：

排序不等式的另一種表述形式 設

a1?a2???an,b1?b2???bn

c,c,?,cnb1,b2?bn

為兩組實數，12是的任一排

列，則三個矩陣

?a1a2?an??a1?a2???an??a1?a2???an???????b?b???b??b?b???b???cc?c?

12n?12n?nn?11????A：B：C：

我們稱A為順序矩陣，B為亂序矩陣，C為反序矩陣 它們的列積和（同列相乘再相加）：

a1b1?a2b2??anbn?a1c1?a2c2???ancn?a1bn?a2bn?1??anb1

即：順序和?亂序和?反序和

在此，我們沒必要知道矩陣的更多知識，而只是利用它這種形式。因為它更直觀，便于在解題中尋找數列

b1,b2,?bn的一個我們需要的亂序，更易掌握和應用。

⑴柯西不等式的向量說法：|α||β|≥|α〃β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等號成立條件：β為零向量，或α=λβ（λ∈R）。⑵數學歸納法（這里說的是第一數學歸納法）：

即一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：1）證明當n取第一個值時命題成立；

2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

⑶拉格朗日恒等式：