第一篇：高考不等式解題詳解

高考數學不等式解法

不等式這部分知識,滲透在中學數學各個分支中,有著十分廣泛的應用.因此不等式應用問題體現了一定的綜合性、靈活多樣性,對數學各部分知識融會貫通,起到了很好的促進作用.在解決問題時,要依據題設與結論的結構特點、內在聯系、選擇適當的解決方案,最終歸結為不等式的求解或證明.不等式的應用范圍十分廣泛,它始終貫串在整個中學數學之中.諸如集合問題,方程(組)的解的討論,函數單調性的研究,函數定義域的確定,三角、數列、復數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題,無一不與不等式有著密切的聯系,許多問題,最終都可歸結為不等式的求解或證明。

一、知識整合1.解不等式的核心問題是不等式的同解變形,不等式的性質則是不等式變形的理論依據,方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解法密切相關,要善于把它們有機地聯系起來,互相轉化.在解不等式中,換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過換元,可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式,通過構造函數、數形結合,則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關系,對含有參數的不等式,運用圖解法可以使得分類標準明晰.2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎,利用不等式的性質及函數的單調性,將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想,分類、換元、數形結

合是解不等式的常用方法.方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解密切相關,要善于把它們有機地聯系起來,相互轉化和相互變用.3.在不等式的求解中,換元法和圖解法是常用的技巧之一,通過換元,可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式,通過構造函數,將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系,對含有參數的不等式,運用圖解法,可以使分類標準更加明晰.4.證明不等式的方法靈活多樣,但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法.要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系,選擇適當的證明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應的步驟,技巧和語言特點.比較法的一般步驟是:作差(商)→變形→判斷符號(值).5.證明不等式的方法多樣,內容豐富、技巧性較強.在證明不等式前,要依據題設和待證不等式的結構特點、內在聯系,選擇適當的證明方法.通過等式或不等式的運算,將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式,從而使原不等式得到證明;反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手,經過一系列的運算而導出待證的不等式,前者是“執果索因”,后者是“由因導果”,為溝通聯系的途徑,證明時往往聯合使用分析綜合法,兩面夾擊,相輔相成,達到欲證的目的.6.不等式應用問題體現了一定的綜合性.這類問題大致可以分為兩類:一類是建立不等式、解不等式;另一類是建立函數式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函數的最值時,要特別注意“正數、定值和相等”三個條件缺一不可,有時需要適當拼湊,使之符合這三個條件.利

用不等式解應用題的基本步驟:1.審題,2.建立不等式模型,3.解數學問題,4.作答。

7.通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函數、數列、復數、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用,深化數學知識間的融匯貫通,從而提高分析問題解決問題的能力.在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中,提高學生數學素質及創新意識.二、方法技巧

1.解不等式的基本思想是轉化、化歸,一般都轉化為最簡單的一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來求解,。

2.解含參數不等式時,要特別注意數形結合思想,函數與方程思想,分類討論思想的錄活運用。

3.不等式證明方法有多種,既要注意到各種證法的適用范圍,又要注意在掌握常規證法的基礎上,選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。

4.根據題目結構特點,執果索因,往往是有效的思維方法。

1.常用不等式：

（1）a,b?R

?a?b?2ab

a?b

2?

(當且僅當a＝b時取“=”號)．(當且僅當a＝b時取“=”號)．

（2）a,b?

R??

（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).（4）a?b?a?b?a?

2.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a與ax2?bx?c同號，則其解集在兩根之外；

如果a與ax2?bx?c異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；

x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).3.含有絕對值的不等式 當a> 0時，有 x?a?x2

?a2

??a?x?a.x?a?x2?a2

?x?a

或x<-a.4.無理不等式： ?f(x)?0（1?

??

?g(x)?0

.??

f(x)?g(x)?f(x)?0

（2

g(x)??)?0或?f(x)?0?g(x?

.??f(x)?[g(x)]2

?g(x)?0?f(x)?0（3g(x)??

?g(x)?0

.??

f(x)?[g(x)]25.指數不等式與對數不等式

(1)當a>1時,af(x)?ag(x)?

f(x)?g(x);

?f(x)?0loga

f(x)?log?

ag(x)??g(x)?0

.??

f(x)?g(x)(2)當0

?a

g(x)

?f(x)?g(x);

?f(x)?0loga

f(x)?log?

ag(x)??g(x)?0

??

f(x)?g(x)6.特殊數列的極限

?0|q|?1（1）limqn

??q?1

n??

?1.?

?不存在|q|?1或q??1

?0(k?t)（2）k?limak?1

kn?ak?1n???a0n??btt?1

???at

(k?t).tn?bt?1n???b0?bk

??

不存在(k?t)（3）S

?lim

a1?1?qn

?

a1無窮等比數列n??

1?q

?

1?q

（S?a1qn?1?的(|q|<1)

和）.7.a?bi?c?di?

a?c,b?d

.（a,b,c,d∈R）

8.復數z=a+bi的模（或絕對值）

9.復數的四則運算法則

(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)(a?bi)?(c?di)?10.集合關系：

ac?bdc?d

.?

bc?adc?d

i(c?di?0)

.A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R

11.平面兩點間的距離公式

d

A,B

????=|AB|?

?

(A(x1,y1)，B(x2,y2)).12.向量的平行與垂直 設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b≠0，則 a∥b?b=λa ?

x1y2?x2y1?0.x1x2?y1y2?0.a⊥b(a≠0)?a·b=0?點,λ

????????

是實數，且P1P??PP2

13.線段的定比分公式設P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段P1P2的分，則）.x1??x2?????????x??????????????????OP1??OP21?1??

?OP??OP?tOP1?(1?t)OP2（t??

1??1???y?y1??y2

?1???

14.三角形的重心坐標公式 △ABC三個頂點的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標是G（x1?x2?x3,y1?y2?y3).''???????????????x?x?h?x?x?h''

?OP?OP?PP15.點的平移公式 ?'??

'

?y?y?k???y?y?k

????'

P(x,y)，且PP

'

'

'

(圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形F′上的對應點為的坐標為（h，k）).（注：只需記住前一個關系）

第二篇：高考解題心得體會經典

【我的記錄空間】：

—— 王永富

一、集合：命題老師婉約派出生出題很含蓄，要求：會解一元二次不等式、一元二次方程、根式不等式、七、線性規劃：(1)若不等式組只有3個不等式組成，比如：

含絕對值的不等式、指數不等式、對數不等式；集合中元素的構成........【我的記錄空間】：

直接把不等號改為等號聯立方

程組求出3個交點坐標然后代入目標函數中；特別提醒：若不等式組中含有4個或4個以上的不等式不能

二、復數：復數的完美形式：Z=a+bi（a,bR）。若為純虛數；若為實數。見聯立方程組；而不等式組中含參數或者是目標函數中含有參數的一些題目也不能聯立方程組，例如：

到復數Z滿足的等式通通化為完美形式 Z=a+bi。在復平面內一復數Z的坐標為（-1,2）則該復數Z=-1+

2i，反之也要會........此時，2014年高考數學解題方法與技巧總結

強調一定要“靈活”不要固步自封.....如：復數z在復平面內對應的坐標為（-1,2）則z=-1+2i 等等。

【我的記錄空間】：

三、數列：熟記等差數列、等比數列的相關公式方能解題得心應手；在等差數列中若2+8=3+7則累差疊加法，累

乘法，配平求參數輔助數列法，兩邊同時加上（或減去）一個常數；兩邊同時除以2n+1或3n+1化為等差

數列等等需看題而定；求和的一般方法：錯位相減法，列項相消法，分組求和法，倒序相加.......這些你會

了嗎？

【我的記錄空間】：

四、二項式定理：(1)若題目中出現各項系數和立馬令x=1；(2)若出現所有二項式系數和為M就是：2n =M；

(3)假若叫你求二項式系數的最大值就是：（，r是正整數）那么那一項的二項式系數最大就

是第r+1項。(4)若出現2個括號相乘時有時候需要把其中一個括號展開或者2個括號都要展開，眼睛放雪

亮一些考生們！！例如：（）（）；（）（）；(5)當問題中精確到某一項或某一項的系

數時一定用通項展開式：(6)當看到缺項時比如說：

就令x=1和x=—1

【我的記錄空間】：

五、程序框圖：什么叫程序？你得清楚吧，那就是按部就班地完成工作，有上一步才有下一步。記住只要

你足夠的細心5分你拿定了！若考程序語句的話考生們必須要知道那些單詞的意思比如DO..........LOOP

UNTIL或者WHILE..........WEND你知道了嗎？？

提醒：當菱形里面條件中數據較大時一般是找周期或是找規律。

【我的記錄空間】：

六、三視圖：下來掌握簡單幾何體的三視圖比如 球、圓柱、三棱柱、三棱錐.........我相信你們都能記得了！

三視圖的題目需要沉著、冷靜在大腦中把該幾何體呈現出來，有必要的話在草稿紙上大概畫一下然后把

相關的數據代入對應的公式里面化簡、計算。

提醒：三視圖的規則：長對正，高平齊，寬相等一般的解題思路是“畫出可行域”然后求出交點坐標（什么是參數？就是除了x, y, z 之外的字母如atkn........）注意：題不在于多而在于精自己找題目來訓練然后總結做題的技巧和方法！若問題中出現:【我的記錄空間】：

八、比較大小：如：“對數間比較大小”“指數間比較大小”“對數、指數混合比較大小”“對數、指數、冪函數混合比較大小”此種題型應做到不慌不忙，先觀察.........先比較其中兩個排除2個選項；再與第三者比較。可能用到的方法有：化成同底數，同指數，同根式，同系數，同分母.........可能會用到換底公式 【我的記錄空間】：

九、平面解析幾何的問題（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線.....）：一定要圖，不畫你這輩子就完了，然后把題目和圖形結合起來分析、寫步驟、最終解答出來.........注意：涉及到直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的相關知識和結論你記得了嗎？？？【我的記錄空間】：

十、空間中直線與直線、直線與面、面與面的位置關系問題：只要畫一個正方體或是一個長方體就搞定，記住正方體的功能很強大.....【我的記錄空間】：

十一、平面向量：先看題目所給的圖形是否規則。若規則優先考慮建立坐標系的方法，若不規則可考慮向量的減法（）向量的加法（）； 見到向量的長度或模閉上眼睛平方一下可能就看到了希望如（）.【我的記錄空間】：

十二、三角函數：公式雖多但記住我教你們記憶的方法，把公式熟記，相信自己是高智商之人，我們不是傻子！！提醒：強調“靈活”如1=，（sina + cosa）2=1+2sinacosa等等；尤其是：

它會出現在23題、選擇題或填空題、解答題17題，難道你還不去記嗎？？？注意：理解三角函數圖象的平移和伸縮變換。一定要會畫正弦、余弦、正切函數的圖象，圖一畫你就會很激動一切都出來了.......【我的記錄空間】：

十三、球包三棱錐、球包三棱柱或是四棱柱的問題方法：把幾何體中的關鍵要素抽象出來，畫出平面圖形（關鍵要素：球心、球半徑、圓心、圓半徑...........必須抽象出來）

【我的記錄空間】：

十四、函數：遇到分段函數一般思路就畫圖；函數的反函數必須注意（你們下來找題目訓練，記住了哦........）；抽象函數給你們的結論是：自變量的差為常數考慮周期，有分母、有負號周期翻倍（如 ：；自變量的和為常數考慮對稱，沒有負號對稱軸，有負號對稱點

（）。

此時，用到的思想方法一般為數形結合。

【我的記錄空間】：

十五、題目中出現最值或取值范圍：一般就考慮基本不等式、重要不等式、導數、二次函數.........【我的記錄空間】：

十六、解答題

17題：一般有2中題型出現：第一種考三角函數；第二種考數列

若考三角函數無非就是三角函數的相關公式和結論、正、余弦定理、三角形面積公式。

方法：（1）求角就邊化角（當邊化角復雜時立馬停筆角化邊.......什么叫復雜就是出現了:（。(2)求邊就角化邊；（3）若含有高次方必須降次：利用降次公式；（4）分析好問題把問題用公式寫出來差什么我們求什么。(5)特殊公式：。

若考察數列：前面第三點已說過，花時間、花力氣把公式記得，考生們自信是苦出來的，拿出點氣質出來！

【我的記錄空間】：

18、立體幾何：一般有2種方法解決：幾何法和向量法（有時候第1問不能用向量法解題）

（1）若用幾何法抓住題干中的關鍵詞，比如說讀到中點應該要構造中位線（有時有現成的,有時需要取某些邊的中點然后連接起來）、讀到等腰三角形、等邊三角形作高線、讀到面與面垂直作交線的垂線、讀到菱形4邊相等且對角線垂直平分.........（2）若用空間向量需要會建立空間直角坐標系，有時候有現成的坐標系、而有時需要作輔助線或平移（讀到等腰三角形、等邊三角形作高線、讀到面與面垂直作交線的垂線、讀到菱形4邊相等且對角線垂直平分.........）。有時需要把三角形的三邊長求出來，驗證是否滿足勾股定理。然后把所涉及到的點的坐標找

對，后續的工作就考你們的細心程度了.......提醒：找中點的坐標可以用投影的方法、中點坐標公式(，)、定比分點坐標公式（）【我的記錄空間】：

19、概率：一般會考查以下幾塊的內容：第一塊：莖葉圖（有陷阱：數據沒有從小到大的排序）；第二塊：頻率分布直方圖（中位數、平均數的估計值你會了嗎？）；第三塊：文字題目（需要勾畫出關鍵詞、重要的數據然后聯合起來，整合一下就出答案......）讀題目時一定要身臨其境，有一種魂牽夢縈的感覺；若是做實驗的題目就好比是你親自做實驗，這樣可以全面的理解其中的內涵。例如：拋骰子、拋硬幣、摸球等試驗就是你在做實驗）；第四塊：獨立性檢驗.......（）20、圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線的定義，性質，結論要靠你們了，自信點，微笑多一點........本題只體現2個字“讀寫”就是說讀到什么就寫什么，因為時間不多了！一定要記住了考生們.......注意：（1）中點弦所在的直線方程、切線方程你會口答了嗎？（2）特殊公式：過焦點的直線L 交橢圓、雙曲線、拋物線于兩點A、B且AF =FB 強調“F”必須在中間,則有（其中K為斜率，e為離心率）。【我的記錄空間】：

21、導數（公式你記熟了嗎）：(1)當看到關鍵詞：切點、切線、切線的斜率、單調、增函數、減函數、極值點、極值、恒成立、求某些參數的取值范圍時一定要求導；(2)若叫你求函數F(x)的極值點、極值、最值或恒成立問題中參數的取值范圍時先判斷函數F(x)的單調性；(3)若點P(x0,y0)是切點則K切=；(4)若x0是函數F(x)的極值點一定有；(5)若F(x)在區間[,]內是增函數等價于在[,]內恒成立；(6)若(x)在區間[,]內是減函數等價于在[,]內恒成立 提醒：（1）增減區間的分界點為極大值點；減增區間的分界點為極小值點（2）函數f(x)在區間[,]內不單調等價于函數f(x)在區間[,]內至少存在一個極值點。本題的解題步驟：先求定義域、求導（一般情況下需要通分化簡........）...........【我的記錄空間】：

23、極坐標與參數方程：自信的考生們那7個公式的相貌你記得了嗎？ 總結：（1）若問題中出現最值、取值范圍就選用參數方程來做（2）若問題中出現直線L與曲線交于A、B兩點其中P為直線L上的一定點。求 AB =求PAPB =當直線的參數方程不是標準形式時一定要先化為標準形式（標準式的參數方程是t 的系數平方和為1）【我的記錄空間】：

24、不等式：（1）解含有1個或2個絕對值的不等式你們“應該”成足在胸了吧！加油.......（2）在恒成立、求最值的問題中可能會用到的公式：（3）不等式恒成立問題：若f(x)對一切實數都成立；若f(x)的解集為【我的記錄空間】：祝：高三（2、3）班全體考生高考成功！2014年4月18日

第三篇：第二講 不等式的解題方法

高 考 實 戰 不等式

第二講 不等式的解題方法

一、拼湊法 例1：

二、分離法

三、定義法

高 考 實 戰

四、條件法

不等式

五、比較法

六、綜合法 高 考 實 戰 不等式

七、數學歸納法

總結提高

1.一般在證明不等式的題目中，首先考慮用比較法，它是最基本的不等式的證明方法.比較法一般有“作差比較法”和“作商比較法”，用得較多的是“作差比較法”，其中在變形過程中往往要用到配方、因式分解、通分等計算方法.2.用綜合法證明不等式的過程中，所用到的依據一般是定義、公理、定理、性質等，如基本不等式、絕對值三角不等式等.高 考 實 戰 不等式

3.用分析法證明不等式的關鍵是對原不等式的等價轉換，它是從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質等)，從而得出要證的命題成立.4.所謂“綜合法”、“分析法”其實是證明題的兩種書寫格式，而不是真正意義上的證明方法，并不像前面所用的比較法及后面要復習到的三角代換法、放縮法、判別式法、反證法等是一種具體的證明方法(或者手段)，而只是兩種互逆的證明題的書寫格式.高 考 實 戰

一、絕對值不等式

不等式

第二講 不等式的專題訓練

二、不等式

三、單調性 考 實 戰 不等式

四、線性規劃

高 高 考 實 戰

不等式

五、恒成立的問題

第四篇：2013高考數學均值不等式專題

均值不等式歸納總結

ab?(a?b

2)?2a?b

222(當且僅當a?b時等號成立）

(1)當兩個正數的積為定值時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用.應用一：求最值

例：求下列函數的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域為6，+∞）2x 2

1(2)當x＞0時，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11當x＜0時，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）解題技巧

技巧一：湊項

例:已知x?，求函數y?4x?2?4514x?5的最大值。

4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調整”符號，又(4x?2)對4x?2要進行拆、湊項，?x?

54,?5?4x?0不是常數，所以，?y?4x?2?

11????5?4x?4x?55?4x?1???2?3?1??3? ?1。當且僅當5?4x?5?4x，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數

例1.當時，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數即可。

當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設0?

x?

32，求函數y?4x(3?2x)的最大值。

2x?3?2x?9

解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2????

222??

當且僅當2x?3?2x,即x?技巧三： 分離常數 例3.求y?

x?7x?10

x?

1?3?

??0,?時等號成立。4?2?

(x??1)的值域。

解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當,即

時,y?5?9（當且僅當x＝1

時取“＝”號）。

技巧四：換元法

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

y?

(t?1)?7(t?1）+10

t

=

t?5t?

4t

?t?4t?5

5?9（當t=2

當,即t=時,y?即x＝1時取“＝”號）。

Ag(x)

評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正

技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結合函數f(x)?的單調性。

例：求函數y?因t?0,t?

x?

ax

x?52的值域。

?t(t?

2)，則y?

1t

??t?

1t

(t?2)

?1，但t?1t

1t

解得t??1不在區間?2,???，故等號不成立，考慮單調性。

因為y?t?在區間?1,???單調遞增，所以在其子區間?2,???為單調遞增函數，故

y?

52。

5?所以，所求函數的值域為?,???。?

?2

?

技巧六：整體代換 例：已知x?0,y?0，且解：?x?0,y?0,1?9

x

1x

?

9y

?1，求x?y的最小值。

?16。

?19?y9x

?10?6?10?16?1，?x?y??x?y??????

xyxyy??

當且僅當

yx

?

9xy

時，上式等號成立，又

1x

?

9y

?1，可得x?4,y?12

時，?x?y?min

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,y?R?且a?b

x

y

?1，求x?y的最小值

技巧七：消元法

已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函數y 的最小值.ab

分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不

等式的途徑進行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u則u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18點評：①本題考查不等式

a?b2

?

ab（a,b?R）的應用、不等式的解法及運算能力；

?

②如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R?）出發求得ab的范圍，關鍵是尋找到

a?b與ab

之間的關系，由此想到不等式

a?b

2?

ab（a,b?R），這樣將已知條件轉

?

換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.技巧八：平方法

已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函數W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，很簡單

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本題

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5變式:

求函數y?

y?2

?x?

52)的最大值。

解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。

?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

y?2

又y?

0，所以0?32

當且僅當2x?1=5?2x，即x?

時取等號。

故ymax

?

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2

?b?c

?ab?bc?ca

2.正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求證：??

??1??1?

?1???1???1??8 ?a??b??c?

1分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“

2”連乘，又1?1?1?a?b?c?a

a

a

a，可由此變形入手。

?b?ca

?a

11?a

a?b?c?1。

解：b、c?R?，?a、??1?

a

a。

同理1?1?

b

b

?1?c

c

上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當且僅當?1?1?1??8??????

3abc?a??b??c?

時取等號。

應用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y?0且

1x?9y

?1，求使不等式x?y?m恒成立的實數m的取值范圍。

9xky

?1

解：令x?y?k,x?0,y?0,1x

?

9y

?1，?

x?ykx

?

9x?9yky

?1.?

10k

?

ykx

?

?1?

10k

?2?

3k

。?k

?16，m????,16?

應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若a

?b?1,P?

lga?lgb,Q?

(lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關系

是.分析：∵a

Q?

?b?1 ∴lga?0,lgb?0

（lga?lgb)?

a?b2)?lg

lga?lgb?p

lgab?Q

R?lg(ab?

∴R>Q>P。

練習．1.求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.（1）y?

x?3x?1

x,(x?0)（2）y?2x?

1x?3,x?3

(3)y?2sinx?2．已知0?

1sinx,x?(0,?)（4）y?sinx?

2sinx,x?(0,?)

x?

x?

1，求函數y?的最大值.；3．0?，求函數y?的最大值.3.若實數滿足a?b?2，則3a4.若log4x?log4

y?2，求

?3

b

1x

?

1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y為正實數，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值.y 2

第五篇：高考常用不等式全面總結

高考常用不等式

（1）基本不等式：a,b?R?a2?b2?2ab(當且僅當a＝b時取“=”號)．（2）均值不等式：a,b?R??a?b2?ab(當且僅當a＝b時取“=”號)．

bb?ma?na?1??

aa?mb?nb（3）分式不等式：ab ???0，m?0，n?0，則（4）證明不等式常用方法：

比較法、綜合法、分析法、反證法、換元法、判別式法、放縮法、數學歸納法（5）放縮法常用不等式：

tanx?x?exx33,sinx?x?tanx,x2x1?x?ln(1?x)?x,1

1n?1?x(x?0),1?x?1?,(1?x)n?1?（6）調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數

a?b222a?b2ab??ab?a，b?R? 當且僅當a?b時等號成立。2a?b??

（7）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).ab??ca?b?bc?caa，b?R 當且僅當a?b?c時取等號。??222（8）理解絕對值不等式的幾何意義

①a?b?a?b?a?b

②∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；

③∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－a∣＋∣x－b∣≥c.（9）柯西不等式的幾種不同形式

①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.②(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.③平面三角不等式.（10）貝努利不等式：（數學歸納法證明）

(1?x)?1?nxn＋ ≥，x??1,x?0,n為大于1的正整數