第一篇：高考沖刺不等式的證明
高考沖刺不等式的證明
【本周授課內(nèi)容】：不等式的證明
【重點】：正確使用不等式的基本性質(zhì)與定理，理解并掌握證明不等式的常用方法。
【難點】：據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇證明方法以及把握不等式證明過程的基本過程及格式的規(guī)范。
主要內(nèi)容及重點例題參考：
1．不等式證明的理論依據(jù)：不等式的概念和性質(zhì)，實數(shù)的性質(zhì)，以及一些基本的不等式：
（1）若a∈R，則|a|≥0，a2≥0。
（2）若a,b∈R，則a2+b2≥2ab。
（3）若a,b∈R+，則
（4）若a,b同號，則
（5）若a,b,c∈R+，則
2．證明不等式的基本方法：比較法(作差、作商)，綜合法，分析法，數(shù)學歸納法及反證法；另外還有如換元法、放縮法等。
3．例題分析:
例1．a(chǎn),b,c∈R+，求證：a3+b3+c3≥3abc。
分析與解答：
證法一：（比較法）
∵ a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
=(a+b+c)[
證法二（綜合法）：
∵ a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab（當且僅當a=b時“=”成立）
b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc（當且僅當b=c時“=”成立）
c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca（當且僅當c=a時“=”成立）
∴ 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2
=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)
≥2abc+2abc+2abc=6abc。（當且僅當a=b=c時“=”成立）
∴ a3+b3+c3≥3abc。
例2．已知a,b,c為不等正數(shù)，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。
≥+?！?。≥。（6）若a,b∈R，則||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0?！?a3+b3+c3≥3abc。
分析：由于所證不等式兩端都是冪和積的形式，且a,b,c為正數(shù)，可選用商值比較法。
證明：a,b,c為不等正數(shù)，不失一般性，設a>b>c>0，這時a2ab2bc2c>0，ab+cbc+aca+b>0。
=a(a-b)+(a-c)b(b-c)+(b-a)c(c-b)+(c-a)=()a-b()b-c()c-a
∵ a>b>c>0，∴ >1，a-b>0；>1，b-c>0；0<)b-c>1，(<1，c-a<0。)c-a>1。由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：()a-b>1，（∴ >1，即：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。
評述：例1的證法一與例2都是應用比較法證明不等式，求差比較法的基本步驟是“作差——變形——判定差式的正負”；求商比較法的基本步驟是“作商——變形——判定商式大于1或小于1”，應注意，求商比較法一般用于各字母均為正數(shù)的不等式的證明。
例3．已知a,b,c∈R，求證：
分析：不等式的左端是根式，而右端是整式，應設法通過適當?shù)姆趴s變換將左式各根式的被開方式轉(zhuǎn)化為完全平方式。
證明：∵ a2+b2≥2ab，∴ 2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2，++≥(a+b+c)。
即a2+b2≥，兩邊開方，得：≥|a+b|≥(a+b)
同理可得≥(b+c)，≥(c+a)
三式相加，得：
++≥(a+b+c)
例4．已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求證：（1）
分析：利用基本不等式，采用綜合法解決問題。
（1）證法一：++=+，∴ abc≤+，∴ ++≥9，（2）a2+b2+c2≥。=3+≥27，+++++≥3+2+2+2=9。證法二：∵ 1=a+b+c≥3
∴
++≥3≥3=9。
（2）∵ 1=a+b+c，∴ 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)。
∴ a2+b2+c2≥。
評述：利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異與聯(lián)系，不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，如例4是個條件不等式的證明問題。給出的特定條件是a+b+c=1，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換就是證明不等式的關(guān)鍵。
例5．已知|a|<1，|b|<1，求證：|
分析：利用分析法證明。
證明：要證||<1成立，只要證|a+b|<|1+ab|，|<1。
只要證(a+b)2<(1+ab)2，即a2+b2+2ab<1+2ab+a2b2，只要證a2+b2-1-a2b2<0，只要證(a2-1)(1-b2)<0，只要證(a2-1)(b2-1)>0?！?|a|<1，|b|<1，∴ a2<1，b2<1，∴(a2-1)，(b2-1)同號，∴(a2-1)(b2-1)>0成立，∴ |
例6．已知a，b是不等正數(shù)，且a3-b3=a2-b2，求證：1 分析：已知條件中等式兩端和求證結(jié)論中不等式兩端有次數(shù)上的差異，因此在證明中應采用從已知條件出發(fā)，施行降次變換，或從求證結(jié)論出發(fā)，施行升次變換的方法。 證明：a，b是不等正數(shù)，且a3-b3=a2-b2，a2+ab+b2=a+b 3(a+b)<4(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b3(a+b)2<4(a+b)a+b>1。|<1。a+b< 3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2)a2-2ab+b2>0(a-b)2>0。 成立。即(a-b)2>0一定成立，故a+b< 評述：分析法是從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立。分析法的思路是：執(zhí)果索因：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。在例6中證明a+b>1采用的是綜合法。證明a+b< 常常是相互配合交替進行的。 例7．已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一個不大于 證明：假設(1-a)b>，(1-b)c>，(1-c)a>。采用的是分析法，事實上，推理論證中，由因?qū)Ч蛨?zhí)果索因兩種方法 ∵ a,b,c∈(0,1)，∴ 1-a，1-b，1-c∈(0,1)，∴ >，+>，+>，>。 三式相加，得： 由平均值定理可知：++≤++= 與上式相矛盾，故假設不成立。 ∴(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一個不小于。 評述：反證法：基本思路是“假設——矛盾——肯定”，采用反證法證明不等式時，從與結(jié)論相反的假設出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理都必須是正確的。由于本題（例7）題目的結(jié)論是：三個數(shù)中“至少有一個不大于 復雜，會出現(xiàn)多個由異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁雜，而對結(jié)論的否定是三個數(shù)“都大于 明了，為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。 4．課后練習： （1）已知x∈R，求證：1+2x4≥x2+2x3 （2）已知a,b∈R，a≠b，求證：a2+ab+b2>0。”，情況比較”，結(jié)構(gòu)簡單 （3）求證log56·log54<1。提示：先化成常用對數(shù)，然后用均值不等式，有 （4）設x≠0，求證：x+≥2或x+≤-2。 www.tmdps.cnm+?+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+?+Cmn，46332927(小學)56954784(中學)www.tmdps.cn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，?，mmCmnmCmm+1m，mCm?1n＞0，?，mnCnn＞n＞0，∴1+C1+C22nn122mmnmnm+?+Cnm＞1+Cmn+Cmn+?+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.8.證法一：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤0.即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因為2ab≤a+b≤2，所以ab≤1.證法二：設a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則??m?a?b，?n?ab因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0 因為2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)所以n=m223?3m 將②代入①得m2－4(m223?3m)≥0，即?m3?83m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤1.證法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，從而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略） 證法四：因為a3?b3a?b32?(2)(a?b)[4a2?4b2?4ab?a2?b2?2ab]3(a?b)(a?b)2?8?8≥0，所以對任意非負實數(shù)a、b，有a3?b32≥(a?b32) 因為a＞0，b＞0，a3+b 3=2，所以1=a3?b3a?b32≥(2)，∴a?b2≤1，即a+b≤2，(以下略） 證法五：假設a+b＞2，則 46332927(小學)56954784(中學)www.edusx.net 免費數(shù)學資源網(wǎng) ①② www.edusx.net 免費數(shù)學資源網(wǎng) 無需注冊，免費下載，關(guān)注課件、試題、教案的打包下載和參考 a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)因為a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)46332927(小學)56954784(中學)www.edusx.net 免費數(shù)學資源網(wǎng) 不等式證明 不等式是數(shù)學的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學分支的重要工具，在數(shù)學中有重要的地位，也是高中數(shù)學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數(shù)學基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學生數(shù)學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。 一、不等式的初等證明方法 1.綜合法：由因?qū)Ч?/p> 2.分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。 (2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。 3.反證法：正難則反。 4.放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有： (1)添加或舍去一些項，如： 2)利用基本不等式，如： (3)將分子或分母放大(或縮小)： 5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題 化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。 6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。 證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。 7.數(shù)學歸納法：數(shù)學歸納法證明不等式在數(shù)學歸納法中專門研究。 8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。 9.函數(shù)法：引入一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達到證明不等式的目的。 10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。 二、部分方法的例題 1.換元法 換元法是數(shù)學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。 注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎?，無理式變?yōu)橛欣硎剑芎喕C明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實質(zhì)，可收到事半功倍之效。 2.放縮法 欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。 注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當?shù)臄?shù)學思維能力和一定的解題智慧。 3.幾何法 數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。 不等式的證明 比較法證明不等式 a2?b2a?b?1.設a?b?0，求證：2.a?b2a?b 2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 （1）已知x、y都是正實數(shù)，求證：x3?y3?x2y?xy2； （2?對滿足x?y?z?1的一切正實數(shù) x,y,z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍 .??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c 4.設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明： 1（Ⅰ）ab+bc+ac?3； a2b2c2 ???1ca（Ⅱ）b 5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集; 121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證： 6.若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證： 分析法證明不等式 7.某同學在證明命題“7??要證明7?3??2”時作了如下分析，請你補充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因為14?18成立。 a?b?c8.已知a,b,c?R。?3? 9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)?|x?1|。 (Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當a,b?M??x|?2?x?2?時,證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式 11.已知a，b，c均為實數(shù)，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236 求證：a，b，c中至少有一個大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個小于2.yx 放縮法證明不等式 13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1 1?2?3??n?2 214.設各項均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且 ?1?4n?1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列． (1)證明：a2? (2)求數(shù)列?an?的通項公式；an?2n?1 (3)證明：對一切正整數(shù)n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12 15.設數(shù)列?an?的前n項和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33 (Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項公式；an?n2(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù)n,有數(shù)學歸納法證明不等式 16.(本小題滿分12分)若不等式11?? n?1n?2?1a對一切正整數(shù)n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4 整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25 17.用數(shù)學歸納法證明不等式： ． 金牌師資，笑傲高考 2013年數(shù)學VIP講義 【例1】 設a，b∈R，求證：a2+b2≥ab+a+b-1。 【例2】 已知0 【例3】 設A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。 因A、B的表達形式比較簡單，故作差后如何對因式進行變形是本題難點之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個字母。關(guān)鍵是消去哪個字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個均可。 由ad=bc得：d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1。 bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaA-B=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a 【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。 不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號右邊為三項和，根據(jù)不等號方向，應自左向右運用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項，故把三項變化六項后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。 左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24 ≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca 2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達到題目要求，此時應再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。 中天教育咨詢電話：0476-8705333 第1頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考 ab?1212 2013年數(shù)學VIP講義 22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22 ?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a ?1c?【例5】（1）a，b，c為正實數(shù)，求證：?（2）a，b，c為正實數(shù)，求證： a21bb2≥ c21ab?1bc?1ac； b?c?a?ca?b≥ a?b?c2。 （1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。 （2）同學們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達到目的。試一試行嗎？ a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c 相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項全消去了。為了達到目的，應在系數(shù)上作調(diào)整。 a2b?c?b?c4≥a，b2a?c?a?c4≥b，c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可。 【例6】 x，y為正實數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥ 2a22。 思路一；根據(jù)x+y和x2+y2的結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系。∵ x?y22≤2x2?y22 2∴ x?y≥(x?y)2?a22 思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。換元有下列三種途徑： 途徑1：用均值換元法消元： 令 x?2a2?m，y?aa22?m 22則 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥ a22 途徑2：代入消元法： y=a-x，0 a2)2?a22≥ a22 中天教育咨詢電話：0476-8705333 第2頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考 途徑3：三角換元法消元： 令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，] 2?2013年數(shù)學VIP講義 則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ] =a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122 12sin2θ)≥ a22 注：為了達到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當?shù)膮?shù)，也就是找到一個中間變量表示x，y。這種引參的思想是高中數(shù)學常用的重要方法?！纠?】 已知a>b>0，求證：(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。 12所證不等式的形式較復雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個角度著手。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實際上就是對所證不等式進行適當?shù)幕?、變形，實際上這種變形在相當多的題目里都是充要的。 a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2 a?b?(a?b)b)(a?8a2所證不等式可化為∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0 b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2 ∴ 不等式可化為：(a?4ab)2?1?(a?4bb)2 2??(a?b)?4a即要證? 2??4b?(a?b)??a?b?2a只需證? ?2b?a?b?在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8，求證：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a) 112.不等號兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達式的特點，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進行比較。 ?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤ 2?82?a?82a842?2 令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+ 中天教育咨詢電話：0476-8705333 第3頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考 ∵ 32?22013年數(shù)學VIP講義 ∴ g(b)>f(a)注：本題實際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時曾講過。由此也說明，實數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。 【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證： （1）|c|≤1，|b|≤1； （2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。 這是一個與絕對值有關(guān)的不等式證明題，除運用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個如何充分利用條件“當|x|≤1時，|f(x)|≤1”的解題意識。 從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當x=1時，|f(1)|≤1；當x=-1時，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量?！?f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤ 12(1?1)≤1 ∴ |b|?（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。 當a>0時，g(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)] ≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當a<0時，同理可證。 思路二：直接利用絕對值不等式 為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進行討論。當a>0時 |ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論 ① b≥0時，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2?！?|ax+b|≤2 當a<0時，同理可證。 評注：本題證明過程中，還應根據(jù)不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當選擇，則不能滿足題目要求。 中天教育咨詢電話：0476-8705333 第4頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考 2013年數(shù)學VIP講義 1、設a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12?1b1a≤?141b B、≤1 D、141a≤ ?1a?1b≤ ≤ 1b≥1 2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c 5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設M= a4?a?bb?cc4?c，N=，則MN的大小關(guān)系是 A、M>N B、M=N C、M 6、已知函數(shù)f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負都有可能 7、若a>0，b>0，x?111(?)2ab1a?b1ab，y?，z?，則 A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x 8、設a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題 9、設a>0，b>0，a≠b，則aabb與abba的大小關(guān)系是__________。 10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。 12、當0 2ab?a?1b?1 D、a+b≥2(a-b-1) 22的大小關(guān)系是__________。 n13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n>2）的大小關(guān)系是________________。 （三）解答題 14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a? 15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1? 中天教育咨詢電話：0476-8705333 第5頁/共9頁 ab?c?ba?c?ca?b?2。 b?ab?ba。金牌師資，笑傲高考 16、已知a≥0，b≥0，求證： 18、若a，b，c為正數(shù)，求證： 19、設a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a? 20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。 1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年數(shù)學VIP講義 12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba。 ≤ ?b383?c38。 abc≥。 中天教育咨詢電話：0476-8705333 第6頁/共9頁第二篇：高考重點18 不等式證明
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