第一篇：從高考角度談談不等式的證明

從高考角度談談不等式的證明

賈廣素 在現實世界中，等是相對的，不等是絕對的.不等關系是現實生活中最普遍的數量關系，不等式是刻畫不等關系的一種重要的數學模型.不等式與數、式、方程、函數、導數等知識都有著天然緊密的聯系，是學習高等數學的重要基礎.因此，在高考試題中，有關不等式的試題出現的頻率比較高.這就要求我們對不等式知識掌握以下幾個方面的內容：

（1）了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景；

（2）經歷從實際情境中抽象出不等式模型的過程；

（3）了解不等式的幾何意義，并能用平面區域加以表示，能從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題并加以解決；

（4）掌握基本不等式和一些常見的不等式，并能運用這些不等式求解一些簡單的最值問題.（5）注重不等式知識與函數、方程等其它知識間的聯系，加強不等式的應用意識.不等式的有關知識滲透在中學數學各個分支中，有著十分廣泛的應用.諸如集合問題，方程（組）的解的討論，函數的單調性的研究，函數定義域的確定、三角、數列、立體幾何、解析幾何中的最值問題、范圍問題等都與不等式有著密切的聯系，最終往往都可歸結為不等式的求解或證明問題來處理.不等式的證明常用的一些方法主要有：比較法、綜合法、分析法和反證法等，另外，放縮法也是證明不等式的主要變形技巧之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證明的結論中.在證明不等式時，要依據題目、題設條件的特點和內在聯系，選擇適當的證明方法，并掌握相應的步驟和技巧.對于一些含有參數的不等式的求解問題時，應該注意分類討論的思想，學會分析引起分類討論的原因，合理分類，做到不重不漏.求解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質則是這些不等式變形的理論依據.在高考中，不等式問題主要集中于三個方面：不等式的性質和證明、不等式的求解和應用、不等式與函數、方程等知識間的聯系與融合.本周主要講述不等式的求解與證明問題.不等式的求解與證明一般沒有固定的程序，方法因題而異，靈活多樣，技巧性強.有時，一個不等式的證明方法就不止是一種，而且一種證法中又可能會用到幾個技巧.但基本思路卻是一樣的，即把原來的不等式轉化為明顯成立的不等式.一．不等式證明的常用方法

1．1比較法

比較法證明不等式主要有兩種形式：一種是差值比較法；另一種是商值比較法.1．2分析法

分析是解決問題的基礎，這里所說的分析法是指先假設所給定的不等式成立，然后去尋

找不等式成立的充分條件，一直找到已知條件或明顯成立的不等式為止.在具體操作時，也可以找充要條件，或先找必要條件再驗證步步可逆即可.1.3綜合法

1.4反證法

1.5放縮法

由不等式的傳遞性，為了證明A?B，往往可以把A放大到C(A?C)（或者把B縮小到D(B?D)），然后改證C?B（或證A?D），或者證A?C?D?B.1.6數學歸納法

凡是涉及到自然數n的不等式都可以考慮使用數學歸納法進行證明，只出現有限整數的不等式也可以通過加強命題使用數學歸納法.見例5.二．另外幾種常見的證明不等式的方法

2.1 變量代換法 所謂變量代換法，就是通過對數學式的變形，以顯化其內在結構本質.它常能化超越式為代數式、化無理式為有理式，化分式為整式、化高次式為低次式.其中，增量法是一個常用而有效的代換方法.在例4的證明過程中，令ai?1?bi，其實就是使用了變量代換法.2.2函數方法

所謂函數方法，就是將不等式的證明或求解問題轉化為對函數性質的討論，如函數的單調性、正負區間、值域等問題，甚至函數的凸凹性等.2.3構造法

構造法就是根據待證不等式的條件和結論所具有的特征，以條件中的元素為“元件”，以數學關系式為“支架”，構造出一種相關的數學模型，使待證不等式獲得證明的一種方法.常見的構造法有：

（1）代數構造法

以主元法或韋達定理、方程根的定義來構造函數、數列或方程來證明不等式.（2）幾何構造

利用面積、余弦（勾股）定理、距離、斜率等來構造幾何圖形或解析幾何中的點、曲線或問題來證明不等式；

（3）構造反例或構造輔助命題

利用特殊情形構造反例說明不等式成立或構造輔助命題證明不等式成立.附：數學課要教數學

章建躍

相信讀者看到標題會心生疑惑：難道我們在數學課上教的不是數學嗎？的確，許多數學課教的不是數學！

為了說明上述觀點，先引用世界知名幾何學家伍鴻熙教授提出的數學的五個基本原則： 原則1 每個數學概念必須精確定義，而定義構成邏輯推理的基礎；

原則2 數學表述要精確，在任何時候，什么已知什么未知都要很清楚；

原則3 每一個結論都是邏輯推理的結果，推理是數學的命脈，是解決問題的平臺； 原則4 數學是連貫的，數學的概念和方法組成了一個邏輯嚴密的整體；

原則5 數學是目標明確的，每個數學概念和方法都有其目的。

這五個原則可以作為判斷數學課是否教數學的基本標準。反觀我們的課堂，與這些原則相悖的做法比比皆是。例如：

缺乏統領課堂的數學核心觀念，在“構建前后一致的、邏輯連貫的學習過程，引導學生開展有序的推理”上缺乏思考和得力措施，致使每一堂課都變成了“從頭開始”；

不重視知識的背景和基本思想，導致學生不了解為什么要引入這個概念、為什么要研究這個性質（本質上是不重視數學的連貫性）；

概念教學走過場，“精確定義”就更談不上了，有些老師甚至對什么是“精確定義”也不甚了了；

解題教學搞“題型+技巧”，教師常常講解各種各樣的“錦囊妙計”，而對“從概念和定理出發思考和解決問題”不予重視（本質上是對邏輯推理不重視）；

例題、習題的選擇標準是“新、奇、特”，使用大量缺乏相互關聯的題目，目的是讓學生熟練更多的技巧（本質上是缺乏方法的目的性）；

為了“加大容量”，教師往往只要求“講思路”，而對嚴格的邏輯推理過程及其表達缺少示范和要求；等等。

那么，該如何改變現狀呢？本期陳立軍老師的《“立體幾何引言課”的教學實踐與反思》可以給我們一些啟發。作為《立體幾何》的開篇課，陳老師圍繞“為什么學”“學什么”“怎么學”三個問題，從一個有智力挑戰性的（數學）問題和現實需要兩方面引入課題；通過類比平面幾何研究的問題和過程，引出立體幾何可以研究的問題和線索；最后，通過一些典型問題，引導學生從平面幾何的學習中得到啟發，獲得解決立體幾何問題的方法，并強調了解決立體幾何問題的普適性思路——“把空間問題轉化為平面問題”。這樣的“引言課”，較好地體現了數學的連貫性、目標的明確性、概念和方法的目的性等，特別是注重與平面幾何的聯系，使學生意識到立體幾何的學習不是“從零開始”，“空間問題平面化”是基本原則，這樣的認識為立體幾何學習奠定了堅實的基礎。如果在具體內容的教學中，繼續強調概念的精確定義，在定義的基礎上展開推理，并注重推理過程的邏輯嚴謹性，那么我們就可以肯定地說，陳老師的立體幾何課教得好。實際上，這樣的教學才真正發揮了立體幾何課程的力量——培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力、幾何直觀能力。

總之，按上述五條原則進行數學教學，是“數學課教數學”的基本要求，這樣才能使學生在學會數學的過程中，提高思維能力，培養發現和提出問題的能力，分析和解決問題的能力；只有這樣才能真正發揮數學的內在力量，實現“數學育人”。

第二篇：比較法證明不等式(從課本到高考)

目錄

一．課本溯源（母題）...........................1二．比較法的理論依據...........................2三．子題...........................2

四．直擊高考（子題）...........................2

五．研究性學習課題（自主探索）.......................3《從課本到高考》系列內容簡介....................4《從課本到高考》系列

一．課本溯源（母題）

人教A版，數學，選修4-5，《不等式選講》

人民教育出版社出版

2007年1月

?0，判斷

所以

(x?1)(x?2)?(x?3)(x?6)。結論

二．比較法的理論依據

課本第2頁。

符號法則：

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

三．子題

【例1】設A?x?3，B?3x?x，且x?3，試比較A與B的大小。

【解析】A?B?(x3?3)?(3x2?x)32

?(x3?3x2)?(x?3)?x2(x?3)?(x?3)?(x2?1)(x?3)

?(x?1)(x?1)(x?3)

因為x?3，所以x?1?0，x?1?0，x?3?0，因此(x?1)(x?1)(x?3)?0。

因此A?B。

【解題反思】

1．本題的思維過程：

?考查差的符號（難以確定）????考查積的符號????考查積中直接判斷（無法做到）???

各因式的符號（成功！）。

其中變形時關鍵，定號是目的。

2．在變形中，一般是變形得越徹底越有利于下一步的判斷，變形常用的技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等等。

【變式訓練】設A?

轉化轉化轉化yB?，其中x?y?0，試比較A與B的大小。x四．直擊高考（子題）

【2013年高考江蘇卷】已知a?b?0，求證:2a?b?2ab?ab

332

2【證明】(2a3?b3)?(2ab2?a2b)作差

?2a(a2?b2)?b(a2?b2)?(a2?b2)(2a?b)?(a?b)(a?b)(2a?b)變形

因為a?b?0，所以a?b?0，a?b?0，2a?b?0，所以(a?b)(a?b)(2a?b)?0。判斷 所以2a3?b3?2ab2?a2b。結論

五．研究性學習課題（自主探索）

1．不等式的解法（課本15頁）

（1）|x|?a(a?0)??a?x?a；

（2）|x|?a(a?0)?x??a或x?a。

2．合情推理

研究下面不等式解法的拓展形式的正確性：

（1.1）|x|?a??a?x?a；

（1.2）|f(x)|?a??a?f(x)?a；

（1.3）|f(x)|?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)；

（2.1）|x|?a?x??a或x?a；

（2.2）|f(x)|?a?f(x)??a或f(x)?a；

（2.3）|f(x)|?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)?g(x)；

3．給上面的6個解法加上等號，研究它們的正確性。例如：

（1.1’）|x|?a??a?x?a；

（1.2’）|f(x)|?a??a?f(x)?a；

4．特例練習

【練習1】解不等式|3x?1|?2。

【練習2】解不等式|2?3x|?7。

【練習3】解不等式|5x?x|?6。2

《從課本到高考》系列內容簡介

《從課本到高考(數學研究性學習)》，設”課本溯源”、”解題反思”、”提出問題”、”自主探究”、”點石成金”、”直擊考題”、”研究性學習”等欄目，向讀者全面展示數學研究性學習的素材、過程與方法，同時揭示許多相關高考題的來龍去脈。《數學課程標準》將研究性學習作為一項必修內容和評價目標；考試院專家提出要加強研究性試題的考查，充分地體現數學研究性學習的基本理念。作為全新的數學學習方式和高考命題趨勢，數學研究性學習到底是什么？其實，研究性學習并不可怕，很多研究型問題源自課本中的例題和習題。《從課本到高考(數學研究性學習)》按現行高中數學課本的知識體系編排，方便廣大教師和高中各年級學生共同使用。

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第三篇：高考沖刺不等式的證明

高考沖刺不等式的證明

【本周授課內容】：不等式的證明

【重點】：正確使用不等式的基本性質與定理，理解并掌握證明不等式的常用方法。

【難點】：據所證不等式的結構特征選擇證明方法以及把握不等式證明過程的基本過程及格式的規范。

主要內容及重點例題參考：

1．不等式證明的理論依據：不等式的概念和性質，實數的性質，以及一些基本的不等式：

（1）若a∈R，則|a|≥0，a2≥0。

（2）若a,b∈R，則a2+b2≥2ab。

（3）若a,b∈R+，則

（4）若a,b同號，則

（5）若a,b,c∈R+，則

2．證明不等式的基本方法：比較法(作差、作商)，綜合法，分析法，數學歸納法及反證法；另外還有如換元法、放縮法等。

3．例題分析:

例1．a,b,c∈R+，求證：a3+b3+c3≥3abc。

分析與解答：

證法一：（比較法）

∵ a3+b3+c3-3abc

=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

=(a+b+c)[

證法二（綜合法）：

∵ a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab（當且僅當a=b時“=”成立）

b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc（當且僅當b=c時“=”成立）

c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca（當且僅當c=a時“=”成立）

∴ 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2

=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)

≥2abc+2abc+2abc=6abc。（當且僅當a=b=c時“=”成立）

∴ a3+b3+c3≥3abc。

例2．已知a,b,c為不等正數，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

≥+。≥2。≥。（6）若a,b∈R，則||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0。∴ a3+b3+c3≥3abc。

分析：由于所證不等式兩端都是冪和積的形式，且a,b,c為正數，可選用商值比較法。

證明：a,b,c為不等正數，不失一般性，設a>b>c>0，這時a2ab2bc2c>0，ab+cbc+aca+b>0。

=a(a-b)+(a-c)b(b-c)+(b-a)c(c-b)+(c-a)=()a-b()b-c()c-a

∵ a>b>c>0，∴ >1，a-b>0；>1，b-c>0；0<)b-c>1，(<1，c-a<0。)c-a>1。由指數函數的性質可知：()a-b>1，（∴ >1，即：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

評述：例1的證法一與例2都是應用比較法證明不等式，求差比較法的基本步驟是“作差——變形——判定差式的正負”；求商比較法的基本步驟是“作商——變形——判定商式大于1或小于1”，應注意，求商比較法一般用于各字母均為正數的不等式的證明。

例3．已知a,b,c∈R，求證：

分析：不等式的左端是根式，而右端是整式，應設法通過適當的放縮變換將左式各根式的被開方式轉化為完全平方式。

證明：∵ a2+b2≥2ab，∴ 2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2，++≥(a+b+c)。

即a2+b2≥，兩邊開方，得：≥|a+b|≥(a+b)

同理可得≥(b+c)，≥(c+a)

三式相加，得：

++≥(a+b+c)

例4．已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求證：（1）

分析：利用基本不等式，采用綜合法解決問題。

（1）證法一：++=+，∴ abc≤+，∴ ++≥9，（2）a2+b2+c2≥。=3+≥27，+++++≥3+2+2+2=9。證法二：∵ 1=a+b+c≥3

∴

++≥3≥3=9。

（2）∵ 1=a+b+c，∴ 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)。

∴ a2+b2+c2≥。

評述：利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異與聯系，不等式左右兩端的差異和聯系，如例4是個條件不等式的證明問題。給出的特定條件是a+b+c=1，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換就是證明不等式的關鍵。

例5．已知|a|<1，|b|<1，求證：|

分析：利用分析法證明。

證明：要證||<1成立，只要證|a+b|<|1+ab|，|<1。

只要證(a+b)2<(1+ab)2，即a2+b2+2ab<1+2ab+a2b2，只要證a2+b2-1-a2b2<0，只要證(a2-1)(1-b2)<0，只要證(a2-1)(b2-1)>0。∵ |a|<1，|b|<1，∴ a2<1，b2<1，∴(a2-1)，(b2-1)同號，∴(a2-1)(b2-1)>0成立，∴ |

例6．已知a，b是不等正數，且a3-b3=a2-b2，求證：1

分析：已知條件中等式兩端和求證結論中不等式兩端有次數上的差異，因此在證明中應采用從已知條件出發，施行降次變換，或從求證結論出發，施行升次變換的方法。

證明：a，b是不等正數，且a3-b3=a2-b2，a2+ab+b2=a+b

3(a+b)<4(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b3(a+b)2<4(a+b)a+b>1。|<1。a+b<

3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2)a2-2ab+b2>0(a-b)2>0。

成立。即(a-b)2>0一定成立，故a+b<

評述：分析法是從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立。分析法的思路是：執果索因：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件，直至已成立的不等式。在例6中證明a+b>1采用的是綜合法。證明a+b<

常常是相互配合交替進行的。

例7．已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一個不大于

證明：假設(1-a)b>，(1-b)c>，(1-c)a>。采用的是分析法，事實上，推理論證中，由因導果和執果索因兩種方法

∵ a,b,c∈(0,1)，∴ 1-a，1-b，1-c∈(0,1)，∴ >，+>，+>，>。

三式相加，得：

由平均值定理可知：++≤++=

與上式相矛盾，故假設不成立。

∴(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一個不小于。

評述：反證法：基本思路是“假設——矛盾——肯定”，采用反證法證明不等式時，從與結論相反的假設出發，推出矛盾的過程中，每一步推理都必須是正確的。由于本題（例7）題目的結論是：三個數中“至少有一個不大于

復雜，會出現多個由異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁雜，而對結論的否定是三個數“都大于

明了，為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。

4．課后練習：

（1）已知x∈R，求證：1+2x4≥x2+2x3

（2）已知a,b∈R，a≠b，求證：a2+ab+b2>0。”，情況比較”，結構簡單

（3）求證log56·log54<1。提示：先化成常用對數，然后用均值不等式，有

（4）設x≠0，求證：x+≥2或x+≤-2。

第四篇：高考重點18 不等式證明

www.tmdps.cnm+?+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+?+Cmn，46332927(小學)56954784(中學)www.tmdps.cn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，?，mmCmnmCmm+1m，mCm?1n＞0，?，mnCnn＞n＞0，∴1+C1+C22nn122mmnmnm+?+Cnm＞1+Cmn+Cmn+?+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.8.證法一：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤0.即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因為2ab≤a+b≤2，所以ab≤1.證法二：設a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則??m?a?b，?n?ab因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0

因為2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)所以n=m223?3m

將②代入①得m2－4(m223?3m)≥0，即?m3?83m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤1.證法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，從而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）

證法四：因為a3?b3a?b32?(2)(a?b)[4a2?4b2?4ab?a2?b2?2ab]3(a?b)(a?b)2?8?8≥0，所以對任意非負實數a、b，有a3?b32≥(a?b32)

因為a＞0，b＞0，a3+b

3=2，所以1=a3?b3a?b32≥(2)，∴a?b2≤1，即a+b≤2，(以下略）

證法五：假設a+b＞2，則

46332927(小學)56954784(中學)www.edusx.net 免費數學資源網

①②

www.edusx.net 免費數學資源網 無需注冊，免費下載，關注課件、試題、教案的打包下載和參考

a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)因為a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)46332927(小學)56954784(中學)www.edusx.net 免費數學資源網

第五篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

6.構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數學歸納法：數學歸納法證明不等式在數學歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數法：引入一個適當的函數，利用函數的性質達到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變為低次，分式變為整式，無理式變為有理式，能簡化證明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內容的實質，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。