第一篇：數(shù)列前n項和構(gòu)成不等式證明方法與技巧（范文）

數(shù)列前n項和構(gòu)成不等式證明方法與技巧

安徽五河一中邢文舉、楊梅玲

由數(shù)列前n項和構(gòu)成的不等式是一種非常重要的題型，常在高考題中出現(xiàn)，由于不等式證明本身就是一個難點，再加數(shù)列的各種變形應(yīng)用，不少學生對該題型束手無策，不知從何處去分析尋求解題思路，該題型一般有三種解題思路：第一，若數(shù)列?an?是可求和數(shù)列，應(yīng)先求和Sn，再證明不等式；第二，若數(shù)列?an?是不可求和數(shù)列，一般先將數(shù)列的通項放縮成可求和數(shù)列，再求和證明不等式；第三，若數(shù)列是不可求和數(shù)列，對通項的放縮又有一定的困難可嘗試用數(shù)學歸納法證明不等式，當然有的可求和數(shù)列和構(gòu)成的不等式也可用數(shù)學歸納法證明，下面以例說明。

例

1、各項均為正數(shù)的等差數(shù)列?an?，a1=3前n項和為Sn，等比數(shù)列?bn?中，b1=1，且b2S2=64，?ban?是公比為64的等比數(shù)列。

（1）求an、bn；

（2）證明1113????? S1S2Sn4

解：（1）設(shè)?an?的公差為d，?bn?的分比為q（d>0,q>0）

則an=3+(n-1)dbn=q n-1

ban?1qan?1?1

??an?1?qan?1?an?qd?64 banq

又b2S2=q(6+d)=64

可求得：d=2，q=8

∴an=2n+1，bn=8n-1

（2）由（1）知Sn=n(n+2)11111??(?)Snn(n?2)2nn?2

?1?顯然??是可求和數(shù)列，先求和，再證明不等式

?Sn?

∴1111?1111111???????(1?)?(?)?(?)???(?)? S1S2Sn2?32435nn?2?

1111113=(1???)?(1?)? 22n?1n?2224

∴原不等式對n?N?成立

例

2、等比數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知對任意的n?N?，點(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上。

（1）求r的值；

（2）當b=2時設(shè)bn?n?11(n?N?)，數(shù)列?bn?的前n項和為Tn，證明Tn? 4an2解：（1）由已知有Sn=bn+r，當n≥2時，Sn-1=bn-1+r

∴an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn-1

又a1=b+ra2=(b-1)b ∴a2(b?1)b??b∴r=-1 a1b?r

（2）由b=2，故（1）有：an=2n-1bn=n?1 n?12

由于?bn?是可求和數(shù)列，先求和后證明不等式

Tn=b1+b2+b3+…+bn 234n?1∴Tn?2?3?4???n?1① 2222

123nn?1Tn?3?4???n?1?n?2② 22222

12111n?1①-②得：Tn?2?3?4???n?1?n?2 222222

3n?3∴Tn??n?1 22

∵?Tn?為遞增數(shù)列 ∴Tn?T1?

∴Tn?31?1? 221對n?N?成立

22?1

3???1

n?2(n?1?1)（n?N?）例

3、證明不等式：1?

?1?證明

（一）∵數(shù)列??是不可求和數(shù)列，應(yīng)先放縮再證明不等式。?n?

∵

∴

1?1

2?1n?2n?n?2n?1?n?2(n?1?n)1

???1

n?2(2?1)?(3?2)?(4?)???(n?1?n)??

=2（n?1?1）∴1?1

2?1

???1

n?2(n?1?1)對n?N?成立

（二）數(shù)學歸納法證明

（1）當n=1時，1?2(2?1)，即n=1不等式成立。

（2）假設(shè)當n=k(n?N?)時不等式成立 即：1?1

2?1

???1

k?2(k?1?1)

當n=k+1時

1?1

2?1

???

k?11?1k?1?2(k?1?1)?1k?11k?1 =2k?1??2?(2k?1?)2?2 =4(k?1)?4?1?2?4(k?1)?4?2 k?1

=2((k?1)?1?1)

即n=k+1時，不等式成立。

由（1）（2）知，原不等式對n?N?均成立

例

4、已知數(shù)列?an?前n項和為Sn，點(n,Sn)在函數(shù)y=3x-1的圖象上，bn=n(n?1)an，?bn?前n項和為Bn，證明：Bn

解：由已知：Sn=3n-1

當n=1時，a1=3-1=2

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2×3n-1

∴an=2×3n-1（n?N?）∴bn?n(n?1)?2?3n?1

法

（一），顯然?bn?是不可求和數(shù)列，先放縮，再證明不等式。∵bn?n(n?1)?2?3n?1=4n2?4n?3n?1?(2n?1)2?3n?1

=(2n+1)×3n-1

∴Bn=b1+b2+b3+…+bn

<3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1

令Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1

由錯位相減法可求得Tn=n×3n

∴Bn< n×3n n?(n?1)2n?1對bn進行放縮。?22n法

（二）用數(shù)學歸納法證明：Bn< n·3 注：也可用均值不等式：n(n?1)?

①當n=1時，B1=b1=2?2?22<1×31=3

即n=1時，不等式成立

②假設(shè)當n=k+1時，不等式成立，即Bk

當n=k+1時）(k?2)?2?3k Bk+1=Bk+bk+1

(k?1)?(k?2)?2?3k 2k=(3k+3)×3=(k+1)×3k+1

即n=k+1時不等式成立< k·3k+

由①②知：Bn< n·3n對n?N?均成立

由以上例題可知，對于由數(shù)列?an?的前n項和Sn構(gòu)成的不等式證明，首先考查?an?是否可求和，若能求和，先求出Sn再證明不等式，若不可求和，要么先將an進行放縮成可求和數(shù)列，再求和證明不等式；要么利用數(shù)學歸納法進行證明，當然還可構(gòu)造函數(shù)來證明，在這就不說了，希望通過本文，對同學們解答這類題有一定的啟發(fā)。

2011.4.26

第二篇：關(guān)于自然數(shù)數(shù)列前n項和公式證明

自然數(shù)平方與立方數(shù)列前n項和公式證明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推導體現(xiàn)了遞推消項數(shù)學思想。

一、證明：Sn=?k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2證：(略)

二、證明：Sn=?k2=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

k?1k?1nn

證：?(n＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n＋1)－n3=3n2＋3n＋1，則：

23－13=3×12＋3×1＋1（n從1開始）

33－23=3×22＋3×2＋1

43－33=3×32＋3×3＋1

53－43=3×42＋3×4＋1

63－53=3×52＋3×5＋1

…

(n＋1)3－n3=3×n2＋3×n＋1（至n結(jié)束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ?(n＋1)3－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n

?Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

三、證明：Sn=?k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

k?1n

證：?(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1則：

24-14=4*13+6*12+4*1+1（n從1開始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n結(jié)束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n?4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2

?Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2

第三篇：證明數(shù)列前n項和 不等式的定積分 放縮法

證明數(shù)列前n項和 不等式的定積分 放縮法

摘要：本文深入分析數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系，結(jié)合高等數(shù)學中數(shù)項級數(shù)[4]的觀點研究高考證明數(shù)列前n項和不等式的相關(guān)問題。本著“數(shù)形結(jié)合”的重要數(shù)學思想，抓住數(shù)列的本質(zhì)是數(shù)值函數(shù)這一特點，另辟蹊徑，利用分析學“定積分”這一工具，探究對數(shù)列前n項和不等式進行放縮的方法。關(guān)鍵詞：數(shù)列；不等式；定積分；數(shù)形結(jié)合。

數(shù)列，高考的重中之重。而對于數(shù)列前n項和不等式的證明更是天津高考的難點。這類問題大致可以分為兩種：如果這樣簡單分類的話，那么顯然第二種題型會比第一種更復雜[2]。對于第一種題型，題目中已然給出了我們要證明的“對象”，即便我們對原數(shù)列“無從下手”，也可以根據(jù)“式”的偶性，將不等號右邊的式子也看作是某一數(shù)列的“和”，再通過“和轉(zhuǎn)項”的方式找到其對應(yīng)的“項”，從而我們不妨逐項比較，最后累加達到目的。此外，山窮水復之時，數(shù)學歸納法也是個不錯的選擇。所以，對于第一種題型來說，有多種比較成熟的應(yīng)對方法，這里就不逐一列舉。然而，對于第二種題型，“和轉(zhuǎn)項”與歸納法則不再適用。題目中要求尋找的，類似于這個數(shù)列前n項和的“極限”，而這個“極限”則是一個常數(shù)。在處理這一類問題時，我們通常要將原數(shù)列的通項進行一定程度的放縮與變形，處理成為一個能夠求和的數(shù)列，并且由變形后數(shù)列的“和”可以進一步證明我們想要的結(jié)論（如果將變形后數(shù)列的前n項和看作一個函數(shù)，那么待證明的常數(shù)C通常是這個函數(shù)的極限）。顯然，這執(zhí)行起來十分困難，要求學生有足夠的“數(shù)學遠見”，并且要記一些常用的方法和結(jié)論，無疑是“霧里看花”。因為，即使在這些結(jié)論上下了很大功夫，題目稍加變化后，學生們?nèi)允歉械健盁o從下手”。況且，即便命題人不改變題目的結(jié)構(gòu)，僅僅是將不等式的強度加大，學生在解題時，還是會陷入漫無目的“嘗試”。所以，數(shù)列前n項和不等式的證明一直以來都是高考的難點，而那些盡可能巧妙地解決這類問題的方法大多都指向“構(gòu)造”的思想。而“構(gòu)造”需要“數(shù)學遠見”，要求學生具備極好的“數(shù)學素養(yǎng)”，非一日之功。況且，想要通過做題、總結(jié)的方式培養(yǎng)這種“素養(yǎng)”，絕非易事。為解決這一瓶頸，筆者嘗試從高中數(shù)學內(nèi)部尋找一種容易為高中生理解，又不會涉及“知識超綱”問題，且盡可能普遍適用的方法和視角來解決這一類問題，并試圖探究其內(nèi)在“本原”。于是，筆者發(fā)現(xiàn)了——定積分。對照以上兩種方法，不難發(fā)現(xiàn)利用定積分放縮的方法十分優(yōu)美、簡潔，并且在很大意義上揭示了級數(shù)不等式的本質(zhì)。下面以天津市近兩年高考與模擬的壓軸題為例深刻體會定積分放縮法的優(yōu)越性。由例1.及其變式不難看出，利用定積分放縮法往往并不是直接放縮至待證“對象”本身，而是構(gòu)造了一個比待證不等式強度更大的不等式，然后再次放縮到需要的“對象”。綜述：定積分放縮法作為一種簡潔、優(yōu)美的解題方法，在解決由“數(shù)項級數(shù)”所引申出的“證明數(shù)列前n項和不等式”的問題中有相當廣泛的應(yīng)用，具有一定程度的普適性。無疑為學生遇到問題“無從下手”時，提供了一套系統(tǒng)的構(gòu)思程序。定積分放縮法中處處滲透了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想，并將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，使學生深刻地認識到數(shù)列是離散的數(shù)值函數(shù)這一本質(zhì)，有機地反映了將“代數(shù)-幾何-分析”綜合起來的“數(shù)學美”，有助于提高學生對數(shù)學的學習興趣。定積分放縮法是建立在常規(guī)放縮法基礎(chǔ)之上的拓展，二者地位等同，相互依存。和一切的數(shù)學模型一樣，我們希望但永遠不能將所有問題都用一個“統(tǒng)一的方法”來解決。數(shù)學的靈魂，在于各分支間的融會貫通，“統(tǒng)一的方法”和“永動機”一樣是不存在的。數(shù)學本身的“包羅萬象”，足以從其自身內(nèi)部醞釀出千變?nèi)f化的解題方法。由此可見，數(shù)學的精神在于各個數(shù)學分支的互相穿插與多種解法間內(nèi)在緊密聯(lián)系的數(shù)學邏輯。這就是“數(shù)學素養(yǎng)”。參考文獻[1].《淺談高等數(shù)學在中學數(shù)學中的應(yīng)用》[M].廣東石油化工學院，22-24[2].李廣修.證明不等式的定積分放縮法[J].數(shù)學通報，2008,47（7）：55-57[3].意琦行，數(shù)海拾貝.證明級數(shù)不等式的積分放縮法[J].光量子，2015；10；29[4].《高等數(shù)學》[M].同濟大學數(shù)學系，2014第7版：251-327致謝感謝天津市第一〇二中學數(shù)學組：馬萍，嚴虹，紀洪偉，張倩老師對我研究的幫助與支持。感謝“高中數(shù)學解題研究會”杜巍老師給予的幫助。感謝“高中數(shù)學解題研究會”提供優(yōu)良的研究平臺及學術(shù)氛圍。感謝周圍對我研究的支持和認可。

第四篇：等比數(shù)列前n項和的證明方法

等比數(shù)列前n項和的證明方法

若公比q=1,則Sn=a1+a2+...+an=a1+a1+...+a1=na1 等比數(shù)列前n項和Sn=a1+a2+...+an=a1(1-q^n)/(1-q)(公比q≠1)

證:Sn=a1+a1q+a1q^2...+a1q^(n-1)...........(1)qSn=a1q+a1q^2+....a1q^(n-1)+a1q^n.......(2)

(1)-(2):

(1-q)Sn=a1-a1q^n

∴Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

第五篇：裂項放縮證明數(shù)列不等式

策略

一、裂項放縮證明數(shù)列不等式

若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。例1-

1、（全國I理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列?an?的前n項的和Sn?項an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

2n

43an?

?

2n?

1?

23，n?1,2,3,???（Ⅰ）求首項a1與通

n

Sn，n?1,2,3,???，證明：?Ti?

i?1

例1-

2、（湖北理-17）已知二次函數(shù)y?f(x)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為f'(x)?6x?2，數(shù)列{an}的前n項

?

和為Sn，點(n,Sn)(n?N)均在函數(shù)y?f(x)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn?

3anan?

1，Tn是

數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn?

m20

對所有n?N?都成立的最小正整數(shù)m；

例1-

3、（重慶理-22壓軸題）設(shè)數(shù)列{a}滿足a1?2,an?1?an?

n

1an

(n?1,2,?).（Ⅰ）證明a?

n

2n?1對一切正整數(shù)n

成立；（Ⅱ）令bn?

ann

(n?1,2,?)，判定b與b

n

n?

1的大小，并說明理由

例1-

4、已知n?N*，求1?

例1-

5、設(shè)an?1?

2a

?

3???

1n

＜2n

?

a

???

1n

a,a?2.求證：an?2.策略

二、均值不等式放縮證明不等式 例2-

1、設(shè)Sn?

例3-

2、已知函數(shù)f(x)?

例3-

3、已知a,b為正數(shù)，且a?b

1?

1?2?2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)

.4x

x

1?

4求證：f(1)?f(2)???f(n)?n?

n?1

?

.，試證：對每一個n?N?，(a?b)n

?a?b?2

nn2n

?2

n?1

.策略

三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）

一個分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變小；一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:

ba?b?ma?m

(b?a?0,m?0)和

ba?b?ma?m

(a?b?0,m?0)

例3-

1、（福建理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an?1=2an+1(n∈N?)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:

例3-

2、證明：(1?1)(1?3)(1?5)?(1?2n?1)?

即證：1?3?5???(2n?1)?

例3-

3、證明:(1?1)(1?)(1?)?(1?

713n?

2)?

－1 b2－2

4?

4bn－

1=(a

n

+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列;（Ⅲ）證

n2

?

3＜

a1a2

?

a2a3

???

anan?1

＜

n2

(n∈N).*

2n?1和(1?

?

12)(1?1

14)(1?

16)?(1?

12n)?

12n?1

2?4?6??2n

2n?1

和

1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n

2n?1

3n?1.例3-

4、已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜

例3-

5、求證:

13?

1?

13?2?1

???

13?

2n?1

abc

＋＋＜2。b?ca?ca?b

?1

?

策略

四、單調(diào)性放縮證明不等式

例4-

1、（湖南理-19）已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{an}滿足:0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?.證明:（I）．0?an?1?an?1;（II）．a(chǎn)n?1?

例4-2（遼寧理-21）已知函數(shù)f(x)?ax?

0?a1?

2,an?1?f(an),n?N

?

an.32

x的最大值不大于

.16，又當x?[

11,]42

時

f(x)?

.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an?

1n?

1x1例4-

3、（北京理-19）數(shù)列?xn?由下列條件確定：

xn?1??a?0，1?a?

?xn??,n?N．（I）證明：對n?2總有xn???2?xn?

a；

(II)證明：對n?2總有xn?xn?

1例4-

4、設(shè)Sn??2?

例4-

5、求證：(1?1)(1?)(1?)?(1?

12n?

1)?

2n?1.2?3???n(n?1).求證

n(n?1)

2?Sn?

(n?1)2

.策略五：二項式放縮證明不等式

nn01nn01

2?(1?1)?Cn?Cn???Cn,2?Cn?Cn?n?1,2?C?C?C?例5-

1、已知a1?1,an?1?(1?

例5-

2、證明2?(1?

n

例5-

3、設(shè)n?1,n?N，求證(3)

n

0n1n2n

n

?n?2

212

n

.證明a

n

?n(n?1)(n?2)

?e

1n?n)an?

n

1n)?3.n

?

8(n?1)(n?2)

策略六：遞推放縮證明數(shù)列不等式

例6-

1、（全國高考）設(shè)數(shù)列?a?滿足an?1?an?nan?1?n?N??，當a1?3時證明對所有n?1, 有(i)an?n?2；

n

(ii)

11?a

1?

11?a

2???

11?an

?

例6-

2、(重慶理-22壓軸題)數(shù)列{an}滿足a1?1且an?1?(1?

1n?n)an?

2n

(n?1).（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：

an?2(n?2)；（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x對x?0成立,證明:an?e(n?1)，其中無理數(shù)e?2.71828?

例6-

3、（湖北理-22壓軸題）已知不等式

12?13???

1n?12[log

n],n?N,n?2.[log

?

2n]表示不超過log2b,n?3.n 的最大

整數(shù)。設(shè)正項數(shù)列{an}滿足：a1?b(b?0),an?

nan?1n?an?

1,n?2,n?N?，證明：an?

2?b[log

n]

例6-

4、（浙江理-20壓軸題）已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列{xn}（xn＞0）的第一項x1=1，以后各項按如下方式取定：

*

曲線y=f（x）在（xn+！，f（xn+！））處的切線與經(jīng)過（0，0）和（xn，f（xn））兩點直線平行（如圖）。求證：當n∈N時

2（Ⅰ）xn?xn?3xn?1?2xn?1（Ⅱ）()

n?

11n?2

?xn?()

策略七：分項討論放縮證明數(shù)列不等式

例

7、（2004年全國3理-22壓軸題）（14分）已知數(shù)列?an?的前n項和Sn滿足Sn?2an?(?1)n,n?1.（1）寫出數(shù)列?an?的前三項a1,a2,a3；（2）求數(shù)列?an?的通項公式；（3）證明：對任意的整數(shù)m?4，有

策略八： 數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式

例8-

1、（江西理-21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)（1）證明an?an?1?2,n?N;（2）求數(shù)列{an}的通項公式an.例8-

2、（江西理-22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝

1a4

?

1a5

???

1am

?

.,且滿足:a0?1,an?1?

an,(4?an),n?N.，且an＝

n?2，n?N）（1）求數(shù)列｛an｝

2an－1＋n－1

3nan－1

?的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1?a2???an?2?n！