第一篇：數列、極限、數學歸納法·等比數列前n項和的公式

數列、極限、數學歸納法·等比數列前n項和的公式·教案

教學目標

1．掌握求等比數列前n項和的公式及其推導過程，培養學生創造性的思維． 2．初步掌握公式的應用，培養學生的解題能力． 教學重點與難點

等比數列前n項和公式的推導 教學過程設計

課堂教學設計說明

本課知識與前面的知識——等差數列求和公式，教學內容聯系緊密，只要學生掌握好舊知識，再經過分析、綜合、歸納、推理，就能導出所學內容．采用這種教學方法，學生學習積極性高，因而教學效率高、效果好，同時，對完善學生的認知過程，提高他們分析問題、解決問題的能力大有裨益． 本節課教學過程可概括如下：（1）復習舊知識，引出新課題；（2）推導公式，弄清條件，認識新知識；（3）運用公式，鞏固新知識；（4）小結，布置作業．

對全課作了如此設計，主要基于以下幾點：

（1）對公式的教學，要充分揭示公式之間的內在聯系，掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的導出方法，理解公式的成立條件．也就是讓學生對本課要學習的新知識有一個清晰的、完整的認識、忽視公式的推導和條件，直接記憶公式的結論是降低教學要求，違背教學規律的做法．

（2）本課采用啟發引導，講練結合的教學方法，既發揮了教師的主導作用，又體現了學生的主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己的一系列思維活動來完成，課堂上教師的作用主要在于給學生設計好符合他們學習心理過程的學習程序，通過設疑、暗示、課堂討論、自編習題等多種教學形式和方法，啟發誘導學生，激發學生的學習興趣，使他們自始至終處于一種積極進取的興奮狀態，使他們通過在教師引導下的獨立活動，自然而有效地獲取知識、技能和技巧．同時在數學教學的實踐活動中形成、發展學生的數學能力．

第二篇：等比數列前n項和公式教案

課題: §2.5等比數列的前Ⅱ.講授新課

n項和

[分析問題]如果把各格所放的麥粒數看成是一個數列，我們可以得到一個等比數列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數總合就是求這個等比數列的前64項的和。下面我們先來推導等比數列的前n項和公式。

1、等比數列的前n項和公式：

當q?1時，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當q=1時，Sn?na1

當已知a1, q, n 時用公式①；當已知a1, q, an時，用公式②.公式的推導方法一：

一般地，設等比數列a1,a2?a3,?an?它的前n項和是

Sn?a1?a2?a3??an

?Sn?a1?a2?a3??an由? n?1a?aq1?n2n?2n?1??a1q?Sn?a1?a1q?a1q??a1q得?

23n?1n??a1q?qSn?a1q?a1q?a1q??a1qn?(1?q)Sn?a1?a1q

∴當q?1時，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當q=1時，Sn?na1

公式的推導方法二：

有等比數列的定義，a2a1?a3a2???anan?1??q

根據等比的性質，有a2?a3???ana1?a2???an?1Sn?a1Sn?an?q

即 Sn?a1Sn?an?q?(1?q)Sn?a1?anq（結論同上）

圍繞基本概念，從等比數列的定義出發，運用等比定理，導出了公式． 公式的推導方法三：

Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1)

＝a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an)

?(1?q)Sn?a1?anq（結論同上）

課題: §2.5等比數列的前●教學過程 Ⅰ.課題導入

首先回憶一下前一節課所學主要內容： 等比數列的前n項和公式： 當q?1時，Sn?a1(1?q)1?qnn項和

①

或Sn?a1?anq1?q

②

當q=1時，Sn?na1

當已知a1, q, n 時用公式①；當已知a1, q, an時，用公式②

課 題：數列復習小結

教學過程：

一、本章知識結構

二、知識綱要

(1)數列的概念，通項公式，數列的分類，從函數的觀點看數列．(2)等差、等比數列的定義．(3)等差、等比數列的通項公式．(4)等差中項、等比中項．

(5)等差、等比數列的前n項和公式及其推導方法．

三、方法總結

1．數列是特殊的函數，有些題目可結合函數知識去解決，體現了函數思想、數形結合的思想．

2．等差、等比數列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，體現了方程(組)的思想、整體思想，有時用到換元法．

3．求等比數列的前n項和時要考慮公比是否等于1，公比是字母時要進行討論，體現了分類討論的思想． 4．數列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯位相減法，拆項法，裂項法，累加法，等價轉化等．

四、知識精要：

1、數列

[數列的通項公式] an2、等差數列 [等差數列的概念] [定義]如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。[等差數列的判定方法]

1． 定義法：對于數列?an?，若an?1?an?d(常數)，則數列?an?是等差數列。2．等差中項：對于數列?an?，若2an?1?an?an?2，則數列?an?是等差數列。[等差數列的通項公式]

如果等差數列?an?的首項是a1，公差是d，則等差數列的通項為an?a1?(n?1)d。[說明]該公式整理后是關于n的一次函數。[等差數列的前n項和] 1．Sn?n(a1?an)2?a1?S1(n?1)???Sn?Sn?1(n?2)[數列的前n項和] Sn?a1?a2?a3???an

2.Sn?na1?n(n?1)2d

[說明]對于公式2整理后是關于n的沒有常數項的二次函數。[等差中項] 如果a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項。即：A?a?b2或2A?a?b

[說明]：在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮等差數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。[等差數列的性質]

1．等差數列任意兩項間的關系：如果an是等差數列的第n項，am是等差數列的第m項，且m?n，公差為d，則有an?am?(n?m)d

2.對于等差數列?an?，若n?m?p?q，則an?am?ap?aq。

3．若數列?an?是等差數列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差數列。

3、等比數列 [等比數列的概念] [定義]如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q?0）。[等比中項] 如果在a與b之間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。即G2?ab。[等比數列的判定方法] 1． 定義法：對于數列?an?，若an?1an?q(q?0)，則數列?an?是等比數列。

22．等比中項：對于數列?an?，若anan?2?an，則數列?an?是等比數列。?1[等比數列的通項公式]

n?1如果等比數列?an?的首項是a1，公比是q，則等比數列的通項為an?a1q。

[等比數列的前n項和] Sn?a1(1?q)1?qn(q?1)Sn?a1?anq1?q(q?1)當q?1時，Sn?na1

[等比數列的性質] 1．等比數列任意兩項間的關系：an?amqn?m

2． 對于等比數列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av

4．若數列?an?是等比數列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數列。如下圖所示：

4、數列前n項和（1）重要公式：

1?2?3??n?1?2?3??n222n(n?1)22；

； ?n(n?1)(2n?1)61?2??n333?[121n(n?1)] 2（2）裂項求和：

n(n?1)?1n?1n?1；

第三篇：等比數列前n項和公式教學設計（模版）

等比數列前n項和公式教學設計 1.復習:(1)等比數列的定義

(2)等比數列的通項公式: 2.引例：

一個窮人到富人那里去借錢,原以為富人不愿意，哪知富人一口答應了下來,但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元,第二天借給窮人2萬元,以后每天所借的錢數都比上一天多1萬;但借錢第一天,窮人還1分錢,第二天還2分錢,以后每天所還的錢數都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算,本想定下來,但又想到此富人是吝嗇出了名的,怕上當受騙,所以很為難。”請在座的同學思考討論一下,窮人能否向富人借錢?（1）啟發引導學生數學地觀察問題，構建數學模型。

學生直覺認為窮人可以向富人借錢，教師引導學生自主探求，得出：

S窮人30天借到的錢：

'30?1?2???30?229(1?30)?302??465（萬元）

窮人需要還的錢：S30?1?2?2???2?

29（2）教師緊接著把如何求S學生探究，30?1?2?2???22?？的問題讓S30?1?2?2???2229

①若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到

2S30?2?2???2229?230②

若②式減去①式，可以消去相同的項，得到：

S30?230?1?1073741823(分)≈1073(萬元)＞ 465（萬元）

由此得出窮人不能向富人借錢

（3）小組合作

仿照公比為2的等比數列求和方法，推倒等比數列前 項和公式：

等式兩邊應同乘以等比數列的公比，即（板書）

③兩端同乘以，得 ④，③－④得

醒學生注意 的取值）當 當 時，由③可得 時，由⑤得

（不必導出④，但當時設想不到）.⑤，（提問學生如何處理，適時提于是

（4）教師：還有沒有其他推導方法？

?a2a1?a3a2???anan?1?q

?a2?a3???ana1?a2???an?1?q

即

sn?a1sn?an?q?sn?a1?anq1?q(q?1)。

學生B：

sn?a1?a1q???a1q?a1?qa1?a1q???a1qn?2?a1q1n?1

?n?2??a?qsn?1?a1?q?sn?an??a1?qsn?anqa1?anq1?q(q?1)?sn?qsn?a1?anq?sn?

3．練習：

求下列等比數列的各項和：

(1)1，3，9，…，2187

（2）1,?1,1,?1,?,?2481512

2、根據下列條件求等比數列?a?的前n項和S

nn①a1?2,q?2,n?8

②a1?8,q?2,an?12

4．布置作業：

1、根據下列條件，求等比數列?an?的前n項和S

n①: a1?3,q?2,n?6

②: a1?8,q?12,an?12

0,n?049 ③：a2?0.12,a5?0.0 ④: a1?a3?10,a4?a6?54，2、在等比數列?an?中，①:已知a1?2,S3?26，求q和Sn ②:已知S2?30,S3?115，求Sn

第四篇：關于自然數數列前n項和公式證明

自然數平方與立方數列前n項和公式證明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推導體現了遞推消項數學思想。

一、證明：Sn=?k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2證：(略)

二、證明：Sn=?k2=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

k?1k?1nn

證：?(n＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n＋1)－n3=3n2＋3n＋1，則：

23－13=3×12＋3×1＋1（n從1開始）

33－23=3×22＋3×2＋1

43－33=3×32＋3×3＋1

53－43=3×42＋3×4＋1

63－53=3×52＋3×5＋1

…

(n＋1)3－n3=3×n2＋3×n＋1（至n結束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ?(n＋1)3－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n

?Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

三、證明：Sn=?k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

k?1n

證：?(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1則：

24-14=4*13+6*12+4*1+1（n從1開始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n結束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n?4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2

?Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2

第五篇：等比數列的前n項和公式的應用

第2課時等比數列前n項和公式的應用

學習目標

1.掌握等比數列 的 前n項和公式及有關性質，能熟練運用公式解決簡單的相關問題。

2.自助學習，合作探究，掌握等比數列前n項和公式的推導與運用。

3.激情投入，全力以赴，享受學習成功的快樂，激勵學生創新，勇于探索。重點：等比數列的前n項和公式及有關性質。

難點：等比數列的前n項和公式及有關性質的應用。

預習案

Ⅰ相關知識

等比數列的前n項和公式的推導方法；等比數列的前n項和公式。

Ⅱ教材助讀

1.等比數列中的Sn與an具有什么關系？

2.等比數列{an}中，a2?a3?na(?a1?a2??n表示?)a用qnS，即1,Sn?a1?_________q

3.等比數列{an}中，an?1?an?2??a2n?(a1?a2??an)__

4.若某數列的前n項和公式為Sn??Aqn?A(A?0,q?0且q?1,n?N?),此數列是等比數列，這個結論對嗎？

5.若數列{an}是等比數列，則a1?a2,a3?a4,a5?a6,a7?a8,能構成一個等比數列嗎？S3,S6?S3,S9?S6,Ⅲ預習自測 呢？

1.一個公比q為正數的等比數列{an}，若a1?a2?20,a3?a4?80,則a5?a6=（）

A120B240C320D480

2.等比數列{an}中，S2?7,S6?91,則S4?()

A28B32C35D49

探究案

導入新課

一個窮人到一個婦人那里去借錢，原以為婦人會不愿意